2016年安徽省江南十校高三联考数学试题
2016年安徽省“江南十校”高三联考
数学试题（理科）
第I 卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{}
2
2530A x x x =--≤，{}
2B x Z x =∈≤，则A B ?中的元素个数为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
（2）若复数z 满足11z i i i -=-+（），则z 的实部为
(A)
(B) 1 (C) 1
（3）“=0a ”是“函数1
()sin f x x a x
=-
+为奇函数”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
（4）已知l 是双曲线22
:124
x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ?=
，则P 到x 轴的距离为
(B)
(C)2 (D)
（5）在平面直角坐标系xOy 中，满足2
2
1,0,0x y x y +≤≥≥的点(,)P x y 的集合对应的平
面图形的面积为
4
π；类似的，在空间直角坐标系O xyz -中，满足222
1x y z ++≤，0,0,0x y z ≥≥≥的点(,,)P x y z 的集合对应的空间几何体的体积为
(A)
8
π (B)
6
π (C)
4
π
(D)
3
π （6）在数列}{n a 中，12n n a a +-=，n S 为}{n a 的前n 项和.若1050S =，则数列1{}n n a a ++
的前10项和为 (A)100
(B)110
(C)120
(D)130
（7）设D 是ABC ?所在平面内一点，2AB DC =
，则
(A)12BD AC AB =-
(B)12
BD AC AB =-
(C)32BD AC AB =-
(D)32
BD AC AB =-
（8）执行如图所示的程序框图，如果
输入的50t =，则输出的n =
(A)5 (B)6
(C)7
(D)8
（9）已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ω?ω?=+><
的最小正周期为4π，且对x R ?∈，有
()()3f x f π
≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是
(A)2(,0)3π- (B)(,0)3π- (C)2(
,0)3π (D)5(,0)3
π （10）若,x y 满足约束条件230,40,1,2
x y x y y x ?
?-≥?
+-≤???≥?则z y x =-的取值范围为
(A) []2,2-
(B) 1,22??
-????
(C) []1,2- (D) 1,12??
-
????
（11）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表
面积为
(A) 416π++(B)
516π++
(C) 416π++(D)
516π++
（12）已知函数2
1()ln 2
f x a x x bx =-
+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为 (A)3
e -
(B)2
e - (C)e - (D)1e
-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生
育二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，
30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N = . （14）5
(2)x y -的展开式中，2
3
x y 的系数为 .
（15）椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P Q 、
两点，若=PQ a ，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为 .
（16）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ，2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使
得不等式2
2
20n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. (17)(本小题满分12分)
D
侧视图
3
2
正视图
俯视图
如图，平面四边形ABCD
中，AB =
AD =
CD =，30CBD ∠= ，120BCD ∠= ，求
（Ⅰ）ADB ∠；
（Ⅱ）ADC ?的面积S .
(18)(本小题满分12分)
如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯
形，//EF BD ，1
2
EF BD =
，平面⊥EFBD 平面ABCD . （Ⅰ）证明：DE //平面ACF ;
（Ⅱ）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值.
(19)(本小题满分12分)
第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知
甲、乙猜中国代表团的概率都为
45，丙猜中国代表团的概率为3
5
，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .
C
A
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线2
:2C y px =经过点(2,2)M ，C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线1l 经过点N 且垂直于x 轴.
（Ⅰ）求线段ON 的长；
（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线
MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由.
(21)(本小题满分12分)
已知函数2
()=21x
f x e ax ax +--. （Ⅰ）当1
=
2
a 时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设函数()()g x f x '=，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.
中国
俄罗斯
1 2 3 4 5
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.
(22)(本小题满分10分) 选修4-1 :几何证明选讲
如图，过O 外一点E 作O 的两条切线EA EB 、，其中A B 、为切点，BC 为O 的一条直径，连CA 并延长交BE 的延长线于D 点. （Ⅰ）证明：ED BE =；
（Ⅱ）若3AD AC =,求:AE AC 的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，），（），，（3
3233π
πB A ，圆C 的方程为θρcos 2=
（Ⅰ）求在平面直角坐标系xOy 中圆C 的标准．．方程； （Ⅱ）已知P 为圆C 上的任意一点，求ABP ?面积的最大值.
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数12)(--=x x x f ，记1)(->x f 的解集为M . （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）已知M a ∈,比较12
+-a a 与a
1
的大小.
O
A
C
2016年安徽省“江南十校”高三联考 数学（理科）试题参考答案与评分标准
（1）B 【解析】132A x x ??
=-
≤≤????
，{}0,1,2A B ?=，A B ?中有3个元素，故选B
（2）A 【解析】由11z i i i -=-+（），得z =
==，
z 的实部为
1
2
，故选A （3）C 【解析】()f x 的定义域为{}
0x x ≠，关于原点对称 当=0a 时，1()sin f x x x
=-
， 111
()sin()sin (sin )()()f x x x x f x x x x
-=--
=-+=--=--，故()f x 为奇函数； 反之，当1
()sin f x x a x
=-
+为奇函数时，()()0f x f x -+= 又11
()()sin()sin 2()f x f x x a x a a x x
-+=--
++-+=-，故=0a 所以“=0a ”是“函数1
()sin f x x a x
=-
+为奇函数”的充要条件，故选C
（4）C 【解析】12(F F ，不妨设l 的方程为y =，设00()P x
由2
1200000(,),)360PF PF x x x ?=?=-=
得0x =P 到x 02=，故选C
（5）B 【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，1为半径的球位于第一卦限的部分，体
积为314183
6
π
π??=
，故选B
（6）C 【解析】1{}n n a a ++的前10项和为12231011a a a a a a +++++=
12101112()a a a a a +++- 102102120S =+?=，故选C
（7）D 【解析】1322
BD AD AB AC CD AB AC AB AB AC AB =-=+-=--=-
，故
选D
（8）B 【解析】第一次运行后1,3,2===n a s ；第二次运行后2,5,5===n a s ；第三次运行后3,9,10===n a s ；第四次运行后4,17,19===n a s ；第五次运行后
5,33,36===n a s ；第六次运行后6,65,69===n a s ；此时不满足t s <，输出6=n ，
故选B
（9）A 【解析】由)sin()(?ω+=x x f 的最小正周期为π4，得21=ω.因为()()3
f x f π
≤恒成立，所以max ()()3f x f π
=，即
12()232
k k Z ππ?π?+=+∈，由2π
?<，得3π?=，故
)321sin()(π+=x x f .令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z π
π=-∈，故()f x 的对称
中心为))(0,322(Z k k ∈-ππ，当0=k 时，()f x 的对称中心为)0,3
2(π-，故选A （10）B 【解析】作出可行域，设直线:l y x z =+，平移直线l ，易知当l 过30x y -=与
40x y +-=的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线2
12
y x =
相切时z 取得最小值 由212
z y x
y x =-???=??，
消去y 得：2
220x x z --=，由480z ?=+=，得12z =-，故122z -≤≤，故选B
（11）D 【解析】由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为16242=??，两个底面面积之和为32322
1
2=???；半圆柱的侧面积为ππ44=?，两个底面面积之和为ππ=???
212
1
2，所以几何体的表面积为32165++π，故选D
（12）A 【解析】2()a x bx a
f x x b x x
-++'=-+=
因为()f x 存在极小值，所以方程20x bx a -++=有两个不等的正根
故12122
+0
040
x x b x x a b b a ?=>?
?=->?>???=+>?由()0f x '=
得1x =
2x =，分析易得()f x 的极小值点为1x ，
因为b >
1x ==
2
11111()=()ln 2
f x f x a x x bx =-
+极小值 2221111111
ln ln 22
a x x x a a x x a =-
+-=+-
设2
1()ln (02
g x a x x a x =+
-<<，则()f x 的极小值恒大于0等价于()g x 恒大于0 因为2
()0a a x g x x x x
+'=+=
<，所以()g x
在单调递减
故3
()02
g x g a a >=≥，解得3a e ≥-，故3min a e =-，故选A （13）200【解析】由题意可得
360060
=2400+3600+6000N
，故200N = （14）40-【解析】2
3
x y 的系数为40)1(2323
5-=-??C
（15）
5
【解析】不妨设点P 在第一象限，由对称性可得22PQ a OP ==，因为AP PQ ⊥在Rt POA ?中，1cos 2
OP POA OA ∠=
=，故60POA ∠=
，易得1()4P a ，代入椭圆方程得：116316122=+b a ，故2222
55()a b a c ==-，所以离心率5
52=e （16）21t -<≤-或1
12t ≤<【解析】2n ≥时， 11(1)22
n n n n n n a na a S S --+=-=- 整理得
1
1
n n a a n n -=-，又1=1a ，故n a n = 不等式2220n n a ta t --≤可化为：22
20n tn t --≤
设22()2f n n tn t =--，由于2
(0)20f t =-≤，由题意可得
2
2
(1)120
(2)4220
f t t f t t ?=--≤??=-->??，解得21t -<≤-或112t ≤< (17) 【解析】（Ⅰ）在BCD ?中，由正弦定理得：
sin 3sin CD BD BCD CBD =
?∠==∠， …………………2分
在ABD ?中，由余弦定理得：
222
cos 2AD BD AB ADB AD BD
+-∠=
?
==
…………………4分 所以45ADB ∠= …………………6分 （Ⅱ）因为30CBD ∠= ，120BCD ∠= ，所以30CDB ∠=
因为sin sin(4530)ADC ∠=+= …………………8分 所以1
sin 2
S AD CD ADC =
??∠
12=
?=
…………………12分 （18）【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF
由BD EF BD EF 2
1
,//=，得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED // …………………3分 又?ED 平面ACF ,?OF 平面ACF 所以DE //平面ACF
…………………6分
（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AM AO ⊥ 平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ? BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,
故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分 取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =?+?梯形1
32
OP =??= 所以2=
OP .由122PF OB ==，得2
BF OF ===
C
因为11
22
FOB S OB OP OM BF ?=?=?
所以OB OP OM BF ?=
=
，故AM == …………………10分 所以2
cos 3
OM AMO AM ∠=
= 故二面角A BF D --的余弦值为2
3
…………………12分 方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，故OP ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，
分别以OA ，OB ，OP
的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.
因为1()2EFBD S EF BD OP =?+?
梯形1
32
OP =??= 所以2=
OP , )2,2
20(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，F C B A -
因此((0,2
AB BF ==- …………………8分
设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =
由00
n AB n BF ??=?
??=??
，得0
02
y ?+=??-+=??，令1z =，则(2,2,1)n = 因为AO BD ⊥，所以AO ⊥平面EFBD ，
故平面BFD
的法向量为OA =
…………………10分
于是2
cos ,3
OA n OA n OA n ?<>==
=?
C
由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D --的余弦值为
2
3
…………………12分
(19) 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下
…………………3分
通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的
平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散。
…………………6分 （Ⅱ）解：X 的可能取值为0,1,2,3，设事件A B C 、、分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则
2432
(0)()()()(1)(1)55125
P X P A P B P C ==??=-?-=
(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1
224434319(1)(1)(1)55555125
C =??-?-+-?=
(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++21
2
4344356()(1)(1)55555125
C =?-+??-?= (3)()()()P X P A P B P C ==??24348
()55125
=?=
故X 的分布列为
…………………10分
21956481101231251251251255
EX =?
+?+?+?=
…………………12分 (20) 【解析】（Ⅰ）由抛物线2
:2C y px =经过点(2,2)M ，得
224p =，故1p =，C 的方程为22y x = ………………2分
C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y =，则y '=
中国
俄罗斯
1 2 3 4 5
6 8 2 8 1
4 3 7 6 2
故C 在点M 处的切线斜率为
12，切线的方程为1
2(2)2
y x -=- 令0y =得2x =-，所以点N 的坐标为(2,0)-
故线段ON 的长为2 ………………5分 （Ⅱ）2l 恒过定点(2,0)，理由如下：
由题意可知1l 的方程为2x =-，因为2l 与1l 相交，故0m ≠ 由2:l x my b =+，令2x =-，得2b y m +=-，故2
(2,)b E m
+-- 设1122(,),(,)A x y B x y
由22x my b y x
=+??=? 消去x 得：2
220y my b --= 则122y y m +=，122y y b ?=- ………………7分 直线MA 的斜率为
1121112222222y y y x y --==-+-，同理直线MB 的斜率为22
2
y + 直线ME 的斜率为
2
24
b m ++
因为直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，所以
122
222
22122
42b b m y y m
++
++=?=+++ 即
1212121212122(4)42
112()42()42y y y y b y y y y y y y y m
++-+=+=+
++++++ ………………10分 整理得：
22
222b b m b m
++=
-+， 因为2l 不经过点N ，所以2b ≠- 所以222m b m -+=，即2b =
故2l 的方程为2x my =+，即2l 恒过定点(2,0) ………………12分 (21) 【解析】（Ⅰ）当=1a 时， ()=1x
f x e x '+-
易知()f x '在R 上单调递增，且(0)0f '=， ………………2分
因此，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>
故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增 …………………5分 （Ⅱ）由条件可得()22x g x e ax a =+-，()2x g x e a '=+ （i ）当0a =时，()0x
g x e =>，()g x 无零点 （ii ）当0a >时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增
(0)12,(1)0g a g e =-=>
①若120a -<，即1
2
a >时，(0)120g a =-<，()g x 在(0,1)上有一个零点 ②若120a -=，即1
2
a =
时，(0)0g =，()g x 有一个零点0 ③若120a ->，即1
02
a <<时，21221()102a a
a g e
a --=-<，()g x 在21,02a a -??
???
上有一个
零点 ………………8分 （iii ）当0a <时，令()0g x '>，得ln(2)x a >-；令()0g x '<，得ln(2)x a <- 所以()g x 在(),ln(2)a -∞-单调递减，在()ln(2),a -+∞单调递增，
[]min ()(ln(2))2ln(2)2g x g a a a =-=--
①若ln(2)20a --<，即2
02e a -<<时，()0g x >，()g x 无零点
②若ln(2)20a --=，即2
2
e a =-时，(2)0g =，()g x 有一个零点2
③若ln(2)20a -->，即2
2
e a <-时，(1)0g e =>，(ln(2))0g a -<，()g x 在()
1,ln(2)a -有一个零点； ………………10分 设2
()(1)x
h x e x x =-≥，则()2x
h x e x '=-，设()2x
u x e x =-，则()2x
u x e '=-， 当1x ≥时，()220x
u x e e '=-≥->，所以()()u x h x '=在[1,)+∞单调递增，
()(1)20h x h e ''≥=->，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，()(1)10h x h e ≥=->，即1
x >时，2x e x >，故2
()22g x x ax a >+- 设()ln (1)k x x x x =-≥，则11()10x k x x x
-'=
-=≤，所以()k x 在[1,)+∞单调递减， ()(1)10k x k ≤=-<，即1x >时，ln x x <
因为2
2
e a <-时，221a e ->>，所以ln(2)2a a -<-，
又2(2)(2)2(2)220g a a a a a a ->-+--=->，()g x 在()ln(2),2a a --上有一个零点，故()g x 有两个零点
综上，当2
2e a <-时，()g x 在()1,ln(2)a -和()ln(2),2a a --上各有一个零点，共有两个零
点；当22e a =-时，()g x 有一个零点2；当202e a -<≤时，()g x 无零点；当1
02
a <<时，
()g x 在21,02a a -??
???上有一个零点；
当12a =时，()g x 有一个零点0；当12a >时，()g x 在(0,1)上有一个零点。 ………………12分
(22) 【解析】（Ⅰ）连接AB 、OE ，因为EA 、EB 为圆O 的切线，所以OE 垂直平分AB
又BC 为圆O 的直径，所以CD AB ⊥，所以CD OE //
又O 为BC 的中点，故E 为BD 的中点，所以ED BE = ………………5分
（Ⅱ）设(0)AC t t =>，则3AD t =，4CD t =
在Rt BCD ?中，由射影定理可得：2212BD DA DC t =?=
BD ∴=，在Rt ABD ?
中，1
2
AE BD =
= :AE AC ∴
………………10分
(23) 【解析】（Ⅰ）由θρcos 2=，可得：θρρcos 22
=，所以x y x 22
2
=+ 故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：11-2
2
=+y x ）（ ………………5分
（Ⅱ）在直角坐标系中）
，
（），，（2
3
323330B A O
A
C
E
D
.
所以3)332
33()023(22=-+-=
AB ，直线AB 的方程为：333=+y x 所以圆心到直线AB 的距离34
333=-=
d ，又圆C 的半径为1，
所以圆C 上的点到直线AB 的最大距离为13+
故ABP ?面积的最大值为2
3
3331321
+=
?+=）（S ………………10分 (24) 【解析】（Ⅰ）??
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???
≥+-<<-≤-=--=21,1210,130,112)(x x x x x x x x x f
由1)(->x f ，得???->-≤110x x 或?????->-<<113210x x 或?????
->+-≥
1
12
1x x 解得：20< 故{02}M x x =<< ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知20< 因为a a a a a a a a a a ) 1)(1(1112232 +-=-+-=-+- 当10< 0)1)(1(2<+-a a a ，所以a a a 1 12<+- 当1=a 时， 0)1)(1(2=+-a a a ，所以a a a 1 12=+- 当21< 0)1)(1(2>+-a a a ，所以a a a 1 12>+- 综上所述：当10< a a 112 < +- 当1=a 时，a a a 112 =
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