高观点指导下的小学数学教学_郑毓信(1)

一、从思维学习的角度看小学算术与几何教学

这是新一轮数学课程改革的一个重要贡献，即是帮助人们牢固地树立了这样一种认识：小学数学教育不仅应当帮助学生很好地掌握相关的数学知识和技能，也应帮助学生初步地学会数学地思维，并逐步养成相关的情感、态度与价值观。这正是数学教育的“三维目标”。

就后一方面的具体工作而言，当然还有大量的事要做。例如，数学思想和数学思想方法的清楚界定和合理定位就是我们在当前所面临的一个紧迫任务，这也就是指，我们应当清楚地去指明在基础教育的各个阶段究竟应当帮助学生学会哪些数学思想和数学思想方法，我们还应依据学生的认识发展水平对此作出合理定位，也即具体地指明在基础教育的各个阶段在上述各个方面究竟应当帮助学生达到怎样的发展水平。

以下就是这方面的一个初步工作，即是认为“小学最基本的数学思想和数学思想方法”主要包括：（1）分类与抽象；（2）类比与归纳；（3）特殊化、一般化与化归；（4）算法化与“寓理于算”的思想；（5）形象思维与“数形结合”；（6）逆向思维与逻辑思维；（7）整体化思维与“序”的把握；（8）多元化与“优化的思想”；（9）建模与数学化的思想。笔者希望，这一工作不仅可以为这方面的深入研究提供必要基础，而且也能对实际教学活动发挥一定的促进作用。以下就从后一角度对小学算术与几何的教学作具体分析。

在实际从事这一工作前，并有必要再次强调笔者在这方面的一个基本观点：尽管有时确有必要进行数学思维的专门教学，但是具体知识内容（包括数学知识和

数学技能）的学习又应被看成帮助学生学

会数学地思维的主要途径，这也就是指，

我们应将数学思维的教学渗透于日常的

教学活动，从而真正起到言教身传的作

用。又由于算术和几何构成了小学数学

教学的主要内容，因此，这两者就应被看

成小学生学会数学地思维最重要的知识

载体。显然，这也就更为清楚地表明了从

思维学习的角度对小学算术与几何教学

作出深入分析的必要性，特别是，这即可

被看成从一个角度为我们在当前应当如何

去改进小学数学教学指明了努力的方向。

首先，除去各个具体的几何知识和技

能以外，笔者以为，小学几何的学习并十

分有益于学生掌握以下一些数学思想和

数学思想方法：分类与抽象；类比与归纳；

一般化与特殊化；形象思维与“数形结

合”；联系的观点。另外，应当明确的是，

尽管几何学习对于学生发展逻辑思维十分

有利，但是，鉴于认知发展水平的限制，对

小学生而言不宜明确提出这样一个要求。

其次，为人们的日常生活和工作提供

计算工具显然是算术教学的一个重要作

用，除此以外，小学算术的学习也应说十

分有益于以下一些数学思想和数学思想

方法的学习：分类与抽象；类比与归纳；一

般化与特殊化；算法化与“寓理于算”的思

想；逆向思维；整体化思维与“序”的把握；

多元化与“优化的思想”。

为了清楚地说明问题，在此还可联系

学生普遍具有的一些能力进行分析，后者

即是指学生通过日常生活中即已获得的

各种能力，包括相应的思维方式等。由于

这事实上也可被看成人类普遍具有的，因

此就可特称为“普遍性思维”。

以下就是英国著名数学教育家梅森

关于“普遍性思维”的具体分析，即是认为

人们普遍地具有这样一些能力：想象与表

达；聚焦与转移；特殊化与一般化；猜想与

确认；辨识与界定。

以此为背景进行分析，容易看出，几

何学习在很大程度上即可被看成学生已

有能力的具体应用。当然，后一论题不应

被理解成几何学习对于学生思维的发展

不具有任何的积极作用，毋宁说，这清楚

地表明，在几何教学中我们应当更加重视

如何能够使学生通过这方面的学习在思

维发展上有新的提高。以下就是几个特

别重要的方面：

第一，小学层面几何概念的生成应当

说与一般意义上的抽象十分一致。如果

采用皮亚杰的术语，这也就是指，它们都

属于以对物理对象的直接感知为基础的

“经验抽象”。但是，作为问题的另一方

面，我们又应清楚地看到几何学习在这一

方面的特殊作用：首先，这十分有益于思

维清晰性的提高，这也就是指，我们在几

何教学中即应特别重视帮助学生提高辨

识、区分和清楚界定的能力。例如，后者

显然就应被看成概念教学十分重要的一

个方面。另外，尽管人们常常将数学抽象

等同于“一般化”，但我们同时也应清楚地

看到“特殊化”在这一方面的作用，包括两

者之间的辩证关系。具体地说，由于“特

殊化”显然具有由抽象向具体的复归这样

一个涵义，从而就直接关系了我们能否帮

助学生很好地实现“理解学习”；另外，与

“一般化”（可称为“弱抽象”）一样，“特殊

化”事实上也是数学中实现抽象的又一重

要方法（“强抽象”）。更为一般地说，数学

的无限发展主要地也就是通过特殊化与郑毓信（南京大学哲学系）

一般化的辩证运动得以实现的。

第二，应当强化“联系的观点”，也即帮助学生逐步学会用联系的观点去认识事物和现象。从概念学习的角度去分析，这也就是指，我们在教学中不应唯一地强调概念的生成，而且也应十分重视概念的分析与组织。容易想到，后者事实上也正是我们何以应当特别重视特殊化与一般化之间辩证关系的一个重要原因；当然，从更为一般的角度说，我们又应高度重视不同概念之间的区别与联系，从而帮助学生建立起整体性的概念框架（更为一般地说，就是“知识结构”）。

第三，与概念的生成相类似，数学规律的发现乃至任一数学知识的获得也都可以被看成一般化思想的直接应用。但是，我们在此又应注意防止一些简单化的认识，即如将“归纳法”简单地理解成“由重复去发现规律”。具体地说，科学的实践与深入的理论分析已经清楚地揭示了这种“素朴的归纳主义”观点的局限性，从而我们在教学中也就应当努力促进学生由这方面的素朴认识逐步上升到对于归纳法的科学认识。另外，这显然也是几何教学的一个重要任务，即是帮助学生很好地认识对猜想进行检验的必要性。这也就是指，我们不应停留于“什么可能是真的”，而应更为深入地去思考“这为什么是真的”。当然，就小学生而言，后者主要地又是指如何能对规律的正确性作出自己的理解和说明，而不指严格意义上的逻辑证明。

第四，几何的学习显然也直接关系到了学生形象思维（或者说“几何直观”）的发展，我们并应通过自己的教学努力实现这样一个目标，即是帮助学生逐步做到“数形结合”。正如华罗庚先生所指出的，“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休。”

还应强调的是，这又正是数学学习心理学现代研究的一个主要结论，即是除去“数”和“形”这样两个方面以外，数学的学习活动还涉及到了更多的方面，如语言、操作、现实意义等；而且，与唯一强调其中的某些方面相对照，我们又应更加重视所有这些方面的相互渗透与必要的整合。容易想到，后者事实上也应被看成“用联系的观点指导数学教学”的又一重要内涵，并从又一角度为我们应当如何去改进

小学几何的教学指明了努力的方向。

以上主要针对小学的几何教学进行

了分析论述，容易想到的是，上述各个建

议对于小学算术教学也是基本适用的；当

然，作为问题的另一方面，我们又应清楚

地看到：如果说几何思维（至少就小学层

面而言）与一般思维是较为接近的，那么，

算术思维就应说具有更大的特殊性，也正

因此，对于学生而言这就有一个重新学习

的过程。

例如，“逆向思维”的学习就是这方面

的一个典型例子。在一项以成年人为直接

对象的研究中，巴西学者发现：在求解文字

题时，大部分未进过学校的成年人都能很

好地解决直接的问题；但如果问题的求解

需要用到逆运算，解答的正确率就大大降

低了，特别是，如果所涉及的数量较大，就

更加是这样的情况。与此相对照，通过学

校的学习，所说的情况就有了很大的改进。

再则，在很多学者看来，这也是算术

思维与“普遍性思维”一个重要区别：在算

术中我们必须逐步学会与抽象的事物打

交道，特别是，即是应当将各个数（自然

数、小数、分数等）看成不依赖于人们思维

的独立对象去进行研究，而不是始终集中

于它们的现实意义。例如，后者显然就正

是算术中各种“算法”的基本立足点。另

外，又由于在所说的情况下数学对象的性

质主要体现于它们的相互关系，因此，我

们在此所采取的也就可以说是一种“结构

性的观念”，也即应当将各个数看成为相

应的整体性数学结构的具体组成成分。

总之，我们在此就直接涉及到了“对象化

与结构化的思想”。

例如，从上述的角度去分析，我们显

然就可更好地理解算术教学中何以会经

常出现这样的现象，即无论是教师或学生

都很容易陷入所谓的“机械学习”。也正

因此，算术教学就应特别重视“寓理于

算”，或者说，我们即应帮助学生同时掌握

这样两个互相补充的方面：算法化与“寓

理于算的思想”。

最后，应当强调的是，除去算术以外，

“对象化与结构化的思想”也可被看成代

数思维十分重要的一项内涵；而且，由于

后者的研究对象已经由具体的数扩展到

了式（字母表达式），也即达到了更高的抽

象层次，因此，这一思想在代数中就有着

更为典型的表现。在不少学者看来，后者

并就直接关系到了现代数学研究的本质：

数学并非真实事物或现象的直接研究，而

是以抽象的模式作为直接的研究对象；又

由于数学对象的性质主要就反映于它们

的相互关系，因此，我们在此事实上也已

由各个孤立的对象过渡到了整体性的数

学结构。例如，后者事实上也就是“数学

是模式的科学”这一论述的核心。

也正是基于这样的认识，有学者提

出，就小学数学而言，算术与几何相比应

当说更加重要；当然，这又是这方面工作

的一个必要前提，即在教学中我们应当很

好地去体现与渗透“对象化与结构化的思

想”（更一般地说，就是“代数思维”）。例

如，后者事实上也就是“早期代数”

（early algebra，也可译为“低年级的代

数”）这一主张当前何以在国际数学教育

界获得了人们的普遍重视的主要原因。

下一节中我们并将围绕小学数学教学的

整体性改革对此作出进一步的分析论述。

二、小学数学教学改革的主要方向

首先应当指出，尽管以下论述主要集

中于小学算术教学的改革，但其基本思想

对于几何教学也是同样适用的，因为，几

何的现代发展显然也已明显地表现出了

“对象化”与“结构化”的趋向：在现代的几

何研究中，无论相关概念是否具有明显的

现实原型，我们都应更加重视数学抽象的

建构性质，也即应当以抽象思维的产物作

为直接的研究对象，并主要集中于它们的

相互关系。

例如，就几何图形的研究而言，无论

是教师或学生都清楚地知道：我们所研究

的并非黑板上所画的那个具体的三角形，

也不是教师手中所拿的那个木质的三角

尺，而是一般意义上的三角形，从而就是

以抽象的数学概念作为直接的研究对象；

另外，除去各个概念与知识相互之间关系

的分析，几何的公理化无疑也可被看成最

为清楚地体现了“结构化的思想”。

正因为此，相对于“小学数学中算术

与几何相比更加重要”这一论述而言，笔

者以为，我们事实上就应更加提倡“对象

化与结构化的思想”在小学数学教学中的

渗透。更为一般地说，这也就是指，我们

应从整体上明确地去提倡“高观点指导下

的小学教学教学”。

其次，正如上面的论述所已表明的，对于这里所说的“早期代数”我们不应简单地理解成“代数提前”（algebra early，或“代数初步”），也即在小学阶段尽早地引入某些专门的代数课程，如方程的研究和应用等等；恰恰相反，这一主张的核心就是小学算术教学应当很好地渗透“代数思维”。当然，“早期代数”这一术语的选用也体现了人们在这方面的这样一个共识：“算术思维”与“代数思维”事实上有很大的一致性，从而在此所真正需要的就是更大的自觉性，也即算术教学中我们如何能够更好地去体现与渗透“代数思维”，或者说，即是应当以“代数思维”作为小学算术教学的基本指导思想。

由以下关于“代数思维”具体内涵的分析我们即可更好地理解强调“代数思维”向小学算术渗透的意义，包括我们究竟应当如何去对现有的算术教学（更为一般地说，就是小学数学教学）作出必要的改进。

具体地说，这可以被看成国际数学教育界在这方面的一项共识，即是认为“代数思维”主要包括这样两个涵义：第一，借助于符号的一般化；第二，符号的形式操作。由于这两者并都直接涉及了文字符号的应用，因此，在一些教学看来，如果采用“数学活动论”的观点，我们也就可以说，“符号化”（symbolization）正是“代数思维”的基本特征。

显然，依据这一分析我们即可更清楚地认识“算术思维”与“代数思维”的一致性。首先，算术中同样包含有大量的“一般化”，如关于运算法则的思考，模式的发现与扩展，对于一般性解题方法的寻找，等等。其次，正如前面所已提及的，这也是“算术思维”的一个重要特征，即是清楚地体现了“对象化与结构化的思想”，后者当然也包括了对象的形式操作。

当然，在“代数思维”与“算术思维”之间也存在重要的区别，特别是，所说的“符号化”不仅意味着研究对象的极大扩展，也标志着达到了更高的抽象层次，从而就更为清楚地体现了现代数学研究的主要特征。

正因为此，小学算术教学就应特别重视这样两点：

第一，更加突出一般化的思想。

正如上面所提及的，由于算术中包含

大量的一般化，因此，这里的关键就在于

高度的自觉性，也即我们应当帮助学生超

越具体计算并从更为一般的角度去进行

分析和思考。

值得指出的是，在很多学者看来，这

也正是小学算术教学十分常见的一个弊

病，即是由于所谓的“操作性观念”占据了

支配地位，也即人们在此往往主要集中于

如何能够通过一定的操作（计算等）去求

得相关的未知数，因此在很多情况下就忽

视了我们并应超越具体计算、并从更为一

般的角度去进行思考和分析，即如何能对

已获得的结果作出推广，在不同的运算之

间存在什么样的关系，我们又如何能在已

有的抽象之上作出新的抽象，等等。当

然，除去各个具体的结论以外，我们又更

加希望学生能由此而获得更为深刻的理

解，包括对于整体性结构的初步认识。

总之，这应当成为小学算术教学改革

十分重要的一项目标，即无论是教师或是

学生都应努力实现由“操作性观念”向“结

构性观念”的重要转变。另外，在笔者看

来，我们事实上也应从这一角度更为深入

地去理解学生“数感”的培养与发展，后者

即是指，尽管我们在此所使用的是“数感”

（the number sense）这样一个词语，但这

又不应被理解成纯粹的“数的感知”，毋宁

说，正如对于“外在形式的感知”的必要超

越，我们在此也应注意引导学生更为深入

地去认识整体性的数学结构。

最后，这正是教学中如何帮助学生很

好地掌握“一般化”思想、包括初步树立

“结构性观念”的十分有效的一个措施：变

异与比较。这也就是指，在获得了任一具

体的结果之后，我们都应引导学生通过变

化与比较积极地去进行新的思考：什么是

可能的变化？在什么样的变化下原先的

结论仍然为真，相应的方法又可推广应用

于哪些场合？等等。

第二，树立关于文字符号更为深刻的

认识。

容易想到，这正是数学中文字符号应

用的一个主要功能，即是为“一般化”提供

了必要的工具，而不只是充当了未知数的

直接替代物。显然，从这一角度去分析，

我们也就可以更好地理解关于教学中应

当如何去引入文字符号的如下建议：我们

应当更加突出相关结论的“表述问题”，也

即从一般化的角度看如何才能避免表述

上的重复？

其次，文字符号的引入又不只是指语

言的扩展，也是指语言的不断改进，即是

我们如何能够更为精确、简洁地去进行表

述和交流，还包括新的研究对象的引进。

例如，就只有从后一角度去进行分析，我

们才能很好地理解数学的这样一个特点：

“数学谈论与数学对象常常相互滋生

（mathematical discourse and mathematical

objects create each other）”，这也就是指，数

学中的语言活动往往与思维创造密切相

关。另外，从更为一般的角度去分析，我

们则又可以断言：学习一种语言事实上就

是进入了一种新的文化，而这又正是“数

学文化”的一个重要涵义：我们应当清楚

地认识超越直接经验的重要性，乐于与抽

象的事物打交道，并应不断提高思维的精

确性与简洁性。

再者，我们又应逐步地学会这样一种

研究方式，即是从纯形式的角度（也即按

照一定的规则）对符号表达式进行操作

（作出变化）。从语言的角度看，这也就是

指，我们应当逐步学会将文字符号与它们

的表征物恰当地分割开来。

当然，在明确肯定形式演算的重要性

的同时，我们又应清楚地看到：无论就代

数本身的学习或是“代数思维”在小学算

术教学中的渗透而言，我们都应做到“意

义学习”。如果采取“符号化”的说法，这

也就是指，数学中对于符号的应用应是有

意义的，既应具有明确的目的性，也是十

分有效的。当然，这种“意义”既可能来自

数学外部，也可能源自数学内部。例如，

从后一角度去分析，我们也就可更好地去

理解“算术的一般化”的重要性，因为，“意

义的含义伴随着‘见到’隐藏在符号背后

的抽象观点的能力而产生。”

综上可见，这就是关于“代数思维”十

分恰当的一个概括：“代数是人类智力最

伟大的成果之一：应用符号去把握抽象与

一般化，并为广泛领域中的情境，包括纯

粹的与应用的，提供分析的工具。”

最后，应当再次强调的是，上面的论述

事实上不只适用于小学算术教学，而且也

在很大程度上适用于一般意义上的小学数

学教学。更为具体地说，尽管我们在此突

出地强调了符号的引入和应用，但这又不应被看成小学数学教学渗透“代数思维”（更为一般地说，就是“现代数学观念”）的必要条件，毋宁说，我们即应更加重视数学思维的学习，并深入地去研究我们在教学中究竟应当引导学生积极地去参与哪些数学活动，从而就能较好地实现“帮助学生初步地学会数学地思维”这样一个目标。

例如，这显然也就是以下论述的积极涵义所在：“低年级的代数思维涉及在活动中培养思维方式……而且在根本不使用任何字母——符号的代数的情况下，学生可以参与到这些活动中，比如，分析数量之间的关系、注意结构、研究变化、归纳化、问题解决、模式化、判断、证明和预测。”当然，又如先前的论述所已清楚表明的，我们在此并应特别强调这样几种数学活动，因为，这即可被看成小学数学教学渗透“代数思维”的基本途径：一般化（提出猜想与检验猜想），对结构的感知，符号（包括文字符号与具体数字）的有意义操作。

容易想到的是，一旦这些目标得到了实现，传统上在小学数学与中学数学学习之间所存在的巨大间隔就将不复存在，因为，这时我们所从事的是同样的数学活动。

在此我们也可通过人们认识活动的具体分析更为深入地去揭示上述各项数学活动的意义。具体地说，我们在此所涉及的主要是这样一个问题：人类是如何认识世界的？什么又是人类认识活动的主要形式？显然，与先前关于“普遍性能力”的分析直接相对应，以下一些活动也应被

看成对于人类的认识活动具有特别的重

要性：辨识与分类；用联系的观点去看待

事物和现象；抽象与一般化，努力找出现

象背后的普遍性规律；语言的创造与应用

等等。由此可见，这事实上也就是数学学

习的一个主要价值，即是十分有益于人们

认识能力的提高。

综上可见，与唯一倡导“代数思维在

小学数学教学中的渗透”相比较，我们应

当更为明确地提倡“高观点指导下的小学

数学教学”，后者则又不仅是指我们应当

将小学算术教学和几何教学同时考虑在

内，而且也是指我们应当超出“代数思维”

并从更为广泛的角度去思考“现代数学观

念”在小学数学教学中的渗透。

例如，在笔者看来，我们事实上也就

应当从上述角度去理解以下的论述：“算

术不应仅仅关注计算能力，它还应该通过

数学活动，为学生提供机会，以便于他们

打下一个坚实的数学倾向的基础……通

过简单的例子，理解数学陈述与它们所模

拟的情境（或者没有模拟）之间的关系

……学习猜想、论证（或多或少是非正规

的）和证明（如在数字理论领域）的艺术，

甚至从理想的角度来看，意识到作为‘数

字’意义的激进的概念结构化的本质正在

得到逐步的扩展。”当然，正如上面所指出

的，对于这里所说的“数学活动”我们又应

作更为广义的理解：这不仅包括概括、抽

象、符号化、操作、算法的应用等，而且还

包括下定义、综合、视觉化、表征、证明和

公理化等，当然，从教学的角度看，我们则

又应当更加重视如何能够帮助学生很好

地理解这些活动的意义，也即使之对于学

生而言真正成为有意义的。

总之，这即应成为小学数学教学改革

的一个重要方向，即是应当努力实现“高

观点指导下的小学数学教学”，这也就是

指，我们应当在小学数学的教学中很好地

渗透各种重要的数学思想，包括上面反复

提到的“代数思维”。

参考材料：

[1]郑毓信.小学数学概念与数学思维的教

学[M].南京：江苏教育出版社，2014.

[2]郑毓信.概念教学应当注意的一些问题[J].

小学教学设计，2014（5）.

[3]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育

出版社，1991.

[4]郑毓信.“找规律”教学的若干误区[J].小

学教学设计，2014（3）.

[5]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J].小

学数学教育，2011（10）.

[6]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教

育出版社，1995.

[7]郑毓信.算术与代数的区别与联系[J].小

学教学研究，2011（7）.

[8]张天孝等.小学生代数思维萌发的实验

研究[J].小学数学教师，2014（4）.

[9]郑毓信.《数学课程标准（2011）》的“另类

解读”[M].小学教学，2013（3）.

（责任编辑贾振东）征稿启事

《小学数学教育》是中国教育学会小学数学教学专业委员会会刊，是面向全国小学数学教师、教研员等小学数学教育工作者的专业学术期刊。本刊开设的“好课多磨”、“课例评介”、“案例透视”、“教学频道”等栏目，欢迎数学教育专家、教研员、教师撰写稿件。“好课多磨”通过讲述磨课的经历与感悟，把一节好课形成的过程呈现出来，让广大读者了解“好课究竟是怎么磨出来的”，达到“一人磨课，多人受益”。“课例评介”要求对一节典型课例进行评介，要有课例背景描述、教学实

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