河北省2012年5月普通高中学业水平考试(数学试卷及答案)

2012年5月河北省普通高中学业水平考试

数学

注意事项：

1．本试卷共4页，30道小题，总分100分，考试时间120分钟．

2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

3．做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案．

4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回．

参考公式：

柱体的体积公式：V＝Sh（其中S为柱体的底面面积，h为高）

锥体的体积公式：V＝1

3Sh（其中S为锥体的底面面积，h为高）

台体的体积公式：V＝1

3(S'＋S'S＋S)h（其中S'、S分别为台体的上、下底面面积，h为高）

球的体积公式：V＝4

3πR

3（其中R为球的半径）

球的表面积公式：S＝4πR2（其中R为球的半径）

一、选择题（本题共22道小题，1－10题，每题2分，11－22题，每题3分，共56分．在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线2x－y＋1＝0的斜率为

A．1

2B．2 C．－

1

2D．－2

2．半径为3的球的体积等于

A．9πB．12πC．36πD．54π

3．已知集合M＝{x|x＞－1}，下列关系式正确的是

A．{0}?M B．0?M C．{0}∈M D．?∈M 4．在等差数列{a n}中，a2＝2，a5＝10，则a8＝

A．16 B．18 C．20 D．50

5．不等式

1

x≥2的解集是

A．{x|0＜x≤2} B．{x|x≥12}C．{x|x≤12}D．{x|0＜x≤12}

6．函数y＝2x－1的值域是

A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(12，＋∞)

7．已知sin x＝

3

5，且

π

2＜x＜π，则tan x＝

A．

4

5B．－

4

5C．

3

4D．－

3

4

8．函数f(x)＝2x＋x－2的零点所在的区间是

A．(－1，0) B．(0，1)

C．(1，2) D．(2，3)

9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别

为

A．1， 3 B．2，1

C．2，1 D．1，2

10．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是

A．7B．6C．22D．5

11．从装有3个红球、2个白球的口袋里随机取出一个球，得到红球的概率是

A．

1

5B．

2

5C．

3

5D．1

12．等边三角形ABC的边长为2，则AB

→·BC

→＝

A．－2 B．2 C．－2 3 D．2 3

13．若a＞b，则下列不等式一定成立的是

A．ac＞bc B．a2＞b2C．a＋c＞b＋c D．

1

a＜

1

b

正视图

侧视图

俯视图

14．函数y ＝3sin (2x ＋

π

6

)（x ∈R ）图象的一条对称轴方程是

A ．x ＝0

B ．x ＝－π

12

C ．x ＝

π

6

D ．x ＝

π

3

15．按右图表示的算法，若输入一个小于10的整数n ，则输出n 的值是

A ．9

B ．10

C ．11

D ．110

16．函数y ＝sin (x －

π

3

)（x ∈R ）的一个单调递增区间为

A ．[－2π3，

π

3] B ．[－

π

6，5π6] C ．[

π

3，4π3

]

D ．[5π6，11π

6]

17．已知数列{a n }，a n ＝2n ＋1，那么数列{a n }的前10项和为

A ．211＋8

B ．211－1

C ．210＋9

D ．210－2

18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，则A ＝ A ．30? B ．60? C ．120? D ．150?

19．已知实数x ，y 满足?

????x ≥0，y ≥0，x ＋4y ≥4，则目标函数z ＝x ＋y 的最小值是

A ．0

B ．5

C ．4

D ．1

20．某单位共有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）的方法抽取一个样本，该样本中有9名女职工，则样本容量为 A ．27 B ．36 C ．40 D ．44 21．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于

A ．30?

B ．45?

C ．60?

D ．90? 22．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，则f (5)＝

A ．0

B ．1

C ．

1

2 D ．

5

2

二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．

） 23．sin 165?·cos 15?＝_________．

24．已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(x ，－6)，若a ⊥b ，则x ＝___________．

25．函数f (x )＝lg (x 2－1)的定义域是___________．

26．设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，定义数列{a n }的期望和为T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n

n

，若数列a 1，a 2，…，

a 9的期望和T 9＝100，则数列2，a 1，a 2，…，a 9的期望和T 10＝________．

三、解答题（本大题共4道小题，满分32分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 27．（本小题满分8分）

已知函数f (x )＝(sin x －cos x )2＋m ，x ∈R ． （Ⅰ）求f (x )的最小正周期；

（Ⅱ）若f (x )的最大值为3，求m 的值． 28．（本小题满分8分）

数列{a n }的前n 项和S n 满足3S n ＝a n ＋4（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若等差数列{b n }的公差为3，且b 2a 5＝－1，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 29．（本小题满分8分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样

本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．

（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率； （Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率．

30．（本小题满分8分） 已知动点P 与两个定点E (1，0)，F (4，0)的距离之比是 1 2

． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）直线l ：y ＝kx ＋3与曲线C 交于A ，B 两点，在曲线C 上是否存在点M ，使得四边形OAMB （O 为坐标原点）为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．

D 1 A 1 A D C 1 B 1

B F

E 8 3 4 7 9 3

1 9 3 7 PM2.5日均值(微克/m 3)

答 案

一、选择题

BCABD ADBDC CACCB BACDB AD

二、填空题

23．

1

4

24．－9 25．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 26．92

三、解答题 27．解：（Ⅰ）f (x )＝(sin x －cos x )2＋m ＝m ＋1－sin2x ，

所以f (x )的最小正周期为T ＝2π

2

＝π．

………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当sin2x ＝－1时，f (x )取最大值，

故有m ＋2＝3，得m ＝1． ………………8分

28．解：（Ⅰ）由3S n ＝a n ＋4，得3S n －1＝a n －1＋4，两式相减，得

3(S n －S n －1)＝(a n ＋4)－(a n －1＋4)＝a n －a n －1，整理，得a n a n －1

＝－

1

2（n ≥2）．

又3a 1＝a 1＋4，得a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以－

1

2为公比的等比数列，

故有a n ＝2×(

－

1

2

)

n －1

．

………………4分

（Ⅱ）由已知，得b 2＝－

1

a 5

＝－8，又等差数列{b n }的公差d ＝3，

故b n ＝b 2＋(n －2)d ＝3n －14，因此当n ≤4时，b n ＜0，当n ≥5时，b n ＞0， 所以n ＝4时，{b n }的前n 项和T n 最小， 最小值为T 4＝4(b 1＋b 4)

2

＝－26．

………………8分

29．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．

记未超标的4天为a ，b ，c ，d ，超标的两天为e ，f ．则从6天中抽取2天的所有情况为： ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本事件数为15． …2分 （Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ，

可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，基本事件数为8．∴P (A )＝8

15．

…5分

（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B ，“2天都超标”为事件C ，其可能结果为ef ，

故P (C )＝115，∴P (B )＝1－P (C )＝14

15

．

…………………8分

30．解：（Ⅰ）设点P (x ，y )，由(x －1)2＋y 2(x －4)2＋y 2＝

1

2

，

化简，得轨迹C 的方程是：x 2＋y 2＝4． …………………4分 （Ⅱ）因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，

所以|3|1＋k 2

＜2，解得k ＞52或k ＜－52．

假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直线l ：

y ＝kx ＋3的距离为d ＝

1

2|OM |＝1．所以|3|1＋k

2

＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22

，经验证满足条件． 所以存在两点M ，使得四边形OAMB 为菱形． ………………8分