湖南省衡阳市2016年中考数学试题(word版,含解析)

2016年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．﹣4的相反数是（）

A．﹣B．C．﹣4 D．4

2．如果分式有意义，则x的取值范围是（）

A．全体实数B．x≠1 C．x=1 D．x＞1

3．如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）

A．70° B．80° C．90° D．100°

4．下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（）

A．

球体B．

圆柱体C．

四棱锥D．

圆锥

5．下列各式中，计算正确的是（）

A．3x+5y=8xy B．x3?x5=x8C．x6÷x3=x2D．（﹣x3）3=x6

6．为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（）

A．0.36×107B．3.6×106C．3.6×107D．36×105

7．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（）

A．平均数B．中位数C．众数D．方差

8．正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（）

A．10 B．11 C．12 D．13

9．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2017年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2017年底该市汽

车拥有量为10万辆，设2017年底至2017年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）

A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9 10．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）

A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4

11．下列命题是假命题的是（）

A．经过两点有且只有一条直线

B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半

C．平行四边形的对角线相等

D．圆的切线垂直于经过切点的半径

12．如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y

轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）

A．B．C．D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．因式分解：a2+ab=．

14．计算：﹣=．

15．点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是．

16．若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比

为．

17．若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长

为．

18．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为．

三、解答题（共8小题，满分66分）

19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．

20．为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为；（2）请将图②补充完整；

（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）

21．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

22．在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．

（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D

表示）；

（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

23．为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送

/所示：

（）设从甲仓库运送到港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．

24．在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）

（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？

（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？

（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B

沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？

25．在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．

（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐

标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG 所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

2016年湖南省衡阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．﹣4的相反数是（）

A．﹣B．C．﹣4 D．4

【考点】相反数．

【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解答】解：﹣4的相反数是：4．

故选：D．

2．如果分式有意义，则x的取值范围是（）

A．全体实数B．x≠1 C．x=1 D．x＞1

【考点】分式有意义的条件．

【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值．

【解答】解：∵分式有意义，

∴x﹣1≠0，

解得：x≠1．

故选：B．

3．如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）

A．70° B．80° C．90° D．100°

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1=∠B=50°，

∵∠C=40°，

∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°，

故选C．

4．下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（）

A．

球体B．

圆柱体C．

四棱锥D．

圆锥

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】根据各个几何体的三视图的图形易求解．

【解答】解：A、球体的三视图都是圆，故此选项正确；

B、圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，故此选项错误；

C、四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，故此选项错误；

D、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故此选项错误．

故选：A．

5．下列各式中，计算正确的是（）

A．3x+5y=8xy B．x3?x5=x8C．x6÷x3=x2D．（﹣x3）3=x6

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】分别利用同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、3x+5y，无法计算，故此选项错误；

B、x3?x5=x8，故此选项正确；

C、x6÷x3=x3，故此选项错误；

D、（﹣x3）3=﹣x9，故此选项错误；

故选：B．

6．为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（）

A．0.36×107B．3.6×106C．3.6×107D．36×105

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：3600000=3.6×106，

故选：B．

7．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（）

A．平均数B．中位数C．众数D．方差

【考点】统计量的选择．

【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差．

【解答】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．

故选：D

8．正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（）

A．10 B．11 C．12 D．13

【考点】多边形内角与外角．

【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．

【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°，

360°÷30°=12．

则这个正多边形是正十二边形．

故选：C．

9．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2017年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2017年底该市汽车拥有量为10万辆，设2017年底至2017年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）

A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】根据题意可得：2017年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2017年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：设2017年底至2017年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，

根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，

故选：A．

10．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）

A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4

【考点】根的判别式．

【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可．

【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，

∴△=42﹣4k=0，

解得：k=4，

故选：B．

11．下列命题是假命题的是（）

A．经过两点有且只有一条直线

B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半

C．平行四边形的对角线相等

D．圆的切线垂直于经过切点的半径

【考点】命题与定理．

【分析】根据直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断A、B、D正确．

【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，正确．

B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确．

C、平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．

D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．

故选C．

12．如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y

轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（）

A．B．C．D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【解答】解：设∠AOM=α，点P运动的速度为a，

当点P从点O运动到点A的过程中，S==a2?cosα?sinα?t2，

由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；

当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，

故本段图象应为与横轴平行的线段；

当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，

故本段图象应该为一段下降的线段；

故选：A．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．因式分解：a 2+ab= a （a+b ） ． 【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】直接把公因式a 提出来即可． 【解答】解：a 2+ab=a （a+b ）． 故答案为：a （a+b ）．

14．计算：

﹣

= 1 ．

【考点】分式的加减法．

【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=

=1．

故答案为：1．

15．点P （x ﹣2，x+3）在第一象限，则x 的取值范围是 x ＞2 ． 【考点】点的坐标．

【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x 的取值范围即可． 【解答】解：∵点P （x ﹣2，x+3）在第一象限，

∴

，

解得：x ＞2．

故答案为：x ＞2．

16．若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25：16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为 5：4 ．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．

【解答】解：∵△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25：16， ∴△ABC 与△DEF 的相似比为5：4； ∴△ABC 与△DEF 的周长之比为5：4． 故答案为：5：4．

17．若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为 16 ． 【考点】圆锥的计算．

【分析】设该圆锥的母线长为l ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于

圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到8π=，然后解方程

即可．

【解答】解：设该圆锥的母线长为l ，

根据题意得8π=

，解得l=16，

即该圆锥的母线长为16．

故答案为16．

18．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为10．

【考点】点、线、面、体．

【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n=n（n+1）+1，依此可得等量关系：n

条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可．

【解答】解：依题意有

n（n+1）+1=56，

解得x1=﹣11（不合题意舍去），x2=10．

答：n的值为10．

故答案为：10．

三、解答题（共8小题，满分66分）

19．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项即可化简，将a、b的值代入求值即可．

【解答】解：原式=a2﹣b2+a2+2ab+b2

=2a2+2ab，

当a=﹣1，b=时，

原式=2×（﹣1）2+2×（﹣1）×

=2﹣1

=1．

20．为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为20%；

（2）请将图②补充完整；

（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比；

（2）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择C的人数，从而可以将图②补充完整；（3）根据条形统计图和扇形统计图可以估计全校选择此必唱歌曲的人数．

【解答】解：（1）由题意可得，

本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：

×100%=20%．

故答案为：20%；

（2）由题意可得，

选择C的人数有：30÷﹣36﹣30﹣44=70（人），

故补全的图②如下图所示，

（3）由题意可得，

全校选择此必唱歌曲共有：1530×=595（人），

即全校共有595名学生选择此必唱歌曲．

21．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AC=BD，

∴AC+CD=BD+CD，

∴AD=BC，

在△AED和△BFC中，

，

∴△AED≌△BFC（ASA），

∴DE=CF．

22．在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．

（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D 表示）；

（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解（1）画树状图得：

则共有16种等可能的结果；

（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C，

∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，

∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：=．

23．为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送

所示：

（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的

费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简；最后根据不等式组得出x的取值；

（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y

最小，并求出最小值，写出运输方案．

【解答】解（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，

所以y=14x+20+10（80﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560，

x的取值范围是30≤x≤80．

（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，

当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，

此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．

24．在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）

（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？

（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？

（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B

沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（1）求出OC，由题意r≥OC，由此即可解决问题．

（2）作AM⊥BC于M，求出AM即可解决问题．

（3）假设B 军舰在点N 处拦截到敌舰．在BM 上取一点H ，使得HB=HN ，设MN=x ，先列出方程求出x ，再求出BN 、AN 利用不等式解决问题． 【解答】解：（1）在RT △OBC 中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，

∴OC=

=

=100，

∵OC=×100=50

∴雷达的有效探测半径r 至少为50海里． （2）作AM ⊥BC 于M ，

∵∠ACB=30°，∠CBA=60°， ∴∠CAB=90°，

∴AB=BC=30，

在RT △ABM 中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，

∴BM=AB=15，AM=

BM=15

，

∴此时敌舰A 离△OBC 海域的最短距离为15海里．

（3）假设B 军舰在点N 处拦截到敌舰．在BM 上取一点H ，使得HB=HN ，设MN=x ， ∵∠HBN=∠HNB=15°，

∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，

∴HN=HB=2x ，MH=x ， ∵BM=15，

∴15=x+2x ， x=30﹣15，

∴AN=30﹣30，

BN==15（

﹣

），设B 军舰速度为a 海里/小时，

由题意

≤

，

∴a ≥20．

∴B 军舰速度至少为20海里/小时．

25．在平面直角坐标中，△ABC 三个顶点坐标为A （﹣，0）、B （，0）、C （0，3）． （1）求△ABC 内切圆⊙D 的半径．

（2）过点E （0，﹣1）的直线与⊙D 相切于点F （点F 在第一象限），求直线EF 的解析式．

（3）以（2）为条件，P 为直线EF 上一点，以P 为圆心，以2为半径作⊙P ．若⊙P 上存在一点到△ABC 三个顶点的距离相等，求此时圆心P 的坐标．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）由A、B、C三点坐标可知∠CBO=60°，又因为点D是△ABC的内心，所以BD平分∠CBO，然后利用锐角三角函数即可求出OD的长度；

（2）根据题意可知，DF为半径，且∠DFE=90°，过点F作FG⊥y轴于点G，求得FG和OG的长度，即可求出点F的坐标，然后将E和F的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线EF的解析式；

（3）⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，该点是△ABC的外接圆圆心，即为点

D，所以DP=2，又因为点P在直线EF上，所以这样的点P共有2个，且由勾股定理可

知PF=3．

【解答】解：（1）连接BD，

∵B（，0），C（0，3），

∴OB=，OC=3，

∴tan∠CBO==，

∴∠CBO=60°

∵点D是△ABC的内心，

∴BD平分∠CBO，

∴∠DBO=30°，

∴tan∠DBO=，

∴OD=1，

∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；

（2）连接DF，

过点F作FG⊥y轴于点G，

∵E（0，﹣1）

∴OE=1，DE=2，

∵直线EF与⊙D相切，

∴∠DFE=90°，DF=1，

∴sin∠DEF=，

∴∠DEF=30°，

∴∠GDF=60°，

∴在Rt△DGF中，

∠DFG=30°，

∴DG=，

由勾股定理可求得：GF=，

∴F（，），

设直线EF的解析式为：y=kx+b，

∴，

∴直线EF的解析式为：y=x﹣1；

（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，∴该点必为△ABC外接圆的圆心，

由（1）可知：△ABC是等边三角形，

∴△ABC外接圆的圆心为点D

∴DP=2，

设直线EF与x轴交于点H，

∴令y=0代入y=x﹣1，

∴x=，

∴H（，0），

∴FH=，

当P在x轴上方时，

过点P1作P1M⊥x轴于M，

由勾股定理可求得：P1F=3，

∴P1H=P1F+FH=，

∵∠DEF=∠HP1M=30°，

∴HM=P1H=，P1M=5，

∴OM=2，

∴P1（2，5），

当P在x轴下方时，

过点P2作P2N⊥x轴于点N，

由勾股定理可求得：P2F=3，

∴P2H=P2F﹣FH=，

∴∠DEF=30°

∴∠OHE=60°

∴sin∠OHE=，

∴P2N=4，

令y=﹣4代入y=x﹣1，

∴x=﹣，

∴P2（﹣，﹣4），

综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，

5）或（﹣，﹣4）．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐

标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG 所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线

的函数关系表达式；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．【解答】解：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，

∴抛物线的对称轴为y轴，

∴抛物线的顶点为（0，），

故抛物线的解析式可设为y=ax2+．

∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上，

∴a+=2，

解得a=﹣，

∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，

令y=0得，﹣x2+=0，

解得：x1=3，x2=﹣3，

∴点C的坐标为（3，0）．

设直线AC的解析式为y=mx+n，

则有，

解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+．

设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．

∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上，

∴﹣p+=p，

解得p=1，

∴点F的坐标为（1，1）．

②当点F在第二象限时，

同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），

此时点F不在线段AC上，故舍去．

综上所述：点F的坐标为（1，1）；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，

则OD=t，OE=t+1．

∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．

当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．

当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．

在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，

∴MN2=12+（）2=．

①当DN=DM时，

（﹣t+）2=t2﹣t+2，

解得t=；

②当ND=NM时，

﹣t+==，

解得t=3﹣；

③当MN=MD时，

=t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3．

∵0≤t≤2，∴t=1．

综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．