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从2004-2008五年高考与高考模拟题分析圆锥曲线综合题

【联立直线与曲线方程，直接利用韦达定理】

这种问题主要是联立直线与曲线方程，产生韦达定理，把条件转化为韦达定理的应用，从而解决问题。比如以下这几个条件都是转化为韦达定理的常见类型：以弦AB 为直径的圆过原点(或某个定点)即

AOB ∠为直角(有时候会转化为锐角、钝角)等等，请同学注意总结补充。

例题分析1：已知抛物线22

x y -=与过M )1,0(-的直线L 相交于A 、B 两点，O 为原点，若弦OA 、OB ，的

斜率之和为1，求直线L 的方程。

分析:)(2

1212121222

121x x x x x x k k OB OA +-=-+-

+-----这里就能用上韦达定理，不做了……

例题分析2：已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==?（1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若

304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. （1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则 ),2

,(),0)(2

,0(),0,(y x PM x y P x M --=>-

0),2,1(2

=+-=?-=y x PF PM y PF 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y

（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时，

则由6424||,22,22,421<=-==-=?AB y y OB OA 得，不合题意，故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y=k x +b(k ≠0),则由4,42121-=+-=?y y x x OB OA 得------这里用上韦达定理

由点A ，B 在抛物线.8,4,4,)0(42122

21212-===>=y y x y x y x x y 故有上又y 2=4x , y=k x +b 得ky 2－4y+4b=0,所以

)3216(1||),21(16.2,842222

2++=+=?-=-=k k k AB k k b k b 因为.480)3216(196,304||642

22≤++≤≤≤k

k k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是]1,2

1[]21,1[?--.

例题分析3：（2007福建卷21）如图、椭圆22221(0)x y a b a b

+= 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，值有2

OA OB AB + ,求a 的取值范围. 解一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形，所以3

OF MN =

, 即1＝32, 3.23

b b 解得＝ 22

14,a b =+=因此，椭圆方程为22 1.43x y +

= (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，

222

2222

2,4(1),.

OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有

(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22

221,1,x y x my a b =++=代入

整理得2

()20,a b m y b my b a b +++-=所以2222

1212222222

2,b m b a b y y y y a b m a b m -+==++

因为恒有2

OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<

恒成立.

----------------这里用上韦达定理

2121212121212(1)(1)(1)()1

x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++

222222222222

2222222

222

(1)()21

0.m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m

+-=-+++-+-+=<+ 又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立，即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立. 当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 20,b >0,所以a 0,解得a >

152+或a <152-(舍去)，即a >15

+, 综合（i ）(ii)，a 的取值范围为（

+，+∞）. 例题分析4：已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()

13,0F -和(

)

3,0F 的距离之和为4．（1）求曲线Γ

的方程；（2）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ?= （O 为坐标原点），求直线l 的方程．

解：（1）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，其中2a =，3c =，则221b a c =-=．

所以动点M 的轨迹方程为2

214

x y +=．

（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设

11(,)C x y ，22(,)D x y ，∵0OC OD ?=

，∴12120x x y y +=．----------------这里用到了韦达定理 ∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =?-++①∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．由方

程组2

21,

4 2.

x y y kx ?+=???=-?

得()221416120k x kx +-+=．则1221614k x x k +=+，122

1214x x k ?=+，代入①，

得

()222

121612401414k k k k k

-?+=++．即2

4k =，解得，2k =或2k =-．所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．

例题分析5：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

解： (I)由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===

22 1.43x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx m

x y =+???+

=??得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 2

6416(34)(3)0m k k m ?=-+->，2

340k m +->.2121222

84(3)

,.3434mk m x x x x k k

-+=-?=++ 222

121212122

3(4)

()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点

(2,0),D 1AD BD k k ?=-，1212122

y y

x x ∴

?=---，1212122()40y y x x x x +-++=，---这里用了韦达定理 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，22

71640m mk k ++=，解得12

22,7k m k m =-=-，且满足22340k m +->.当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27

，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7

(作业回顾1)：在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有两个不

同的交点P 和Q ．（错误！未找到引用源。）求k 的取值范围；（错误！未找到引用源。）设椭圆与x 轴正

半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB

共线？如果存在，求

k 值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程得2

2(2)12

x kx ++=．

整理得22122102k x kx ??

+++= ???①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于

2k >．即k 的取值范围为2222????--+ ? ? ? ?????

，，∞∞．

（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++ ，，由方程①，1224212k

x x k +=-+． ②

又1212()22y y k x x +=++．③而(20)(01)(21)A B AB =- ，，，，，．所以OP OQ +

与AB 共线等价于

12122()x x y y +=-+，-----这里用到了韦达定理，将②③代入上式，解得22k =．由（Ⅰ）知22k <-或22

k >，故没有符合题意的常数k ．

【弦长、面积的问题】这类问题比确明了，注意求面积的基本方法之一：面积分割，求面积的最值一般是建立有关变量k 的函数关系)(k f s =，通过研究函数的最值求面积的最值(利用均值不等式很常见)。弦长公式：， |

|)k (1]4))[(k (1))(k (1||22122122212a x x x x x x AB ?

-++=-+=

其中式的一元二次方程的判别是项系数，的一元二次方程的二次是关于是直线的斜率，x x a k ?

例题分析1：已知椭圆14

2=+y x 两焦点分别为F 1、

F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=?PF PF ，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值.

解：（Ⅰ）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=，)2,(001y x PF ---=，

∴1)2(20

21=--=?y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴2

0y x -=，从而1)2(242020=---y y ，

得20=y .则点P 的坐标为)2,1(.

（Ⅱ）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，则BP 的直线方程为：)1(2--x k y .

由?????=+

-=-14

2)1(22

2y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则2

222222212)2(2,2)2(21k

k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+，同理可得222)222k k k x A +-+=，则2224k k

x x B A +=-，228)1()1(k k

x k x k y y B A B A +=----=-.所以：AB 的斜率2=--=B A B A AB

x x y y k 为定值. （Ⅲ）设AB 的直线方程：m x y +=2.由?????=+

+=14

222

2y x m

x y ，得0422422=-++m mx x ，由0)4(16)22(22>--=?m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3

|m d =，

则3

||3)214(21||212m m d AB S PAB

?-=?=?2)28(81)8(812222

2=+-≤+-=m m m m 。当且仅当()22,222-∈±=m 取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2。

例题分析2：已知椭圆C :2222b

y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36

,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)

求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

，求△AOB 面积的最大值.

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意6

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，3AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．由已知

1m k =

+，得223(1)4m k =+．

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，

122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22

22222

3612(1)(1)(31)

31k m m k k k ??-=+-??++?? 22222222212(1)(31)3(1)(91)

(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696

k k k k k k

=+=+≠+=++?+++≤．当且仅当2219k k =

，即33

k =±时等号成立．当0k =时，3AB =，综上所述max 2AB =． ∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 133

=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22

132

x y +<；

（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．

解：（Ⅰ）椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22

001x y +=，所以，2222

00021

132222

y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，

代入椭圆方程22

132x y +

=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2122632k x x k +=-+，21223632

k x x k -=+2222

122212243(1)1(1)()432k BD k x x k x x x x k +??=+-=++-=??+ ；

因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k -，所以，222

2143143(1)12332k k AC k k

??+ ?

+??==+?+．四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)96

2(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++????

≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为96

．

【涉及到弦的垂直平分线问题】

这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于

解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123

301y x x x b x x y x b

?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中

点11(,)22M b --+，又由11

(,)22

M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可

求出221114(2)32AB =+-?-=．

例题分析2：已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4，离心率为

．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求实数m 的值．

解：（Ⅰ）2

214

x y +=；

（Ⅱ）由条件可得直线AB 的方程为1y x =-+．于是，有2

858051

B y x x x x x y =-+???-=?=?+=??，315B B y x =-+=-．设弦AB 的中点为M ，则由中点坐标公式得45M x =，1

M y =，由此及点M 在直线l 得

143555

m m =+?=-．例题分析3：如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，

O 1

证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。

解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p 因此焦点)0,2

(p F 的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为2

x -

=。从而所求准线l 的方程为2-=x 。（Ⅱ）设),(A A y x A ，),(B B y x B ，直线AB 的斜率为a k tan =，则直线方程为)2(-=x k y 。将此式代入x y 82=,得04)2(42

2=++=k x k x k ，故2

2)2(k

k k x x B A +=

+。记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ，则

22)2(22k k x x x B A E +=+=，k x k y E E 4)2(=-=，故直线m 的方程为???

? ??+--=-224214k k x k k y .令y =0,得P 的横坐标4422

-=。从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||2

例题分析3：小王同学在平面直角坐标系内画了一系列直线1

()2

x t t =≥-，和以原点O 为圆心1t +为半径

的圆，他发现这些直线和对应同一t 值的圆的交点形成的轨迹很熟悉，然后又取长度为2的线段AB （不与x 轴垂直），使AB 的两端点在此轨迹上滑动，并记线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点0(,0)M x ．（1）求上述交点的轨迹方程；（2）求0x 的取值范围．

解：（1）直线方程x t =，圆的方程222(1)x y t +=+，消t 即得轨迹E 的方程为

221y x =+．

（2）显然AB 不与y 轴垂直，设AB 所在直线方程为x my n =+(0)m ≠ 代入221y x =+得22210y my n ---=设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得

12122,21y y m y y n +==--2222212122(1)[()4](1)(484)m y y y y m m n ∴=++-=+++

1211n m m

--+又2

1212()222x x m y y n m n +=++=+，A 、B 中点为2(,)m n m +， ∴线段AB 的垂直平分线为：2()y m m x m n -=---．

令y=0得2

01x m n =++22

21112(1)22m m m =++--+2211

m m m +==+则，所以等号不成立，故0x 的取值范围是(1,)+∞．例题分析4：设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，

l 是AB 的垂直平分线。（Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；（Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围。

解：（Ⅰ）F l FA FB A B ∈?=?、两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是x 轴的平行线，1200y y ≥≥，，依题意12y y ，不同时为0∴上述条件等价于()()22121212120y y x x x x x x =?=?+-=∵12x x ≠∴上述条件等价于120x x +=即当且仅当120x x +=时，l 经过抛物线的焦点F 。

（Ⅱ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为2y x b =+；过点A B 、的直线方程可写为

12y x m =-+，所以12x x 、满足方程21202x x m +-=得121

x x +=- A B 、为抛物线上不同的两点等价于

上述方程的判别式1804m ?=+ ，即132m - 设AB 的中点N 的坐标为()00x y ，，则()01

211

x x x =+=-，0011216y x m m =-+=+由N l ∈，得11164m b +=-+，于是551916163232

b m =+-=

即得l 在y 轴上截距的取值范围为932??+∞ ???

，

例题分析5：设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求2

1PF PF ?的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

解：易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===，设P （x ，y ），

则1),1(),1(2

1-+=--?---=?y x y x y x PF PF ，35

1544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3；

当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k ，直线l 的方程为)5(-=x k y

由方程组22

22221(54)5012520054

(5)x y k x k x k y k x ?+

=?+-+-=??=-?，得依题意255

20(1680)055

k k ?=->-

，得当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，则4

5252,455022

2102221+=+=+=+k k x x x k k x x

520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k

k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F

F ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立，所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|

例题分析6：椭圆G ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、

B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，

）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中,22c b a ==即椭圆方程可为22222b y x =+，H （x,y ）为椭圆上一点，则

b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222，30<

962++b b ，25350962±-==++b b b 得（舍去），182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当，

（2）设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由???????=+=+11632116

322

2222

121y x y x 两式相减得0200=+ky x ……③ 又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+

x k y 将点Q （00,y x ）代入上式得，3

100+-=x k y ④ 由③④得Q （3

,332-

k ），Q 点必在椭圆内部116322

020<+∴y x ，由此得2

00294,0,2472<

<<<-∴≠<

k k k k 或又故当)294,0()0,294(?-∈k 时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称

上题用判别式大于零来构建不等式也是常见方式。

例题分析7：（2006年福建卷）已知椭圆2

212

x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。（I ）求过点O 、F ，

并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。

解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，

∴圆心M 在直线1

x =-上。

设

1(,),2M t -则圆半径 13

()(2).22r =---= 由,OM r =得2213(),22t -+=解得 2.t =±∴所求圆的方程为

2219()(2).24

x y ++±=

（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入2

21,2

x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=

直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。

记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则2

1224,21

k x x k +=-+

AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001

().y y x x k

-=--

令0,y =得222002222211

2121212421

0,0,

G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2- 作业回顾：已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ·PM =0，PM =－

MQ ，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0，0），使得△ABE 为等边三角形，求x 0的值．

练习1：在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A 、(2,0)B -，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点1,02?? ???

作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的

中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围．

练习2：已知双曲线1322=-y x ，若双曲线上存在两点C 、D 关于直线4:2+=kx y l 对称，求k 的取值范围。

以上题目中我们都是用韦达定理产生出中点坐标，同学也可以试试用点差产生中点坐标。

【分比问题】

这类问题主要是研究过一个定点P 作直线与曲线产生两个交点AB ，进而研究P 分两个交点AB 所成

的比例关系。往往是两种形式出现，一种是以比例：|

|BP AP =λ，一种是向量：→

-→-=PB AP λ，有时候是求

直线方程，有时候是求分比λ的值或取值范围等等，这种问题主要是抓住分比λ与坐标)(2121y y x x 、、的关系，判断在联立方程时应该消去y x 或，以减少运算量，然后把问题转化到韦达定理的应用上。

G A

F O

例题分析1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围. 解：（1）.0,2=?=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点 C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a

焦距2c=2. .1,1,22

===∴b c a ∴曲线E 的方程为.12

=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222

=++=y x kx y 代入椭圆方程

得.2

0.034)21(222>>?=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G

)2(216

13),1(2182142

2212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=+则)

2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又,,

121x x x x =∴=∴λλ，)21(332

)21(33221)2()1(22

,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0==

=λFH FG x )1,3

[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 例题分析2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线21

y x =的焦点，

离心率为

.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ= ，2MB BF λ=

，求证：1210λλ+=-.

解：设椭圆C 的方程为22

221x y a b += （a ＞b ＞0）抛物线方程化为24x y =，其焦点为(0,1)，

则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b =由222

255

c a b e a a -===，∴2

5a =，椭圆C 的方程为 2215x y +=（2）证明：右焦点(2,0)F ，设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l

的方程为

(2)y k x =-，代入方程2215x y += 并整理，得2222

(15)202050k x k x k +-+-=∴2122

2015k x x k +=+，2122

205

15k x x k -=+ 又110(,)MA x y y =- ，220(,)MB x y y =- ，11(2,)AF x y =-- ，22(2,)BF x y =-- ，而 1MA AF λ= ， 2MB BF λ=

，即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ=

-，2222x x λ=-，所以 121212

12121212

2()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++ 例题分析3：已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-，(0,1)，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为

．（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在D 、F 之间），试求ODE ?与ODF ?面积之比的取值范围（O 为坐标原点）．解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，∵12A M B M

k k ?=-，∴111

2y y x x +-?=-．整理，得2212

x y +=（0x ≠），

（2）如图，由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为2x sy =+(2)s ≠±将①代入12

=+y x ，整理，得22(2)420s y sy +++=，由0?>，解得22s >．

设()11,E x y ，()22,F x y ，则1221224,2

2.2s y y s y y s ?+=-??+??=?+?

令112

21212OBE OBF OB y S y S y OB y λ???===?，且01λ<<．

=+21221)(y y y y ()2

182

s s λλ+=+．∵22s >且2

4s ≠，316)8,4(2822≠∈+=u s s u 且，解得322322λ-<<+且13λ≠． 01λ<< ，1223<<-∴λ且1

λ≠．

故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是11322,,133?

???- ? ??

??? ．

(作业回顾1)：抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），求

=。 (作业回顾2)：已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且

→

-→

-?=?FQ FP QF QP ，（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线

l 于点M ．已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=

，求12λλ+的值。

练习1：已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，

则FA 与FB 的比值等于．322+

练习2： [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)· 理科数学第21题(12分)，文科数学第22题(14分)]给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点。（Ⅰ）设L 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的余弦值；（Ⅱ）设AF FB λ=，若λ∈[4,9]，求L 在y 轴上截距的变化范围.

答案：(1)41

143),cos(-=OB OA (2)].34,43[]43,34[?--

以上是圆锥曲线中的四大类型题，但不是所有类型，同学们在看的时候也可以想想是不是有简化运算的技巧，比如设直线t my x +=，比如利用点差产生中点坐标等等，圆锥曲线的问题还有待同学加强练习与思考，我们也会继续帮助同学总结整理，未完待续……

历年圆锥曲线高考题附答案

数学圆锥曲线高考题选讲一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为 2 2 。过l 的直线交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为。

高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2

新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案

新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案

全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于（） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -=

4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的（） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距离是（） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3

2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线

(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答：由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=.

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于（Ｃ）（A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是（） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为（）．Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2

圆锥曲线大题归类

圆锥曲线大题归类一．定点问题例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ： (x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ → ＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． [解析](1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)，直线AF 的方程为x c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0，由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1 ＝3，解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1k x ＋1. 联立??? y ＝kx ＋1， x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，

解得x ＝0或x ＝－6k 1＋3k 2 ，故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2 1＋3k 2 )，同理，点Q 的坐标为(6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3 ) ∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 2 1＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2 ＝k 2－14k ， ∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3 ，即y ＝k 2－14k x －12. ∴直线l 过定点(0，－12)．方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)，联立????? y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则????? x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2， x 1x 2＝3(t 2－1)1＋3k 2， (*) 由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0，

专题08 圆锥曲线(第01期)-决胜2016年高考全国名校试题文数分项汇编(浙江特刊)(原卷版)

第八章圆锥曲线一．基础题组二．能力题组 1.（浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试（二），文7）设1F 、2F 分别为双曲线C ：122 22=-b y a x 0(>a ， )0>b 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点，且满足?=∠120MAN ，则该双曲线的离心率为 A ．3 21 B ． 3 19 C ． 3 5 D ．3 2.（浙江省2015届高三第二次考试五校联考，文7）如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22a x —22 b y =1 （a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（） A ．5 B ．5 C ．17 D ． 7 14 2

3.（绍兴市2015届高三上学期期末统考，文6）曲线2 2 30x y -=与双曲线C :22 221x y a b -=（0a >，0b >）的四个交点与C 的两个虚轴顶点构成一个正六边形，则双曲线C 的离心率为（） A B C D ．8 3 4.（宁波市鄞州区2015届高考5月模拟，文6）已知,,A B P 是双曲线22 221x y a b -=上不同的三点，且,A B 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积3PA PB k k ?=，则该双曲线的离心率为（▲） A B C ．2 D 5.（嵊州市2015年高三第二次教学质量调测，文6）已知双曲线22 22C :1(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为（） A B C ．2 D 6.（衢州市2015年高三4月教学质量检测，文13）12,F F 分别是双曲线 22 1169 -=x y 的左右焦点，P 为双曲线右支上的一点， A 是12?PF F 的内切圆， A 与x 轴相切于点(,0)M m ，则m 的值为． 7.（东阳市2015届高三5月模拟考试，文13）点P 是双曲线 222 2 1(00)x y a b a b =>>- , 上一点， F 是右焦点，且OPF ?是120OFP ∠=?的等腰三角形（O 为坐标原点），则双曲线的离心率是 ▲ ．三．拔高题组 1.（衢州市2015年高三4月教学质量检测，文8）设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一点，其坐标(,)x y ≤b +取值范围为（） A. (]0,2 B. []1,2 C. [)1,+∞ D. [)2,+∞ 2.（浙江省杭州第二中学2015届高三仿真考，文7）如图，已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ．若∠P AQ = 60°且3OQ OP =，

高考数学圆锥曲线历年高考真题

浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点分成 5∶ 3的两段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0）的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0）的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定则动点 P 的轨迹是A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0）的右顶点条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面的斜．线．段．） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两则双曲线的离心率是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面内运动 , 使得点 A （0,2）。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0）的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的左、右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上．若 F 1A 5F 2B ,

全国一卷圆锥曲线高考题汇编含标准答案

圆锥曲线部分高考试题汇编（椭圆部分） 1、（2016全国Ⅰ卷）（20）（本小题满分12分）设圆2 2 2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.

2、（2015全国Ⅰ卷）（14）一个圆经过椭圆 22 1164 x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为。 3、（2014全国Ⅰ卷） 20.（本小题满分12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3 ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

4、（2016山东卷）（21）(本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞ 3，抛物线E ：22x y =的焦点 F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. （i ）求证：点M 在定直线上; （ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG V 的面积为1S ，PDM V 的面积为2S ，求1 2 S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

数学圆锥曲线测试高考题一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,

高考圆锥曲线大题

圆锥曲线经典大题 1.已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12 时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程； (2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 2.如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ?=?．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程。（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（2）求MA MB ?的最小值． 3.设点F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点. （1）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线的方程；（2）设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足 0·=FB FA ,分别延长 AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值. 4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB =

5.设椭圆22 2:12 x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2 :2 2-= a a x l 与x 轴交于点 A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆 ()12:2 2=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求?的最大值． 6.已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率e =顶点到渐近线（I ）（II ）求双曲线C 的方程； (II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1 ,[,2]3 AP PB λλ=∈，求AOB ?面积的取值范围。 7.一条双曲线2 212 x y -=的左、右顶点分别为A 1,A 2，点11(,)P x y ，11(,)Q x y -是双曲线上不同的两个动点。（1）求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式；（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且12l l ⊥ ,求h 的值。 8.已知：椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为 6 π ，原点到该直线的距离为23．（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点 )0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

圆锥曲线高考题汇编(带详细解析)

第八章圆锥曲线方程 ●考点阐释圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求．（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2 ＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（） A.－1 B.1 C. 5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，4 π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为（） A.（0，2 1） B.（ 2 2 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A.x ＝± y 215 B.y ＝± x 215 C.x ＝±y 4 3 D.y ＝±x 4 3 7.（2002天津理，1）曲线???==θ θ sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（） A.21 B.22 C.1 D.2

高考数学试题分类大全理科圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

(完整word版)2018年高考圆锥曲线大题

2018年高考圆锥曲线大题一．解答题（共13小题） 1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差． 2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．（1）证明：k＜﹣；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．

3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程． 4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k． 6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

江苏历年高考数学试题及答案汇编十圆锥曲线

江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线（2008-2018）试题 1、9．（5分）（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A （0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线 OE的方程为，请你完成直线OF的方程：． 2、12．（5分）（2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为． 3、13．（5分）（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．

高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程． (Ⅱ过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：求点G的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB 并延长交椭圆C1于点N，若. 求证： 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为 a. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tg;

（2）若2 <3 ，求椭圆率心率 e 的取值范围 . 5. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由 6. 在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件： ①；②；③∥ （1）求的顶点的轨迹方程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围 7. 设，为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若，且（Ⅰ）求动点M(x,y的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1直线AB过点（0，3），(2若，则OAPB为矩形，试求AB方程．

圆锥曲线高考题汇编[带详细解析]

第八章圆锥曲线方程 ●考点阐释圆锥曲线是解析几何的重点容，这部分容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容，体现了对各种能力的综合要求．（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（） A.－1 B.1 C.5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0， 4 π ），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值围为（） A.（0， 2 1 ） B.（ 22 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（） A.x ＝± y 2 15 B.y ＝± x 2 15

(完整版)圆锥曲线历年高考题ti

一、选择题： 1.(2007安徽文)椭圆1422=+y x 的离心率为（）（A ） 23 （B ）43 （C ）22 （D ）32 2.(2008上海文)设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1 22 2=+m y x 的离心率为21，则m=（） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆x 23 ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12

5．（2003北京文）如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（） A ．51 B ．52 C ．55 D ．552 6．（2002春招北京文、理）已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线的一支（D ）抛物线 7．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）（A ）32 （B ） 33 （C ）22 （D ）23 8.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）

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