第六章 振动与波

第六章 振动与波

振动：来回往复，周期性的运动。物理量随时间周期性变化，就称该物理量在振动。 机械振动（力学系统的振动）：钟摆；乐器的弦线或簧片；声带；晶体中的原子；核磁共振仪中的试样原子；宇宙。

电磁振动（电磁学系统的振动）：交流电路；微波炉中的电场与磁场；调谐电路。

波动：振动的传播

机械波（声波，水波，地震波等）；电磁波 简谐振动的重要性：

（1）涉及机械振动的大多数问题，在小幅度振动的情况下，可简化为简谐振动； （2）复杂的振动可以看成是由许多简谐振动合成的；

（3）声学、光学、力学、电路、原子物理学都出现简谐振动的微分方程，简谐振动显示着许多物理系统的共同特征。

6.1 简谐振动的基本概念

基本内容和要求：（1）掌握简谐振动的解析表示、特征量以及动力学描述；（2）掌握简谐振动几何表示（旋转矢量法），能熟练绘出振动图线和旋转矢量图。

一、简谐振动的运动学描述：解析表示与特征量

基本模型：弹簧振子（简谐振子） 1 解析表示 )cos(0?ω+=t A x

2 特征量：

A 为振幅，单位m ；

ω

为角频率，单位rad/s；

T 为周期，单位ν

为频率，单位0?ω+t 为相位，单位rad；

0?为初相位，单位rad 3 速度与加速度

)2

cos()sin(00π?ωω?ωω++=+?==t A t A dt dx v )cos()cos(0202π?ωω?ωω++=+?==t A t A dt

dv a 注：（1）A v ω=max ；（2）x a 2

ω?= 4 振动曲线

讨论：如何由振动曲线判断位移与速度？ 由振动曲线的斜率正负判断速度的方向； 由下一时刻的运动趋势判断速度的方向。 二、简谐振动的动力学描述

kx F ?=

这里，k 为正常数（对弹簧来说，k 就是劲度系数）；x 为质点对平衡位置的位移（为平衡位置）；这样的力0=x F 称为线性回复力。 在线性回复力的作用下，质点作简谐振动

由牛顿方程 kx dt

m ?=2 即 x m k dt x d ?=22

解得 )cos(0?ω+=t A x

0,?A 由运动的初始条件（即初速度、初位移）

决定。

000

0sin cos ?ω?A v A x ?==→00102020tan )(x v v x A ω?ω?=+=?

讨论：（1）由能量守恒关系确定振幅A

222020*********kx mv kx mv E +=+=（守恒） 在最大位移处，2020022

12121kx mv E kA +==

解得 k

A 0= 即 20

20)(ω

v x A += 此外，在平衡位置，02max 2

1E mv =，所以 A m E v ω==0max 2 （2）0?象限的确定

如果，则0,000<>v x 0?在第一象限；

如果，则0,000<

如果，则0,000>

如果，则0,000>>v x 0?在第四象限。

注意：0?象限的确定是本节重点。 （3）如果一个粒子在势场22

1)(kx x V =中运动，则该粒子一定作简谐振动。

kx dx

x dV F ?=?=)(

小结：振动周期决定于振动系统本身的性质；振幅决定于振动的能量；初相决定于对时间原点的选择。

例1 有N 个劲度系数分别为的轻

质弹簧。（1）将它们串联，求等效的劲度系数；（2）将它们并联，求等效的劲度系数。 N k k k ,...,,21解 （1）N N x k x k x k F ?==?=?= (2211)

)1...11( (2)

121N N k k k F x x x x +++?=+++= 即 x k k k F N 1 (111)

21+++?=

若记等效的劲度系数为K ，则

N k k k K 1 (111)

21+++= 或 N

k k k K 1...11121+++= （2）x k F x k F x k F N N ?=?=?=,...,,2211

x k k k F F F F N N )...(...2121+++?=+++=

若记等效的劲度系数为K ，则

N k k k K +++= (21)

例 2 一劲度系数为k 的轻质弹簧，下面挂一质量为的物体。以弹簧原长处为坐标原点，试求平衡位置，以及物体偏离平衡位置后的运动。

m 解 如图建立坐标系。

)(k

mg x k mg kx F +?=??= 物体以k

mg x ?=为平衡位置作简谐振动，角频率为m

k =ω。 例3 水面上浮沉的木块。试证明木块作简谐振动，并求振动周期。设木块的质量为m ，在水面上静止时没入水中的高度为H ，水的密度为0ρ。

解 如图建立坐标系。木块平衡时，

gHS mg 0ρ=

木块偏离平衡位置的位移为时，

x

gSx mg

S x H g F 00)(ρρ?=++?=

这里为木块截面积。可见，

S gS k 0ρ=

g H gS

HS k m T πρρππ22200===

例4 如图，一质量为的子弹以速度射入

静止的弹簧振子（质量为m 1v M ）

。假定碰撞是瞬时的。以共同运动的时刻为0=t ，求简谐振动的角频率、振幅和初相位。 解 （1）m

M k +=ω （2）m M mv v +=10。因为2202

1)(21kA v m M =+，所以)

(1m M k mv A += 或者，因为A v ω=0，而m

M k +=ω，所以

)(10

m M k mv v A +==ω （3）)cos(0?ω+=t A x

0sin 0

cos 0000

?=?

三、简谐振动实例

1 单摆

一根不能伸缩，长为l 的细绳，上端固定，下端系一个质量为的小球（质点）。

m 受力分析：如图，绳的张力与mg 的径向分力θcos mg 提供向心力；切向分力为θsin mg 。

设质点沿弧线的位移为，则x θl x =。由切线方向的牛顿方程

θsin 22mg dt

x d m F t ?== 注：分析上面的方程容易得到，加速度与质量无关；摆的周期与质量无关。

摆角很小时，l

x =≈θθsin ，方程可写成 x l mg dt x d m ?=22

等效于一质量为，劲度系数为m l

mg k =的弹簧振子。所以，可以立即得到：

l

g =ω

讨论：

（1）单摆的周期与振幅无关。

（2）rad 08727.05max ==o θ，08716.05sin =o

， 3!

31sin θθθ?=。 （3）在o 5max =θ，上面的单摆周期公式，其

精度为万分之五。

（4）应用：测量重力加速度。

2 物体在稳定平衡位置附近的运动

设是稳定平衡点。在0x x =0x x =附近，

...)(21)()()(2022000

0+?+?+===x x dx u d x x dx du x U x U x x x x 在稳定平衡点，势能取极小值，即

00==x x dx du ，00

22>=x x dx u d 记k dx u d x x ==022，则200)(21)()(x x k x U x U ?+= )()(0x x k dx

x dU F ??=?= 所以，物体在稳定平衡点附近的小振动可以近似地看成简谐振动。 讨论：

0)(000=?==x F dx du x x ，000

22>?>=k dx u d x x 3 LC 谐振电路

C Q U U Q C C C =?=,22

dt Q d L dt di L L ?=?=ε

因为L C U ε=，所以

C Q dt

Q d L ?=22

与弹簧振子的运动方程kx dt x d m ?=22作类比 dt

dQ i dt dx v Q x C k L m =?=???,1, 立即得到 LC T π2=

)cos(0max ?ω+=t Q Q

0max ,?Q 由初始条件确定。

这里讨论： 对弹簧振子来说，222

121kx mv E +=，在振动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒；

对LC 谐振电路来说，C Q Li E 2

22121+=，在谐

振过程中，磁场能和电场能相互转化，总的电磁能守恒。

四、简谐振动的运动学描述：旋转矢量表示与振动的相位

作匀速圆周运动的质点在某一直径（取作轴）上的投影的运动就是简谐振动。圆周运动的角速度就等于振动的角频率；圆周运动的半径就等于振动的振幅；初始时刻作圆周运动的质点的矢径与轴的夹角就是振动的初相。

x x （1）参考圆

（2）旋转矢量：长度等于振幅；旋转角速度等于振动的角频率；与轴的夹角等于振动的相位。

x )cos()(0?ω+==t A A x x r

)sin()2

cos()(00?ωωπ?ωω+?=++==t A t A v v x m r )cos()cos()(0202?ωωπ?ωω+?=++==t A t A a a x m r 讨论：

（1）用相位表示简谐振动的质点运动状态 如果，则0,0<>v x ?在第一象限； 如果，则0,0<>v x ?在第四象限。

（2）相位差

)cos(101?ω+=t A x ，)cos(202?ω+=t A x 10201020)()(???ω?ω??=+?+=Δt t

即两个同频率的简谐振动在任意时刻的相位差总对于其初相位差。

同相：π?k 2±=Δ，,...2,1,0=k

反相：π?)12(+±=Δk ，,...2,1,0=k 超前与落后

例 一质点作简谐振动，振幅cm A 4=，角频率为12rad/s。初始时刻cm x 20=，速度为正。求：（1）振动表达式；（2）从初始位置回到平衡位置的最短时间。

解 （1）)cos(0?ω+=t A x

由已知条件，cm A 4=，s rad /12=ω。作旋转矢量图，可得3

0π??=。所以 )3

12cos(04.0π?=t x （SI） （2）由旋转矢量图，ππ

πω6

523=+=Δt ，所以π725=Δt 秒。 例 一质点作简谐振动，周期为T 。当它由平衡位置向轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少？

x 解 由旋转矢量图，在此过程中相位的变化为3π，所以需要的时间为6

T 。 例 一质点作简谐振动，周期为T 。以余弦

函数表达振动时，初相位为零。在2

0T t ≤≤的范围内，系统在哪些时刻动能和势能相等？

提示：A x kA kx 2

221)21(2122±=?×= 答案：81T t =，8

32T t = 例 弹簧振子。m 4.0max =x ，，N 8.0max =F m/s 8.0max π=v 。0=t 时，m 2.00=x ，。求：（1）振动能量；（2）振动表达式。

00

max ==x F k ，m 4.0=A 。所以 J 16.02

12==kA E （2）m/s 8.0max πω==A v ，m 4.0=A 。所以

rad/s)(2πω= 由旋转矢量图，3

0π?=。因此，振动表达式为

)32cos(4.0ππ+=t x （SI）

(完整版)机械振动和机械波练习题【含答案】

机械振动和机械波练习题 一、选择题 1．关于简谐运动的下列说法中，正确的是[ ] A．位移减小时，加速度减小，速度增大 B．位移方向总跟加速度方向相反，跟速度方向相同 C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度方向跟位移方向相同 D．水平弹簧振子朝左运动时，加速度方向跟速度方向相同，朝右运动时，加速度方向跟速度方向相反 2．弹簧振子做简谐运动时，从振子经过某一位置A开始计时，则[ ] A．当振子再次与零时刻的速度相同时，经过的时间一定是半周期 B．当振子再次经过A时，经过的时间一定是半周期 C．当振子的加速度再次与零时刻的加速度相同时，一定又到达位置A D．一定还有另一个位置跟位置A有相同的位移 3．如图1所示，两木块A和B叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，A与B之间的最大静摩擦力为f，B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子。为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，则[ ] 4．若单摆的摆长不变，摆球的质量增为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减少为原来的二分之一，则单摆的振动跟原来相比 [ ] A．频率不变，机械能不变B．频率不变，机械能改变 C．频率改变，机械能改变D．频率改变，机械能不变 5．一质点做简谐运动的振动图象如图2所示，质点在哪两段时间内的速度与加速度方向相同[ ] A．0～0.3s和0.3～0.6s B．0.6～0.9s和0.9～1.2s C．0～0.3s和0.9～1.2s D．0.3～0.6s和0.9～1.2s

6．如图3所示，为一弹簧振子在水平面做简谐运动的位移一时间图象。则此振动系统[ ] A．在t1和t3时刻具有相同的动能和动量 B．在t3和t4时刻振子具有相同的势能和动量 C．在t1和t4时刻振子具有相同的加速度 D．在t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1 7．摆A振动60次的同时，单摆B振动30次，它们周期分别为T1和T2，频率分别为f1和f2，则T1∶T2和f1∶f2分别等于[ ] A．2∶1，2∶1B．2∶1，1∶2 C．1∶2，2∶1 D．1∶1，1∶2 8．一个直径为d的空心金属球壳内充满水后，用一根长为L的轻质细线悬挂起来形成一个单摆，如图4所示。若在摆动过程中，球壳内的水从底端的小孔缓慢泄漏，则此摆的周期[ ] B．肯定改变，因为单摆的摆长发生了变化 C．T1先逐渐增大，后又减小，最后又变为T1 D．T1先逐渐减小，后又增大，最后又变为T1 9．如图5所示，AB为半径R=2m的一段光滑圆糟，A、B两点在同一水平高度上，且AB弧长20cm。将一小球由A点释放，则它运动到B点所用时间为[ ]

振动和波 (5)

头头（尾尾）相对法： 在波形图的波峰（或波谷）上画出一个箭头表示波的传播方向，波峰（或波谷）两边波形上分别画出两个箭头表示质点的振动方向，那么这三个箭头总是头头相对，尾尾相对，如图（丙）所示： 平移法： 将原波形（实线）沿波的传播方向平移λ/4后（虚线），则从原波形中平衡位置沿y轴指向虚线最大位移处的方向，表示原波形中质点的振动方向．图 ( 丁)所示 (4)已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移： 求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵扯质点的初始状态，用正弦函数较复杂，但Δt 若为半周期T/2的整数倍则很容易．在半周期内质点的路程为2A.若，n=1，2，3...... 则路程s=2A·n，其中。当质点的初始位移（相对平衡位置）为x1＝x0时，经T/2的奇数倍时x2＝x0，经T/2的偶数倍时x1＝x0。 (5)应用Δx= v·Δt时注意： ①因为Δx=nλ＋x，Δt= nT+t，应用时注意波动的重复性;v有正有负，应用时注意波传播的双向性． ②由Δx，Δt求v时注意多解性． ☆波的干涉和衍射：

1. 波的叠加： 几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰．只是在重叠的区域里，任一质点的总位移等于各列波分别引起的位移的矢量和． 2. 衍射： 波绕过障碍物继续传播的现象．产生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小或与波长相差不多． 3. 干涉： 频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，使某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域相互间隔的现象．产生稳定的千涉现象的必要条件：两列波的频率相同． 4．干涉和衍射是波所特有的现象．波同时还可以发生反射，如回声． 5．干涉图样：两列波在空间相遇发生干涉，其稳定的干涉图样如下图所示． 其中a点是两列波的波峰，相遇点为加强的；点，b点为波峰和波谷的相遇点，是减弱的点．加强的点只是振幅大了，并非任一时刻的位移都大；减弱的点只是振幅小了，也并非任一时刻的位移都最小． 若两波源的振动步调一致，某点到两波源的距离之差为波长的整数倍，则该点为加强点；某点到两波源的距离为半波长的奇数倍，则该点为减弱点．

大学物理振动与波练习题与答案

第二章 振动与波习题答案 12、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2 10 0.2-?=A 米，周期50.0=T 秒，当0 =t 时 (1) 物体在正方向的端点； (2) 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动； (4) 物体在平衡位置，向正方向运动。 求以上各种情况的谐振动方程。 【解】：π=π = ω45 .02 )m () t 4cos(02.0x ?+π=， )s /m ()2 t 4cos(08.0v π+?+ππ= (1) 01)cos(=?=?，， )m () t 4cos(02.0x π= (2) π=?-=?，1)cos(， )m () t 4cos(02.0x π+π= (3) 2 1)2cos(π=?-=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π+π= (4) 21)2cos(π-=?=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π-π= 13、已知一个谐振动的振幅02.0=A 米，园频率πω 4=弧度／秒， 初相2/π=?。 (1) 写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。 【解】：)m () 2 t 4cos(02.0x π+π= ， )(2 12T 秒=ωπ= 15、图中两条曲线表示两个谐振动 (1) 它们哪些物理量相同，哪些物理量不同? (2) 写出它们的振动方程。

【解】：振幅相同，频率和初相不同。 虚线： )2 t 2 1cos(03.0x 1π-π= 米 实线： t cos 03.0x 2π= 米 16、一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程为 t 3cos 4x 1= 厘米 )3 2t 3cos(2x 2π+= 厘米 试用旋转矢量法求出合振动方程。 【解】：)cm () 6 t 3cos(32x π+= 17、设某一时刻的横波波形曲线如图所示，波动以1米／秒的速度沿水平箭头方向传播。 (1) 试分别用箭头表明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 各质点在该时刻的运动方向； (2) 画出经过1秒后的波形曲线。 【解】： 18、波源作谐振动，其振动方程为(m ))240(1043t cos y π-?=，它所形成的波以30m/s 的速度沿一直线传播。

大学物理 机械振动与机械波

大学物理单元测试 （机械振动与机械波） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 （25分） 1 一质点作周期为T 的简谐运动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为（ D ） (A ）T/2 （B ）T/4 (C)T/8 （D ）T/12 2 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ E ） (A ）7/16 (B ）9/16 (C ）11/16 (D ）13/16 (E ）15/16 3 一质点作简谐运动，其振动方程为 )3 2cos( 24.0π π + =t x m, 试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到 x =-0.12 m,v <0的状态所经过的最短时间。 （C ） （A ）0.24s （B ） 3 1 （C ）3 2 （D ）2 1 4 一平面简谐波的波动方程为：)(2cos λνπx t A y - =，在ν 1 = t 时刻，4 31λ= x 与 4 2λ = x 两处质点速度之比：（ B ） （A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）1/3 5 一平面简谐机械波在弹性介质中传播,下述各结论哪个正确？（ D ） (A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒. (B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同 (C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同. (D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大. 二、填空题（25分） 1 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.3 2 N/m ，重物的质量为0.02 kg ，则这个系统的固有频率为____0.64 Hz ____，相应的振动周期为___0.5π s______． 2 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比 ν1：ν2 = _2:1__ __，加速度最大值之比a 1m ：a 2m = __4:1____，初始速率之比 v 10 ：v 20 = _2:1__ ___.

第五讲机械振动和机械波

第五讲 机械振动和机械波 §５．1简谐振动 ５．1.1、简谐振动的动力学特点 如果一个物体受到的回复力回F 与它偏离平衡位置的位移x 大小成正比,方向相反。即满足： K F -=回的关系,那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律,物体的加速度m K m F a -== 回，因此作简谐振 动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比,方何相反。 现有一劲度系数为k 的轻质弹簧,上端固定在P 点,下端固定一个质量为m 的物体，物体平衡时的位置记作Ｏ点。现把物体拉离O 点后松手,使其上下振动，如图５-１－1所示。 当物体运动到离O 点距离为ｘ处时，有 mg x x k mg F F -+=-=)(0回 式中0x 为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有mg kx =0 ,因此 kx F =回 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x 成正比。因回复力指向平衡位置O,而位移x 总是背离平衡位置,所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。 5.1.２、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。可引入一个连续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O 为圆心,以振幅A 为半径作 圆，这圆就称为参考圆，如图5－1-２，设有一质点在参考圆上以角速度ω作匀速圆周运动，它在开始时与O 的连线跟x 轴夹角为0?,那么在时刻ｔ,参考圆上的质点与O 的连线跟x 的夹角就成为0?ω?+=t ,它在x 轴上的投影点的坐标 )cos(0?ω+=t A x （2） 这就是简谐振动方程,式中0?是ｔ=0时的相位，称为初相:0?ω+t 是t 时刻的相位。 参考圆上的质点的线速度为ωA ,其方向与参考圆相切，这个线速度在x 轴上的投影是 0cos(?ωω+-=t A v ) （3） 这也就是简谐振动的速度 参考圆上的质点的加速度为2 ωA ，其方向指向圆心，它在x 轴上的投影是 02 cos(?ωω+-=t A a ) (４） 这也就是简谐振动的加速度 图 5-1-1 图5-1-2

机械振动与机械波相结合的综合应用(教案)

机械振动与机械波相结合的综合应用 【教学目标】 1、通过对比简谐运动与简谐波，掌握简谐运动与简谐波的特征及描述方法。 2、知道简谐运动与简谐波相结合的综合题的题型，掌握解决此类问题的基本方法。 【教学过程】 一、核心知识 1、研究对象：简谐运动、简谐波 2、简谐运动与简谐波的对比 学生活动：学生先讨论课前独立填写的学案中的下表中红色内容（2分钟）， 学生活动：①学生先小组讨论学案上按要求完成的内容（每一类问题2分钟），然后展示要难点问题，提请全班讨论解决。②第三类题型讨论完后，总结合归纳解题基本方法。 老师活动：①老师对重点突破共同难点问题，突破方法是通过提前预设的PPT 进行分析。②对学生归纳的解题方法进行提炼和深化。③强调解题规范。 1、已知波的传播和波上质点振动的部分信息，分析问题 【例1】（2016年全国Ⅲ卷，34（1））（5分）由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播。波源振动的频率为20 Hz，波速为16 m/s。已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q 的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为 m、 m，P、Q开始震动后，下列判断正确的是_____。（填正确答案标号。选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分。每选错1个扣3分，最低得分为0分）

A ．P 、Q 两质点运动的方向始终相同 B ．P 、Q 两质点运动的方向始终相反 C ．当S 恰好通过平衡位置时，P 、Q 两点也正好通过平衡位置 D ．当S 恰好通过平衡位置向上运动时，P 在波峰 E ．当S 恰好通过平衡位置向下运动时，Q 在波峰 【答案】BDE 【考点】波的图像，波长、频率和波速的关系 【解析】根据题意信息可得1s 0.05s 20 T ==，16m/s v =，故波长为0.8m vT λ==，找P 点关于S 点的对称点P '，根据对称性可知P '和P 的振动情况 完全相同，P '、Q 两点相距15.814.630.80.82x λλ???=-= ??? ，为半波长的整数倍，所以两点为反相点，故P '、Q 两点振动方向始终相反，即P 、Q 两点振动方向始终相反， A 错误 B 正确；P 点距离S 点3194 x λ=，当S 恰好通过平衡位置向上振动时，P 点在波峰，同理Q 点距离S 点1184 x λ'=,当S 恰好通过平衡位置向下振动时，Q 点在波峰，DE 正确。 巩固练习：（2016年全国Ⅱ卷，34（2）））（10分）一列简谐横波在介质中沿x 轴正向传播，波长不小于10cm ．O 和A 是介质中平衡位置分别位于x =0和x=5cm 处的两个质点．t=0时开始观测，此时质点O 的位移为y =4cm ，质点A 处于波峰位置；1s 3 t =时，质点O 第一次回到平衡位置，t=1s 时，质点A 第一次回到平衡位置．求: （ⅰ）简谐波的周期、波速和波长；（ⅱ）质点O 的位移随时间变化的关系式． 【答案】（i ）T =4s ，v =s ，λ=30cm （ii ）50.08sin(t )26y ππ=+或者10.08cos(t )23y ππ=+ 【解析】（i ）t =0s 时，A 处质点位于波峰位置 t =1s 时，A 处质点第一次回到平衡位置可知1s 4 T =，T =4s 1s 3 t =时，O 第一次到平衡位置，t =1s 时，A 第一次到平衡位置 可知波从O 传到A 用时2s 3 ，传播距离x =5cm 故波速7.5cm /s x v t ==，波长λ=vT =30cm （ⅱ）设0sin(t )y A ω?=+，可知2rad/s 2T ππω== 又由t =0s 时，y =4cm ；1s 3t =，y =0，代入得A =8cm ，再结合题意得056 ?π= 故50.08sin(t )26y ππ=+或者10.08cos(t )23 y ππ=+ 2、已知两个时刻的波形图和部分信息，分析问题 【例2】（2018年全国Ⅲ，34（1））(5分)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，在t =0和t = s 时的波形分别如图中实线和虚线所示。己知该波的周期T > s 。下列

(完整word版)机械振动和机械波测试题

高二物理选修3-4《机械振动、机械波》试题 班级： 姓名： 成绩： 一、选择题 1．关于机械振动和机械波下列叙述正确的是：（ ） A ．有机械振动必有机械波 B ．有机械波必有机械振动 C ．在波的传播中，振动质点并不随波的传播发生迁移 D ．在波的传播中，如振源停止振动，波的传播并不会立即停止 2.关于单摆下面说法正确的是（ ） A ．摆球运动的回复力总是由摆线的拉力和重力的合力提供的 B ．摆球运动过程中经过同一点的速度是不变的 C ．摆球运动过程中加速度方向始终指向平衡位置 D ．摆球经过平衡位置时加速度不为零 3.两个质量相同的弹簧振子，甲的固有频率是3f ．乙的固有频率是4f ，若它们均在频率为5f 的驱动力作用下做受迫振动．则（ ） A 、振子甲的振幅较大，振动频率为3f B 、振子乙的振幅较大．振动频率为4f C 、振子甲的振幅较大，振动频率为5f D 、振子乙的振幅较大．振动频率为5f 4.如图所示，水平方向上有一弹簧振子， O 点是其平衡位置，振子在a 和b 之间做简谐运动，关于振子下列说法正确的是（ ） A ．在a 点时加速度最大，速度最大 B ．在O 点时速度最大，位移最大 C ．在b 点时位移最大，回复力最大 D ．在b 点时回复力最大，速度最大 5．一质点在水平方向上做简谐运动。如图，是该质点在s 40-内 的振动图象，下列叙述中正确的是（ ） A ．再过1s ，该质点的位移为正的最大值 B ．再过2s ，该质点的瞬时速度为零 C ．再过3s ，该质点的加速度方向竖直向上 D ．再过4s ，该质点加速度最大 6．一质点做简谐运动时，其振动图象如图。由图可知，在t 1和t 2 时刻，质点运动的（ ） A ．位移相同 B ．回复力大小相同 C ．速度相同 D ．加速度相同 7．一质点做简谐运动，其离开平衡位置的位移x 与时间t 的关系 如图所示，由图可知（ ） A ．质点振动的频率为4Hz B ．质点振动的振幅为2cm C ．在t=3s 时刻，质点的速率最大 D ．在t=4s 时刻，质点所受的合力为零 8．如图所示，为一列沿x 轴正方向传播的机械波在某一时刻的图像，由图可知，这列波的振幅A 、波长λ和x=l 米处质点的速度方向分别为：（ ） 4 cm x /s t /x t 1t 2 t 00 x 0 -cm x /s t /02-1352 4

第章机械振动与机械波

第章机械振动与机械波 Final revision on November 26, 2020

第3章 机械振动与机械波 3-1判断下列运动是否为简谐振动 （1） 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动； （2） 活塞的往复运动； （3） 质点的运动方程为sin(/3)cos(/6)x a t b t ωπωπ=+++ （4） 质点的运动方程为cos(/3)cos(2)x a t b t ωπω=++ （5） 质点摆动角度的微分方程为 2221050d dt θ θ++= 答：（1）是简谐振动，类似于单摆运动； （2）不是简谐振动； （3）是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （4）不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； （5）不是简谐振动。 3-2物体沿x 轴作简谐振动，振幅A =m ，周期T =2s 。当0=t 时，物体的位移x =m ，且向x 轴正方向运动。 求：(1)此简谐振动的表达式； (2)4 T t =时物体的位置、速度和加速度； (3)物体从06.0-=x m 向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。 解：（1）设此简谐振动的表达式为：0cos()x A t ω?=+， 则振动速度0sin()dx A t dt υωω?= =-+, 振动加速度2202cos()d x a A t dt ωω?==-+ 由题意可知：0.12A =m ，2T =s ，则22T π ω= =(rad/s) 又因为0t =时0.06x =m 且0υ>，把初始运动状态代入有： 00.060.12cos ?=，则03 π ?=± 又因为0t =时0sin 0A υω?=->，所以03 π ?=- 时 故此简谐振动的表达式为：0.12cos()3 x t π π=- m (2) 把4 T t =代入简谐振动表达式： 1 0.12cos()0.10423 x π π=?-==（m ）

机械振动与机械波(计算题)

机械振动与机械波(计算题) 1．(16分)如图甲是某简谐横波在t=0时刻的图像，如图乙是A 点的振动图像，试求： （1）A 点的振幅多大、此时振动的方向如何？ （2）该波的波长和振动频率。 （3）该波的波速的大小及方向如何？ 2．（10分）如图1所示，一列简谐横波沿x 轴正方向传播，波速为v = 80m/s 。P 、S 、Q 是波传播方向上的三个质点，已知距离PS = 0.4m 、SQ = 0.2m 。在t = 0的时刻，波源P 从平衡位置（x = 0，y = 0）处开始向上振动（y 轴正方向），振幅为15cm ，振动周期T = 0.01s 。 （1）求这列简谐波的波长λ ； （2）在图2中画出质点P 的位移—时间图象（在图中标出横轴的标度，至少画出一个周期）； （3）在图3中画出波传到Q 点时的波形图（在图中标出横轴的标度）。 3．(9分) (1)下列说法中正确的是________． A ．水面上的油膜在阳光照射下会呈现彩色，这是由光的衍射造成的 B ．根据麦克斯韦的电磁场理论可知，变化的电场周围一定可以产生变化的磁场 C ．狭义相对论认为：不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 D ．在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，测量单摆周期应该从小球经过最大位移处开始计时，以减小实验误差 (2)如图9所示，一个半径为R A 点沿水平y /c t/×0 15－ 图2 y /c m 0 15－ 图3 v S P Q 图1 x 2 0 t / ×10s y /cm x/m y /cm 4 -2- 5 2 6 - 10 A 甲

方向射入球体后经B点射出，最后射到水平面上的C点．已知OA β＝________；若换用一束红光同样从A 点射向该球体，则它从球体射出后落到水平面上形成的光点与C点相比，位置________(填“偏左”、“偏右”或“不变”)． (3)一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为2 s，t＝0时刻的波形如图10所示．该列波的波速是________m/s；质点a平衡位置的坐标x a＝2.5 m，再经________s它第一次经过平衡位置向y轴正方向运动． 4．如图12－2－12甲所示，在某介质中波源A、B相距d＝20 m，t＝0时两者开始上下振动，A只振动了半个周期，B连续振动，所形成的波的传播速度都为v＝1.0 m/s，开始阶段两波源的振动图象如图乙所示． (1)定性画出t＝14.3 s时A波所达位置一定区域内的实际波形； (2)求时间t＝16 s内从A发出的半波前进过程中所遇到的波峰个数． 5．如图12－2－11所示，实线是某时刻的波形图，虚线是0.2 s后的波形图． (1)若波沿x轴负方向传播，求它传播的可能距离． (2)若波沿x轴正方向传播，求它的最大周期． (3)若波速是35 m/s，求波的传播方向． 6．如图12－2－9所示，空间同一平面上有A、B、C三点，AB＝5 m，BC＝4 m，AC＝3 m，A、C两点处有完全相同的波源，振动频率为1360 Hz，波速为340 m/s，则BC连线上振动最弱的位置有几处？

第五章晶格振动习题和答案

第五章 晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1)(/-= T k B e n ωω 因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T k B e ω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下， 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H B T k e ω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度 高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答] 温度很高时，T k e B T k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω T k e n B T k B ≈-= 1 1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射

2018年机械振动和机械波专题复习

知识点一：振动图像（物理意义、质点振动方向）与波形图（物理意义、传播方向与振动方向），回复力、位移、速度、加速度等分析 1.悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期为2 s,从最低点的位置向上运动时开始计时,它的振动图像如图所示,由图 可知?( ) A.t=1.25 s 时振子的加速度为正,速度为正 B.t=1.7 s 时振子的加速度为负,速度为负 C.t=1.0 s 时振子的速度为零,加速度为负的最大值 D.t=1.5 s 时振子的速度为零,加速度为负的最大值 2.如图甲所示,一弹簧振子在A 、B 间做简谐运动,O 为平衡位置,如图乙是振子做简谐运动时的位移-时间图像,则 关于振子的加速度随时间的变化规律,下列四个图像(选项)中正确的是?( ) 3.如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O 点为平衡位置，在a 、 b 两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示。由振动图象可以得知 A ．振子的振动周期等于t 1 B ．在t =0时刻，振子的位置在a 点 C ．在t =t 1时刻，振子的速度为零 D ．从t 1到t 2，振子正从O 点向b 点运动 4．一简谐机械波沿x 轴正方向传播，周期为T ，波长为λ。若在 振动图像如右图所示，则该波在t=T /2时刻的波形曲线为（ 5.一列横波沿x 轴正向传播，a 、b 、c 、d 为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图1 所示，此后，若经过3/4周期开始计时，则图2描述的是 A.a 处质点的振动图象 B.b 处质点的振动图象 C.c 处质点的振动图象 D.d 处质点的振动图象 A y

6．如图所示，甲图为一列简谐横波在t=0.2s 时刻的波动图象，乙图为这列波上质点P 的振动图象，则该波 A ．沿x 轴负方传播，波速为0.8m/s B ．沿x 轴正方传播，波速为0.8m/s C ．沿x 轴负方传播，波速为5m/s D ．沿x 轴正方传播，波速为5m/s 7.如图所示是一列沿x 轴传播的简谐横波在某时刻的波形图。已知a 质点的运动状态总是滞后于b 质点0.5s ，质点b 和质点c 之间的距离是5cm 。下列说法中正确的是 A ．此列波沿x 轴正方向传播 B ．此列波的频率为2Hz C ．此列波的波长为10cm D ．此列波的传播速度为5cm/s 8.一列向右传播的简谐横波在某一时刻的波形如图所示，该时刻，两个质量相同的质点P 、Q 到平衡位置的距离相等。关于P 、Q 两个质点，以下说法正确的是（ ） A ．P 较Q 先回到平衡位置 B ．再经 4 1 周期，两个质点到平衡位置的距离相等 C ．两个质点在任意时刻的动量相同 D ．两个质点在任意时刻的加速度相同 9．在介质中有一沿水平方向传播的简谐横波。一质点由平衡位置竖直向上运动，经0.1 s 到达最大位移处．在 这段时间内波传播了0.5 m 。则这列波（ ） A ．周期是0.2 s B ．波长是0.5 m C ．波速是2 m/s D ．经1.6 s 传播了8 m 10.如图所示，两列简谐横波分别沿x 轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x=-0.2m 和x=1.2m 处，两列波的速度大小均为v=0.4m/s ，两波源的振幅均为A=2cm 。图示为t=0时刻两列波的图象（传播方向如图所示），该时刻平衡位置位于x=0.2m 和x=0.8m 的P 、Q 两质点刚开始振动，质点M 的平衡位置处于x=0.5m 处。关于各质点运动情况的判断正确的是（ ） A. t=0时刻质点P 、Q 均沿y 轴正方向运动 B. t=1s 时刻，质点M 的位移为－4cm C. t=1s 时刻，质点M 的位移为＋4cm D. t=0.75s 时刻，质点P 、Q 都运动到x=0.5m x /10-1 m y /cm -2 2 4 6 8 10 12 v 2 -2 v P Q M /m t /s

江苏省南京市金陵中学高中物理竞赛《力学教程第五讲 机械振动和机械波》教案

力学教程第五讲 机械振动和机械波 5．1．1、简谐振动的动力学特点 如果一个物体受到的回复力回F 与它偏离平衡位置的位移x 大小成正比，方向相反。即满 足：x K F 回的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度 m K m F a 回，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏 离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。 现有一劲度系数为k 的轻质弹簧，上端固定在P 点，下端固定一个质量为m 的物体，物体平衡时的位置记作O 点。现把物体拉离O 点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。 当物体运动到离O 点距离为x 处时，有 mg x x k mg F F )(0回 式中0x 为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有mg kx 0， 因此 kx F 回 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x 成正比。因回复力指向平衡位置O ，而位移x 总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。 注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。 5．1．2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O 为圆心，以振幅A 为半径作圆，这圆就 称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度 作匀速圆周运动，它在开始时与O 的连线跟x 轴夹角为0 ,那么在时刻t ，参考圆上的质点与O 的连线跟x 的夹角就成为 0 t ，它在x 轴上的投影点的坐标 )cos(0 t A x （2） 这就是简谐振动方程，式中0 是t=0时的相位，称为初相： 0 t 是t 时刻的相位。 参考圆上的质点的线速度为 A ，其方向与参考圆相切，这个线速度在x 轴上的投影是 0cos( t A v ） （3） 这也就是简谐振动的速度 参考圆上的质点的加速度为2 A ，其方向指向圆心，它在x 轴上的投影是 02 cos( t A a ） （4） 图5-1-1 图5-1-2

机械振动和机械波知识点总结

机械振动和机械波 一、知识结构 二、重点知识回顾 1机械振动 （一）机械振动 物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。 产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。（二）简谐振动 1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中

“－”号表示力方向跟位移方向相反。 2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。 3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。 （三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。 1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。 2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。 （四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。 细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在圆弧切线方向的分力。单摆的周期公式是T=。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g 是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。 （五）振动图象。 简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。 （六）机械振动的应用——受迫振动和共振现象的分析

大学物理 振动与波练习题解

振动与波练习题2005 一、填空题 1.一物体作简谐振动，振动方程为x = A cos ( ωt +π/ 4 )。在t =T / 4 (T 为周期)时刻，物体的加速度为 . 2.一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为x = 4×10－ 2 cos (2πt + π3 1 ) (SI) 。从t = 0 时 刻起，到质点位置在x = －2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 0t =时，03 πφ= ；t 时刻，20x cm υ=->且 43πφ所以＝。433 t ππ ωπ?=-=由可得 0.5()2t s ππωπ ?= == 3.已知两个简谐振动曲线如图1所示。x 1的位相比x 2的位相为 B 。 (A) 落后π/2 （B ）超前π/2 (C) 落后π (D) 超前π 4.一质点作简谐振动，周期为T 。质点由平衡位置向X 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为 22 22sin(/4)sin(/4)2cos(/4)cos(/4)/4112,222 dx A t A t dt T d a A t A t dt T t T A a A πυωωπωπυπωωπωπυ ωω=-+=-+=-+=-+==＝＝代入得＝－

解：由旋转矢量图 可知 6 π ?＝ ?，所以 12 2 6T T t= = ? = ? π π ω ? 5.一平面简谐波，沿x轴负方向传播。圆频率为ω，波速为u 。设t＝T/4时刻的波形如图2所示，则该波的表达式为。 由t = 0的旋转矢量图可知：y0=－A， φπ = O点振动方程cos() y A tωπ =+ 波动方程：cos() x y A t u ωπ ?? =++ ?? ?? 6.当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在位置处。 平衡位置处 7.如图3所示两相干波源S1和S2相距λ/4，（λ为波长）S1的位相比S2的位相超前π/2,在S1，S2的连线上，S1外侧各点（例如P点）两波引起的两谐振动的位相差是. 解：P点情况 () 2121 12 22() 2 2 4 2 r r S P S P ππ π ?? λλ λ π π π λ -- -+=+ =+=

振动与波

考试要求 1、弹簧振子，简谐振动．简谐振动的振幅、周期和频率，简称振动的振动图象．B 2、单摆，在小振幅条件下单摆作简谐振动，周期公式．B 3、振动中的能量转化．简谐振动中机械能守恒．A 4、受迫振动，受迫振动的振动频率．共振及其常见的应用．A 5、振动在介质中的传播——波．横波和纵波．横波的图象．波长、频率和波速的关系．B 6、波的叠加．波的干涉．衍射现象．A 7、声波．A 说明： 1、不要求会推导单摆的周期公式． 2、对于振动图象和波的图象，只要求理解它们的物理意义，并能识别它们． 3、波的衍射和干涉，只要求定性了解． 知识结构

方法指导 ——洪安生 机械振动和机械波是力学部分的最后一章，也可以说是力学知识的总结和应用．振动是一种复杂的运动，它的速度、加速度、动能、势能等都随时间变化，其中简谐运动是其中最简单的一种，它是一种周期性的运动．振动在介质中的传播就形成机械波，波动的更复杂的运动形式，首先它研究的不再是某一个质点，而是连续的弹性介质，对于波动过程中的每个质点，它的位移是

时间的周期性函数，而对于沿波传播方向上的各质点，它们的位移又是空间位置的周期性函数．两个周期（时间周期和空间周期）是这一部分重要的内容． 这部分的内容还比较多，如阻尼振动与无阻尼振动、受迫振动和共振、波的叠加、干涉和衍射等，这些内容不算重点内容，要求都不高，但也要知道它们的意义及简单应用等． 下面几个问题是本章的重点和难点： 1、振动、波动的联系和区别 （1）联系：振动在介质中的传播就形成波，可以说没有振动就没有波．在波动传播过程中，每一个质点都在振动，众多质点的振动形成波． （2）区别：对于单个质点而言，运动形式是振动．对于连续介质中的众多质点而言，就是波．对于单个质点，它的运动是周期性运动，即时间周期；而对于众多质点，还有个空间周期，即波长． 振动图像的纵坐标是位移，横坐标是时间，它表示的是某个质点的位移随时间变化的规律；波动图像的纵坐标是位移，横坐标是沿波传播方向上的位置，它表示的是沿波传播方向上各质点的位移随位置变化的规律． 有波，一定有振动，因为其中的每个质点都在振动；而有振动，却不一定有波，因为波要靠弹性介质传播，如果没有传播波的介质，即使振源在振动，也不会形成波． 2、简谐运动的规律 简谐运动是振动中最简单的一种，它是周期性的振动． 简谐运动的动力学条件是：受到的回复力跟位移成正比，方向跟位移方向相反，即． 简谐运动的运动学规律是随时间按正弦或余弦规律， 如：，，等等． 简谐运动的图像是正弦或余弦函数图像． 我们重点讲了两种简谐运动的模型，一个是弹簧振子，另一个是单摆．前者是真正的简谐运动，后者则只有在小振幅的条件下，可以近似看作简谐运动． 对于弹簧振子，要知道它是周期性运动，虽然不要求掌握弹簧振子的周期公式，但应知道弹簧振子的周期与振幅大小无关，而是决定于弹簧振子的本身结构，即决定于振子的质量和弹簧的劲度系数．还要掌握振子在每1/4个周期时间内的位移、速度、加速度、动能、势能等等是如何随时间的变化而变化的． 对于单摆，要知道它只有在小角度振动的情况下，才可以近似认为是简谐运动．单摆也具有等时性，要记住它的周期公式T=2π，式中是摆长（从悬点到摆球中心的距离）、是

大学物理2-1第六章(振动与波)习题答案

习 题 六 6-1 一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。 [解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建 立坐标系 rad/s 07.74200m 1.0N/m 20010 30602=== ==?=-m k A k ω 设振动方程为 ()φ+=t x 07.7cos 0=t 时 1.0=x φc o s 1.01.0= 0=φ 故振动方程为 ()m 07.7cos 1.0t x = (2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则 ()()x x k x k F +=?=0 其中 m 2.0200 400===k mg x 因而有 ()N 3005.02.0200=-?=F

(3)设第一次越过平衡位置时刻为1t ，则 ()107.7cos 1.00t = 07.75.01π=t 第一次运动到上方5cm 处时刻为2t ，则 ()207.7cos 1.005.0t =- ()07.7322?=πt 故所需最短时间为： s 074.012=-=?t t t 6-2 一质点在x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A 时作为计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ，再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速 率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。 [解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知42 1=T s 由于4/2s 8/1,s 81ππνων====-T t=0s t=2s v A B v B t=4s ωφA x

大学物理课后习题答案(第五章) 北京邮电大学出版社

习题五 5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同? 解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =． (2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程 ) (cos u x t A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律， 其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图． 5-2 波动方程y =A cos ［ω( u x t - )+0?］中的u x 表示什么?如果改写为y =A cos (0?ωω+-u x t )，u x ω又是什么意思?如果t 和x 均增加，但相应的［ω( u x t - )+0?］的值不变，由此能从波动方程说明什么? 解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；u x ω则 表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为 ) cos(0φωω+- =u x t A y t 则t t ?+时刻的波动方程为 ] ) ()(cos[0φωω+?+- ?+=?+u x x t t A y t t 其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ?后传播到t u x ?+处．所以在) (u x t ωω- 中，当t ，x 均增加时， ) (u x t ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ?，波形即向前传播了t u x ?=?的距离，说明) cos(0φωω+-=u x t A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行 波方程． 5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点? 解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形