东南大学高等数学B 06-07-3高数(B)期末参考答案

06-07-3高数B

一。填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)

1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则

03x =-，01y =-，03z =；

2．已知三角形ABC ?的顶点坐标为(0,1,2),(3,4,5),(6,7,8)A B C -，则ABC ?

的面积为

3． 曲线2222

10

25

x y y z ?+=??+=??在点(1,3,4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为1213； 4．函数2u xyz =在点(1,1,1)处沿方向2=++e i j k

5.

交换积分次序

2110

11

d (,)d x x f x y y --=?

?

；

6．设{

},,,x y z r ==

r 3div

0r

=r

； 7. 设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分22d d 0C

x y x xy y +=?

； 8.设2

()e x f x =，则(2)

(2)!

(0)!

n n f

n =

； 9．设0,0

()1,0x f x x x ππ

-<≤?=?

+<≤?，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则

(3)S π=

12

π

+； 10．使二重积分

()2

244d D

x

y σ--??的值达到最大的平面闭区域D 为

221(,)14x y x y ??+≤?

???

.

二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分

()2

2d D

x

y y σ+-??，其中D 为由1

,2

y x y x ==

及2y =围成的区域. 解

()()2

222222320

01032d d d d 33y y

D

x y y y x y y x y y y σ??+-=+-=-= ?

??

????? 12

．计算三重积分

z

v Ω

，其中Ω是yoz 平面上的直线1

21,3z y y =-=以及

1z =围成的平面有界区域绕z 轴旋转一周得到的空间区域.

解

()12111

123110

123

3

e d d e d 2e e

d e 3z z

r

r v r z r πθππ--+-+Ω

??

==-=+ ???

?

??

?

三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分

d L

z s ?

，其中L 为圆锥螺线cos ,sin ,(02)x t t y t t z t t π===≤≤

解

(

)()3

3

22222

2

1d 21213

3L

z s t t ππ

π??==+=+- ????

?

14．求全微分方程2

2

(cos 21)d (3)d 0x xy x x y y +++-+=的通解.

解 22(3)(cos 21)

2x y x xy x x y

?-+?++==??，该微分方程是一个全微分方程.

采用凑微分法 2

2

(cos 1)d (3)d 2d d 0x x y y xy x x y ++-+++=,

231

d(sin 3)03

x x x y y y ++-+=

微分方程的通解为 2

3

1sin 33

x x x y y y C ++-+=.

四．（15）(本题满分9分) 求函数(,)f x y xy =在圆周22(1)1x y -+=上的最大值和最小值.

解 令 22(,,)(2)F x y xy x y x λλ=++-,

解方程组222(1)0,20,20x y F y x F x y F x y x λλλ=+-==+==+-=,得三组解

33(0,0,0),,,22?? ????

.显然(0,0)不是f 在圆周上的极值点,因此f 不能在该点取得最大值和最小值.又f 在圆周上必有最大值和最小值,且只能在

32? ??

和3,2? ??上取得.

故max 32f f ?== ??

min

3,2f f ?== ??

. 五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 {}

33333

(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求

该流体流过由上半球面1z =

z =

所围立体表面的外侧

的流量. 解 3

3333()d d ()d d 2d d S

S

y

z y z z x z x z x y Φ=

?=-∧+-∧+∧????V dS

22cos 2

2

440

6d 6d cos sin d d 9z v π

π

θ?θθθρρπΩ

===??????

六．（17）(本题满分9分)

计算曲线积分(

(

)ln d x y xy x y ++?

，

其中Γ

是曲线1y =

上从点(1,2)A 到点(0,1)C 的部分.

解 记点(0,2)B ，补上两线段,CB BA ，以,,CB BA Γ为边界的区域记为σ，由Green 公式得

(

(

)

221

ln d d d ln d x y xy x y y x y y y y x σ

++=---?

????

22213(1)d 2ln 22ln(12ln 242

y y y =---+--++?

(

(313172ln 12ln 130460=-

+-+=-+ 七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：

1

1

100

()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--???

证明 所证不等式等价于不等式：1

11000

()

d (1())d ()d 1()f x x f x x f x x f x -≥-???，而 1

1110000()()

d (1())d d (1())d 1()1()f x f x x f x x x f y y f x f x -=---???? 1

100()1()()()()()()d (1())d d 1()21()1()D f y f x f x f y f y f x f y y f x x f y f x f y σ??--=-=+ ?---???

??? 1(()())(1()())4()()

d 2(1())(1())

D f x f y f x f y f x f y f x f y σ++-=

--?? 2

1(()())(1()())(()())d 2(1())(1())

D f x f y f x f y f x f y f x f y σ++-+≥--?? 101(()())(1())(1())1

d (()())d ()d 2(1())(1())2D D

f x f y f x f y f x f y f x x f x f y σσ+--=

=+=--????? 其中 [0,1][0,1]D =?