第六章 振动与波

第六章 振动与波

振动:来回往复,周期性的运动。物理量随时间周期性变化,就称该物理量在振动。 机械振动(力学系统的振动):钟摆;乐器的弦线或簧片;声带;晶体中的原子;核磁共振仪中的试样原子;宇宙。

电磁振动(电磁学系统的振动):交流电路;微波炉中的电场与磁场;调谐电路。

波动:振动的传播

机械波(声波,水波,地震波等);电磁波 简谐振动的重要性:

(1)涉及机械振动的大多数问题,在小幅度振动的情况下,可简化为简谐振动; (2)复杂的振动可以看成是由许多简谐振动合成的;

(3)声学、光学、力学、电路、原子物理学都出现简谐振动的微分方程,简谐振动显示着许多物理系统的共同特征。

6.1 简谐振动的基本概念

基本内容和要求:(1)掌握简谐振动的解析表示、特征量以及动力学描述;(2)掌握简谐振动几何表示(旋转矢量法),能熟练绘出振动图线和旋转矢量图。

一、简谐振动的运动学描述:解析表示与特征量

基本模型:弹簧振子(简谐振子) 1 解析表示 )cos(0?ω+=t A x

2 特征量:

A 为振幅,单位m ;

ω

为角频率,单位rad/s;

第六章 振动与波

T 为周期,单位ν

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为频率,单位0?ω+t 为相位,单位rad;

0?为初相位,单位rad 3 速度与加速度

)2

cos()sin(00π?ωω?ωω++=+?==t A t A dt dx v )cos()cos(0202π?ωω?ωω++=+?==t A t A dt

dv a 注:(1)A v ω=max ;(2)x a 2

ω?= 4 振动曲线

讨论:如何由振动曲线判断位移与速度? 由振动曲线的斜率正负判断速度的方向; 由下一时刻的运动趋势判断速度的方向。 二、简谐振动的动力学描述

kx F ?=

这里,k 为正常数(对弹簧来说,k 就是劲度系数);x 为质点对平衡位置的位移(为平衡位置);这样的力0=x F 称为线性回复力。 在线性回复力的作用下,质点作简谐振动

由牛顿方程 kx dt

m ?=2 即 x m k dt x d ?=22

解得 )cos(0?ω+=t A x

第六章 振动与波

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0,?A 由运动的初始条件(即初速度、初位移)

决定。

000

0sin cos ?ω?A v A x ?==→00102020tan )(x v v x A ω?ω?=+=?

讨论:(1)由能量守恒关系确定振幅A

222020*********kx mv kx mv E +=+=(守恒) 在最大位移处,2020022

12121kx mv E kA +==

解得 k

A 0= 即 20

20)(ω

v x A += 此外,在平衡位置,02max 2

1E mv =,所以 A m E v ω==0max 2 (2)0?象限的确定

如果,则0,000<>v x 0?在第一象限;

如果,则0,000<

如果,则0,000>

如果,则0,000>>v x 0?在第四象限。

注意:0?象限的确定是本节重点。 (3)如果一个粒子在势场22

1)(kx x V =中运动,则该粒子一定作简谐振动。

kx dx

x dV F ?=?=)(

小结:振动周期决定于振动系统本身的性质;振幅决定于振动的能量;初相决定于对时间原点的选择。

例1 有N 个劲度系数分别为的轻

质弹簧。(1)将它们串联,求等效的劲度系数;(2)将它们并联,求等效的劲度系数。 N k k k ,...,,21解 (1)N N x k x k x k F ?==?=?= (2211)

)1...11( (2)

121N N k k k F x x x x +++?=+++= 即 x k k k F N 1 (111)

21+++?=

若记等效的劲度系数为K ,则

N k k k K 1 (111)

21+++= 或 N

k k k K 1...11121+++= (2)x k F x k F x k F N N ?=?=?=,...,,2211

x k k k F F F F N N )...(...2121+++?=+++=

若记等效的劲度系数为K ,则

N k k k K +++= (21)

例 2 一劲度系数为k 的轻质弹簧,下面挂一质量为的物体。以弹簧原长处为坐标原点,试求平衡位置,以及物体偏离平衡位置后的运动。

m 解 如图建立坐标系。

)(k

mg x k mg kx F +?=??= 物体以k

mg x ?=为平衡位置作简谐振动,角频率为m

k =ω。 例3 水面上浮沉的木块。试证明木块作简谐振动,并求振动周期。设木块的质量为m ,在水面上静止时没入水中的高度为H ,水的密度为0ρ。

解 如图建立坐标系。木块平衡时,

gHS mg 0ρ=

木块偏离平衡位置的位移为时,

x

gSx mg

S x H g F 00)(ρρ?=++?=

这里为木块截面积。可见,

S gS k 0ρ=

g H gS

HS k m T πρρππ22200===

例4 如图,一质量为的子弹以速度射入

静止的弹簧振子(质量为m 1v M )

。假定碰撞是瞬时的。以共同运动的时刻为0=t ,求简谐振动的角频率、振幅和初相位。 解 (1)m

M k +=ω (2)m M mv v +=10。因为2202

1)(21kA v m M =+,所以)

(1m M k mv A += 或者,因为A v ω=0,而m

M k +=ω,所以

)(10

m M k mv v A +==ω (3))cos(0?ω+=t A x

0sin 0

cos 0000

?=?

三、简谐振动实例

1 单摆

一根不能伸缩,长为l 的细绳,上端固定,下端系一个质量为的小球(质点)。

m 受力分析:如图,绳的张力与mg 的径向分力θcos mg 提供向心力;切向分力为θsin mg 。

设质点沿弧线的位移为,则x θl x =。由切线方向的牛顿方程

θsin 22mg dt

x d m F t ?== 注:分析上面的方程容易得到,加速度与质量无关;摆的周期与质量无关。

摆角很小时,l

x =≈θθsin ,方程可写成 x l mg dt x d m ?=22

等效于一质量为,劲度系数为m l

mg k =的弹簧振子。所以,可以立即得到:

l

g =ω

第六章 振动与波

讨论:

(1)单摆的周期与振幅无关。

(2)rad 08727.05max ==o θ,08716.05sin =o

, 3!

31sin θθθ?=。 (3)在o 5max =θ,上面的单摆周期公式,其

精度为万分之五。

(4)应用:测量重力加速度。

2 物体在稳定平衡位置附近的运动

设是稳定平衡点。在0x x =0x x =附近,

...)(21)()()(2022000

0+?+?+===x x dx u d x x dx du x U x U x x x x 在稳定平衡点,势能取极小值,即

00==x x dx du ,00

22>=x x dx u d 记k dx u d x x ==022,则200)(21)()(x x k x U x U ?+= )()(0x x k dx

x dU F ??=?= 所以,物体在稳定平衡点附近的小振动可以近似地看成简谐振动。 讨论:

0)(000=?==x F dx du x x ,000

22>?>=k dx u d x x 3 LC 谐振电路

C Q U U Q C C C =?=,22

dt Q d L dt di L L ?=?=ε

因为L C U ε=,所以

C Q dt

Q d L ?=22

与弹簧振子的运动方程kx dt x d m ?=22作类比 dt

dQ i dt dx v Q x C k L m =?=???,1, 立即得到 LC T π2=

)cos(0max ?ω+=t Q Q

0max ,?Q 由初始条件确定。

这里讨论: 对弹簧振子来说,222

121kx mv E +=,在振动过程中,动能和势能相互转化,机械能守恒;

对LC 谐振电路来说,C Q Li E 2

22121+=,在谐

振过程中,磁场能和电场能相互转化,总的电磁能守恒。

四、简谐振动的运动学描述:旋转矢量表示与振动的相位

作匀速圆周运动的质点在某一直径(取作轴)上的投影的运动就是简谐振动。圆周运动的角速度就等于振动的角频率;圆周运动的半径就等于振动的振幅;初始时刻作圆周运动的质点的矢径与轴的夹角就是振动的初相。

x x (1)参考圆

(2)旋转矢量:长度等于振幅;旋转角速度等于振动的角频率;与轴的夹角等于振动的相位。

x )cos()(0?ω+==t A A x x r

)sin()2

cos()(00?ωωπ?ωω+?=++==t A t A v v x m r )cos()cos()(0202?ωωπ?ωω+?=++==t A t A a a x m r 讨论:

(1)用相位表示简谐振动的质点运动状态 如果,则0,0<>v x ?在第一象限; 如果,则0,0<>v x ?在第四象限。

(2)相位差

)cos(101?ω+=t A x ,)cos(202?ω+=t A x 10201020)()(???ω?ω??=+?+=Δt t

即两个同频率的简谐振动在任意时刻的相位差总对于其初相位差。

同相:π?k 2±=Δ,,...2,1,0=k

反相:π?)12(+±=Δk ,,...2,1,0=k 超前与落后

例 一质点作简谐振动,振幅cm A 4=,角频率为12rad/s。初始时刻cm x 20=,速度为正。求:(1)振动表达式;(2)从初始位置回到平衡位置的最短时间。

解 (1))cos(0?ω+=t A x

由已知条件,cm A 4=,s rad /12=ω。作旋转矢量图,可得3

0π??=。所以 )3

12cos(04.0π?=t x (SI) (2)由旋转矢量图,ππ

πω6

523=+=Δt ,所以π725=Δt 秒。 例 一质点作简谐振动,周期为T 。当它由平衡位置向轴正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少?

x 解 由旋转矢量图,在此过程中相位的变化为3π,所以需要的时间为6

T 。 例 一质点作简谐振动,周期为T 。以余弦

函数表达振动时,初相位为零。在2

0T t ≤≤的范围内,系统在哪些时刻动能和势能相等?

提示:A x kA kx 2

221)21(2122±=?×= 答案:81T t =,8

32T t = 例 弹簧振子。m 4.0max =x ,,N 8.0max =F m/s 8.0max π=v 。0=t 时,m 2.00=x ,。求:(1)振动能量;(2)振动表达式。

00

max ==x F k ,m 4.0=A 。所以 J 16.02

12==kA E (2)m/s 8.0max πω==A v ,m 4.0=A 。所以

rad/s)(2πω= 由旋转矢量图,3

0π?=。因此,振动表达式为

)32cos(4.0ππ+=t x (SI)

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