高考专题函数的奇偶性与周期性
2.3函数的奇偶性与周期性
[知识梳理]
1．函数的奇偶性
(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
(2)奇偶函数的性质
①奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反．
2．函数奇偶性的五个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
3．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，
则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
4．函数的周期性
定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，称T为这个函数的周期．对于周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．函数周期的常见结论
设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
(3)若f(x＋a)＝1
f(x)
，则函数的周期为2a；
(4)若f(x＋a)＝－1
f(x)
，则函数的周期为2a；
(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；
(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；
(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；
(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；
(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.
6．掌握一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝a x＋a－x为偶函数，函数f(x)＝a x－a－x为奇函数；
(2)函数f (x )＝a －a －a ＋a －＝a －1a ＋1
(a >0且a ≠1)为奇函数； (3)函数f (x )＝log a b －x b ＋x
为奇函数； (4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( )
(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．教材衍化
(1)(必修A1P 39A 组T 6)已知函数f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2
＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2
答案 A
解析 f (－1)＝－f (1)＝－? ??
??12＋11＝－2.故选A. (2)(必修A1P 39B 组T 3)设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )
A ．(－1,0)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(0,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－2,0)∪(0,2)
答案 C
解析 ∵f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内单调递减，
∴f (x )在(0，＋∞)内也单调递减．
又∵f (－2)＝0，∴f (2)＝0，
函数f (x )的大致图象如右图，
∴xf (x )<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.
3．小题热身
(1)(优质试题·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.
答案 1
解析 由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (
a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋
a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0， ∴ln [(
a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0，
∴a ＝1.
(2)(优质试题·山西四校联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ?
????x ＋32，且f (2)＝3，则f (优质试题)＝________. 答案 3
解析 ∵f (x )＝－f ? ????x ＋32，
∴f (x ＋3)＝f ????
??? ????x ＋32＋32＝－f ? ????x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数，
则f (优质试题)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝3.
题型1 函数奇偶性的判断 典例
判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(1－x ) 1＋x 1－x
； (2)f (x )＝?????
－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0； (3)f (x )＝4－x 2
|x ＋3|－3
. 用定义法、性质法．
解 (1)当且仅当1＋x 1－x
≥0时函数有意义，所以－1≤x <1，由于定义域关于原点不对称，所以函数f (x )是非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，
当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )，
当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．
所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．
(3)解法一：因为??? 4－x 2≥0，
|x ＋3|≠3
?－2≤x ≤2且x ≠0，所以函数的定义域关于原点对称．
所以f (x )＝4－x 2x ＋3－3
＝4－x 2x ， 又f (－x )＝4－(－x )2
－x
＝－4－x 2
x ， 所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．
解法二：求得函数f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
化简函数f (x )，可得f (x )＝
4－x 2x ， 由y 1＝x 是奇函数，y 2＝
4－x 2是偶函数， 可得f (x )＝
4－x 2x 为奇函数．
方法技巧
判断函数奇偶性的方法
1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f (－x )f (x )
＝±1(f (x )≠0)判断函数的奇偶性．
2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．
3．验证法：即判断f (x )±f (－x )是否为0.
4．性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
冲关针对训练
1．(优质试题·广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A ．y ＝1＋x 2
B ．y ＝x ＋1x
C ．y ＝2x ＋12x
D ．y ＝x ＋e x
答案 D
解析 易知y ＝
1＋x 2与y ＝2x ＋12x 是偶函数，y ＝x ＋1x 是奇函
数．故选D.
2．判断下列各函数的奇偶性：
(1)f (x )＝lg (1－x 2)|x 2－2|－2； (2)f (x )＝????? x 2＋x (x <0)，0(x ＝0)，－x 2＋x (x >0).
解 (1)由??? 1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0
得函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)， 所以f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2
＝－lg (1－x 2)x 2.
因为f (－x )＝－lg [1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，所以f (x )为偶函数．
(2)当x <0时，－x >0，则
f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；
当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )． 又f (0)＝0，故对任意的x ∈(－∞，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数.
题型2 函数奇偶性的应用
角度1 已知函数奇偶性求值
典例
(优质试题·湖南质检)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
本题用转化法，将f (x )－g (x )转化为f (x )
＋g (x )．
答案 C
解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1，又由题意可知f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝1.故选C.
角度2 已知函数奇偶性求解析式
典例 设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且?x ∈R ，满足f ? ????x －32
＝f ? ??
??x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( ) A ．|x ＋4|
B ．|2－x |
C ．2＋|x ＋1|
D ．3－|x ＋1|
利用函数的周期性结合奇偶性转化求
解．
答案 D
解析 ?x ∈R ，满足f ? ????x －32＝f ? ??
??x ＋12，∴f (x ＋2)＝f (x )，故y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2的函数．①当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4；②当x ∈(－1,0]时，－x ∈[0,1)，－x ＋2∈[2,3)，又函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝f (－x ＋2)＝－x ＋2，综合①②可知，f (x )＝3－|x ＋1|.故选D.
角度3 已知函数奇偶性求参数
典例 (优质试题·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝(x ＋2)(x ＋a )x
是奇函数，则实数a ＝________.
根据f (x )＋f (－x )＝0，利用待定系数法
求解，本题还可用赋值法．
答案 －2
解析 解法一：函数的定义域为{x |x ≠0}，f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋2a x
＝x ＋2a x ＋a ＋2.
因函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，
即－x －2a x ＋a ＋2＝－? ??
??x ＋2a x ＋a ＋2＝－x －2a x －(a ＋2)， 则a ＋2＝－(a ＋2)，即a ＋2＝0，则a ＝－2.
解法二：由题意知f (1)＝－f (－1)，即3(a ＋1)＝a －1，得a ＝－2，
将a ＝－2代入f (x )的解析式，得f (x )＝(x ＋2)(x －2)x
，经检验，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f (－x )＝－f (x )，故a ＝－2. 角度4 函数性质的综合应用
典例
(优质试题·合肥三模)定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )
A ．f (x 1)>f (x 2)
B ．f (x 1)≥f (x 2)
C ．f (x 1) D ．f (x 1)≤f (x 2) 本题用平移法，利用图象的对称性，结 合函数的单调性进行判断． 答案 A 解析 因为函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a |个单位(a <0左移，a >0右移)可得函数y ＝f (x )的图象，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1a 且|x 1－a |<|x 2－a |，说明x 1与对称轴的距离比x 2与对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．故选A. 方法技巧 1．利用函数奇偶性转移函数值的策略 将待求的函数值利用f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )转化为已知区 间上的函数值求解．见角度1典例． 2．利用函数奇偶性求解析式的策略 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．见角度2典例． 3．利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到含有待求参数的关于x的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程(组)并求解．见角度3典例． 4．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．见角度4典例． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．见角度2典例． (3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． 冲关针对训练 1．(优质试题·河南模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为() A ．4 B ．－4 C ．6 D ．－6 答案 B 解析 2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 C 解析 ∵f (x )是奇函数， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2 题型3 函数的周期性及应用 典例1 (优质试题·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ? ?? ??x ＋12 ＝f ? ?? ??x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 本题综合利用奇偶性、周期性求解． 答案 D 解析 当x >12时，由f ? ????x ＋12＝f ? ?? ??x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D. 典例2 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (优质试题)＝________. 综合利用奇偶性、周期性求解． 答案 2 解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数． 由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (优质试题)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝2. 方法技巧 函数周期性的判定与应用 1．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．见典例1. 2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．见典例2. 冲关针对训练 1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(优质试题)等于() A．336 B．339 C．1678 D．2012 答案 B 解析∵f(x＋6)＝f(x)， ∴函数f(x)的周期T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2； 当－1≤x<3时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(优质试题)＋f(优质试题)＝1×2016 6＝ 336. 又f(优质试题)＝f(1)＝1，f(优质试题)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(优质试题)＝339.故选B. 2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f (x ) ，当1 答案 2 解析 由已知可得f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1 f (x ＋3)＝－1－1f (x ) ＝f (x )，故函数f (x )的周期为6. ∴f (优质试题)＝f (6×336＋1)＝f (1)． ∵f (x )为偶函数，∴f (1)＝f (－1)，而f (－1＋3)＝－1f (－1) ，所以f (1)＝f (－1)＝－1f (2)＝－1cos 2π3 ＝2.∴f (优质试题)＝2. 题型4 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 典例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25) B ．f (80) C ．f (11) D ．f (－25) 利用奇偶性和周期性将自变量转化到 已知单调区间，再利用函数的单调性比较大小． 答案 D 解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )， 所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则 f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)． 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． 因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， 所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数， 所以f(－1) 典例2(优质试题·南昌期末)已知函数f(x)对于任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且当x>0时f(x)>1. (1)求证：函数f(x)在R上为增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2. 利用抽象函数的特殊条件，结合定义法解决函数的单调性，进而化抽象不等式为具体不等式求解．解(1)证明：设x1，x2∈R，且x1 ∵函数f(x)对于任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1成立，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0， 即f(x2)>f(x1)， ∴函数f(x)在R上为增函数． (2)∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋f(1)＋f(1)－2＝3f(1)－2＝4， ∴f(1)＝2. ∴f(a2＋a－5)<2，即为f(a2＋a－5) 由(1)知，函数f (x )在R 上为增函数，a 2＋a －5<1，即a 2＋a －6<0， ∴－3 ∴不等式f (a 2＋a －5)<2的解集是{a |－3 方法技巧 把不给出具体解析式只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数．这类题目能全面考查学生对函数概念的理解，解答抽象函数的题目，掌握常见的基本函数及性质是关键．同时注意特殊值法、赋值法、图象法的应用． 冲关针对训练 1．(优质试题·太原检测)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上( ) A ．有最小值f (a ) B ．有最大值f ? ????a ＋b 2 C ．有最小值f (b ) D ．有最大值f (b ) 答案 C 解析 令y ＝－x ，则由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )得f (0)＝f (x )＋f (－x )，① 再令x ＝y ＝0得f (0)＝f (0)＋f (0)得f (0)＝0，代入①式得f (－x )＝－f (x )． 得f (x )是一个奇函数，图象关于原点对称． ∵当x <0时，f (x )>0， 即f (x )在R 上是一个减函数，可得f (x )在[a ，b ]上有最小值f (b )．故选C. 2．(优质试题·池州模拟)已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1 >0； ②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数． 若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (优质试题)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a
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