从平面向量到空间向量教学设计

从平面向量到空间向量(教学设计)

淮北实验高级中学 李德锋

【教学目标】

1．知识与技能

(1)理解空间向量的概念．

(2)掌握空间向量的两种表示法．

(3)掌握两个空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量的概念．

2．过程与方法

通过从平面向量到空间向量的教学，掌握类比的学习方法，培养学生迁移的能力．

3．情感、态度与价值观

学会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物．

【教学重难点】

重点：理解两空间向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念．

难点：准确找出已知平面的法向量．

【教学过程】

一、自主学习

（一）、向量概念

观看微课《平面向量的故事》，回顾平面向量的有关概念。完成下面问题

问题1：如何求空间向量的夹角？

问题2：类比写出空间向量的下列概念：单位向量，零向量，相等向量，相反向量，平行向量。

（二）、向量、直线、平面

阅读课本26页 ，理解空间直线的方向向量，平面的法向量概念。完成下面问题

问题3：如何找出空间直线的方向向量，平面的法向量？

问题4：过一定点A 且方向向量为a 的空间直线确定吗？过一定点A ，且法向量为a 的平面确定吗？

二、课堂探究

探究一:空间向量的有关概念

例1下列命题不正确的是_______．

①单位向量都相等.

②任一向量与它的相反向量不相等．

③若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ∥b

④若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c

⑤若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4

. ⑥共线的向量，若起点不同，则终点可能相同．

探究二:直线的方向向量与平面的法向量

例2如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，

(1)分别给出直线AA 1，BD 的一个方向向量；

(2)分别给出平面ADD 1A 1，平面BB 1D 1D ，平面AB 1C 的一个法向量．

探究三:求空间向量的夹角

例3、如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求下面向量的夹角

(1)〈BA 1→，CC 1→〉(2)〈BA 1→，B 1C 1→〉；(3)〈BA 1→，AD 1→

〉．

(4)〈BA 1→，D 1C →〉；(5)〈BA 1→，D 1A →〉；(6)〈BA 1→，DA →

〉．

三、课堂检测

1.判断命题的真假

(1)空间向量就是空间中的一条有向线段．

(2)不相等的两个空间向量的模必不相等．

(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．

(4)向量BA →与向量AB →

的长相等

2．习题2-1A 组2、3、4

四、小结

1、你有哪些知识方面的收获？

2、你有哪些数学思想方法上的收获？

五、课后思考

试用类比的思想探究空间向量有哪些运算

平面向量的教学设计

§2.1 平面向量的基本概念 一、三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。本节课概念与知识点较多也比较抽象，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 二、教学重点及难点 1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等 2难点：向量的概念和共线向量的概念

2、向量的几何表示 （类比实数的数轴表示并结合实例过渡到向量的几何表示） 向量的几何表示：用有向线段表示； 3、向量的相关概念 （1）向量的字母表示：用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示，书写用a，b等；或用有向线段的起点与终点字母：AB等； （2）向量AB的大小就是有向线段AB的长度（或称模），记作|AB|；向量方向就是其有向线段的箭头指向。 （3）零向量、单位向量概念：（从向量的大小方面过渡） ①长度为0的向量叫做零向量，记作0。 ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 4、平行向量定义（从向量的方向关系进行引入）： ①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量； 若向量a，b平行，记作a∥b ②我们规定0与任一向量平行，即都有0∥a. 说明：综合①、②才是平行向量的完整定义； 探究：“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法正确吗？ （注意与直线平行传递性的区别） 5、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 说明：（1）若向量a与b相等，记作a=b； （2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．.（结合向量与有向线段的构成要素进行说明，并用课件展示其生成过程） 6、相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 7共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移 到同一直线上（与有向线段的起点无关） ．．．．．．．．．．．. 探究：（1）平行向量可以在同一直线上吗？ （注意与两平行线位置关系的区别） （2）共线向量可以相互平行吗？ （注意与同在一直线上的线段位置关系的区别）a或AB a

高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课时跟踪训练北师大版选修21

高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课 时跟踪训练北师大版选修21 [A 组 基础巩固] 1．下列说法正确的是( ) A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C ．向量的大小与方向有关 D ．向量的模可以比较大小 解析：任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A 、B 不正确．向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C 不正确．由于向量的模是一个非负实数，故可以比较大小． 答案：D 2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①任一向量与它的相反向量不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a ≠b ，则|a |≠|b |； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知，只有②正确，故选B. 答案：B 3．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD → |，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定 解析：若AB →＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AC →|＝|BD → |，

五：平面向量与空间向量十年高考题(含答案)

第五章 平面向量与空间向量 ●考点阐释 1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题. 向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法. 坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题. 2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化. ●试题类编 一、选择题 1.（2002春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．． 成立的是（ ） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ） 2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ） A.3x +2y －11=0 B.（x －1）2+（y －2）2=5 C.2x －y =0 D.x +2y －5=0 3.（2001、、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（ ） A.（3，－4） B.（－3，4） C.（3，4） D.（－3，－4） 4.（2001、、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则 ?等于（ ） A. 4 3 B.－ 4 3 C.3 D.－3 5.（2001）如图5—1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A 1=c .则下列向量中与 M B 1相等的向量是（ ） A.－ 21a +2 1 b + c B. 21a +21b +c C. 21a －2 1 b + c D.－ 21a －2 1b +c 6.（2001、、天津理，5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c 等于 （ ）

平面向量教学设计

教学设计 向量的加法 一、高考统览平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三是向量的数量积，其中向量的数量积及其应用是考查的重点。从试题形式上看，该部分主要以选择题、填空题的形式出现。另外，平面向量具有几何与代数形式的双重性，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都能够整合在一起，在高考中以解答题为主，要予以高度重视。 二、教学目标 1．知识与技能 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们实行向量计算。 使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移水平，增强学生的数学应用意识和创新意识。 3．情感态度与价值观注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。 三、教学重点、难点1、重点：向量加法的两个法则及其应用；2、难点：对向量加法定义的 理解。 突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，持续渗透数形结合的思想，使学生从感性理解升华到理性理解。 教学方法结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性理解；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟” ，提升思维品质，

力求把传授知识与培养水平融为一体。 采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提升教学质量。 四、教学过程

平面向量与空间向量知识点对比

平面向量与空间向量知识点对比 内容 平面向量 空间向量 定义 既有大小，又有方向 既有大小，又有方向 表示方法 （1）用有向线段AB 表示； （2）用c b a ,,或a,b,c 表示 模 向量的长度，用|AB |或|a |表示 零向量 长度为0的向量，记为a 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相等向量 长度相等，方向相同的向量叫做相等向量 相反向量 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA 夹角范围 0≤θ≤π 0≤θ≤π 数乘 平面向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 空间向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λ a. 共线向量定理 向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量() 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量共线 （共面） 向量( ) 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量p 与a 与b 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y ），使 b y a x p += 点共线（共面） OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线 OC z y x ++=OB OA OP 若，且1=++z y x ，则P 、A 、B 、C 、四 点共面 数量积 θcos b a b a ?=? θcos b a b a ?=?

运算律满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律 向量的运算 线性运算坐标运算线性运算坐标运算 加法 三角形法则:首尾相连首尾连；例 如：AC BC AB= + 平行四边形法则：同起点，对角线 () 2 1 2 1 ,y y x x b a+ + = + 三角形法则:首尾相连首尾 连；例如：AC BC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a+ + + = + 减法 三角形法则:同起点，连终点，指 向被减向量；例如：CB AC AB= + () 2 1 2 1 ,y y x x b a- - = - 三角形法则:同起点，连终点， 指向被减向量；例如： CB AC AB= + () 2 1 2 1 2 1 , ,z z y y x x b a- - - = - 数乘 倍的向量 的 ），长度为 或者相反（ ） 方向相同（ 表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 倍的向量 的 ），长度为 或者相反（ ） 方向相同（ 表示与 x a x x a a x < > () 1 1 ,y x aλ λ λ= 数量积 模 夹角 平行 1221 //0 a b a b x y x y λ ?=?-= 2 1 2 1 2 1 , , //z z y y x x b a b aλ λ λ λ= = = ? = ? cos a b a bθ ?=cos a b a bθ ?= 1212 a b x x y y ?=+ 121212 a b x x y y z z ?=++ 1122 (,)(,), a x y b x y == 若，则有 111222 (,,)(,,) a x y z b x y z == 若，，则有 a a a =?22 11 a x y =+a a a =?222 111 a x y z =++ cos a b a b θ ? =1212 2222 1122 cos x x y y x y x y θ + = ++ cos a b a b θ ? =121212 222222 111222 cos x x y y z z x y z x y z θ ++ = ++++ (0) a b b λ =≠111222 222 x y z x y z x y z ==≠ （） (0) a b b λ =≠ 11 22 22 x y x y x y =≠ （）

平面向量概念教学设计

篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计

北师大版数学高二从平面向量到空间向量参考导学案 北师大版选修2-1

高中数学从平面向量到空间向量参考导学案北师大版选修2-1 一、教学目标： 复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 二、教学重点：平面向量的基础知识。 教学难点：运用向量知识解决具体问题 三、教学方法： 探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质

2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1 OB OA OP += ,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(221 1y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→ ?DC ，且?→ ?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的

平面向量的概念教案

1 平面向量基本概念 教学目标 1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性. 2.理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在 图形中辨认相等向量和共线向量. 4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两 个要素及向量可以平移的特点. 教学重点：向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示. 教学难点：向量的含义. 教学过程 （一）情境创设 1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果 原因 2.如图1，在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C 处逃窜，猫由B 向正东方向的D 处追去，猫能否抓到老鼠？ 结果 原因 思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？ 咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？ 这些量的共同特征是什么？ （二）概念形成 观察：如图2中的三个量有什么区别？ 1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量. 2.向量的表示方法 思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量. 符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段， 记作AB .(注意起终点顺序). (2) 字母表示法：可表示AB 为a . 练习. 如图4，小船由A 地向西北方向航行15海里到达 B 地，小船的位移如何表示？（用1cm 表示5海里） （三）理性提升 3.向量的模 向量的大小——向量长度称为向量的模. 记作：||. 强调：数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+ x )－ 2 D.y=sin(3 21π -x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ）

平面向量的教学设计

§平面向量的基本概念 一、三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。本节课概念与知识点较多也比较抽象，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 二、教学重点及难点 1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等 2难点：向量的概念和共线向量的概念

2、向量的几何表示 （类比实数的数轴表示并结合实例过渡到向量的几何表示） 向量的几何表示：用有向线段表示； 3、向量的相关概念 （1）向量的字母表示：用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示，书写用a，b等；或用有向线段的起点与终点字母：AB等；（2）向量AB的大小就是有向线段AB的长度（或称模），记作|AB|；向量方向就是其有向线段的箭头指向。 （3）零向量、单位向量概念：（从向量的大小方面过渡） ①长度为0的向量叫做零向量，记作0。 ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 4、平行向量定义（从向量的方向关系进行引入）： ①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量； 若向量a，b平行，记作a∥b ②我们规定0与任一向量平行，即都有0∥a. 说明：综合①、②才是平行向量的完整定义； “若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法正确吗？ 探究： （注意与直线平行传递性的区别） 5、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 说明：（1）若向量a与b相等，记作a=b； （2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段 来表示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．.（结合向量与有向线段的构成要素进行说明，并用课件展示其生成过程） 6、相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 7共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移 到同一直线上（与有向线段的起点无关） ．．．．．．．．．．．. 探究：（1）平行向量可以在同一直线上吗？ （注意与两平行线位置关系的区别） （2）共线向量可以相互平行吗？ （注意与同在一直线上的线段位置关系的区别）

最新十年高考之平面向量与空间向量

十年高考之平面向量与空间向量

十年高考之平面向量与空间向量 ●考点阐释 1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题. 向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法. 坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题. 2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化. ●试题类编 一、选择题 1.（2002上海春，13）若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是（ ） A.（a +b ）+c =a +（b +c ） B.（a +b ）·c =a ·c +b ·c C.m （a +b ）=m a +m b D.（a ·b ）c =a （b ·c ） 2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且 α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ） A.3x +2y －11=0 B.（x －1）2+（y －2） 2 =5 C.2x －y =0 D.x +2y －5=0

3.（2001江西、山西、天津文）若向量a =（3，2），b =（0，－1），则向量2b －a 的坐标是（ ） A.（3，－4） B.（－3，4） C.（3，4） D.（－3，－4） 4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OB OA 等于（ ） A.4 3 B.－ 4 3 C.3 D.－3 5.（2001上海）如图5—1，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ， 11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是 （ ） A.－ 21a +2 1 b + c B. 21a +21b +c C. 21a －2 1 b + c D.－ 21a －2 1b +c 6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c 等于（ ） A.－21a +2 3 b B.2 1 a －23b C. 23a －2 1 b D.－ 23a +2 1 b 7.(2000江西、山西、天津理，4)设a 、b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 图5—1

期末复习专题空间向量与立体几何

【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期末复习专题：空间向量与立体几何 二. 知识分析： 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求 两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直

证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式 cos ,a b a b a b ?<>= ?， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π?? ? ??， 故实质上应有： cos cos ,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量；

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、考试内容要求： (一)、平面向量： （1）平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景。②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。③理解向量的几何表示. （2）向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. （3）平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. （4）平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （5）向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. (二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量

语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 二、知识要点归纳： (一)、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、既有大小又有方向 的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向 量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与 任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.

从平面向量到空间向量教学设计

从平面向量到空间向量(教学设计) 淮北实验高级中学 李德锋 【教学目标】 1．知识与技能 (1)理解空间向量的概念． (2)掌握空间向量的两种表示法． (3)掌握两个空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量的概念． 2．过程与方法 通过从平面向量到空间向量的教学，掌握类比的学习方法，培养学生迁移的能力． 3．情感、态度与价值观 学会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物． 【教学重难点】 重点：理解两空间向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念． 难点：准确找出已知平面的法向量． 【教学过程】 一、自主学习 （一）、向量概念 观看微课《平面向量的故事》，回顾平面向量的有关概念。完成下面问题 问题1：如何求空间向量的夹角？ 问题2：类比写出空间向量的下列概念：单位向量，零向量，相等向量，相反向量，平行向量。 （二）、向量、直线、平面 阅读课本26页 ，理解空间直线的方向向量，平面的法向量概念。完成下面问题 问题3：如何找出空间直线的方向向量，平面的法向量？ 问题4：过一定点A 且方向向量为a 的空间直线确定吗？过一定点A ，且法向量为a 的平面确定吗？ 二、课堂探究 探究一:空间向量的有关概念 例1下列命题不正确的是_______． ①单位向量都相等. ②任一向量与它的相反向量不相等． ③若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ∥b ④若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ⑤若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4 . ⑥共线的向量，若起点不同，则终点可能相同．

探究二:直线的方向向量与平面的法向量 例2如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)分别给出直线AA 1，BD 的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD 1A 1，平面BB 1D 1D ，平面AB 1C 的一个法向量． 探究三:求空间向量的夹角 例3、如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求下面向量的夹角 (1)〈BA 1→，CC 1→〉(2)〈BA 1→，B 1C 1→〉；(3)〈BA 1→，AD 1→ 〉． (4)〈BA 1→，D 1C →〉；(5)〈BA 1→，D 1A →〉；(6)〈BA 1→，DA → 〉． 三、课堂检测 1.判断命题的真假 (1)空间向量就是空间中的一条有向线段． (2)不相等的两个空间向量的模必不相等． (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． (4)向量BA →与向量AB → 的长相等 2．习题2-1A 组2、3、4 四、小结 1、你有哪些知识方面的收获？ 2、你有哪些数学思想方法上的收获？ 五、课后思考 试用类比的思想探究空间向量有哪些运算

第八章 平面向量与空间向量

第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学 1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作=a ，=，则向量叫做与b 的和。记 作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，则向量叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面

最新高中数学必修4《平面向量》教案精品版

2020年高中数学必修4《平面向量》教案精 品版

平面向量说课稿 各位评委,老师们:大家好! 我说课的内容是<平面向量>的教学,所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书<数学>必修4,第二章。针对我校学生基础相对较好.我在进行教学设计时,也充分考虑到了这一点。 下面我从教材分析,教学目标的确定,教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。 一教材分析 (1)地位和作用 平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。 (2)教学结构的调整 将本节教学中认知过程的教学内容适当集中,以突出这节课的主题;例题、习题部分主要由学生依照概念自行分析,独立完成。 (3)重点,难点,关键 重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示 难点：向量的概念 关键：多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深理解 二教学目标的确定

(1)基础知识目标:理解向量、零向量、单位向量、共线向量、平行向量、相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 (2)能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。 (3)情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。 三教学方法的选择 Ⅰ教学方法:本节课我采用了“启发探究式”的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点: (1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线 (2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法 Ⅱ教学手段 使用多媒体投影仪、计算机辅助教学 四教学过程的设计 Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题,明确学习目标 (1)创设情境——引入概念 (2)观察归纳——形成概念 (3)讨论研究——深化概念 Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念 (1)总结反思——提高认识 (2)即时训练—巩固新知 ［练习1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

平面向量的概念及表示教学设计

“平面向量的概念及表示”的教学设计 一、教学内容解析 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。以位移、力等物理量为背景，抽象出既有大小又有方向的量---向量，然后介绍了向量的几何表示，向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、相等向量与共线向量。 二、教学目标设置 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 三、学生学情分析 这个班的学生是高一的，刚刚学完必修一的第一章的内容。 四、教学策略分析 利用已学的集合知识，构建学习新概念的学习体系。借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念

五、教学过程 （一）温故而知新，主要从集合的学习体系来认知学习一个新知识的研究体系，即：定义一表示一特殊元素一特殊关系一运算。 (二)问题情镜引入，从位移等物理量引入既有大小又有方向的量并加以抽象。 问题1：在平面上，如何用点A的位置来确定点B的位置关系？ 问题2：你能不能举出其他的既有大小又有方向的量？ 问题3：你能不能举出只有大小没有方向的量？ (三)新课学习 1、向量的定义：既有大小又有方向的量为向量。 2、向量的表示（1）几何表示：用一个很经典的受力分析图，学生很容易想到用有向线段来表示向量。长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 (2)符号表示：①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）； ②用小写字母表示：a、b、c ；（印刷用a，书写时应加上箭头）（此处向学生介绍数学家们有符号表示向量的过程，让学生对数学史有一定的了解，符号化的过程也不是一蹴而就的） 3、向量的有关概念： （1）大小：

空间向量与立体几何知识点汇总

立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：