河北省2017中考数学复习滚动小专题九圆中的简单计算与证明试题

滚动小专题(九) 圆中的简单计算与证明

类型1 与垂径定理有关的计算与证明

1．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A ，B ，C ，其中点B 坐标为(4，3)．

(1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D 的坐标(2，－1)；

(2)⊙D 的半径为

(3)求ABC ︵的长(结果保留π)．

解：(1)如图，作线段AB 与BC 的垂直平分线，交点即为点D ，∴圆心D 的坐标为(2，－1)．

(2)连接AD ，则AD ＝AE 2＋DE 2

＝2 5.

(3)过点D 作DF ⊥AO 延长线于点F ，过点C 作CG ⊥FD 于点G.连接CD.在△ADF 和△DCG 中，DF ＝CG ＝2, ∠AFD ＝∠DGC ＝90°，AF ＝DG ＝4，

∴△ADF ≌△DCG(SAS)．∴∠ADF ＝∠DCG.

∵∠DCG ＋∠CDG ＝90°，

∴∠ADF ＋∠CDG ＝90°，即∠ADC ＝90°.

∴lABC ︵＝90180

π×25＝5π.

2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD ＝16，点M 在⊙O 上，MD 经过圆心O ，连接MB.

(1)若BE ＝8，求⊙O 的半径；

(2)若∠DMB ＝∠D ，求线段OE 的长．

解：(1)∵AB ⊥CD ，CD ＝16，

∴CE ＝DE ＝8.

设OB ＝x.

又∵BE ＝4，∴x 2＝(x －4)2＋82，解得x ＝10.

∴⊙O 的直径是20.

(2)∵∠M ＝12

∠BOD ，∠M ＝∠D ， ∴∠D ＝12

∠BOD. ∵AB ⊥CD ，∴∠D ＝30°.

∴tanD ＝OE DE ＝33.∴OE ＝33DE ＝833

.

3．如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A ，B 和C ，D ，连接OA ，此时有OA ∥PE.

(1)求证：AP ＝AO ；

(2)若tan ∠OPB ＝12，求AB.

解：(1)证明：∵PG 平分∠EPF ，

∴∠DPO ＝∠BPO.

∵OA ∥PE ，

∴∠DPO ＝∠POA.

∴∠BPO ＝∠POA.

∴PA ＝OA.

(2)过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝HB ＝12AB.

∵tan ∠OPB ＝OH PH ＝12，∴PH ＝2OH.

设OH ＝x ，则PH ＝2x.

由(1)可知PA ＝OA ＝10，

∴AH ＝PH －PA ＝2x －10.

∵AH 2＋OH 2＝OA 2，

∴(2x －10)2＋x 2＝102, 解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝8.

∴AH ＝6.

∴AB ＝2AH ＝12.

类型2 与切线相关的证明与计算

4．(2016·资阳)如图，在⊙O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为D ，连接BD.

(1)求证：∠A ＝∠BDC ；

(2)若CM 平分∠ACD ，且分别交AD ，BD 于点M ，N ，当DM ＝1时，求MN 的长．

解：(1)证明：连接OD.

∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠ADB ＝90°，即∠A ＋∠ABD ＝90°.

又∵CD 与⊙O 相切于点D ，

∴∠CDB ＋∠ODB ＝90°.

∵OD ＝OB ，∴∠ABD ＝∠ODB.

∴∠A ＝∠BDC.

(2)∵CM 平分∠ACD ，∴∠DCM ＝∠ACM. 又∵∠A ＝∠BDC ，

∴∠A ＋∠ACM ＝∠BDC ＋∠DCM ，即∠DMN ＝∠DNM.

∴DN ＝DM ＝1.

又∵∠ADB ＝90°，∴MN ＝DM 2＋DN 2＝ 2.

5．(2016·南充)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心OC 为半径作半圆．

(1)求证：AB 为⊙O 的切线；

(2)如果tan ∠CAO ＝13，求cosB 的值．

解：(1)证明：作OM ⊥AB 于点M.

∵OA 平分∠CAB ，OC ⊥AC ，OM ⊥AB ，

∴OC ＝OM.

∴AB 是⊙O 的切线．

(2)设BM ＝x ，OB ＝y ，则y 2－x 2＝1.①

由(1)知AC ，AM 均为⊙O 切线，

∴AC ＝AM.

∵tan ∠CAO ＝OC AC ＝13.

∴AC ＝AM ＝3.

∵cosB ＝BM OB ＝BC AB ，

∴x y ＝y ＋1x ＋3，即x 2

＋3x ＝y 2＋y.②

由①②可以得到y ＝3x －1.

∴(3x －1)2－x 2＝1，解得x ＝34，y ＝54.

∴cosB ＝x y ＝35.

6．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠A FB ＝∠ABC.

(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；

(2)若CD ＝23，OP ＝1，求线段BF 的长．

解：(1)证明：∵∠AFB ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠ADC ，

∴∠AFB ＝∠ADC.

∴CD ∥BF.

又∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF.

∴直线BF 是⊙O 的切线．

(2)连接OD.

∵CD ⊥AB ，

∴PD ＝12

CD ＝ 3. ∵OP ＝1，∴OD ＝OP 2＋PD 2

＝2.

又∵CD ∥BF ，∴△APD ∽△ABF.

∴AP AB ＝PD BF ，即34＝3BF .∴BF ＝43 3.

7．(2016·威海)如图，在△BCE 中，点A 是边BE 上一点，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点D ，AD ∥OC ，点F 为OC 与⊙O 的交点，连接AF.

(1)求证：CB 是⊙O 的切线；

(2)若∠ECB ＝60°，AB ＝6，求图中阴影部分的面积．

解：(1)证明：连接OD ，与AF 相交于点G.

∵CE 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CE ，即∠CDO ＝90°.

∵AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠DOC ，∠DA O ＝∠BOC.

又∵OA ＝OD ，

∴∠ADO ＝∠DAO.∴∠DOC ＝∠BOC.

又OD ＝OB ，CO ＝CO ，∴△CD O ≌△CBO(SAS)．

∴∠CBO ＝∠CDO ＝90°.∴CB 是⊙O 的切线．

(2)由(1)可知∠DCO ＝∠B CO ，∠DOC ＝∠BOC ，

∵∠ECB ＝60°，∴∠DCO ＝12

∠ECB ＝30°. ∴∠DOC ＝∠BOC ＝60°.∴∠AOD ＝60°.

∵OA ＝OD ，

∴△OAD 是等边三角形．∴AD ＝OD ＝OF.

∵∠DOC ＝∠ADO ，∠FGO ＝∠AGD ，

∴△ADG ≌△FOG(AAS)．

∴S △ADG ＝S △FOG .

∵AB ＝6，∴⊙O 的半径为3.

∴S 阴影＝S 扇形ODF ＝60π×33360＝32π.