微积分刘迎东编第四章习题4.5答案
4.5 分部积分法
习题4.5
1.求下列不定积分
（1）sin
x xd x
?
解：sin co s co s co s co s sin.
x xd x xd x x x xd x x x x C =-=-+=-++???
（2）ln x d x
?
解：ln ln ln.
xd x x x d x x x x C
=-=-+
??
（3）a rc sin x d x
?
解：a rc s in a rc s in a rc s in.
x d x x x x x x C
=-=+
??
（4）x
xe d x
-
?
解：.
x x x x x x
xe d x xd e xe e d x xe e C
------
=-=-+=--+
???
（5）2ln
x xd x
?
解：()
333
232
1ln1ln
ln ln.
33339
x x x x x
x x d x x d x x d x C
==-=-+???
（6）co s
x
e xd x
-
?
解：
c o s c o s c o s s in c o s s in
c o s s in c o s.
x x x x x x x x x
e x d x x d e e x e x d x e x x d e
e x e x e x d x
---------
=-=--=-+
=-+-
????
?
所以
()
s in c o s
c o s.
2
x
x
e x x
e x d x C
-
-
-
=+
?
（7）2s in
2
x
x
e d x
-
?
解：
2222
22
222
111
s in s in s in c o s
2222242
11
s in c o s
2282
111
s in c o s s in.
2282162
x x x x
x x
x x x
x x x x
e d x d e e e d x
x x
e d e
x x x
e e e d x
----
--
---
=-=-+
=--
=---
???
?
?
所以22282sin sin
c o s
.2
17
2
17
2
x
x
x
x x x e
d x e
e
---=-
-
?
（8）c o s 2
x x d x ?
解：c o s
2s in
2s in
2s in
2s in
4c o s
.2
2
2
2
22x x x x x x x d x x d x d x x C ==-=++???
（9）2arctan x xd x ? 解：
()()
()
3
32
3
2
3
2
22
3
2
11a rc ta n a rc ta n
a rc ta n 3
3
3
11
1a rc ta n 1361ln 1a rc ta n .
3
6
6
x
x
x
x d x x d
x x d x
x
x
x d x x x
x
x
x C =
=
-
+
??=
-
- ?+??+=
-
+
+????
（10）2tan x xd x ? 解：
()2
2
2
2
2
ta n
s e c
1ta n ta n ta n
2
2
ta n ln c o s .
2
x
x
x x d x x x d x x d
x x x x d x
x
x x x C =
-=
-
=-
-
=-
++????
（11）2co s x xd x ? 解：
2
2
2
2
2
2
c o s s in s in 2s in s in 2c o s s in 2c o s 2c o s s in 2c o s 2s in .
x
x d x x d x x x x x d x x x x d x
x x x x x d x x x x x x C =
=-=+=+-=+-+?????
（12）2t te d t -? 解：22222211.2
2
2
2
4
t
t
t
t
t
t
te
te
e
te
d t td e
e
d t C ------=-
=-
+
=-
-
+???
（13）2
ln xd x ?
解：2
2
2
2
ln ln 2ln ln 2ln 2ln 2ln 2.xd x x x xd x x x x x d x x x x x x C =-=-+=-++??? （14）sin c o s x x x d x ? 解：()2
2
2
2
1s in
1s in
s in 2s in c o s s in
s in
.2
2
2
2
4
8
x x
x x
x x x x x d x x d x x d x C =
=
-
=
-
+
+??
?
（15）22
c o s 2
x x d x ?
解：
()3
22
2
2
2
3
2
3
2
3
2
3
211c o s c o s s in 2
26
2
s in s in 62s in s in c o s c o s c o s 626
2
s in c o s s in .
6
2
x x
x d x x x x d x x d x
x
x x
x x d x
x
x x
x
x x
x d
x x x x d x
x
x x
x x x C =
+=
+
=
+
-
=
++=
+
+-
=
++-+?
?
?
???
（16）()ln 1x x d x -? 解：
()()()()
()
()()2
2
2
2
2
2ln 111ln 1ln 12
2
2
1
ln 1ln 1ln 11111.2
2
12422x x x
x x d x
x d x d x
x x x x x x x x d x x C x --=-=
-
----?
?=
-
++=---+ ?
-??
???
?
（17）()21sin 2x xd x -? 解：
()()()()()()2
2
2
2
2
2
111s in 21c o s 21c o s 2c o s 222
111111c o s 2s in 21c o s 2s in 2s in 2222
2
2
1111c o s 2s in 2c o s 2.
2
2
4
x
x d x x d x x
x x x d x
x x x d x x
x x x x d x x
x x x x C -=-
-=-
-+
=--+=-
-+
-
=-
-+
++????
?
（18）3
2
ln x d x x
?
解：
3
323
3
2
2
23
2
3
2
2
3
2
3
2
2
ln 1ln ln ln 1ln 33ln ln ln
ln ln ln
13
63
6ln ln ln
ln 1ln ln
ln 63
6
63
6
.
x x x x d x x d d x x d x
x x x x x x x
x x x
d x x d x x x
x
x
x x x x x x
x d x C x
x
x
x
x
x
x
x ????=-=-+=-- ? ?????
??
=-
-+=-
-- ?
??=---+=-
---+?
??????
（19
）x ?
解：
2222
22
33636 3663666.
t t t t t t t t t t t t
t e d t t d e t e te d t t e td e t e te e d t t e te e C C
==-=-
=-+=-++=-++
?????
?
（20）c o s ln x d x
?
解：co s ln co s ln sin ln co s ln sin ln co s ln xd x x x xd x x x x x xd x =+=+-???，所以
c o s ln s in ln
c o s ln.
2
x x x
x d x C
+
=+
?
（21）()2
a rc s in x d x
?
解：
()(
)
(
)
(
)
(
)
22
2
2
2
a rc s in a rc s in2a rc s in
a rc s in2a rc s in
a rc s in rc s in2
a rc s in rc s in2.
x
x d x x x x x
x x x d
x x x d x
x x x x C
=-?
=+?
=+-
=+-+
??
?
?
（22）2
sin
x
e x d x
?
解：
222
2
2
22
s in s in s in s in2
s in s in2
s in s in22c o s2
s in s in224s in
x x x x
x x
x x x
x x x x
e x d x x d e e x e x d x
e x x d e
e x e x e x d x
e x e x e d x e x d x
==-
=-
=-+
=-+-
???
?
?
??
所以
2
2
s in s in22
s in.
5
x x x
x
e x e x e
e x d x C
-+
=+
?
（23）2
ln
x xd x
?
解：
()()
2222
2222 2222222
1ln ln1 ln ln ln ln
2222
ln ln1ln ln
.
222224
x x x x
x x d x x d x x x d x x d x
x x x x x x x x x
x d x C
==-=-
=-+=-++
????
?
（24
）x
?
解：
2
92222,3
3
3
3
3
222.
3
3
3
3
t
t
t
t
t
t
t te t x te d t td e e d t
te e C C -==
==
-
=
-+=
-
+?
?
?
?
（25）x c h x d x ? 解：.xch xd x xd sh x
xsh x sh xd x
xsh x ch x C =
=-
=-+???
（26）22x x e d x -? 解：
22222222222
222
2222112
2
22
1.
2
2
2
2
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x e x e x e
d x x d
e x e
d x x d e
x e x e
x e x e
e
e d x C ------------=-
=-
+=-
-
=-
-
+
=--
-
+?
?
?
??
（27
）(ln x d x +? 解：
(
(
(
(
ln ln 1ln ln .
x d x x x d x x x x x x x C ??+
=+
-+=+
-
=+
-???
（28）()
2
2
ln 1x x
d x x
+
?
解：
()
()
()
()()
()
()
()()
2
22
2
2
2
2
222
2
2
2
22
2ln 11ln 11ln 2
12
2111ln 11
ln 11144
121121ln 1ln
.
4
121x x
x d x x d d x
x x x x
x
x x d
x
d x x
x x x
x
x
x x
C x
x
??
=-
=-+
?+++??+
??
=-
+
=-
+
- ?+++
+??=-+
+++?
?
?
?
?
（29
）x ?
解：
()3
2
21rc ta n
a rc ta n
333
1ln 1.
3
3
3
x x x d x
x
x x C ??=
=
-
?+
??
+=
+
+?
?
?
（30）()
3
2
2
a rc s in 1x
d x x -?
解：
(
)
()3
2
2
2
2
a rc s in s in ta n ta n ta n c o s 1a rc s in 1ta n ln c o s ln 1.
2
x
t d x x t d t td
t t t td t
t
x x x t t t C x
C ==
=-
-=++=
+-+?
?
??
（31）()sin ln tan x x d x ? 解：
()()()()1
s in ln ta n ln ta n c o s c o s ln ta n s in c o s ln ta n ln c s c c o t .
x x d x x d x x x d x x x x x x C =-=-+
=-+-+???
（32）()2
3
ln x x d x ? 解：
()
()
()()
()
()
()
()
2
4
2
2
3
4
3
2
2
4
4
4
4
3
2
4
4
4
ln 11ln ln ln 4
4
2
ln ln 1ln 1ln 4
8
4
8
8
ln ln .
4
8
32
x
x x
x d x x d
x x x d x x
x x
x x x x d
x
x d x x
x x x x
C =
=
-
=
-
=
-
+
=
-
+
+?
??
?
?
（33）a rc ta n x
x
e
d x e
?
解：
()
()2222a rc ta n a rc ta n 1
a rc ta n 1a rc ta n 1
a rc ta n 111a rc ta n 1ln 1.
2
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
e
e
d x
e d e
d x
e
e
e e
e
e d e
d e e
e
e
e e
e e
x e
C e
-=-=-
+
+??=-
+
=-
+
- ?++??=-
+-
++?
????
（34）2sin x xe xd x ? 解：
2
2
2
2
2
2
2
2
222
s in
s in
s in
s in
s in 2s in s in
s in 2s in s in 2s in 2s in 22c o s 2s in
s in
2s in 2s in 224s in x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x
x e x d x x x d e
x e x e x d x x e x d x
x e x x d e x x d e
x e x e x e x d x x e x x e x d x x e x e x e x d x x e x x e d x x e x d x
==-
-
=-
-
=-+-+=-+-+-?
?
?
?
?
?
?????
所以2
2
2
s in
s in
s in 222s in s in 25
5
5
x
x x
x x
x
x e x e x x e x
x e x d x x e d x e x d x --=+
+
??
?
而
.s in 2s in 2s in 22c o s 2s in 22c o s 2s in 22c o s 24s in 2x
x
x
x x x
x
x x x
x
x
x x
x
x e d x x d e
x e e d x x e e C e x d x x d e
e x e x d x
e x x d e
e x e x e x d x
=
=-
=-+=
=-=-=--??
?
?
?
???
所以s in 22c o s 2s in 2.5
x
x
x
e x e x
e x d x C -=
+?
2
2
2
s in
s in s in
s in 2222s in 24c o s 2.
5
5
25
x
x
x x
x x
x x
x e
x d x
x e x e x x e x
x e e
e x e x
C ----=
+
+
+?
(35)()
3/2
2
a rc ta n 1x x
d x x
+
?
解：
(
)
(
)
3/2
3/2
2
2
a rc ta n 1
a rc ta n 11a rc ta n a rc ta n ta n c o s s in a rc ta n a rc ta n s in .
x x
d x x d d x
x
x
x x x t td t t C
x x x t C C ?
?=-=-
+
+
?
=-
+
=-
++=-
++=-
+
+?
??
?
（36
）a rc s in x ? 解：0x >时，
a rc s in a rc s in a rc s in .
x x x
x C ==+?
?
0x <时，
a rc sin a rc sin a rc sin
a rc sin .
x x u u u C
x C =--=-=?
?
总之，a rc s in a rc s in s g n .x x C =? （37）ln ln x d x x
?
解：
ln ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln .
x d x x d x x x d x
x
x
x x x C =
=?-
=?-+?
?
?
（38）2co s x xd x ? 解：
()2
2
2
2
11c o s 1c o s 2s in 22
4
4
s in 21s in 2444
s in 2c o s 2.
4
4
8
x
x x d x x x d x x d x
x
x x
x d x
x
x x
x
C =+=+
=
+
-
=
++
+?
?
??
（39）co s a x e b xd x ? 解：
22
2
2
1c o s c o s c o s s in c o s c o s s in s in c o s a x
a x
a x
a x
a x a x
a x
a x
a x
e
b x b e
b x d x b x d e
e
b x d x
a
a
a
e
b x b e
b x b e b x b b x d e
e
b x d x
a
a
a
a
a
==+
=
+=
+
-
?
??
?
?
所以2
2
c o s s in c o s .a x
a x
a x
a e
b x b e
b x
e
b x d x C a b
+=
++?
（40
）x ?
解：
22
2
2
2
2
in
s in 2c o s 2c o s 4c o s 2c o s 4s in 2c o s 4s in 4s in 2c o s 4s in 4c o s .2c o s
in
4c o s
.
t td t t d t
t t t td t t t td t
t t t t td t t t t t t C x C =-=-+=-+=-+-=-+++=-?
?????
（41）()2ln 1x d x +? 解：()()()22
2
2
2
2ln 1ln 1ln 122a rc ta n .1x
x
d x x x
d x x x
x x C x
+=+-=+-+++??
（42
）arctan x ?
解：
(
)22
2
2
2
a rc ta n
a rc ta n a rc ta n a rc ta n 1a rc ta n a rc ta n a rc ta n a rc ta n
.
t
t td t td t t
t d t
t
t t t t C x C =
=-
+=-++=????
（43）s in 1c o s x x d x x
++?
解：
()()()2
s in ln 1c o s ln 1c o s ta n
1c o s 2
2c o s
2
ln 1c o s ta n
ta n ta n
.
2
2
2x x
x x d x x d x x x d x x
x x x x x d x x C +=-++
=-++
+=-++-
=+??
?
?
（44）3
s in 2
c o s s in c o s x
x x x
e d x x
-?
解：
3
s in s in s in 2
2
s in s in s in s in s in s in s in c o s s in s in c o s c o s c o s 1c o s c o s 1.
c o s x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x
x e
d x e
x x d x e
d x
x
x e
x d e
e
d x
e e d x e
d x x x
e
x C x -=
-
??=
-
=--
+
???
??=-+ ??
??
?
?
?
?
?
?
（45）()
2
1x
x
x e
d x e
+?
解：
()()2
11
111
11ln 1.1
11x
x x
x
x
x
x
x
x x
x e
x d x x d d x
e e e
e
x
e x d x x e C e e e ??
=-=-+ ?+++??
+??=-
+
-=-+-++ ?+++?
??
???
（46
）(2ln x d x +? 解：
(
(
(
(
(
(
(
(
2
2
2
222ln ln
ln ln 2ln ln 2ln
2.
x x x d x x x x
x x x d
x x x d x x x x x C +
+
=+
-=+-+=+-++=+
-+
++??
??
(47)
()
3
2
2
ln 1x
d x x
+
?
解：
(
)
(
3
2
2
ln ln ln 1ln .
x
x x x d x d x x d
x
x C =
=
+
=
-+
+?
?
?
（48）rc s in x d x
? 解：
()(
)
2
2
2
2
2
2
1rc s in s in c o s 1c o s 22
1s in 21s in 2c o s 2s in 2s in 24
4
4
4
44
4
8
a rc s in .
4
2
4
x d x x t t td t t t d t
t
t
t t t
t t t td t td t C x x
C ==
+=+
=
+
-
=
+
+
+=
+
+?
???
?
（49）3
d x ?
解：
(
)(
)
()(
)(
)
3
2
232
2
32
2
2
32
2
3
a rc c o s 1a rc c o s a rc c o s 1
a rc c o s 1a rc c o s 3
1a rc c o s 11rc c o s 3
3
1a rc c o s 2rc c o s .
33
9
x x x d
x x d
x d x d x
x d x x
x d x x d x
x x
x x
x C =-=-=
--
-=
+
--
-
-=
--
-+?
???
??
??
（50）c o t 1s in x d x x +?
解：c o t c sc c o t ln c sc 1.1sin c sc 1
x x x d x d x x C x
x =
=-++++?
?
（51）3
sin c o s d x x x ?
解：3
32
1c o s 1ln c s c 2c o t 2.s in c o s s in c o s s in 2s in d x
x d x x x C x x
x x x x ?
?=
+=--+ ???
?
?
（52）()2c o s s in d x
x x
+?
解：
()()
()
()()()
2
s in 2c o s s in
2c o s 1c o s
111362c o s 2c o s 1c o s 1c o s ln 1c o s 11ln 2c o s ln 1c o s .
3
2
6
d x
x d x
x x
x x d x x x x x x x C =
++-??
?
=
-- ?++- ? ???-=
+-
++
+???
2.计算下列定积分： （1）1
0x
x e d x -?
解：1
1
1
11
1
21.x
x
x
x
x
x e d x x d e
x e
e
d x e
e e
------????=-=-+=--=-?
??
????
（2）1
ln e
x x d x ?
解：()
2
2
2
1
1
1
1
1ln 11ln ln .2
224
e
e
e
e
x x e x x d x x d
x x d x ??+=
=-=
??
????
?
（3）20
s in t td t π
ω
ω?
解：22222
1
c o s 12s in c o s c o s .t t t t
d t td t td t π
π
π
π
ω
ω
ω
ω
ωπ
ωωωω
ωωω
??=-
=-+
=-
??
???
?
?
（4）3
2
4
s in x d x x
π
π?
解：[
]3
33
3
2
4
4
4
4
13c o t c o t c o t ln
.sin
4
9
2
2
x
d x x d x x x x d x x
πππ
πππππ
π
=-=-+
=
-
+
???
（5
）4
1
x ?
解：44
4
4
1
1
1
12ln 28ln 2 4.x x d
x ??==-=-???
??
（6）1
a rc ta n x x d x ?
解：()
()1
21
1
1
2
1a rc ta n 11
1a rc ta n a rc ta n 1.2
224
2
x x x x d x x d x
d x π
??+?
?=
+=-=
-
??????
?
（7）220
c o s x
e
x d x π
?
解：
222222220
2222220
220
1c o s 1
c o s c o s s in 2
22111s in 1
s in c o s 2424411c o s 2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x e
x d x x d e
e
x d x
e
x x d e e
x d x
e
e
x d x π
π
π
π
π
π
π
π
π
??=
=+??
?
???=-
+
=-+-?
?
?
?=-+
-
?
?
?
?
?
?
所以，22
02c o s .5
x
e
e
x d x π
π
-=
?
（8）2
21
lo g x x d x ?
解：()
2
2
2
2
2
2
2221
1
1
1
lo g 113lo g lo g 2.2
22ln 24ln 2
x x x x d x x d
x x d x ??=
=-=-
??
????
?
（9）()2
s in x x d x π
?
解：
()()3
2
2
2
2
3
2
3
03
3
11s in c o s 2s in 22
64
s in 21
1
s in 2c o s 26426
4
c o s 21c o s 2.
6446
4
x x d x x x x d x x d x
x x x x d x x d x
x x x d x π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
=
-=
-??=-+=
-
??????=-+
=
-
?????
?
?
???
（10）()1
s in ln e
x d x ?
解：
()()()()()()11
1
11
1
sin ln sin ln c o s ln sin 1c o s ln sin ln sin 1c o s 11sin ln e
e
e e
e
e
x d x x x x d x
e x x x d x e e x d x
=-
????=--
=-+-
?????
?
?
?
所以()1
s in 1c o s 11
s in ln .2
e
e e x d x -+=
?
（11）1ln e
e
x d x ?
解：[][]11
1
1
1111
1
1
2ln ln ln ln ln 2.e e
e
e
e
e
e
e
x d x x d x x d x x x d x x x d x e
=-+
=-+
+-
=-
???
?
?
（12）()
()1
2
2
1m x
d x m N +
-∈?
解：()
()()1
2
1
22
!!,1!!1s in c o s !!,1!!2m m m m m x
d x x t td t m m m π
π+?
?
+?-==?
??+?
??
为偶数；
为奇数。 (13)()0
s in
m
m J x x d x m N π
+
=
∈?
解：()()22
m -1!!
,!!
s in
s in
s in
2
m -1!!,!!
2m
m
m
m m m J x x d x x d x x d x m m π
π
π
ππ
π
π
??
?=
=
==?????
?
?
为奇数；为偶数。
（14）1
a rc s in x d x ?
解：[
]1
1
1
1
00
0a rc s in x d a rc s in 1.22
x x x x x π
π=-
=+=-??
（15
）(
ln x d x π
+
?
解：
(
(
(
(
ln ln ln ln .
x x d x x x x
a π
π
π
π
ππππ??+
=+
-
???
?=+
-=+
-
?
?
（16）()1/22
a rc s in x d x ?
解：
()
(
)1/2
1/2
1/2
2
2
2
2
1/2
1/2
1/2
02
a rc s in a rc s in 22a rc s in rc s in 272
72
1.
72
6
x d x x x x
x d
x d x π
π
π
??
=-????
=
+=+-
??=
+
-?
?
??
（17）10
s in
x x d x π
?
解：2
10
10
10
2
20
9!!63s in
s in
s in
.2
10!!2
512
x x d x x d x x d x π
π
π
π
ππ
π=
==
=
??
?
（18
）1
10
x
x ?
解：
1
10
10
2
10
12
2220
s in s in
c o s s in
s in
9!!11!!2110!!2
12!!2
2048x
x x t t td t td t td t
πππ
πππ==
-
=
-
=
?
??
?
（19）(
)
1
4
2
1x x -?
解：(
)
1
4
2
10
20
9!!631s in c o s
.10!!2
512
x
x x t td t π
ππ-==
=
??
（20）()1
2
a rc ta n x x d x ?
解：
()()
()
()()[]1
1
2
2
2
01
2
22
1
1
1
2
2
1a rc ta n a rc ta n 12
1a rc ta n a rc ta n a rc ta n 216
1ln 2.
16
4
2x x d x x d x
x x x x d x x x d x x
π
π
π
=
+??
+??=-
=
-+
+??
??=
-
+?
??
?
（21
）3
a rc s in
x ?
解：
(
)
3
3
3
02
30
a rc s in
a rc s in 214ta n 3
x x x x td t π
π?=-?+?
-
=
-
?
?
?
（22）20
s in 1c o s x x d x x
π
++?
解：
()22222
0sin ta n
ln 1c o s ta n ta n
ln 2
1c o s 2
22
2
x x x x x d x x d x x d x x
π
π
π
π
π
π
+?
?=
-+=-+??????
+?
?=
?
?
?
（23）2
c o s x x
d x π
?
解：
[][]
2
2
2
2
2
220
2
2
2
2
2
2
2
2
220
2
2
2
220
2
2
c o s c o s c o s s in s in s in 2s in s in 2s in 2c o s 2c o s 2
2c o s 2c o s 2x c o s x 2c o s 24
2
2
x
x d x x x d x x x d x x d x x d x
x x x x d x x x x x d x
x d x x d x
x x x d x x d x π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π
π
π
ππ
π
π
π=
-
=
-
????=-
-+
????
=
+-=
+--+=
+-?
?
?
?
?
?
??
??
?
（24）()2
1
ln e
x x d x ?
解：
()
()()
()
()
2
32
2
32
1
1
1
13
3
3
3
3
2
1
1
1
ln 1
2
ln ln ln 3
3322ln 2
52ln .
3
9
39927
27
e
e
e
e
e
e
e
x x x x d x x d
x x x d x
e
e
x x e
x d
x
x d x ??=
=-
?
????
???=
-
=-+=
-
???????
?
?
(25)(1
ln 1d x +
?
解：
(
()()
()()
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
ln 11ln ln 1111ln .
2d t td t td t t t t d t t
+
-=
--??=--
=
???
?
?
?
大学高等数学第四章 不定积分答案
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
微积分试题及答案(5)
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2
微积分第4章习题解答(上)
第四章 习题参考解答 习题4-1 1、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数 （1）是一阶微分方程； （2）不是微分方程； （3）是一阶微分方程； （4）是二阶微分方程； （5）是一阶微分方程； （6）是一阶微分方程。 2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解? （1）（B ）是特解 （C ）是通解； （2）(A)是特解 （B ）是通解； （3）（A ）是通解（B ）是特解 3、求下列各微分方程在指定条件下的特解 （1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-?? (1)x y e x C ∴=-+ 将(0)1y =代入上式，得2C = 故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x （2）解：C x x dx y +==? ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y 4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 （1）解：设曲线为)(x y y = 由条件得2x y =' （2） 解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为y k '- =1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有 01 ()y x x y -=-' --
即：20yy x '+= 注：DQ PD k = 习题4-2 1、求下列微分方程的通解 （1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1x ydy dx x =- + 积分：11 cos 1 x ydy dx x +-=-+?? 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln （2） 10x y dy dx += 解：原方程变形为： 1010 x y dy dx = 积分：1010x y dy dx =? ? 得：1111010ln10ln10 y x C -=+ 所求的通解为：1010x y C --= （3）ln y y y '= 解：原方程变形为： ln dy dx y y = 积分：1ln dy dx y y =? ? 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e = 所求的通解为：x Ce y e = 注：21,2C C e C e C ==； （4）tan cot ydx xdy = 解：原方程变形为：cot tan ydy xdx =
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限
大学微积分复习题
0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
微积分试卷及答案
微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+
2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++
微积分试卷及答案
微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+
2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
大一上微积分试题(山东大学)
数学试题 热工二班 温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！ 一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（ ） 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（ ） 4、 设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（ ） 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（ ） Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤
（ ） Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数 Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数 Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数 ９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ） Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０ 三、计算，证明题（共６０分） １１、求下列极限和积分 （１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分） （２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分） （３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分） １２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
4.6 有理函数的积分 习题4.6 求下列不定积分： （1）3 3 x dx x +? 解： ()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32 x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ??+=-+-=-+-+ ?+?? ++=-++-++?? （2）223310 x dx x x ++-? 解：()2222231310ln 310.310310 x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-?? （3）2125x dx x x +-+? 解： ()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22 d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++???? （4）() 21dx x x +? 解：()()()()22 222222211111ln .2212111d x dx x d x C x x x x x x x ??==-=+ ?++++????? （5）331 dx x +? 解：
( )( )322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---??=+=+- ?++-+-+?? -+=+-+-+??-+ ?? ???=+--+++????? （6）()() 221 11x dx x x ++-? 解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ?? ?+=+-=-++ ?-+++-+ ??? ?? （7）()()() 123xdx x x x +++? 解： ()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22 xdx dx x x x x x x x x x C ??-- ?=++ ?++++++ ??? =+-+-++?? （8）5438x x dx x x +--? 解： ()()542233232 8811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dx x x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ??+-+-=+++ ? ?-+-?? ??=+++-- ?+-?? =+++-+--+??? （9）()() 221dx x x x ++?
微积分试卷及答案6套
微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 三. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 四. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 五. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 六. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 七. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 八. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 九. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 十. ='?))((dx x f x d 。 十一. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大 时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 十二. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极 限一定不存在 十三. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点
(D) 连续点 十四. =+-∞→13)1 1(lim x x x （ ）。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 十五. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 十六. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以 除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 十七. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 十八. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 十九. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 二十. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x
最新大学微积分复习题
0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题（10道题，每题2分或者3分）。 填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。 计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。 证明题（2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1．考试内容 集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2．考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 1．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。 2．考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
高等数学 第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
微积分试卷及答案
. 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 3 1 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设 ()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ).
. (A) 2π (B) 22π (C) (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 13(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 1 1(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1. 2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设 arctan y z x =，求2,.z z z x y x y ???????，