中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案]

中考数学专题训练 二次函数压轴题

一、抛物线关于三角形面积问题

例题 二次函数k m x y ++=2

)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-).

（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=

4

5

,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；

2. 如图，已知抛物线42

12

++-

=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；

（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．

二、抛物线中线段长度最小问题

例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）．

（1）求点B 的坐标；

（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．

①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；

②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．

练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线2

23y x bx c =

++经过B 点，且顶点在直线52

x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．

O A B P

E

Q F x y

三、抛物线与线段和最小的问题 例题 如图，已知抛物线()()()1

20y x x a a a

=

-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；

（2）在（1）的条件下，解答下列问题；

①求出△BCE 的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．

练习：1. 如图，已知二次函数2

4y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点

（3）在（2）的条件下，在x 轴上找一点M ，使得△APM 坐标．

2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；

（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；

（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．

四、抛物线与等腰三角形

例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）

它的对称轴是直线

1

2 x=-

（1）求抛物线的解析式；

（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．

2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

3. 如图，已知抛物线于x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：

（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

五、抛物线与直角三角形

例题 如图，抛物线2

y ax bx c =++经过点A （﹣3，0），B （1.0），C （0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标； （3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C 2：()2

230y mx mx m m =--<的顶点．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．

2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ，c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：

①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．

六、抛物线与四边形

例题 1. 如图，抛物线经过A （－1，0），B （5，0），C （0，－

5

2

）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标；

（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

练习：1. 如图，在平面直角坐标系中，直线33--=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C. 抛物线c bx x y ++=2

经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B(点B 在点A 右侧). （1）求抛物线的解析式及点B 坐标；

（2）若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ，交抛物线于点E.求ME 长的最大值； （3）试探究当ME 取最大值时，在抛物线x 轴下方是否存在点P ，使以M 、F 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.

O

A

B C

2. 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线1+=x y 与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上.

（1）二次函数的解析式为y = ； （2）证明点(,

21)m m --不在（1）中所求的二次函数的图像上；

（3）若C 为线段AB 的中点，过C 点作x CE ⊥轴于E 点，CE 与二次函数的图像交于D 点.

① y 轴上存在点K ，使以K 、A 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形，则K 点的坐标是 ； ②二次函数的图像上是否存在点P ，使得ABD POE S S ??=2？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.

例1. 解：（1）A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）

（2）故P点坐标为（-2，5）或（4，5）

（3）b的取值范围为

练1. （2）∴y=1/4x2-1/2x，

（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当△=0时，△BON面积最大，N（3，3/4）；此时△BON面积=27/4

练2. 解：（1）所以直线AB的解析式为；

（2）；

（3）①当时，，，，

②当时，，，，综合①②得，当时，。

例二：（1）点A（-3，0），点B（1,0）

（2）点P的坐标（4,21）、（-4,5）

（3）x=-3/2，QD最大值9/4.

二练1. （1）

（2）

（3）

例三．（1）a=4；（2）

（3）

三练1、（1）

三练2、（1）

（2）由于CD是定长，若△CDH的周长最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分线段BC，那么B、C关于直线EF对称，所以BD与EF的交点即为所求的H点；

例四：（1）（2）

（3）

练四1、（1）y=-1/2x^2-1/2x+3；（2）M坐标（0,0）或(3√2-3,0)

2、（1）

（2）

（3）

3、

五．（1）

练五1、（1）

（2）

练五2、（1）

（2）

（3）

例六、（1）

（2）

（3）

练六1、（1）抛物线的解析式为y=x^2-2x-3，点B坐标为（3，0）；

（2）直线BC y=x-3，设M（x，x-3）E（x，x^2-2x-3），ME=x-3-(x^2-2x-3)=(x-3/2)^2+9/4，ME的最大值为9/4；（3）当ME取最大值时，M的坐标为（3/2，-3/2），F的坐标为（3/2，0），FB=3/2，抛物线的对称x=1，所以点M不在对称上，故在抛物线x轴下方不存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形。

练六2、（1）（2）