2019-2020学年高中数学 3.1.2二倍角的正弦、余弦、正切公式提高知识讲解学案 新人教版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 3.1.2二倍角的正弦、余弦、正切公式提高知识讲解
学案 新人教版必修4
【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin 22sin cos ()S αααα=?
22222cos 2cos sin ()
2cos 112sin C αααααα=-=-=-
222tan tan 2()1tan T αα
αα
=
-
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2
k π
απ≠
+及
()4
2
k k Z π
π
α≠
+
∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、
2α是4
α的二倍、3α是32α的
二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2
cos
2
sin
2sin α
α
α=；1
1
sin
2sin
cos ()22
2n
n n n Z α
α
α
++=∈
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用
2sin cos sin 2ααα=；1
sin cos sin 22
ααα=．
2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=． 2
2tan tan 21tan α
αα
=-． 2．公式的变形
21sin 2(sin cos )ααα±=±；
降幂公式：2
21cos 21cos 2cos ,sin 22
αα
αα+-=
= 升幂公式：2
21cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之
间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】
类型一：利用二倍角公式的简单应用 例1.求下列各式的值： （1）sin
cos
12
12
π
π
；()
2152sin 212π-；（3）224sin 1533
-?． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】（1）
14；（2）（3 【解析】()11111
12sin cos sin 2121226224
πππ??=
==?= ???原式
(
)21515212sin cos 21226
111cos cos 26262πππππ??=
-= ????
?=-=-=-= ??
?原式
（3
）
222422sin 15(12sin 15)cos3033333
-?=-?=?=
． 【总结升华】 解答本类题型重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等，抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起至关重要的作用，而且抓住了公式的特征，有利于在解题时观察分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．
举一反三：
【变式1】求值：（1）cos
sin
cos sin 12
121212π
πππ?
??
?-+ ????
???
；（2）22cos 18π-；（3）22tan 751tan 75-． 【答案】（1
）
2；（2
）2
；（3
） 【解析】（1）原式
=2
2
cos
sin cos
12
12
6
2
π
π
π
-==
； （2）原式
=cos(2)cos
8
4
2
π
π
?
==
； （3）原式=3tan150tan(18030)tan 30=-=-=-
． 类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2. 求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：将原式中角度成二倍角的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin α
αα
=
进行化简．方法二：把原式作为A 式，然后把A 式中正弦形式全部化为余弦形式，
把这个式子作为B 式，再两式相乘．
【答案】
116
【解析】 方法一：原式?
?
????????=
cos6248cos cos24cos12cos62sin6
???
????=?????????=
6cos 248cos cos242sin246cos 248cos cos2412cos 2sin123
2 .161
6cos 61cos66cos 1696sin 6cos 248cos sin4824=???=???=?
????=
【总结升华】一般地，对于ααααn
cos2
4cos cos2cos ??，可以通过乘以sin α后连结使用二倍角
公式化简，这样便可以生产“连锁反应”．
方法二：设所求为A ，即A=sin6°·sin42°·sin66°·sin78° 设B=cos6°·cos42°·cos66°·cos78°
则????????=
156sin 132sin 84sin 12sin 16
1
AB B 66cos 42cos 6cos 78cos 161
=????????=
=116
B .161
,0=∴≠A B
【总结升华】在不能观察到所求角的互余角的倍数关系以前．通过设B 来构造可以利用二倍角公式的“对偶”式，算出乘积再约去B ．从而得到原式的值．这也是处理类似问题的一种常见方法． 举一反三：
【变式1】248cos cos cos cos .17171717
ππππ求值： 【解析】442482sin
cos
cos
cos cos
17171717172sin
17
ππ
πππ
π=
原式 17
sin
2178cos 174cos 172cos 172sin 243π
ππππ=
17sin 2178cos
174cos 174sin 242ππππ= 17
sin
2178cos 178sin 24π
ππ=
17sin 21716sin 4ππ=.16117sin 217sin
17sin 2)17sin(44==-=πππππ 例3
．求值：[2sin50sin10(1?+??． 【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路．
【解析】
原式[2sin50sin10(1tan60tan10)]=?+?+????
cos60cos10sin 60sin102sin 50sin10cos60cos10??+???
?
=?+??
? ?????
cos502sin 50sin10cos10cos60???
=?+??
? ????
?
cos10cos50sin10)=??+??
10)60
2
=?+?=?==
【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式，使得问题简单化．
举一反三：
【高清课堂：两角和与差的三角公式 401863 例4】
【变式1
】求值：
1
sin10
-
?
【解析】原式
cos103
sin10
-
=
13
2(cos10sin10)
22
sin10cos10
-
=
2sin20
1
sin20
2
=4
【高清课堂：两角和与差的三角公式例
5】
【变式2】求值：sin50(1
)
??
【解析】原式
=sin50(1)
cos10
+
=
13
sin502(cos10sin10)
22
cos10
?
+
=
2sin40
cos
40
cos10
=
sin80
cos10
=1
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例4．化简：2222
1
sin sin cos cos cos2cos2
2
αβαβαβ
+-?．
【思路点拨】观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简．
【答案】
1
2
【解析】方法一：原式222222
1
sin sin cos cos(2cos1)(2cos1)
2
αβαβαβ
=+-?-?-
222222221
sin sin cos cos (4cos cos 2cos 2cos 1)2
αβαβαβαβ=+---+
2222221
sin sin cos cos cos cos 2
αβαβαβ=-++-
222221
sin sin cos sin cos 2
αβαββ=++-
22111
sin cos 1222
ββ=+-=-=．
方法二：原式2222
1sin sin (1sin )cos cos 2cos 22
αβαβαβ=+--
22221
cos sin (cos sin )cos 2cos 22
βαββαβ=---
221
cos sin cos 2cos 2cos 22
βαβαβ=--
221cos cos 2sin cos 22ββαα??
=-+ ???
1cos 21cos 2cos 2cos 2222βααβ+-??
=-+ ???
1cos 2cos 21
222
ββ+=
-=． 方法三：原式1cos 21cos 21cos 21cos 21
cos 2cos 222222
αβαβαβ--++=
?+?- 111
(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2442
αβαβαβαβαβ=--+++++-
111442
=
+= 方法四：原式2
1
(sin sin cos cos )2sin sin cos cos cos 2cos 22
αβαβαβαβαβ=-+-
211
cos ()sin 2sin 2cos 2cos 222αβαβαβ=++-
21
cos ()cos 2()2αβαβ=+-+
2211
cos ()[2cos ()1]22
αβαβ=+-+-=．
【总结升华】 在对三角函数作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差
异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法．
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
(1)
sin sin 21cos cos 2θθθθ
+++（2
【答案】（1）tan θ（2）2sin 4- 【解析】(1)
.tan )cos 21(cos )
cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2
θθθθθθ
θθθθθθθθ=++=+?+=+++ (2) 原式
=2|cos 4|+ =2cos 42|sin 4cos 4|-+- =2cos 42cos 42sin 4-+- =2sin 4-
【变式2】化简：222cos 1
2tan sin 44αππαα-????
-?+ ? ?
????
．
【答案】1 【解析】原式2cos 22sin 4cos 4cos 4α
παπαπα=
??- ?
??
???- ?????- ?
??
cos 2cos 22sin cos sin 2442αα
πππααα=
=??????--- ? ? ?
??????
cos 21cos 2α
α
=
=．
类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．已知3
cos 45x π??+= ???
，且77124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解． 【答案】28
75
-
【解析】 原式2
sin sin 22sin cos sin 22sin cos 1tan 1tan x x x x x x
x x
x
+?
+=
=
--
sin 2(1tan )sin 2tan 1tan 4x x x x x π+??
=
=?+ ?-??
．
∵
77124x ππ<<，∴5264x πππ<+<． ∵3
cos 045
x π??+=>
???，∴3224x πππ<+<．
∴4sin 45x π??+==-
???，
∴sin 44tan 43cos 4x x x πππ??
+ ?
????+=
=- ???
??+ ???
． 又∵2sin 2cos 212cos 24x x x ππ????=-+=-+ ? ?????2
3712525
??=-?= ???， ∴2sin 22sin sin 2tan 1tan 4x x x x x π+??=?+ ?-??742825375??
=?-=- ???
．
【总结升华】要注意本题中的角“2x ”与“
4
x π
+”的变换方法，即
sin 2cos 2cos 224
x x x ππ??
????=-+=-+ ? ?????????2212cos 2sin 144x x ππ????=-+=+- ? ?????．
举一反三：
【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】 【变式1】求值： （1）已知3sin(
)1225
π
θ-=，求cos()6π
θ-．
（2）已知sin()4
m π
α+=，求sin 2α．
【答案】（1）725
（2）2
21m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122π
ππθθθ????-
=-=- ? ?????
=2
12sin 122πθ??
-- ??
? =91225
-? =
725
（2）sin 2cos(
2)2π
αα=-+=212sin 4πα??
??--+ ??????
? =212sin 4πα??
-++ ???
=2
21m -
【变式2】 已知：tan θ=2，求
θθ2sin 2
1
sin 412+的值． 【答案】
3
5 解法一：θθ2sin 2
1
sin 412+
=θ
θθ
θθθθθθ222222cos sin cos sin sin 41cos sin 2sin 21sin 41++=++（转化成了齐次式） =53142
4411
tan tan tan 4122=++?=++θθθ
解法二： ∵tan θ=2,
∴sin θ=2k ，cos θ=k
原式2
211
22(2)342k k k k =+??=（
）
又∵sin 2θ+cos 2θ=1即（2k ）2+k 2
=1
∴22
113;33555
k k =∴==?=原式
例6．已知2
23sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且α、β都是锐角，求2αβ+．
【答案】90?
【解析】 由2
23sin
2sin 1αβ+=，得2212sin 3sin βα-=，即2cos23sin βα=．
由3sin 22sin 20αβ-=，得3
sin 2sin 22
βα=
． cos(2)cos cos 2sin sin 2αβαβαβ+=- 23
cos 3sin sin sin 22
αααα=?-?
223sin cos 3cos sin 0αααα=?-?=．
∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，∴0°＜2αβ+＜270°．
在0°与270°之间只有90°的余弦值为0，故290αβ+=?．
【总结升华】给值求角题的求解一般按如下两个步骤进行（这两个步骤缺一不可）：①根据题设条件，求角的某一三角函数值；②讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
类型五：二倍角公式的综合应用
例7．已知函数2()2cos 2sin cos 1f x x x x ωωω=++（x ∈R ，ω＞0）的最小正周期是2
π． （1）求ω的值；
（2）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
【思路点拨】用降幂公式把“2
2cos 2sin cos x x x ωωω+”降幂，然后用辅助角公式化成
sin()A x k ω?++的形式．
【答案】（1）2（2）2,16
2k x x k Z π
π?
?=+
∈???
?
【解析】 （1）1cos 2()2sin 21sin 2cos 222
x
f x x x x ωωωω+=?
++=++
sin 2cos cos 2sin 222444x x x πππωωω??
?=++=++? ???
?．
因为函数()f x 的最小正周期是
2π，可得
222
ππ
ω=，所以ω=2．
（2）由（1）知，()424f x x π?
?=
++ ??
?．当4242x k πππ+=+，即()162k x k Z ππ=+
∈时，
sin 44x π??+ ???取得最大值1，所以函数()f x 的最大值是2+此时x 的集合为,162k x x k Z ππ??
=+∈????
．
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及
sin()y A x ω?=+的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式
2
1sin sin cos 22α
αα??+=+ ?
?
?，
2
1sin sin cos 22α
αα??-=- ?
?
?．
2
1cos 2cos 2
α
α+=，
2
1cos 2sin 2
α
α-=．（2）扩角降幂公式2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=． 举一反三：
【变式1】已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x
+=
．
（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间??
?
???-
46ππ，上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）{+,}2
x
x k k Z π
π≠∈｜ π（Ⅱ）
2
【解析】（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+
,2
x k k Z π
π≠∈.
所以函数)(x f 的定义域为{+,}2
x x k k Z π
π≠∈｜
sin 2sin cos ()cos x x x f x x
+=
（）
()2
sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２
)14
x π
=
-+
π=T （Ⅱ）因为4
6
π
π
≤
≤-
x ，所以721244
x πππ
-
≤-≤ 当24
4
x π
π
-=
时，即4
x π
=
时，)(x f 的最大值为2；
当24
2
x π
π
-
=-
时，即8
x π
=-
时，)(x f
的最小值为.
例8．已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量P ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量q ＝(sinA －cosA ，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2
B ＋cos
32
C B
-的最大值. 【思路点拨】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.
【答案】（Ⅰ）
3
π
（Ⅱ）2 【解析】 （Ⅰ）∵P 、q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(sinA －cosA)，则sin 2
A ＝
34
， 又A 为锐角，所以sinA
＝
2
，则A ＝3π.
（Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos 32
C B -＝2sin 2
B ＋cos 332B B ππ??
--- ???，
＝2sin 2
B ＋cos(
3π－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B
－12cos2B ＋1＝sin(2B －6π)＋1.
∵B ∈(0，2π)，∴2B －2π∈(－6π，56π)，∴2B －6π＝2π，解得B ＝3
π
，y max ＝2.
【总结升华】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.
本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.
举一反三：
【变式1】已知向量m =（sinA ，cosA ），=-n ，m ·n =1，且A 为锐角． （1）求角A 的大小；
（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域．
【答案】（1）
3π（2）33,2??
-????
【解析】（1）由题意，得cos 1m n A A ?=-=，
2sin 16A π??-= ???，1sin 62A π?
?-= ??
?．
由A 为锐角得6
6
A π
π
-
=
，3
A π
=
．
（2）由（1）知1
cos 2
A =
， 所以2
213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ?
?=+=-+=-?-+ ???
．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－
1,1]．
因此，当1sin 2x =时，()f x 有最大值3
2
，当sin x=－1时，()f x 有最小值－3，所以所求函数()f x 的值域是33,2
?
?-???
?
．