量子力学习题答案

量子力学习题答案

1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ

由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ

69

h /p h /

hc /

1.2410/0.7110

m 0.71nm

--λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10

2.07K 1K

J 10

381.12

32

323

1

23

---?=????=

=

kT E

于是有

一维谐振子处于2

2

/2

()x x Ae α

ψ-=状态中，其中α为实常数，求：

1.归一化系数；

2.动能平均值。

（22

x

e

dx /∞-α-∞

=

α?）

解：1.由归一化条件可知：

22

*

2x

2

(x)(x)dx A e

dx 1

A

/1

∞∞-α-∞

-∞

ψψ===α=?

?

取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.

2222

2

2

22

2

2

22

22

22

22

2

*

2x /2

x /22

2

2

x /2

x

/2

2

2

x /2

2x

/2

2

222x

2x

/2

2

2

24

2x

2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx

d

A

e

()e

dx

2dx d A

e

(xe

)dx

2dx

A {xe

(xe

)dx}

2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞

∞-α-α-∞∞-α-α-∞

∞

∞-α-α-∞

-∞

∞-α-∞

=

ψψ=μ=-

μ

=-

-αμ=-

-α-

-αμ

=

α

=

μμ

?

??

?

?

?

＝（＝

＝

22

2

2

2

2

4

x

22

24

x

x

2

2

22

24

21()xd(e

)

21A (){xe

e

dx}221A ()2442∞-α-∞

∞

∞-α-α-∞

-∞

α-

α

=α-

--

μααα-

-

μ

α

μ

μ

α

?

?

若αT 4

ω=

解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是

非常方便的。

一维谐振子的哈密顿量为：

2

2

22

d

1H x

2dx

2

=-

+

μωμ

它的基态能量01E 2

=

ω 选择 为参量，则:

0dE 1d 2

=

ω

；

2

2

2

d H d

2d

2()T d dx

2dx

=-

=

-

=

μμ

d H 20

0T

d =

由F-H 定理知：

0dE d H 210

T

d d 2=

==ω

可得： 1T

4

=

ω

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr

ikr

e

r

e

r -=

=

1)2( 1)1(2

1ψ

ψ

从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的

球面波。

解：分量

只有和r J J 21

在球坐标中 ?

θθ?

θ??

+??+??

=?sin r 1e r 1e r r 0

r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr

3

020

2201*

1*111 )]11

(1

)1

1

(1

[2 )]1(1)1(1[2 )

(2 )1(==

+----=??-??=?-?=--ψψψψ

r

J 1

与同向。表示向外传播的球面波。

r mr

k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r

1

(r e

r 1)e r

1

(r e r 1

[m 2i )(m 2i J )2(3

020220

ik r

ik r

ik r

ik r

*2

*2

22

-=-=---+-=

??-

??

=?-?=--ψψψ

ψ

可见，r J

与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场

??

?

??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，

，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程

)()()()(22

22

x E x x U x dx

d

m ψψψ=+-

在各区域的具体形式为 Ⅰ： )()()()(2 01112

22

x E x x U x dx

d

m x ψψψ=+-

<

①

Ⅱ： )()(2 0 222

22

x E x dx d

m a x ψψ=-

≤≤ ②

Ⅲ： )()()()(2 3332

22

x E x x U x dx

d

m a x ψψψ=+-

>

③

由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须

0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为0)(2)(22

2

22

=+

x mE dx

x d ψψ

令2

22

mE k =

，得

0)()(22

222

=+x k dx

x d ψψ

其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得

)0()0(12ψψ= ⑤

)()(32a a ψψ= ⑥

⑤ 0=?B

⑥0sin =?ka A

)

,3 ,2 ,1( 0

sin 0 ==?=∴≠n n ka ka A π

∴x a

n A x πψsin

)(2=

由归一化条件

1)(2

=?

∞

dx x ψ

得 1sin

2

2

=?

a

xdx a

n A

π

由 a mn 0

m n a sin

x sin

xdx a

a

2

ππ?=

δ?

x

a n a x a

A πψsin

2)(22=

∴=

?

2

22

mE k =

),3,2,1( 22

2

22

==

?

n n ma

E n π可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为

??

?

??><≤≤=-a x a x a x xe a

n a t x t E i n n , ,0 0 ,sin 2),( π

ψ 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 解：

22

1x

2

1(x)2xe

-

αψ=

?α

2

2

2

2

2

3

22

2

112 24)

()(x

x

e

x e

x x x ααπα

π

α

α

ψω--?=

??

==

2

2]22[2 )(323

1x

e

x x dx

x d ααπ

α

ω--=

令

0 )(1=dx

x d ω，得

±∞

=±

==x x x 1

0α

由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。

2

2

2

2)]251[(4)]22(2)62[(2 )(

4

4

2

2

3

322223

2

12

x

x

e

x x e

x x x x dx

x d ααααπ

α

αααπ

α

ω----=---=

而

2

3

121x d (x)41

6

e

dx

=±

α

ω=-<

可见μω

α

±

=±

=1

x 是所求几率最大的位置。

3.2.氢原子处在基态0

/30

1

),,(a r e

a

r -=π?θψ，求：

(1)r 的平均值； (2)势能r

e

2

-

的平均值；

(3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。 解：(1)?

θθπτ?θψππd rd d r re

a

d r r r a r sin 1

),,(0

2

20

/230

2

???

?∞

-==

?

∞

-=

/23

3

4dr

a

r a a r

04

030

2

32!34a a a

=

???

? ??=

2

2

0302

/23

02

20

/230

2

20

2

/23022

21

4 4 sin sin 1)()2(0

a e

a a e

dr r e a e d drd r e

a e

d drd r e

r

a

e

r e

U a r a r a r -

=???

?

??-

=-

=-

=-

=-

=?

???

???

∞

-∞

-∞

-π

π

ππ?

θθπ?

θθπ

(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为

??

=

ππ

?θθ?θψω0

20

2

2 sin )],,([)(d drd r r dr r dr

r e

a

a r 2

/230

4-=

2

/230

4)(r

e

a

r a r -=

ω

/20

30

)22(4)(a r re

r a a

dr

r d --

=

ω

令

0321 , ,0 0)(a r r r dr

r d =∞==?=，ω

当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置

/22

20

3

2

2

)482(4)(a r e

r a

r a a

dr

r d -+

-

=

ω

8)(2

30

2

2

<-

=-=e

a

dr

r d a r ω

∴ 0a r =是最可几半径。 (4)2

2

2

2?21??-

==

μ

μ

p

T

???

∞

--?-

=ππ

?

θθπμ

200

2

/2

/30

2

sin )(1

20

d drd r e

e

a

T a r a r

???

∞

---

=π

π

?

θθπμ

20

2

/2

2

/3

02

sin )]([11

20

d drd r e

dr

d r

dr

d r

e

a a r a r

22

2/3

41

((2) 2r a r

r e

dr a a a μ∞-=-

-

-

?

20

22

02

040

22)4

4

2

(24a

a a a

μμ

=

-

=

(5) τ?θψψd r r p c p

),,()()(*

?= ?

??

-

∞

-=

π

πθ

?θθππ20

cos 0

2

/30

2

/3 sin 1

)

2(1)(0

d d e

dr r e

a

p c pr i a r

??

-=

-

∞

-πθ

θπππ

cos 0

/2

30

2

/3)cos ( )

2(20

d e

dr e

r a

pr i a r

?

∞

-

-=

cos /2

30

2

/30

)

2(2π

θ

πππ

pr i a r e

ipr

dr

e

r a

?

∞

-

--=

/30

2

/3)()

2(20

dr e

e re

ip

a

pr

i pr

i

a r

πππ

])

1(

1)

1(1[

)

2(22

2

30

2

/3p i a p i a ip

a

+--=

πππ

22

2

2

1

41

(

)

ip p

a a =

+

2

22

2

04

4

003

30

)

(24

+=

p a a a a π

2

2

2

2

02

/30)

()

2(

+=

p a a π

动量几率分布函数

4

2

2

02

5

302

)

(8)()(

+=

=p a a p c p πω

3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I

L

H

22

=

，L 为角动

量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：

解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 22Z L L =

哈米顿算符 2

22

22?21??d d I L I H Z

-==

其本征方程为 (t H

与?无关，属定态问题) )

(2)(

)

()(22

2

2

222

?φ?

?φ?φ?φ?

IE d d E d d

I -

==-

令 2

22

IE m =

，则

0)()(

2

2

2

=+?φ?

?φm d d

取其解为 ?

?φim Ae =)( (m 可正可负可为零)

由波函数的单值性，应有

?π??φπ?φim im e e =?=++)2()()2(

即 12=π

m i e

∴m= 0，±1，±2，…

转子的定态能量为I

m E m 22

2

=

(m= 0，±1，±2，…)

可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ?

φim m Ae

=

A 为归一化常数，由归一化条件

π

π

??φφπ

π

2121 2

20

2

20

*=

?===

?

?

A A d A

d m m

∴ 转子的归一化波函数为

?

π

φim m

e

21=

综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

2

?21?L I

H

= t H

与?无关，属定态问题，其本征方程为

),(),(?212

?θ?θEY Y L I

= (式中),(?θY 设为H

?的本征函数，E 为其本征值)

),(2),(?2?θ?θIEY Y L

= 令 22 λ=I E ，则有

),(),(?22?θλ?θY Y L

= 此即为角动量2?L

的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL 其波函数为球谐函数?θ?θim m m m e P N Y )(cos ),( = ∴ 转子的定态能量为 2)1(2

I

E

+=

可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。

3.6 设t=0时，粒子的状态为

]cos [sin )(2

1

2kx kx A x +=ψ 求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(2

121212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ ]cos 2cos 1[2kx kx A +-=

i2kx

i2kx

ikx

ikx

1

12

2

A [1(e

e

)(e

e

)]2

--=

-

++

+

ππ21][2

22

12

122

122

10?

+

+

-

-

=

--ikx

ikx

kx

i kx

i x

i e

e

e

e

e

A

可见，动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2 0 动能

μ

22

n

p 的可能值为μ

μ

μ

μ

2

2

2

2

02

22

22

22

2

k k k k

对应的几率n ω应为 π2)16

16

16

16

4

(

2

2

2

2

2

?A

A

A

A

A

π2

)8

1 81 81 81 21(A ?

上述A 为归一化常数，可由归一化条件，得 ππω

22

2)16

44

(

12

2

2

?=

??

+==

∑A A

A n

n

∴ π/1=A ∴ 动量p 的平均值为

216

216

216

2216

202

2

2

2

=??

-??

+??-??

+==

∑

ππππωA

k A

k A

k A

k p p n

n

n

∑

=

=

n

n n

p p

T ωμ

μ

222

2

28

1228

1202

2

2

2

??

+??+

=μ

μ

k k

μ

852

2

k =

3.7 一维运动粒子的状态是

???<≥=-0

,0 0

,)(x x Axe x x 当当λψ

其中0>λ，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由 ?

?

∞

-∞

∞

-=

=0

2222

)(1dx e

x A dx x x

λψ

2

3

41A λ

=

∴2/32λ=A

3/2x (x)2xe -λψ=λ )0(≥x 0)(=x ψ )0(

ikx1/23/2(ik)x

11

c(p)e(x)dx()2xe dx

2

∞∞

--λ+

-∞

=ψ=?λ

π

??

3

1/2(ik)x(ik)x

2x1

()[e e dx

ik ik

∞∞

-λ+-λ+

λ

=-+

πλ+λ+

?

33

1/21/2

2

2

2121

()()

p

(ik)

(i)

λλ

===

ππ

λ+

λ+

动量几率分布函数为

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

3

2

)

(

1

2

)

(

1

2

)

(

)

(

p

p

p

c

p

+

=

+

=

=

λ

π

λ

λ

π

λ

ω

(2) *3x x

d

?

p(x)p(x)dx i4xe(xe)dx

dx

∞∞

-λ-λ

-∞

=ψψ=-λ

??

32x

i4x(1x)e dx

∞

-λ

=-λ-λ

?

322x

i4(x x)e dx

∞

-λ

=-λ-λ

?

3

22

11

i4()

44

=-λ-

λλ

=

或：2

p

p c pdp0

∞

-∞

==

?

被积函数是个奇函数

3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数)

(

)

(x

a

Ax

x-

=

ψ描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

解：一维无限深势阱的的本征函数和本征值为

?

?

?

?

?

≥

≤

≤

≤

a

x

x

a

x

x

a

n

a

x

,0

,0

,

sin

2

)

(

π

ψ

2

2

2

2

2a

n

E

nμ

π

=)

3

2

1

(

，

，

，

=

n

粒子的几率分布函数为2

)

(

n

C

E=

ω

*

()()sin

()a

n n C x x dx x x dx a

πφψψ∞-∞

=

=

?

?

先把)(x ψ归一化，由归一化条件，

2

2222

22

2

1()()(2)a a x dx A x a x dx A

x a

ax x dx ψ∞-∞

=

=

-=-+?

?

?

?

+-=a

dx x ax x a A

04

3

2

22

)2(

30

)5

2

3

(

5

2

5

5

5

2

a

A

a

a

a

A =+

-

=

∴5

30a

A =

∴ ?

-??

=

a

n dx x a x x a

n a

a

C 0

5

)(sin

302π

]sin sin

[1520

2

3

x xd a n x x xd a

n x a a a

a

?

?-=

ππ

a

x a

n n a

x a

n x n a x

a

n x n a x a

n n a

x a n x n a

a

3

3

32

2

22

2

232

3

]

cos 2sin

2 cos

sin cos [152ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

-

-

+

+-

=

])1(1[1543

3

n

n --=

π

∴ 2

6

6

2

])1(1[240)(n n

n C E --=

=π

ω

??

?

??=== ,6 ,4 ,20 5 3 1960

66n n n ，，，，，π

?

?

==

∞∞

-a

dx x p x dx x H

x E 0

2)(2?)

()(?)(ψμ

ψψψ

2

25

2

30

()[()]2a

d

x a x x a x dx a

dx

μ=

-?-

-?

2

2

3

3

5

5

3030()(

)2

3

a

a

a

x a x dx a

a

μμ=

-=

-

?

2

25a

μ

=

3.9.设氢原子处于状态 ),()(2

3),()(2

1),,(11211021?θ?θ?θψ--

=

Y r R Y r R r

求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值 2

2

2

22282

s s

e n

e E μμ-

=-

= )2(=n

角动量平方也有确定值

2222)1( =+=L )1(= 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L ； -=2Z L 其相应的几率分别为 4

1，

4

3

其平均值为 434304

1-

=?

-?=

Z L

3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=???p x 解： 0=p 2

224

5 2 k T p ==μ

0]cos 21[sin

2

2

2

=+=?

∞

∞

-dx kx kx x A x ∞

=+

=

?

∞

∞

-dx kx kx x A x 22

2

2

2

]cos 2

1[sin

2

22

2

2

2

(x)(p)(x x ).(p p )???=--=∞

4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。 解：???'-

'-=τ

πd e p z p

y e L r p i y z r p i p p x

)??()

21(

)(3

???'-

-=τ

πd e

zp yp e

r p i y z r p i

)()

21(

3

???'-

??-??-=τπd e

p p p p i e

r p i z

y

y

z

r p i

))(()

21(

3

??'-??-??-=τπd e

p p p p i r p p i z

y

y

z

）（3

)

21

)(

)((

)()(p p p p p p i y

z

z

y

'-??-??

= δ

?''=τψψd L x L p

x p p p x

2

*2)()( ???'-

-=τ

πd e p z p

y e r p i y z r p i

2

3

)??()

21(

???'-

--=τ

πd e p z p y p z p

y e

r p i y z y z r p i

)??)(??()

21(

3

?''-

??-??-=τπd e

p p p p i p z p

y e

r p i y

z

z

y y z r p i

))()(??()

21(

3

???'--??-??=τ

πd e p z p

y e

p p p p i r p i y z r p i y

z

z

y

)??()

21)(

)((3

??'-??-??-=τπd e

p p p p r p p i y z

z y

）（3

2

2

)

21(

)(

)()(2

2

p p p p p p y

z

z

y

'-??-??-= δ

4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

解：定态薛定谔方程为 ),(),(2),(2

12

2

22

2t p EC t p C p

t p C dp

d =+

-

μ

μω

即 0

),()2(),(2

12

2

22

2=-

+-

t p C p

E t p C dp

d μ

μω

两边乘以ω

2，得

0),()2(

),(1

12

2

2=-

+-

t p C p

E t p C dp

d

μωω

μω

令

μωββμωξ1

, 1

=

==

p p

ω

λ E 2=

0),()(),(2

2

2=-+t p C t p C d d ξλξ

跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

t

E i n p

n n n e

p H e

N t p C n E

-

-=+=)(),()(2

22

121βωβ

式中n N 为归一化因子，即 2

/12

/1)

!

2(

n N n

n π

β=

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

解：222

2

2

2222

1221?21?x x x p H μωμμωμ+??-=+= ?='dx x H x H p

p p p )(?)(*ψψ ?'-

+

??

-

=

dx

e

x x e

x

p i

px

i

)2

12(212

22

22

μωμπ

??∞

∞

--'∞

∞

--'+

'-

=dx

e x dx e p i

x

p p i

x

p p i

)(2

2

)(2

2

21

2

121

)

(

2

πμω

πμ

?∞

∞

--''??

+-''

=

dx e p

i p p p x

p p i )(2

2

2

2

2

)(21

2

1)(2

πμω

δμ

?

∞

∞

--''

??

+

-''

=

dx e

p i

p p p x

p p i

)(2

22

2

2

1

)

(2

1)(2

απμωδμ

)(21)(22

22

22

p p p p p p

-''

??

-

-'=

δμωδμ

)(2

1)(22

22

2

2

p p p

p p p

-'??

--'=δμωδμ

4.5 设已知在Z L L

??2

和的共同表象中，算符y

x L L ??和的矩阵分别为 ???

?

?

??=01

101

010

2 x

L ????

?

??--=00

000

22i

i i i L y 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵y x L L 和对角化。 解：x L 的久期方程为

00

2

22022

3

=+-?

=---λλλ

λλ

-===?3210λλλ，，

∴x L ?的本征值为 -，，0 x L ?的本征方程 ????

?

??=????? ???????

??3213

2

101

0101

0102a a a a a a λ 其中???

?

?

??=3

2

1a a a ψ设为x

L ?的本征函数在Z L L ??2和共同表象中的矩阵 当01=λ时，有

????

?

??=????? ???????

??00001

101

01023

2

1a a a

0 00022132312=-=?????

? ??=????? ??+a a a a a a a ， ∴ ?

????

?

?-=1100a a ψ 由归一化条件

2

1

11*

1*10

020),0,(1a a a a a =?

????

??--==+ψψ

取 2

11=

a

?????

??

?

?

?-=210210

ψ对应于x

L ?的本征值0 。

当 =2λ时，有

????

?

??=????? ???????

??3213

2

101

101

010

2a a a a a a ???

?

???===??????

??=????????

?

??+13321

232123122221)(2121a a a a a a a a a a a a a ∴ ?????

?

??=1112a a a

ψ 由归一化条件 2

1

111*

1*1*142),2,

(1a a a a a a a =?????

?

??=

取 2

11=

a

∴归一化的??

??????? ?

?=212121

ψ对应于x L ?

的本征值 当 -=2λ时，有

????

?

??-=????? ???????

??3213

2

101

101

0102a a a a a a ??

??

???=-=-=??????

??---=?????????

?

??+1

3321

232123112221)(2121a a a a a a a a a a a a a

∴ ?????

?

??-=-1112a a a

ψ 由归一化条件

2

1

111*

1*1*142),2,(1a a a a a a a =????

?

?

??--=

取 2

11=

a

∴归一化的?????

???

? ??-

=-2

12121

ψ对应于x L ?

的本征值 - 由以上结果可知，从Z L L ??2和的共同表象变到x

L ?表象的变换矩阵为

??

???????

?

?--=212

12

12121021

2121S

∴对角化的矩阵为S L S L x x +='

??

??????? ??--?????

??????????

?

?

?-

-='212

1212121021

212101

101010212

12

12

12121210212 x L

??

??????

?

??-

-?????????

?

?--=212

12

12121021

2121211

2

1211210002

????

?

??-=?????

??-= 0

00

00020

020

0002 按照与上同样的方法可得

y L ?的本征值为 -，，0 y

L ?的归一化的本征函数为 ?????

??

? ??=2

1021

ψ ????????

? ??-=21221i ψ ????????

?

??--=-21221i

ψ

从2Z

??L L 和的共同表象变到y L ?表象的变换矩阵为

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

喀兴林高等量子力学习题6、7、8

练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）

) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知：

22 *2x (x)(x)dx A e dx1 A/1 ∞∞ -α -∞-∞ ψψ== =α= ?? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4 A/ =απ 2. 2222 2222 2222 2222 22 2 *2x/2x/2 22 2x/2x/2 2 2x/22x/2 22 22x2x/2 22 242x2 T(x)T(x)dx A e(P/2)e dx d A e()e dx 2dx d A e(xe)dx 2dx A{xe(xe)dx} 2 A x e dx A 22 ∞∞ -α-α -∞-∞ ∞ -α-α -∞ ∞ -α-α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ ∞ -α -∞ =ψψ=μ =- μ =--α μ =--α--α μ =α= μμ ?? ? ? ? ? ＝（）＝＝ 22 2222 4x 2 2 24x x 2 22 222 24 2 1 ()xd(e) 2 1 A(){xe e dx} 22 1A A() 24 2 ∞ -α -∞ ∞∞ -α-α -∞ -∞ α- α =α--- μα ππαα α-- μμ α ? ? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω = 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 22 22 d 1 H x 2dx2 =-+μω μ 它的基态能量 1 E 2 =ω选择为参量，则:

高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)

2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2

量子力学课后答案第一二章

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

高等量子力学习题.

高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式

量子力学习题答案

量子力学习题答案

2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为

由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得

∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中

量子力学课后习题答案

第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为

吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料

高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符

()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h

量子力学教程课后习题答案高等教育

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学教程第二版答案及补充练习

第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学 第四版 卷一 习题答案

第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量

高等量子力学习题汇总

第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2

高等量子力学第一章习题

?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式。 4、设某系统的哈密顿算符为:H(t)=a 1(t)J ++a 2(t)J 0+a 3(t)J － 其中a i (t),i=1,2,3为任意时间t 的函数，J +,J 0,J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易 关系:[J +,J －]=－2J 0,[J 0,J ±]=±J ± 试证明该系统的时间演化算符可表示为: U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －],并导出确定C i (t)的方程.。 5、已知算符b 和b +的对易关系为[b ,b +]=1,在b +b 对角表象的本征态矢量为 且基态满足b|0>=0,引入算符b 的本征态b|z>=z|z> 试求归一化态矢量|z>在b +b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数 6、题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明： （i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。(ii)相干态表象的基矢组是完备的，完备性条件由下式给出式中，积分元由z=x+iy d 2z=dxdy 给出，证明过程中可以利用的公式有: (iii)不存在算符b +的本征右矢量。）（||||2 1+><+=?S ）（||||2 3?><+=?S ）（||||22?><+?+> >=+0|)(!1 |n b n n )(2b b x +=+μω?)(2 b b i p ?=+?μω∫=><1 ||2z z z d π

量子力学试题及答案

2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵

??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A

量子力学习题答案.

2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数

（二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数

2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得

当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 ,