高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏

教版选修4_2

1．逆矩阵的定义

对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为A－1.

2．逆矩阵的性质

(1)若二阶矩阵A、B均可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A －1.

(2)已知A、B、C为二阶矩阵且AB＝AC，若A存在逆矩阵，则B ＝C.

3．逆矩阵的求法

(1)公式法：对于二阶矩阵A＝，若ad－bc≠0，则A必可逆，且A－1＝.

(2)待定系数法．

(3)逆变换法．

[例1]

[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．

[精解详析] 法一：待定系数法：设A－1＝，

则＝.

即＝，

故????? 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，????? 3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，

解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，

从而A 的逆矩阵为A －1＝.

法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0，

∴A －1＝.

用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由

AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1.

1．(江苏高考)已知矩阵A ＝，B ＝，求矩阵A －1B.

解：设矩阵A 的逆矩阵为，则＝，即＝??????1

00 1

故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝，从而A 的逆矩阵为A －1＝，

所以A －1B ＝＝.

2．已知矩阵M ＝所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点

A′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．

解：由M ＝，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，

故M －1＝.

从而由＝得

???

?x y ＝＝＝， 故即A(2，－3)为所求．

[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵．

(1)A ＝；(2)B ＝.

[思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需找到