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向量内积的坐标运算与距离公式

【教学目标】

1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问

题．

2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．

3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．

【教学重点】

向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．

【教学难点】

向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos?a，b?与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．

【教学方法】

本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．

平面向量的内积

【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究相关问题奠定基础. 水平目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的水平．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．所以，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的准确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．能够记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos ＝|||| ?a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0?a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】

教学课件．【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 + F cos30 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有

平面向量内积坐运算

———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期：
2

课题：平面向量数量积的坐标表示
教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式
新疆王新敞
奎屯
⑶能用所学知识解决有关综合问题新疆王新敞奎屯
教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量
a与
b
，作
OA
＝
a，
OB
＝
b
，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤
π）叫
a与
b
的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
a与
b
，它们的夹角是
θ，则数量|
a||
b
|cos叫
a与
b
的数量积，记作
a
b
，即有
a
b
=
|
a||
b
|cos，
（０≤θ≤π）.并规定
0
与任何向量的数量积为
0 新疆王新敞
奎屯
3．向量的数量积的几何意义：
数量积
a
b
等于
a的长度与
b
在
a方向上投影|
b
|cos的乘积
新疆王新敞
奎屯
4．两个向量的数量积的性质：
设
a、
b
为两个非零向量，
e是与
b
同向的单位向量
新疆王新敞
奎屯
1 e a =
a
e
=|
a|cos；2
a
b
a
b
=0
3当
a与
b
同向时，
a
b
=
|
a||
b
|；当
a与
b
反向时，
a
b
= | a || b |新疆
王新敞
奎屯
特别的 a a = | a|2 或| a| a a
3

8.4.2-向量内积的直角坐标运算

《数学》教案（2014～2015 学年第一学期）适用计算机专业教学部计算机班级14.2 14.3 14.4 14.5

教案首页课题：8.4.2向量内积的直角坐标运算授课日期授课班级14.2 ,14.3, 14.4 ,14.5 课时 2 授课地点教室教学目标能力（技能）目标知识目标掌握直角坐标计算向量的内积培养学生熟练运用公式解决问题的能力教学任务及案例首先复习向量内积的定义、定义式以及内积的重要性质，然后学习用坐标进行向量内积运算及判断两向量垂直及夹角计算，并通过例题学习其应用，最后练习巩固. 向量内积的直角坐标计算公式重点难点向量内积的直角坐标计算公式例3的解法课堂检测项目 P72课后习题8-9 参考资料教师教学用书教学设计

步骤教学内容教师活动（方法与手段）学生活动时间分配告知（教学内容、目的）组织教学复习检查： 1、说说向量内积的定义．. 2、默写向量内积的定义式和内积的重要性质. 多媒体展示听讲引入（任务项目）讲授新课：（一）用直角坐标计算向量的内积平面上取一个直角坐标系 ] , ; [ 2 1 e e O，设向量a，b的坐标分别是 ) , (), , ( 2 1 2 1 b b a a。由于1 2 1 = =e e， 1 2 2 1 = ? = ?e e e e，因此： ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 e b e b e a e a b a+ ? + = ? 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 e e b a e e b a e e b a e e b a+ + + = 2 2 2 2 2 1 1 1 e b a e b a+ = 2 2 1 1 b a b a+ = 即： 2 2 1 1 b a b a b a+ = ? 用平面向量的直角坐标计算内积的公式：两个向量的内积等于它们的横坐标的乘积与纵坐标的乘积之和．（二）向量内积的应用（1）计算向量的长度：设a的直角坐标为) , ( 2 1 a a，则展示图片，引导启发思考回答操练 (掌握初步或基本能力) 演示案例完成步骤跟随练习深化（加深对基本能力的体会）布置课堂练习自主讨论完成

向量点乘(内积)和叉乘(外积向量积)概念及几何意义解读

概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b： a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：定义向量：

根据三角形余弦定理有：根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为：

其中：根据i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

向量的内积及其运算

向量的内积及其运算考点解析及例题讲解已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出a·b的坐标公式吗？探究过程 a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2) ＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2 ＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，又因为 e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0，所以 a·b＝a1b1＋a2b2．定理在平面直角坐标系中，已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a·b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．我们还可以得到以下结论： (1)向量垂直的充要条件为 a⊥b a1 b1＋a2 b2＝0； (2)两向量夹角余弦的计算公式为 cos?a，b?＝ a1b1＋a2b2 a12＋a22b12＋b22 ．

问题： (1)若已知a＝(a1，a2)，你能用上面的定理求出|a|吗？解因为 |a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2) ＝a12＋a22，所以|a|＝a12＋a22．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式． AB|吗？ (2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出|→ 解因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 → AB＝(x2－x1，y2－y1)．因为|a|＝a12＋a22，所以 AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， |→ 这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例1 设a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求： (1) a·b；(2) |a|； (3) |b |；(4)?a，b?．解(1)a·b＝3×1＋(－1)×(－2) ＝3＋2 ＝5； (2) |a|＝32＋(－1)2＝10；