【VIP专享】Softmax回归

Softmax回归

重庆大学杨钰源

1.引言

该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签可以取两个以上的值。Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，后面也会介绍它与深度学习/无监督学习方法的结合。

在logistic回归中，训练集由个已标记的样本构成：

，其中输入特征。假定特征向量的维度为，其中对应截距项。由于logistic回归是

针对二分类问题的，因此类标记。假设函数(hypothesis function)如下：

训练模型参数能够使代价函数最小化。代价函数如下：

在softmax回归中，解决的是多分类问题（相对于logistic回归解决的二分类问题），类标可以取个不同的值（而不是2个）。因此，对于训练

集，我们有。例如，

在MNIST数字识别任务中，有个不同的类别。

对于给定的测试输入，用假设函数针对每一个类别j估算出概率值

。也就是估计的每一种分类结果出现的概率。因此，假设函数将要输出一个维的向量（向量元素的和为1）来表示这个估计的概率值。具体地说，假设函数形式如下：

其中是模型的参数。这一项对概率

分布进行归一化，使得所有概率之和为1。

为了方便起见，同样使用符号来表示全部的模型参数。在实现Softmax

回归时，将用一个的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将按行罗列起来得到的，如下所示：

2.Softmax代价函数

现在来介绍softmax回归算法的代价函数。在下面的公式中，是示性函数，其取值规则为:

值为真的表达式,值为假的表达式。

Softmax代价函数为：

logistic回归代价函数可以改为：

可以看到，Softmax代价函数与logistic代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的个可能值进行了累加。在Softmax回归

中将分类为类别的概率为：

.

对于的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或L-BFGS）。经过求导，得到梯度公式如下：

回顾一下符号""的含义。本身是一个向量，它的第个元

素是对的第个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化。例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新:(）。

当实现softmax回归算法时，通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是和权重衰减(weight decay)一起使用。接下来介绍使用它的动机和细节。

3.Softmax回归模型参数化的特点

Softmax回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于

阐述这一特点，假设从参数向量中减去了向量，这时，每一个都变成了()。此时假设函数变成了以下的式子：

从中减去完全不影响假设函数的预测结果，这表明前面的softmax

回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说，Softmax模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的

是完全相同的假设函数。

进一步而言，如果参数是代价函数的极小值点，那么同样也是它的极小值点，其中可以为任意向量。因此使最小化的解不是唯一的。由于仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是Hessian矩阵是奇异

的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题。

当时，总是可以将替换为（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此可以去掉参数向量（或者其他中

的任意一个）而不影响假设函数的表达能力。实际上，与其优化全部的个参数（其中），不如令，只优化剩余的个参数，这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数，而不任意地将某一参数设置为0。但此时需要对代价函数做

一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决softmax回归的参数冗余所带来的数值问题。

4.权重衰减

通过添加一个权重衰减项来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在代价函数变为：

有了这个权重衰减项以后()，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。此时的Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和L-BFGS等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，需要求得这个新函数的导数，如下：

通过最小化，就能实现一个可用的softmax回归模型。

5.Softmax回归与Logistic回归的关系

当类别数时，softmax回归退化为logistic回归。这表明softmax回归是logistic回归的一般形式。具体地说，当时，

softmax回归的假设函数为：

利用softmax回归参数冗余的特点，令，并且从两个参数向量中都减去向量，得到:

因此，用来表示，就会发现softmax回归器预测其中一个类别的概率为，另一个类别概率的为，这与logistic回归是一致的。

6.Softmax回归vs.k个二元分类器

如果在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用softmax分类器呢，还是使用logistic回归算法建立k 个独立的二元分类器呢？

这一选择取决于类别之间是否互斥，例如，如果有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数k=4的softmax回归。（如果在数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他

类”，并将类别数k设为5。）

如果四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声。这种情况下，使用4个二分类的logistic回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品，该算法可以分别判断它是否属于各个类别。

现在看一个计算视觉领域的例子，任务是将图像分到三个不同类别中。(i)假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。会使用sofmax回归还是3个logistic回归分类器呢？(ii)现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，又会选择softmax 回归还是多个logistic回归分类器呢？

在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器。而在第二个例子中，建立三个独立的logistic回归分类器更加合适。

bsxfun:

C=bsxfun(fun,A,B)表达的是两个数组A和B间元素的二值操作，fun是函数句柄或者m文件，或者是内嵌的函数。在实际使用过程中fun有很多选择比如说加，减等，前面需要使用符号’@’.一般情况下A和B需要尺寸大小相同，如果不相同的话，则只能有一个维度不同，同时A和B中在该维度处必须有一个的维度为1。比如说bsxfun(@minus,A,mean(A))，其中A和mean(A)的大小是不同的，这里的意思需要先将mean(A)扩充到和A大小相同，然后用A的每个元素减去扩充后的mean(A)对应元素的值。

rand：

生成均匀分布的伪随机数。分布在（0~1）之间

主要语法：rand(m,n)生成m行n列的均匀分布的伪随机数

rand(m,n,'double')生成指定精度的均匀分布的伪随机数，参数还可以是'single'

rand(RandStream,m,n)利用指定的RandStream(我理解为随机种子)生成伪随机数

randn：

第10章-简单线性回归分析思考与练习参考答案

第10章 简单线性回归分析 思考与练习参考答案 一、最佳选择题 1．如果两样本的相关系数21r r =，样本量21n n =，那么（ D ）。 A. 回归系数21b b = B ．回归系数12b b < C. 回归系数21b b > D ．t 统计量11r b t t = E. 以上均错 2．如果相关系数r =1，则一定有（ C ）。 A ．总SS =残差SS B ．残差SS =回归 SS C ．总SS =回归SS D ．总SS ＞回归SS E. 回归MS =残差MS 3．记ρ为总体相关系数，r 为样本相关系数，b 为样本回归系数，下列（ D ）正确。 A ．ρ=0时，r =0 B ．|r |＞0时，b ＞0 C ．r ＞0时，b ＜0 D ．r ＜0时，b ＜0 E. |r |=1时，b =1 4．如果相关系数r =0，则一定有（ D ）。 A ．简单线性回归的截距等于0 B ．简单线性回归的截距等于Y 或X C ．简单线性回归的残差SS 等于0 D ．简单线性回归的残差SS 等于SS 总 E ．简单线性回归的总SS 等于0 5．用最小二乘法确定直线回归方程的含义是（ B ）。 A ．各观测点距直线的纵向距离相等 B ．各观测点距直线的纵向距离平方和最小 C ．各观测点距直线的垂直距离相等 D ．各观测点距直线的垂直距离平方和最小

E ．各观测点距直线的纵向距离等于零 二、思考题 1．简述简单线性回归分析的基本步骤。 答：① 绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；② 估计回归系数；③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验；④ 列出回归方程，绘制回归直线；⑤ 统计应用。 2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。 答：区别： （1）资料要求上，进行直线回归分析的两变量，若X 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布；若X 、Y 都是随机变量，则要求X 、Y 服从双变量正态分布。直线相关分析只适用于双变量正态分布资料。 （2）应用上，说明两变量线性依存的数量关系用回归（定量分析），说明两变量的相关关系用相关（定性分析）。 （3）两个系数的意义不同。r 说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度，b 表示X 每变化一个单位所导致Y 的平均变化量。 （4）两个系数的取值范围不同：-1≤r ≤1，∞<<∞-b 。 （5）两个系数的单位不同：r 没有单位，b 有单位。 联系： （1）对同一双变量资料，回归系数b 与相关系数r 的正负号一致。b ＞0时，r ＞0，均表示两变量X 、Y 同向变化；b ＜0时，r ＜0，均表示两变量X 、Y 反向变化。 （2）回归系数b 与相关系数r 的假设检验等价，即对同一双变量资料，r b t t =。由于相关系数r 的假设检验较回归系数b 的假设检验简单，故在实际应用中常以r 的假设检验代替b 的假设检验。 （3）用回归解释相关：由于决定系数2 R =SS 回 /SS 总 ，当总平方和固定时，回归平方 和的大小决定了相关的密切程度。回归平方和越接近总平方和，则2 R 越接近1，说明引入相关的效果越好。例如当r =0.20，n =100时，可按检验水准0.05拒绝H 0，接受H 1，认为两变量有相关关系。但2 R =(0.20)2=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明

多元线性回归讲解学习

简要回答题： 1. 在多元线性回归分析中，F检验和t检验有何不同？ 答案： 在多元线性回归中，由于有多个自变量，F检验与t检验不是等价的。 F检验主要是检验因变量同多个自变量的整体线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量同因变量的线性关系显著，F检验就显著，但这不一定意味着每个自变量同因变量的关系都显著。检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，以判断每个自变量对因变量的影响是否显著。 知识点：多元线性回归 难易度：1 2. 在多元线性回归分析中，如果某个回归系数的t检验不显著，是否就意味着这个自变量与因变量之间的线性回归不显著为什么当出现这种情况时应如何处理？ 答案： （1）在多元线性回归分析中，当t检验表明某个回归系数不显著时，也不能断定这个自变量与因变量之间线性关系就不显著。因为当多个自变量之间彼此显著相关时，就可能造成某个或某些回归系数通不过检验，这种情况称为模型中存在多重共线性。 （2）当模型中存在多重共线性时，应对自变量有所选择。变量选择的方法主要有向前选择、向后剔除和逐步回归等。 知识点：多元线性回归 难易度：2 计算分析题： 1. 一家餐饮连锁店拥有多家分店。管理者认为，营业额的多少与各分店的营业面积和服务人员的多少有一定关系，并试图建立一个回归模型，通过营业面积和服务人员的多少来预测营业额。为此，收集到10家分店的营业额（万元）、营业面积（平方米）和服务人员数（人）的数据。经回归得到下面的有关结果（a=）。 （2）写出多元线性回归方程。 （3）分析回归方程的拟合优度。 （4）对回归模型的线性关系进行显著性检验。

答案： （1）自变量是营业面积和销售人员数，因变量是营业额。 （2）多元线性回归方程为：。 （3）判定系数，表明在营业额的总变差中，有%可由营业额与营业面积和服务人员数 之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度较高。估计标准误差，表示用营业面积和服务人员数来预测营业额时，平均的预测误差为万元。 （4）从方差分析表可以看出，，营业额与营业面积和服务人员 数之间的线性模型是显著的。 知识点：多元线性回归 难易度：2 2. 机抽取的15家超市，对它们销售的同类产品集到销售价格、购进价格和销售费用的有关数据（单位：元）。设销售价格为y、购进价格为、销售费用为，经回归得到下面的有关结果（a=）： df SS MS F Significance F — 2 回归 残差12& 总计14 P-value Coefficients标准误差~ t Stat Intercept X Variable 1! X Variable 2 （2）计算判定系数，并解释其实际意义。 （3）计算估计标准误差，并解释其意义。 （4）根据上述结果，你认为用购进价格和销售费用来预测销售价格是否都有用请说明理由。 答案： （1）多元线性回归方程为：。偏回归系数表示：在销售费用不变的条件下，购进价格每增加1元，销售价格平均增加元；偏回归系数表示：在购进价格不变的条件下，销售费用每增加1元，销售价格平均增加元。 （2）判定系数，表明在销售价格总变差中，有%可由销售价格与购进价格和销售费用之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度一般。

统计学习题集第五章相关与回归分析(0)

所属章节： 第五章相关分析与回归分析 1■在线性相关中，若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变量数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，则称为（）。 答案： 负相关。干扰项： 正相关。干扰项： 完全相关。干扰项： 非线性相关。 提示与解答： 本题的正确答案为： 负相关。 2■在线性相关中，若两个变量的变动方向相同，一个变量的数值增加，另一个变量数值随之增加，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之减少，则称为（）。 答案： 正相关。干扰项： 负相关。干扰项： 完全相关。干扰项： 非线性相关。 提示与解答：

本题的正确答案为： 正相关。 3■下面的xx中哪一个是错误的（）。 答案： 相关系数不会取负值。干扰项： 相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量。干扰项： 相关系数是一个随机变量。干扰项： 相关系数的绝对值不会大于1。 提示与解答： 本题的正确答案为： 相关系数不会取负值。 4■下面的xx中哪一个是错误的（）。 答案： 回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是： 所检验的回归系数的真值不为0。 干扰项： 相关系数显著性检验的原假设是： 总体中两个变量不存在相关关系。 干扰项： 回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是：

所检验的回归系数的真值为0。 干扰项： 回归分析中多元线性回归方程的整体显著性检验的原假设是： 自变量前的偏回归系数的真值同时为0。 提示与解答： 本题的正确答案为： 回归分析中回归系数的显著性检验的原假设是： 所检验的回归系数的真值不为0。 5■根据你的判断，下面的相关系数值哪一个是错误的（）。 答案： 1.25。干扰项：-0.86。干扰项： 0.78。干扰项：0。 提示与解答： 本题的正确答案为： 1.25。 6■下面关于相关系数的陈述中哪一个是错误的（）。 答案： 数值越大说明两个变量之间的关系越强，数值越小说明两个变量之间的关系越弱。 干扰项：

多元线性回归实例分析

SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一） 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：

点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：

将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入） 如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）

多元线性回归模型的案例讲解

多元线性回归模型的案 例讲解 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

1. 表1列出了某地区家庭人均鸡肉年消费量Y 与家庭月平均收入X ，鸡肉价格P 1，猪肉价格P 2与牛肉价格P 3的相关数据。 年份 Y/ 千克 X/元 P 1/(元/千克) P 2/(元/千克) P 3/(元/千克) 年份 Y/ 千克 X/元 P 1/(元/千克) P 2/(元/千克) P 3/(元/ 千克) 1980 397 1992 911 1981 413 1993 931 1982 439 1994 1021 1983 459 1995 1165 1984 492 1996 1349 1985 528 1997 1449 1986 560 1998 1575 1987 624 1999 1759 1988 666 2000 1994 1989 717 2001 2258 1990 768 2002 2478 1991 843 （1） 求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型： 01213243ln ln ln ln ln Y X P P P u βββββ=+++++ （2） 请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。 先做回归分析，过程如下： 输出结果如下：

所以，回归方程为： 123ln 0.73150.3463ln 0.5021ln 0.1469ln 0.0872ln Y X P P P =-+-++ 由上述回归结果可以知道，鸡肉消费需求受家庭收入水平和鸡肉价格的影响，而牛肉价格和猪肉价格对鸡肉消费需求的影响并不显着。 验证猪肉价格和鸡肉价格是否有影响，可以通过赤池准则（AIC ）和施瓦茨准则（SC ）。若AIC 值或SC 值增加了，就应该去掉该解释变量。 去掉猪肉价格P 2与牛肉价格P 3重新进行回归分析，结果如下： Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.?? C LOG(X) LOG(P1) R-squared ????Mean dependent var Adjusted R-squared ????. dependent var . of regression ????Akaike info criterion Sum squared resid ????Schwarz criterion Log likelihood ????F-statistic Durbin-Watson stat ????Prob(F-statistic)

第十章直线相关与回归

第十章 直线相关与回归 一、教学大纲要求 （一） 掌握内容 ⒈ 直线相关与回归的基本概念。 ⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。 ⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。 （二）熟悉内容 ⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。 ⒉ 直线回归方程的应用。 ⒊ 秩相关与秩回归的意义。 （三）了解内容 曲线直线化。 二、 学内容精要 (一) 直线回归 1. 基本概念 直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression ）。 直线回归方程bX a Y +=?中，a 、b 是决定直线的两个系数，见表10-1。 表10-1 直线回归方程a 、b 两系数对比 a b 含义 回归直线在Y 轴上的截距（intercept ）。 表示X 为零时，Y 的平均水平的估计值。 回归系数（regression coefficient ），即直线的斜率。表示X 每变化一个单位时，Y 的平均变化量的估计值。 系数>0 a >0表示直线与纵轴的交点在原点的上方 b >0，表示直线从左下方走向右上方，即Y 随X 增大而增大 系数<0 a <0表示直线与纵轴的交点在原点的下方 b <0，表示直线从左上方走向右下方，即Y 随X 增大而减小 系数=0 a =0表示回归直线通过原点 b =0，表示直线与X 轴平行，即Y 不随X 的变化而变化 计算公式 X b Y a -= XX XY l l X X Y Y X X b =---= ∑∑2 )())(( 2. 样本回归系数b 的假设检验 （1）方差分析； （2）t 检验。

第十章_logit回归

第十章 logitic 回归 本章导读： Logitic 回归模型是离散选择模型之一，属于多重变数分析范畴，是社会学、生物统计学、临床、数量心理学、市场营销、会计与财务等实证分析的常用方法。 10.1 logit 模型和原理 Logistic 回归分析是对因变量为定性变量的回归分析。它是一种非线性模型。其基本特点是：因变量必须是二分类变量，若令因变量为y ，则常用y=1表示“yes ”，y=0表示“no ”。 [在发放股利与不发放股利的研究中，分别表示发放和不发放股利的公司]。自变量可以为虚拟变量也可以为连续变量。从模型的角度出发，不妨把事件发生的情况定义为y=1，事件未发生的情况定义为0，这样取值为0、1的因变量可以写作： ???===事情未发生 事情发生01y 我们可以采用多种方法对取值为0、1的因变量进行分析。通常以P 表示事件发生的概率（事件未发生的概率为1-P ），并把P 看作自变量x 的线性函数。由于y 是0-1型Bernoulli 分布，因此有如下分布： P=P （y=1|x ）：自变量为x 时y=1的概率，即发放现金股利公司的概率 1-P=P （y=0|x ）：自变量为x 时y=0的概率，即不发放现金股利公司的概率 事件发生和不发生的概率比成为发生比，即相对风险，表现为P P odds -= 1.因为是以 对数形式出现的，故该发生比为对数发生比（log odds ），表现为)1ln(P P odds -=。对数发生比也是事件发生概率P 的一个特定函数，通过logistic 转换，该函数可以写成logistic 回归的logit 模型： )1(log )(log P P P it e -= Logit 一方面表达出它是事件发生概率P 的转换单位；另一方面，它作为回归的因变量就可以自己与自变量之间的依存关系保持传统回归模式。 根据离散型随即变量期望值的定义，可得： E(y)=1(P)+0(1-P)=P 进而得到x P y E 10)(ββ+== 因此，从以上分析可以看出，当因变量的取值为0、1时，均值x y E 10)(ββ+=总是代表给定自变量时y=1的概率。虽然这是从简单线性回归分析而得，但也适合复杂的多元回归函数情况。 k k x x x itP y E ββββ++++==Λ22110log )( β0为常数项，β1，β2，…，βk 分别为k 个自变量的回归系数。 因此，logistic 模型为：

分位数回归

分位数回归及其实例 一、分位数回归的概念 分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。 传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X 的影响过程。普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE)；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M Ⅵ甩)。但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。 为了弥补普通最dx--乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression)的思想。它依据因变量的条件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状的影响。 分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。 一般线性回归模型可设定如下： ()((0)),(0,1).x t t I t ρττ=-<∈ 在满足高斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下： 01122(|)...k k E y x x x x αααα=++++ 其中u 为随机扰动项k αααα,...,,,210为待估解释变量系数。这是均值回归（OLS ）模型表达式，类似于均值回归模型，也可以定义分位数回归模型如下： 01122(|)...()y k k u Q x x x x Q ταααατ=+++++ 对于分位数回归模型，则可采取线性规划法（LP ）估计其最小加权绝对偏差，从而得到解释变量的回归系数，可表示如下： 01122min (...)x k k E y x x x ραααα----- 求解得：01122?????(|)y k k Q x a a x a x a x τ=++++ 其中，

多元线性回归实例分析报告

SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一) 多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程 为: 毫无疑问,多元线性回归方程应该 为: 上图中的 x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示: 那么,多元线性回归方程矩阵形式为: 其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样) 1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。 2:无偏性假设,即指:期望值为0 3:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等 4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示:

点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面:

将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,您也可以选择其它的方式,如果您选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入) 如果您选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该就是跟“因变量”关系最为密切,

面板数据模型的稳健分析方法研究

面板数据模型的稳健分析方法研究 在计量经济学领域,面板数据是极其重要的一类数据类型。在宏观经济的研究中,面板数据模型被广泛地应用于汇率决定理论、跨国经济增长收敛理论的检验、产业结构的分析、技术创新的研究等领域;在微观经济的研究中,面板数据模型被大量地应用于企业成本分析、就业、家庭消费等领域。 随着面板数据模型在经济领域的广泛应用,传统面板数据分析方法的某些局限性也逐渐凸显出来。首先,面板数据模型通常假定误差项服从正态分布,而实际数据很难满足这种假定,利用传统方法得到的估计可能是有偏的甚至是无效的。 其次,在数据的收集过程中,常常会由于人为因素或其他因素导致数据受到污染,即出现不合理的异常值,这样利用传统方法得到的估计与真实值可能存在较大的偏差,用这种有偏的估计结果分析经济问题会得出不合理的结论。针对这些局限性,中外学者们做了大量的工作,如构造面板数据模型的稳健估计以及研究面板数据的分位数回归模型,然而,这些方法仍存在一些不足。 首先,针对面板数据模型的稳健估计通常是利用Huber损失函数降低异常值影响,这样有两个缺点:一是稳健性不高,二是有效性较低,即估计的方差较大;其次,若面板数据的分位数回归模型中存在内生性,现有的工具变量方法计算复杂且需要估计大量的冗余参数。论文基于面板数据均值回归模型提出了一种更加稳健有效的估计方法(ELS-EL),并将此方法推广到复杂的面板数据模型如广义线性模型、部分线性模型中;此外,本文基于面板数据的分位数回归模型提出了一种两阶段的工具变量方法(2S-IVFEQR),降低了计算复杂度,并将新方法推广到动态面板数据的分位数回归模型中。 论文的主体框架分为七个章节。第一章,介绍了论文的研究背景、研究意义,

第10章相关分析与回归分析

第八章相关与回归分析 一、本章重点 1．相关系数的概念及相关系数的种类。事物之间的依存关系，可以分为函数关系和相关关系。相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。 2．相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数以及进行相关系数的推断。相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方法是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着密切的关系，得到样本相关系数后还要对总体相关系数进行科学推断。 3．回归分析，着重掌握一元回归的基本原理方法，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。用最小平方法估计回归参数，回归参数的性质和显著性检验，随机项方差的估计，回归方程的显著性检验，利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。 4．应用相关与回归分析应注意的问题。相关与回归分析都有它们的应用范围，必须知道在什么情况下能用，什么情况下不能用。相关分析和回归分析必须以定性分析为前提，否则可能会闹出笑话，在进行预测时选取的样本要尽量分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情况下才能进行，如果条件发生了变化，原来的方程也就失去了效用。 二、难点释疑 本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。为了掌握基本计算的内容，起码应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全部计算题。初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy、Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。如果能自己把这些公式推证一下，搞清其关系，那就更容易记住了。 三、练习题 （一）填空题 1事物之间的依存关系，根据其相互依存和制约的程度不同，可以分为（）和（）两种。 2．相关关系按相关关系的情况可分为（）和（）；按自变量的多少分（）和（）；按相关的表现形式分（）和（）；按相关关系的

分位数回归及其实例

LP )估计其最小加权绝对偏 分位数回归及其实例 一、分位数回归的概念 分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它 利用解释变量的多个分位数(例如四分位、十分位、百分位等)来得到被解释变 量的条件分布的相应的分位数方程。与传统的 OLS 只得到均值方程相比，它可 以更详细地描述变量的统计分布。 传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量 X 的影响过程。 普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量 X 对于因变 量y 的均值影响。如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布， 那 么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE);如果近一步随机扰动 项服从正态分布，那么回归系数的最 dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏 估计(M 切甩)。但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出 现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再 具有上述优良性且稳健性非常差。最小二乘回归假定自变量 X 只能影响因变量 的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。 为了弥补普通最dx--乘法(OLs)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression) 的思想。它依据因变量的条 件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。因此分 位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量 X 对于因变量y 局部变化的影 响而言，更能精确地描述自变量 X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状 的影响。 分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸， 用多个分 位函数来估计整体模型。中位数回归是分位数回归的特殊情况， 用对称权重解决 残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。 一般线性回归模型可设定如下： x (t) t( I(t 0)), (0,1). 在满足咼斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下: E(y|x) 0 1X 1 2X 2 ... k X k 其中U 为随机扰动项0, 1, 2，…，k 为待估解释变量系数。这是均值回归 (OLS )模型 表达式，类似于均值回归模型，也可以定义分位数回归模型如下: Q y ( |x) 1X 1 2X 2 ... k X k Q u () 对于分位数回归模型，则可采取线性规划法( 差，从而得到解释变量的回归系数，可表示如下： min E x (y 0 必 2 X2 …k Xj

第十章 多元线性回归与曲线拟合

第十章多元线性回归与曲线拟合―― Regression菜单详解（上） 回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体表面积与身高、体重有关系；等等。回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。 §10.1Linear过程 10.1.1 简单操作入门 调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法（如：逐步法、向前法、向后法，等）。 例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？ 显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。 回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。 这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到基本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。 10.1.1.1 界面详解 在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：

除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。 【Dependent框】 用于选入回归分析的应变量。 【Block按钮组】 由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。下面的例子会讲解其用法。 【Independent框】 用于选入回归分析的自变量。 【Method下拉列表】 用于选择对自变量的选入方法，有Enter（强行进入法）、Stepwise（逐步法）、Remove（强制剔除法）、Backward（向后法）、Forward（向前法）五种。该选项对当前Independent框中的所有变量均有效。

(完整版)第三章(多元线性回归模型)3-3答案

3.3 多元线性回归模型的检验 一、判断题 1、在线性回归模型中，为解释变量或者被解释变量重新选取单位（比如，元变换成千元），会影响t 统计量和 2R 的数值。（ F ） 2、在多元线性回归中，t 检验和F 检验缺一不可。 （ T ） 3、回归方程总体线性显著性检验的原假设是模型中所有的回归参数同时为零。 （ F ） 4、多元线性回归中，可决系数2R 是评价模型拟合优度好坏的最佳标准。 （ F ） 二 、单项选择 1、在模型0112233t t t t t Y X X X ββββμ=++++的回归分析结果中，有462.58F =， 0.000000F p =的值，则表明 （ C ） A 、解释变量2t X 对t Y 的影响不显著 B 、解释变量1t X 对t Y 的影响显著 C 、模型所描述的变量之间的线性关系总体上显著 D 、解释变量2t X 和1t X 对t Y 的影响显著 2、设k 为回归模型中的实解释变量的个数，n 为样本容量。则对回归模型进行总体显著性 检验(F 检验)时构造的F 统计量为 （ A ） A 、1)ESS k F RSS n k =-- B 、(1)() ESS k F RSS n k -=- C 、ESS F RSS = D 、1RSS F TSS =- 3、在多元回归中，调整后的可决系数2R 与可决系数2 R 的关系为 （ A ） A 、2 2R R < B 、22R R > C 、22R R = D 、2R 与2R 的关系不能确定 4、根据调整的可决系数2R 与F 统计量的关系可知，当21R =时，有 （ C ） A 、F=0 B 、F=－1 C 、F →+∞ D 、F=-∞ 5、下面哪一表述是正确的 （ D ） A 、线性回归模型01i i i Y X ββμ=++的零均值假设是指1 10n i i n μ==∑ B 、对模型01122i i i i Y X X βββμ=+++进行方程显著性检验（即F 检验），检验的零假 设是0012:0H βββ=== C 、相关系数较大意味着两个变量存在较强的因果关系 D 、当随机误差项的方差估计量等于零时，说明被解释变量与解释变量之间为函数关系 5、对于01122????i i i k ki i Y X X X e ββββ=+++++…，如果原模型满足线性模型的基本假设则 在零假设0j β=下，统计量??()j j s ββ（其中?()j s β是j β的标准误差）服从 （B ）

第十章-一元线性回归说课材料

第十一章 一元线性回归 一、填空题 1、对回归系数的显著性检验，通常采用的是 检验。 2、若回归方程的判定系数R 2=0.81，则两个变量x 与y 之间的相关系数r 为_________________。 3、若变量x 与y 之间的相关系数r=0.8，则回归方程的判定系数R 2为____________。 4、对于直线趋势方程bx a y c +=，已知 ∑=,0x ∑=130xy ，n=9，1692=∑x ， a=b ，则趋势 方程中的b=______。 5、回归直线方程bx a y c +=中的参数b 是_____________。估计待定参数a 和 b 常用的方法是-_________________。 6、相关系数的取值范围_______________。 7、在回归分析中，描述因变量y 如何依赖于自变量x 和误差项的方程称为 。 8、在回归分析中，根据样本数据求出的方程称为 。 9、在回归模型εββ++=x y 10中的ε反映的是 。 10、在回归分析中，F 检验主要用来检验 。 11、说明回归方程拟合优度检验的统计量称为 。 二、单选题 1、年劳动生产率（x ：千元）和工人工资（y ：元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率没提高1千元，工人工资平均（ ） A 、 增加70元 B 、 减少70元 C 、增加80元 D 、 减少80元 2、两变量具有线形相关，其相关系数r=-0.9，则两变量之间（ ）。 A 、强相关 B 、弱相关 C 、不相关 D 、负的弱相关关系 3、变量的线性相关关系为0，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 4、相关关系与函数关系之间的联系体现在（ ）。 A 、相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 B 、函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例 C 、相关关系与函数关系是两种完全独立的现象 D 、相关关系与函数关系没有区别 5、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy 2=-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关 6、对某地区前5年粮食产量进行直线趋势估计为：80.5 5.5y t =+? 这5年的时间代码分别是：-2，-1，0，1，2，据此预测今年的粮食产量是（ ）。 A 、107 B 、102.5 C 、108 D 、113.5 7、两变量的线性相关关系为-1，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 8、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy 2 =-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关

分位数回归模型的构建及评估

利用地磁ap指数建立电网GIC 评估模型 ——基于分位数回归理论 华北电力大学马学俊、金炜、王博 目录 摘要 (2) 一、问题的提出 (2) 二、研究现状及存在的问题 (3) 三、数据的描述 (3) 四、经典回归模型的构建及评价 (4) 4.1经典回归模型的构建 (4) 4.2经典回归模型的评估 (5) 五、分位数回归模型的构建及评估 (6) 5.1分位数回归模型的构建 (6) 5.2分位数回归模型的评估 (8) 六、GIC的量表制作 (9) 6.1不同ap指数下的GIC风险量表 (9) 6.2高频ap指数下的GIC分布量表 (10) 七、总结 (11) 参考文献 (12)

摘要 空间天气的变化引起的地磁剧烈扰动称为磁暴，磁暴引起电场变化产生的地磁感应电流（简称GIC）对电力系统的安全运行产生不利的影响。随着我国高压及特高压的长距离输电线路相继建成运行，GIC对电网的影响越来越受到关注，GIC的评估也变得越来越重要。对于GIC的评估主要分为物理模型和统计模型。建立物理模型考虑到很多因素的影响，这些影响因素的数据往往很难得到，因此在实际模型的建立中假设因素比较多，如平面波方法假设大地为电导率均匀的无限大半空间，这些都影响到模型的评估效果。统计模型不需考虑其复杂的物理机制，利用已掌握的数据，通过分析数据与GIC关联特征可以建立评估模型，因此受到GIC研究学者的重视。但是国内外对于GIC统计模型研究的进展依然缓慢，目前的模型主要是经典回归模型。但是经典回归模型只能描述ap对GIC均值的影响，不能体现对电网产生严重影响上的GIC值，模型反映实测GIC的信息非常有限，特别是对于GIC 分布尾部信息几乎没有表现出来。 本文利用中国科学院空间环境研究预报中心数据共享平台的地ap数据和2004-2005年几次强磁暴发生时广州岭澳核电站监测GIC数据，建立GIC关于阿婆的分位数评估模型。克服了经典回归只能描述自变量对于因变量均值的关系的缺点，分位数回归模型能够全面描述ap和GIC之间的关系，且具有良好的稳健性，不易受到离群点的影响。 本文还根据电网安全运行关注的问题，制作了建立GIC的风险值量表和高频ap指数的GIC分布量表。量表直观易懂，实际操作性强，能够方便的查询GIC风险值，对于电网的安全运行提供重要的参考。 关键词：磁暴；地磁感应电力（GIC）；ap指数；分位数回归；GIC风险值 一、问题的提出 太阳活动形成的太阳风经过地球时，有着巨大能量的太阳粒子流与地球磁层发生相互作用从而对地球磁场产生的不规则剧烈扰动称为磁暴。磁暴感应出的地面电场在输电线路、中性点接地的变压器和大地形成的回路中产生地磁感应电流(Geomagnetically Induced Currents,简称GIC )。GIC的产生对于石油和天然气管道、通信线路以及电力系统的安全稳定运行带来很大影响，例如造成电力变压器严重半波饱和、发电机过热与振动、继电保护装置误动、系统无功消耗增加和静止无功补偿电容器过载等[1]。1989 年 3 月13 日，加拿大魁北克的大停电事故是历史上遭受GIC影响最为严重的一次停电事故，使魁北克电力系统瘫痪近9个小时，近600 万人无法正常用电，造成了巨大的社会影响和严重的经济损失。2001年以来，江苏上河、广州岭澳等地的变压器多次出现不明原因的强烈振动和噪声增大事件，后经证明是磁暴在电网产生的GIC所为[2]。随着我国500kv、750kv的长距离输电线路相继建成运行，GIC对电网的影响越来越受到关注，其中2004年11月7日广州岭澳核电站监测GIC最大峰值达到55.8A。由于500KV、750KV不能满足需要，我国需要建设1000kv特高压电网向东部沿海地区送电，而特高压电网网络结构和电气参数的特点将使电网受GIC危害的风险大大增加[3]，因此评估GIC具有十分重要的意义。

应用回归分析 第十章

第10章 含定性变量的回归模型 10.1 一个学生使用含有季节定性自变量的回归模型，对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，用SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个自变量，他为此感到困惑不解。出现这种情况的原因是什么？ 答：假如这个含有季节定性自变量的回归模型为： 其中含有k 个定量变量，记为x i 。对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，记为D i ，只取了6个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则样本设计矩阵为： 显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线性组合，从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。这就是所谓的“虚拟变量陷井”，应避免。 当某自变量x j 对其余p-1个自变量的复判定系数2 j R 超过一定界限时，SPSS 软件将拒绝这个自变量x j 进入回归模型。称Tol j =1-2 j R 为自变量x j 的容忍度（Tolerance ），SPSS 软件的默认容忍度为0.0001。也就是说，当2j R ＞0.9999时，自变量x j 将被自动拒绝在回归方程之外，除非我们修改容忍度的默认值。 而在这个模型中出现了完全共线性，所以SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个定性自变量。 10.2对自变量中含有定性变量的问题，为什么不对同一属性分别建立回归模型，而采取设虚拟变量的方法建立回归模型？ 答：原因有两个，以例10.1说明。一是因为模型假设对每类家庭具有相同的斜率和误差方差，把两类家庭放在一起可以对公共斜率做出最佳估计；二是对于其 t t t t kt k t t D D D X X Y μαααβββ++++++=332211110 ??? ? ? ? ?? ?? ? ?=00011001011000101001 0010100011)(6 165154143132121 11k k k k k k X X X X X X X X X X X X D X,??? ??? ? ??=k βββ 10β??? ??? ? ??=4321ααααα

多元线性回归实例分析

多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的 x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示： 点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面： 将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入）

如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于，当概率值大于等于时将会被剔除） “选择变量(E)" 框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选，可以将那个自变量，移入“选择变量框”内，有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示： 点击“统计量”弹出如下所示的框，如下所示： 在“回归系数”下面勾选“估计，在右侧勾选”模型拟合度“ 和”共线性诊断“ 两个选项，再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”，（设定异常值的依据，只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值）点击继续。 提示： 共线性检验，如果有两个或两个以上的自变量之间存在线性相关关系，就会产生多重共线性现象。这时候，用最小二乘法估计的模型参数就会不稳定，回归系数的估计值很容易引起误导或者导致错误的结论。所以，需要勾选“共线性诊断”来做判断 通过容许度可以计算共线性的存在与否？容许度TOL=1-RI平方或方差膨胀因子（VIF): VIF=1/1-RI平方，其中RI平方是用其他自变量预测第I个变量的复相关系数，显然，VIF为TOL的倒数，TOL的值越小，VIF的值越大，自变量XI与其他自变量之间存在共线性的可能性越大。 提供三种处理方法： 1：从有共线性问题的变量里删除不重要的变量 2：增加样本量或重新抽取样本。 3：采用其他方法拟合模型，如领回归法，逐步回归法，主成分分析法。 再点击“绘制”选项，如下所示：