勾股数组

谈谈勾股数组

常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a ，b 与斜边长c 之间满足等式：a 2+b 2=c 2（*）”的一个最简单特例。我们把满足（*）的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数组，记为（a ，b ，c ）。那么勾股数组到底有多少个呢？它们有什么样有规律呢？怎样求勾股数组呢？带着这些问题，我们作一点思考。

首先，我们建立表1：

表1 勾股数组表

a b c a b c 3 4 5 4 3 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 40 41 10 24 26 11 60 61 12 35 37 …

…

…

…

…

…

观察上表，我们不加证明地给出以下结论： 1）勾股数组有无数个。

2）a 、b 中至少有一个是偶数，不能全是奇数，至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数；a 、b 、c 中至少有一个是5的倍数。

3）从表1左半部分可以发现：a 为奇数时，b 为a 的平方减1再除以2，c 为b 加1，也就是a 的平方加1再除以2。换句话说，若k 是一个奇数，则

（k ，212-k ，2

12+k ） （k ≥3的奇数） ①

就是一个勾股数组。

这样，我们任给一个奇数，就可以按照公式①写出一个勾股数组来。任给一个偶数呢？这也有规律。设m 是一个偶数，且m ≥4，则可以证明：

（m ，1)2(2-m ，1)2

(2+m

） （m ≥4的偶数） ②

也是一个勾股数组。（如表1右半部分所示）

至此，根据公式①和②，对于任意的正整数n(n ≥3),都可以写出一个勾股数组。

4）若（a ，b ，c ）是勾股数组，则（λa ，λb ，λc ）也是勾股数组，其中λ为任意正整数。并约定λ（a ，b ，c ）=（λa ，λb ，λc ）。

遗憾的是，仅由公式①和②不能求出全部勾股数组。如由（3，4，5）可以断定（6，8，10），（9，12，15）等都勾股数组，其中（9，12，15）显然不包含在公式①和②之中。有没有能求出全部勾股数组的公式呢？答案是肯定的。

其实，我们有勾股数组公式（不失一般性，设a 为奇数，b 为偶数）：

a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，（其中正整数m ＞n ＞0，m 、n 互质，且m 、n 为一奇一偶） ③

根据公式③，我们可以求出所有a 、b 、c 互质的勾股数组（a ，b ，c ），再由结论4）求出如（9，12，15）这样a 、b 、c 不互质的勾股数组来。但公式③并不能随心所欲地求出你想要的勾股数组。

下面，我们思考这样的问题I ：对于（*），给定正整数a （a ≥3）的值，如何确定b 、c 的值，进而确定勾股数组（a ，b ，c ）的个数有多少？

为讨论方便，我们约定各字母都是正整数，以后不再声明。符号T(a)表示符合问题I 的勾股数组（a ，b ，c ）的个数。d(N)表示正整数N 的正约数的个数。我们将（*）变形成

（c+b ）（c-b ）=a 2 (**)

为了讨论（**）的正整数解的个数T （a ），我们先给出以下基础知识： A 、算术基本定理：任何一个大于1的正整数N 都能分解成质因数的连乘积的形式，即有

N=11β

p 2

2βp …n n p β ④(其中p 1，p 2，…，p n 为互不相等的质数，βi ＞0的正

整数，i=1，2…，n)。若不考虑质因数的顺序，这个分解式是唯一的，我们把此分解式称为N 的标准分解式。

B 、利用标准分解式，易得正整数N 的正约数的个数 d （N ）=（β1+1）（β2+1）…（βn +1）。 ⑤

C 、若（x+y ）（x-y ）=z ，则x+y 与x-y 必然同时为奇数或同时为偶数，且x ＞y ，x+y ＞x-y 。

根据上述基础知识，我们有：

（一）当a=1，2时，(**)无正整数解，T(a)=0。

（二）当a 为奇数时，由公式④⑤可知d （a 2）为奇数，且a 2的正约数全为奇数。所以，要确定(**)中c 、b 的值，只须将常数a 2分解成两个不相等的奇因数a 1，a 2的积即可，进而

（c+b ）（c-b ）=a 2=a 1a 2， （a 1＞a 2）

∴???=-=+21

a b c a b c ，解得??

??

?+=-=222

1

21a a c a a b ，于是a 1，a 2的一种取法对应（**）的一个正整数解。那么a 1，a 2的不同取法有多少种呢？这由上述分析不难知道a 1，a 2

的取法有21)(2-a d 种，∴ (**)有21)(2-a d 个正整数解，即T(a)=2

1

)(2-a d 。

如a=5时，a 1=25，a 2=1，b=12，c=13，(**)有唯一一解（5，12，13）。

又如a=105时，a 2=32×52×72，d （a 2

）=（2+1）（2+1）（2+1）=27，T(a)=13， ∴ a=105时，(**)有13个解，13个解的详解过程略，解的结果列表(表2)如下：

表2 a=105时，（**）的13个解

a b

c

a b

c

105 36 111 105 360 375 105 56 119 105 608 617 105 88 137 105 784 791 105 100

145 150 **** **** 105 140

175 105 1836 1839 105 208 233 105 5512

5513

105

252

273

（三）当a 为偶数时，有两种情况：

（1）若a=2p ，应将a 2分解成两个不相等的偶因数a 1，a 2的积，即

a 2=22p =a 1a 2， （a 1＞a 2），a 1与a 2的不同取法列表（表3）如下：

表3

a 1 22p -1 22p -2 22p -3 … 2p +1 a 2 2 22 23 … 2p -1

∴ a 1与a 2的不同取法共有p -1种，进而当a=2p 时，T(a)=p -1；

（2）若a=2p M =a 1a 2（其中M 为奇数，a 1≠a 2，且同为偶数），也有两类情况：

第一类：若a 2=a 1a 2=12(2)(2)m n M M 。（其中m+n=2p ，且mn ≠0；M 1M 2=M 2，且M 1≠M 2）经分析，不难知道：m 、n 的不同取法有（2p -1）种；M 1、M 2的不

同取法有2()12

d M -，所以，此时，a 1、a 2的不同取法共有T 1(a)=()2()1212d M p --?

种。

第二类：若a 2=a 1a 2=(2)(2)m n M M 。（其中m+n=2p ，m ≠n 且mn ≠0）。经分析，m 、n 的不同取法有(p -1)种，即a 1、a 2的不同取法共有T 2(a)=(p -1)种。

∴ 当a=2p

M 时，T(a)=()2()1

212

d M p --?+p -1；

综上述，我们得到：对于（*），给定正整数a （a ≥3）的值，满足（*）的勾股数组（a ，b ，c ）的个数

22

()1()2()1

(2)

()1(21)1

(2,)

2p p d a a T a p a d M p p a M M ?-???

=-=??-?-+-=??

为奇数为奇数

特别地，当a=p m (p 为奇质数，m 为正整数)时，

T(p m

)=2()12

m d p -=211

2m +-=m 。

如a=32时，a=25，T （a ）=5-1=4，（**）有4解：

（32，24，40）=2（16，12，20）=4（8，6，10）=8（4，3，5）； （32，60，68）=2（16，30，34）=4（8，15，17）； （32，126，130）=2（16，63，65）； （32，255，257）。

如a=48时，a=24×3，T （a ）=（2×4-1）×1+4-1=10，（**）有10解： （48，64，80）=2（24，32，40）

=22（12，16，20） =23（6，8，10） =24（3，4，5）；（48，36，60）=12（4，3，5）；

（48，20，52）=22（12，5，13），

（48，140，148）=22（12，35，37）；

（48，14，50）=2（24，7，25）；（48，90，102）=2（24，45，51）；

（48，286，290）=2（24，143，145）；（48，189，195）=3（16，63，65）（48，55，73），（48，575，577）。

通过以上讨论，我们可以根据自己的需要，选择上述的恰当的方法，求出我们想要得到的勾股数组。

思考题试确定以下不定方程解的个数及解的具体值：

①x2-y2=212；②x2-y2=256；③x2-y2=1202。

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145

常见的勾股数组公式

常见的公法股数公式整理 ＜一＞、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m φ 证明：略 1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数） ＜二＞、当第一组中的n=1时，有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1(φm ，这说明它与第一组是特殊与一般的关系。 1）这组勾股数的b 是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组； ＜三＞、当第一组中的n=m-1, 有 12)1(22-=--=m m m a ,m m m m b 22)1(22-=-=,122)1(222+-=-+=m m m m c ,)1(φm ，这说明它与第一组是是特殊与一般的关系。 1）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、 2)1(+k k 倍(k 是正整数)； 2）此组中有b-c=1,即c 比b 大1； 3）此组中的a 是不小于3的连续奇数； ＜四＞、当第一组中的m=n+1时, 有 12)1(22+=-+=m n n a ,n n n n b 22)1(22+=+=,122)1(222++=++=n n n n c ,)1(≥n ，这说明它与第一组是是特殊与一般的关系。 1) 从此组中数据可以看出，它与第3组是一样的，但我没有找到相互的代换方法； 2）此组中的a 不小于3连续奇数； 3）c-b=1,即c 比b 大1； 4）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、 2)1(+k k 倍(k 是正整数)； ＜五＞、当第一组中的m=2 k ,n=1时，有

勾股数

勾股数 勾股数 勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 目录 常用套路 简介 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a2+b2=c2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 第一套路 当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 第二套路 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... 公式证明 证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 从而a=2mn 局限 目前，关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。 完全公式

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊）

最新常见的勾股数组公式

常见的公法股数公式20161003整理 ＜一＞、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m 证明：略 1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的 勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数）

＜二＞、当第一组中的n=1时，有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1( m ，这说明它与第一组是特殊与一般的关系。 1）这组勾股数的b 是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的；

4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组； ＜三＞、当第一组中的n=m-1, 有1 2)1(22-=--=m m m a , m m m m b 22)1(22-=-=, 122)1(222+-=-+=m m m m c ,)1( m ，这说明它与第一组是是特殊与一般的 关系。

1）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、2 ) 1(+k k 倍(k 是正整数)； 2）此组中有b-c=1,即c 比b 大1； 3）此组中的a 是不小于3的连续奇数； ＜四＞、当第一组 中的m=n+1时, 有1 2)1(22+=-+=m n n a , n n n n b 22)1(22+=+=, 122)1(222++=++=n n n n c ,)1(≥n ，这说明它与第一组是是特殊与一般的关 系。

勾股数序列

勾股数序列 山东定陶一中刘述省 序言 两千多年前，中国人和希腊人发现了勾股定理，当是数学史上的伟大创举。ａ＝２ｍｎ，ｂ＝ｍ2－ｎ2，ｃ＝ｍ2＋ｎ2 则是近代中国人在数论领域的又一重大成就，它将勾股数的一般求法表述得如此简捷。然而迄今为止，未见一个具体详细的勾股数序列表。这是因为，用现代数学家的眼光来看，找素勾股数是一件很困难的事，更不用说全部勾股数的序列表了。 2002年，本人找到了一种极其初等的方法。初中学生即可做，可以将所有勾股数按照一定的顺序一个不漏地列出来，制作成表。（当然，由于勾股数的无限多， 只能列出一定范围内的）。此成果获得中国管理科学研究院颁发的中国新时期人文科学优秀成果一等奖。 学校有了自己的网站，给我们广大师生建立了互相交流的平台。自己多年的一点点积累，也很想与大家一起交流学习。下面的正文力图深入浅出，另有勾股数序列表一并附上。并指望有一天，看到有高手通过编程法打印出可观的勾股数序列表，学生人手一册。真正让勾股定理走进普通人之中。 正文 先找素勾股数，即勾a，股b，弦c三数互质（无公约数）的勾股数。故约定：a＜b＜c . a2 + b2 = c2且a b c 互质。因ａ2 = (c－ｂ) (ｃ＋ｂ) ,突破口选在 ｃ－ｂ上。并记满足ｃ－ｂ＝ｋ的素勾股数为d k 勾股数。（论文在后面将d k勾股数的倍数形成的勾股数叫做d k倍勾股数） 以下将按照k的取值从小到大依次探求结论。 k＝１时，a2＝ｋ（ｂ＋ｃ）＝ｂ＋ｃ＝２ｂ＋１．知a是大于1的奇数。设a = 2m +1，则b = (a2 －１) / 2 , c＝ｂ＋１．m依次从1开始取值，即得到d1 素勾股数序列如下： a b c 说明：1. a列从上到下依次多 2 ，b列从上到下依次多加4 . 3 4 5 5 12 13 2. 各列个位数五个数一循环。 7 24 25 9 40 41 3. 拟人法比喻，c为姐，b为弟，a为妹。可编口诀如下： 11 60 61 13 84 85 妹妹方一方，姐弟和相当； 15 112 113 17 144 145 姐大弟一年，三人勾股弦。 19 180 181 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ｋ＝２时，ａ2＝２（ｂ＋ｃ）＝２（２ｂ＋２）＝４（ｂ＋１）．设ａ＝２ｍ，则ｂ＝ｍ2－１，ｃ＝ｂ＋２．得出通项公式后，还要注意考虑两点。第一， 要保证a b c 互质。这里a 已经确定是偶数，b 就不能再是偶数，所以知m 是偶数。第二，要保证b ＞a 。这里换算为m2 —1 ＞2m 。得到m ＞1+2。

三种常见的勾股数

三种常见的勾股数 我们知道，如果a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得222c b a =+，反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足222c b a =+，则该三角形是直角三角形．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍三种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得()()2 2211+=+-x x x ，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）； 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ 设后两数为连续整数的勾股数组为（x ，y ，y ＋１），则 ()2 221+=+y y x ， 整理，得122=-y x ，（＊） 显然，x 不能是偶数，否则，当x 为偶数时，（＊）式的左边是偶数，而右边是奇数，矛盾．故x 不能是偶数，因此， 取x ＝２m ＋１，则y ＝m m 222+（m ∈Ｎ）， 故后两数为连续整数的勾股数组是 （２m ＋１，m m 222+，m m 222 +＋１）； 分别取m ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗？下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导． 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），则 ()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2 y ，化为 ()121222-=-+y x ，即

谈谈勾股数组

谈谈勾股数组 常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a ，b 与斜边长c 之间满足等式：a 2+b 2=c 2（*）”的一个最简单特例。我们把满足（*）的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数组，记为（a ，b ，c ）。那么勾股数组到底有多少个呢？它们有什么样有规律呢？怎样求勾股数组呢？带着这些问题，我们作一点思考。 首先，我们建立表1： 表1 勾股数组表 1）勾股数组有无数个。 2）a 、b 中至少有一个是偶数，不能全是奇数，至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数；a 、b 、c 中至少有一个是5的倍数。 3）从表1左半部分可以发现：a 为奇数时，b 为a 的平方减1再除以2，c 为b 加1，也就是a 的平方加1再除以2。换句话说，若k 是一个奇数，则 （k ，212-k ，2 12+k ） （k ≥3的奇数） ① 就是一个勾股数组。 这样，我们任给一个奇数，就可以按照公式①写出一个勾股数组来。任给一个偶数呢？这也有规律。设m 是一个偶数，且m ≥4，则可以证明： （m ，1)2(2-m ，1)2 (2+m ） （m ≥4的偶数） ② 也是一个勾股数组。（如表1右半部分所示） 至此，根据公式①和②，对于任意的正整数n(n ≥3),都可以写出一个勾股数组。 4）若（a ，b ，c ）是勾股数组，则（λa ，λb ，λc ）也是勾股数组，其中λ为任意正整数。并约定λ（a ，b ，c ）=（λa ，λb ，λc ）。 遗憾的是，仅由公式①和②不能求出全部勾股数组。如由（3，4，5）可以断定（6，8，10），（9，12，15）等都勾股数组，其中（9，12，15）显然不包含在公式①和②之中。有没有能求出全部勾股数组的公式呢？答案是肯定的。 其实，我们有勾股数组公式（不失一般性，设a 为奇数，b 为偶数）： a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，（其中正整数m ＞n ＞0，m 、n 互质，且m 、n 为一奇一偶） ③ 根据公式③，我们可以求出所有a 、b 、c 互质的勾股数组（a ，b ，c ），再由结论4）求出如（9，12，15）这样a 、b 、c 不互质的勾股数组来。但公式③并不能随心所欲地求出你想要的勾股数组。 下面，我们思考这样的问题I ：对于（*），给定正整数a （a ≥3）的值，如何确定b 、c 的值，进而确定勾股数组（a ，b ，c ）的个数有多少？

勾股弦数

勾股弦数 李明亮 （河北省平乡县大刘庄学校，河北邢台054500） 摘要：勾股弦数是指这样的三个正整数（分别称为勾数、股数、弦数）：勾数与股数的平方和等于弦数的平方。每一组勾股弦数都和3、4、5这三个数有关；任意给定一个不小于3的勾数或股数，都可以求出一组勾股弦数；但是，只有4k+1形的质数和它们的倍数才可以做弦数。 关键词：勾股弦数；通项公式；质数；平方 勾股弦数是指这样的三个正整数：两个较小数的平方和等于第三个数的平方。也就是说，如果三条线段的长度正好分别等于这三个数，则用这三条线段可以围成直角三角形。3、4、5是最简单的一组勾股弦数。在一组勾股弦数中，从小到大依次称为勾数、股数、弦数。 勾股弦数的通项公式如下： a=k(m2－n2)，b=2kmn，c=k(m2+n2) （k、m、n均为正整数，且m＞n） 例如，k=1，m=3，n=1时，可得到一组勾股弦数6、8、10；k=2，m=2，n=1时，也可得到6、8、10；k=1，m=3，n=2时，可得勾股弦数5、12、13；k=1，m=4，n=1时，可得勾股弦数8、15、17…… 下面讨论几个与勾股弦数有关的问题。 一、在一组勾股弦数中，当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶；当弦数是偶数时，勾数和股数一定都是偶数。 因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数，所以当弦数是奇数时，勾数和股数一定是一奇一偶。但是，当弦数是偶数时，勾数和股数为什么一定是两个偶数，而不能是两个奇数呢？ 这是因为，奇数的平方的末两位数只能是01、21、41、61、81、09、29、49、69、89或25这十一个数，而偶数的平方的末两位数只能是04、24、44、64、84、16、36、56、76、96或00这十一个数。这十一个奇数中的任何两个相加，其结果的末两位都不会等于这十一个偶数中的任何一个。也就是说，两个奇数的平方和不可能是完全平方数。 如果在一组勾股弦数中，勾数和股数都是偶数，那么，把这组勾股弦数都除以2或者连续除以2，最终都将变成勾数和股数是一奇一偶的勾股弦数。 二、在一组勾股弦数的勾数和股数中，至少有一个是3的倍数。 此命题的证明如下： 我们把m和n都分成三种情况来讨论：m=3m1或3m1±1，n=3n1或3n1±1 （m1和n1均为正整数）。 （1）当m=3m1时，b=2kmn=6km1n，此时，不论k和n是什么数，b都是3

常见的勾股数组公式

常见的公法股数公式20161003整理 证明：略 1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数）

＜二＞、当第一组中的n=1 明它与第一组是特殊与一般的关系。 1）这组勾股数的b是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组；

＜三＞、当第一组中的n=m-1, 有 , , 关系。 1）此组中的b是4的倍数，且为4的1、3、6(k是正整数)；2）此组中有b-c=1,即c比b大1；

3）此组中的a是不小于3的连续奇数； ＜四＞、当第一组中的m=n+1时, 有 , , 系。 1) 从此组中数据可以看出，它与第3组是一样的，但我没有找到相互的代换方法；2）此组中的a不小于3连续奇数；

3）c-b=1,即c比b大1； 4）此组中的b是4的倍数，且为4的1、3、6 (k是正整数)； ＜五＞、当第 一组中的m=,n=1时， 有 这说明它与第一组是是特殊与一般的关系 1) 此组中的b是不小于4的连续偶数；

3) 让此式中的k＝2n，便得到a=n2-1,b=2n,c=n2+1, 这正是第二组； 以上五组是我在教学和辅导中见到的公式，下面我再试写几组： ＜六＞、当第五组中的k=4n时，有a=4n,b=4n2-1,c=4n2+1,(n>0),这说明它与第五组是是特殊与一般的关系 1）a是4的k倍； 2）这是一组一偶二奇的勾股数组；

勾股数的规律

所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时，我们就称这一组数为勾股数。 那么，组成一组勾股数的三个正整数之间，是否具有一定的规律可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数： 规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现 由（3，4，5）有：32=9=4+5 由（5，12，13）有：52=25=12+13 由（7，24，25）有：72=49=24+25 由（9，40，41）有：92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式： ∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1） ∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数） 勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现 由（6，8，10）有：62=36=2×（8+10） 由（8，15，17）有：82=64=2×（15+17） 由（10，24，26）有：102=100=2×（24+26） 即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）] ∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数） 勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数） 利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。

100以内的勾股数

100以内的勾股数

100以内的勾股数：i=3 j=4 k=5 i=5 j=12 k=13 i=6 j=8 k=10 i=7 j=24 k=25 i=8 j=15 k=17 i=9 j=12 k=15 i=9 j=40 k=41 i=10 j=24 k=26 i=11 j=60 k=61 i=12 j=16 k=20 i=12 j=35 k=37 i=13 j=84 k=85 i=14 j=48 k=50 i=15 j=20 k=25 i=15 j=36 k=39 i=16 j=30 k=34 i=16 j=63 k=65 i=18 j=24 k=30 i=18 j=80 k=82 i=20 j=21 k=29 i=20 j=48 k=52 i=21 j=28 k=35 i=21 j=72 k=75 i=24 j=32 k=40 i=24 j=45 k=51 i=24 j=70 k=74 i=25 j=60 k=65 i=27 j=36 k=45 i=28 j=45 k=53 i=30 j=40 k=50 i=30 j=72 k=78 i=32 j=60 k=68 i=33 j=44 k=55 i=33 j=56 k=65 i=35 j=84 k=91 i=36 j=48 k=60 i=36 j=77 k=85

i=39 j=52 k=65 i=39 j=80 k=89 i=40 j=42 k=58 i=40 j=75 k=85 i=42 j=56 k=70 i=45 j=60 k=75 i=48 j=55 k=73 i=48 j=64 k=80 i=51 j=68 k=85 i=54 j=72 k=90 i=57 j=76 k=95 i=60 j=63 k=87 i=65 j=72 k=97 勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a, b,c)。即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N2 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n 得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) 第2 / 4页n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ...

数学勾股定理的公式总结

数学勾股定理的公式总结 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理(Pythagoras Theorem)。数学公式中常写作 a^2+b^2=c^2 在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。 如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a+b=c;. 这个定理在中国又称为“商高定理”(相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题)，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)。 他们发现勾股定理的时间都比中国晚(中国是最早发现这一几何宝藏的国家)。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么

a^2+b^2=c^2。 直角三角形(等腰直角三角形也算在内)两直角边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。 也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a+b=c。 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。 2.勾股定理是余弦定理的特殊情况。 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为C，那么a^2+b^2=c^2。 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 勾股定理是余弦定理的一个特例。是我们解题的好方法。

常见的勾股数组公式审批稿

常见的勾股数组公式 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C-

常见的公法股数公式整理 ＜一＞、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m 证明：略 含了所有的勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数）

＜二＞、当第一组中的n=1时，有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1( m ，这说明它与第一组是特殊与一般的关系。 1）这组勾股数的b 是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的；

4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5) 如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组； ＜三＞、当第一组中的n=m-1, 有 12)1(22-=--=m m m a ,m m m m b 22)1(22-=-=, 122)1(222+-=-+=m m m m c ,)1( m ，这说明它与第一组是是特殊与一 般的关系。

1）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、2 ) 1(+k k 倍(k 是正整数)； 2）此组中有b-c=1,即c 比b 大1； 3）此组中的a 是不小于3的连续奇数； ＜四＞、当第一组中的m=n+1时, 有 12)1(22+=-+=m n n a ,n n n n b 22)1(22+=+=, 122)1(222++=++=n n n n c ,)1(≥n ，这说明它与第一组是是特殊与一般 的关系。

常见的勾股数组公式

常见的勾股数组公式 Prepared on 24 November 2020

常见的公法股数公式 ＜一＞、22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,)1(≥n m 证明：略 1）这是我见到的勾股数组公式中最全面的一组，但我不知道它是不是包含了所有的勾股数组；（估计是包含了） 2）这组勾股数组经过一定的变换便可得到许多变式的勾股数组的公式； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4)三个数中要么两奇数一偶数，要么三个都是偶数；（至少有一个偶数） ＜二＞、当第一组中的n=1时，有12-=m a ,m b 2=,12+=m c ,)1( m ，这说明它与第一组是特殊与一般的关系。 1）这组勾股数的b 是连续偶数； 2）b-a=2,即第三个数比第一个数大2； 3）此组中有不少是三个数有公约数的； 4）这组只是第一组中的n=1部分；它不包含第一组中的n=2、3、4、5……; 5)如果我们对这一组再进行一些变形代换，还可以得到不同的勾股数组； ＜三＞、当第一组中的n=m-1,有 12)1(22-=--=m m m a ,m m m m b 22)1(22-=-=,122)1(222+-=-+=m m m m c ,)1( m ，这说明它与第一组是是特殊与一般的关系。 1）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、 2 )1(+k k 倍(k 是正整数)； 2）此组中有b-c=1,即c 比b 大1； 3）此组中的a 是不小于3的连续奇数；

＜四＞、当第一组中的m=n+1时,有 12)1(22+=-+=m n n a ,n n n n b 22)1(22+=+=,122)1(222++=++=n n n n c ,)1(≥n ，这说明它与第一组是是特殊与一般的关系。 1)从此组中数据可以看出，它与第3组是一样的，但我没有找到相互的代换方法； 2）此组中的a 不小于3连续奇数； 3）c-b=1,即c 比b 大1； 4）此组中的b 是4的倍数，且为4的1、3、6、……、2 )1(+k k 倍(k 是正整数)； ＜五＞、当第一组中的m=2 k ,n=1时，有142-=k a ,k b =,142+=k c ,)2(的偶数 k ,这说明它与第一组是是特殊与一般的关系 1)此组中的b 是不小于4的连续偶数； 2）c 比a 大1，c-a=1; 3)让此式中的k ＝2n ，便得到a=n 2-1,b=2n,c=n 2+1,)1( n P 这正是第二组； 以上五组是我在教学和辅导中见到的公式，下面我再试写几组： ＜六＞、当第五组中的k=4n 时，有a=4n,b=4n 2-1,c=4n 2+1,(n>0),这说明它与第五组是是特殊与一般的关系 1）a 是4的k 倍； 2）这是一组一偶二奇的勾股数组； 3）c-b=2,c 比b 大2； ＜七＞、当第一组中的m=n+2时，有a=4(n+1),b=2n 2+4n,c=2n 2+4n+4,(n>0),这说明它与第一组是是特殊与一般的关系 ＜八＞、当第一组中的m=2n+1时，有a=3n 2+4n+1,b=4n 2+2n,c=5n 2+4n+1,(n>0),这说明它与第一组是是特殊与一般的关系 当然我们还可以写出很多的勾股公式来，这里不在举例了。

关于勾股数计算的两个新公式

关于勾股数计算的两个新公式 庄严庄宏飞 （辽阳铁路器材厂辽阳 111000） 摘要：本文提出并证明了勾股数通解公式、勾股数再生公式，实现了全部勾股数的定a直求，这种只用算术运算就能得到三元二次方程a2+b2=c2有全部理数解的方法，简单方便，易教易学，具有特殊的实用价值和理论义意。 关键词: 勾股数勾股数通解公式勾股数再生公式增元求解法同差直角三角形 1.引言 勾股定理是数学中一个即普通又非常重要的定理，它总结表述出了直角三角形三边a，b，c的边长关系是：a2+b2=c2。西方人把这个定理称为毕达哥拉斯（Pythagoras）定理[1]，它大约在公元前5世纪由古西腊学者毕达哥拉斯提出。而我国的商高在公元前11世纪时就已对勾股定理进行了论证应用[2]，所以在我国，勾股定理又称做商高定理。由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方关系，人们归纳出了勾股定理的一般方程：x2+y2=z2。这里，如果x、y、z是非零正整数的话，上述方程实际上就是一个求非零正整数解的不定方程。人们通常又把上述不定方程的非零正整数解称为勾股数组，比如（3，4，5），（7，24，25）。（8，15，17）等等，都是勾股数组。围绕如何求得勾股数组，古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的法则公式。 它们分别是： 毕达哥拉斯法则：x=2n+1，y=2n2+2n，z=2n2+2n+1；（其中n为≥1正整数） 柏拉图(Plato)法则：x=2ｍ，y=ｍ2-1，z=ｍ2+1；（其中ｍ为≥2的正整数) [3] 欧几里得(Euclid)法则：x=mn，y=21(ｍ-n），z=21(ｍ+n）；（其中ｍ、n同奇偶，并 且ｍn为完全平方数)[4] 丢番图(Diophantus)法则： x=ｍ+mn 2；（其中2ｍn为完 2，y=n+mn 2，z=ｍ+n+mn 全平方数)[5] 但其中较便捷的方法当属我国清代数学家罗士琳提出的勾股数法则[6]： 取ｍ、n为任意正整数，并且ｍ＞n，则下式： x=ｍ2-n2 { y=2ｍn z=ｍ2+n2 中的x、y、z必然是勾股数组，满足x2+y2=z2。 在以上的各种法则中，毕达哥拉斯法则可求得部分x为奇数的勾股数，柏拉图法则可求得部分x为偶数的勾股数，欧几里得法则、丢番图法则在计算时需要对x2进行合数因子分解，需要求得二元不定方程未知数ｍ、n的全部不定解，因而常人难以掌握应用；而罗世琳法则也不能求得全部勾股数组。例如，当（x=9，y=12，z=15）时，在罗世琳法则中找不到相应的ｍ、n。时至今日，熟练自由地学习掌握运用勾股定理，仍然是大多数人心中可望所不可及的知识梦想。所以，寻找一个通用法则，通过直观简单的计算就能够一个不漏的求得方程x2+y2=z2的全部非零正整数解，进而找到不同勾股数组中x、y、z的内在联系，仍然是勾股数性质研究中需要解决的难点问题。 本文以直角三角形三边a，b，c的边长关系为切入点，提出了求算平方整数解(勾股数)的两个新公式: “勾股数通解公式”, “勾股数再生公式”,为平方整数解问题建立了新理论。

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理 我们知道，如果/ C=90°, a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2;反之，若三角形的三边 a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边.与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2, 则称a、b、c为勾股数，记为(a, b, c).勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 (3, 4, 5 )是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为( X—1, x, x+1 )，则由勾股数的定义，得(x+1) 2+x2= (x+1) 2,解得x= 4或x =0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5) ;类似有3n,4n,5n (n是正整数)都是勾股 数。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：(5,12,13) , ( 9,4 0,4 1 ) ,( 1 1 3,6 3 3 8,6 3 8 5 ) ，…，都是勾股数，如此许许 多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ 2 2 a=2n+1,b=2n +2n,c=2n +2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为1). 分别取n= 1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5 ) , ( 5,1 2,1 3 ) , ( 7,2 4,2 5 )，… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道(2 0,2 1,2 9 ) , (119,120,169) ,(4059,4060,5741)…，这些都是 前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：(x, x+1, 2x22x 1 ) (x为正整数)。 设前两数为连续整数的勾股数组为( x, x+1, y), y= . 2x22x1则x2亠〔X ? 1 ? = y2(*) 整理，得2x2+2x +1 = y2，化为(2x +1 2_2y2= —1，即(2x + 1 + J2y )(2x + 1 _V2y = —1, 又12^2 =—1,「. 12 2" 1 1 一... 2 " 1= —1(n - N), 故取2x 1 + <2y = 1+^2$ ,(2x+1-j2y =(1-塔2), 解之，得x= 1〔1「.2201+ 1「22n1—2〕，y=^〔1 ,22n1- - .J2"1〕， 4 4 故前两数为连续整数的勾股数组是( 1〔 1 ..22n1+ 1「22n1—2〕，1〔1,22n l ^...22n1- 4 4 2〕+1, 2〔 1 .显対1—1-..22n1〕). 4 四、后两数为连续奇数的勾股数 2 2 如(8 , 15, 17), (12 , 35, 37)…其公式为：4(n+1),4(n+1) -1,4(n+1) +1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m2—1,c=m2+1 (m大于1 的整数). 2.a= 1(mi—n2) ,b=mn,c= —(吊+n2)(其中m>n且是互质的奇数). 2 2 3.a=2m,b=m —n ,c=m + n (m>n,互质且一奇一偶的任意正整数) 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5 ; 5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25 ;8 15 17 ;9 12 15 ;9 40 41 ;10 24 26 ;11 60 61 ;12 16 20 ; 12 35 37; 13 84 85; 14 48 50; 15 20 25;15 36 39;15 112 113; 16 30 34 ; 16 63 65 17 144 145; 18 24 30; 18 80 82; 19 180181 ;20 21 29; 20 48 52 ; 20 99 101; 21 28 35 21 72 75; 21 220 221 ; 22 120 122 ; 23 264 265 ;24 32 40;24 45 51 ; 24 70 74 ; 24 143 145