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线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组

习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵

1.用初等行变换化矩阵

1021

2031

3043

=??

为行最简形.

2.用初等变换求方阵

321

315

323

=??

的逆矩阵.

3.设

412

221

311

=??

B=,求X使AX B

4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.

(1) 证明B可逆(2)求1

AB-.

习题 3-2 矩阵的秩

1.求矩阵的秩:

(1)310211211344A ????=--????-??

(2)11121212221

2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=??

2.设12312323k A k k -????=--????-??

问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 .

.()()a R A R B = .()()b R A R B <；

.()()1c R B R A >-； .()()()1

d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵????

??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.

5. 设n (n ≥3)阶方阵?????

???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1

1-n .

6.设A 为n 阶方阵,且2

A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

习题 3-3线性方程组的解

1. 选择题

(1)设A 是m n ?矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是

( ).

A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解

B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解

C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解

D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,

(2)对非齐次线性方程组m n A x b ?=,设()R A r =,则( ).

A.r m =时,方程组Ax b =有解

B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解

C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解

D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解

（3）设齐次线性方程组?????=++=++=++000321

3213221x x x x x x x x x λλλλ

的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .

2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;

C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .

（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则是该方程组的解.

121212121.;.;.

();..22

X X a X X b X X c X X d -+-+

2.解下列方程组: (1)123412341

23420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=??+--=??++-=?

(2)

21 4222

x y z w

+-+=?

?+--=?

3.设

123

(2)221

2(5)42 24(5)1

x x x

λλ

-+-=

+--=

?--+-=--

问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.

4. 设线性方程组

???=++=++=++00

0222z c y b x a cz by ax z y x (1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?

(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.

5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a

,且在有解的情形,求出它的一般解.

线性代数自考知识点汇总

行列式 1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零. 如a b c a b c 0a b c '''= 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式. 如11 121311121321 222321 222331 32 33 31 32 33 a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．如a b c a b c 0ka kb kc '''= 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和. 如11 12131112131112 13 2121 2222 2323 21222321 222331 32 33 31 32 33 31 3233 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变. 如11 121311121321 222321222331 32 33 3111 3212 3313 a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++ 2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i j ij ij A (1) M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．如11 1213 21 222331 32 33 a a a a a a a a a ，元素23a 的余子式为11 122331 32a a M a a = ，元素23a 的代数余子式为111223 232331 32 a a A (1)M a a +=-=- .

线性代数第3章习题解答(rr)

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立，则向量组12,,m αααK 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。解：不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解：正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.

矩阵的初等变换及其应用

线性代数第一次讨论课 1.导语 2.讨论内容目录 3.正文 4.个人总结

导语: 矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价 1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A

与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。 2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A 与自身等价；（2）对称性若A 与B 等价，则B 与A 等价；（3）传递性若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。下面举例说明矩阵等价及等价变换： 13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-?? 13 r r +???→

线性代数自考A卷答案

河南成功学院线性代数 .选择题：（每题4分，共20分） 1.A 2.C 3.B 4.C 5.D .填空题（每题4分，共20分） .计算（5 10分=50分）: 1 +a 2 … n 1 2 … n ‘ m 1 2+a … n n （n +1） 1 2 + a … n 1.解：D = + =[+a] + ■. ■ .■ ■ 2 … ■ A * ■ 1 ^2 ? n + a 1 ^2 ■■亠 n + a （5 分）（10 分） 13 2.解: （ AI ） 0 3 -2 -2 0 3 1 -2 0 5 15 5 2 2 3 5 5 5 9 4 6 （8 分）所以A 4二 4 5 3 5 6 5 13152 - 5 4 5 6 5 25（10 分） 3?解：t = — 2, 1时有解; t = — 2时，通解为（4 分）（7 分） 2012— 2013学年第一学期期末考试试卷 A 答案 1. -186; 2. 2』 3. 3 4. k = -1 5. 0 n （n 1） a] a]

2 0 0 单位化得 0 2 42. 12」豆 2 旦 12」（8 分） 2 、 2 （10 分） 3_k 1 4.解：A —A E ；= —4 —1—人 4 —8 （4 分）「3、人=1时，特征向量为k -6 k^0 I 20」 -1 = 1, '2 = 2, '3 = 3 「0 ' 几=1时，特征向量为 -1 扎=2时，特征向量为 J 丿 1°丿 o A 丸=3时，特征向量为 1 （6分）￡ t=1时，通解为 0 + k 1 ? 2 （10 分） 0 —-1）2「2）一2 - （7 分） ? 丸=-2时,特征向量k 为 k 式0 （10 分） 2 -丸 0 5?解： A-^E = 0 2-& 0 = 一（扎一1）（人 _2）（九-3）

自考线性代数第三章向量空间习题

第三章向量空间一、单项选择题 1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（） A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关 D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关 2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（） A.α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α2，α3，α4线性相关 5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量 D ．s ααα,,,21 全是零向量 6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（） A.-32 B.-4 C.4 D.32 7.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（） A.1 B.2 C.3 D.4 9.下列命题中错误．．的是（） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ，与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ，即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量），令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为

,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数．（2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?，与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ，即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为

矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ，）排成m 行n 列的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0；矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。一矩阵的概念定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,…., n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1. 初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.); (2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…); (3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为). 1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：

⑴反身性； (2) 对称性若小丄,，则； (3) 传递性若丄丄,/,则」. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 ■ 4■ ■ 1 F行二0 ■ ■ < 泓1 2. 利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

自学考试-线性代数试卷及答案集合

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式1 1 1 232221 13 1211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以2 1 -得到单位矩阵E ，则A =【】 A.2- B.2 1 - C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中【】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵??? ? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为【】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212 322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为【】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、

线性方程组典型习题及解答

线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。

线性代数第三章练习题

一、单项选择题 1．若四阶方阵A 的秩为3，则（） A ．A 为可逆阵 B ．齐次方程组Ax =0有非零解 C ．齐次方程组Ax =0只有零解 D ．非齐次方程组Ax =b 必有解 2．若线性方程组???=λ+-=+-21 2321 321x x x x x x 无解，则λ等于（） 3.设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（） A.???? ? ??000000111 B. ????? ??300110111 C. ???? ? ??000432111 D. ???? ? ??333022001 4．设A 为m ×n 矩阵，且非齐次线性方程组AX=b 有唯一解，则必有（） A ．m=n B ．R(A)=m C ．R(A)=n D ．R(A)

三、计算题 1．设矩阵A =????? ??? ??-b a 1401321a 21的秩为2，求a ，b. 2．求齐次线性方程组??? ??=+++=+++=--+0 23203220 4321 43214321x x x x x x x x x x x x 的通解. 3．求线性方程组?? ? ??=++=+++=+++3220231 43243214321x x x x x x x x x x x 的通解. 4. 判断线性方程组123412341 34x x 3x x 12x x x 4x 2x 4x 5x 1-+-=?? --+=??-+=-?是否有解，有解时求出它的解. 5．给定线性方程组 ??? ??-=++-=++-=++2 23 321 321321ax x x x ax x a x x x （1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解. 6．当a 为值何时，方程组??? ??=+++=+++=+++a x x x x x x x x x x x x 43214321432132322221 有解在有解时，求出它的通解.

历年自考线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+ = ++2 1 212 1 212 21 121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332312322 211312 11a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关

分块矩阵的初等变换及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]

设计（20 届）分块矩阵的初等变换及其应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月

摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22 分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用

Elementary block matrix transform and its application Abstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22 elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra. Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r 时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组； $ 若()r A n >，则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0（A 为m n ?矩阵）通解的三步骤（1）?? →A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ; (3) 写出通解n r n r k k k --=++ +1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.

线性代数自考复习题

练习题线性代数

西南财经大学成人（网络）教育学院

线性代数一、填空题 1、行列式D =111213 212223313233 a a a a a a a a a 的转置行列式T D = 2、若()ij n n A a ?=为n 阶矩阵，当满足时，A 为对称矩阵。 3、A,B 是同阶可逆矩阵，则(AB)-1 = 4、设向量组1125α?? ?=- ? ???，2321α?? ?= ? ?-??，331017α?? ?= ? ?-??，42001089α?? ? = ? ??? ，则向量组1234,,,αααα线性__________（填线性相关或线性无关）。 5、二次型 222123123121323(,,)25226f x x x x x x x x x x x x =+++++的二次型矩阵为。 6、若行列式13 1 500 2 2 x -=-，则x =________________。 7、设A=1111-?? ??? ，则矩阵A 的逆矩阵1A - = ________________。 8、设1(10 0)T ε=，2(010)T ε=，2(001)T ε=，则向量组123,,εεε线性__________（填线性相关或线性无关）。 9、设(110)α=，(030)β=，(12 0)η=，则324αβη+-=__________. 10、设阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的所有特征值为111 ,,234 ，则行列式B =_______。 11、设A 为3阶方阵，A =2，则4A =________________。 12、A *是A 的伴随矩阵，且A 可逆，则（A *）-1 =________________。

解线性方程组

课程设计阶段性报告班级：学号：姓名：申报等级：题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include #include #include //在列向量中寻找绝对值最大的项，并返回该项的标号 int FindMax(int p,int N,double *A) { int i=0,j=0; double max=0.0; for(i=p;imax) { j=i; max=fabs(A[i*(N+1)+p]); } } return j;

//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i

矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。一、初等变换的性质证明定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:

3线性方程组典型习题解析

3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断

1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=()() A A A A A A A A A A A ?? ???????? ? ?秩秩无解；秩秩有唯一解，秩秩秩秩有无穷多解，且基础解系个数为 -秩秩秩不可能 3.1.3 线性方程组的解空间 1、齐次线性方程组的解空间 (作为线性方程组的一个特殊情形,在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系,我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间) 定理:对于数域K 上的n 元齐次线性方程组的解空间W 的维数为 A dim(W)=n-秩()=n-r , 其中A 就是方程组的系数矩阵。那么,当齐次线性方程组[(*)--ii)] 有非零解时,它的每个基础解系所含解向量的数目都等于A n-秩()。 2、非齐次线性方程组的解空间我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系,那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解γ0(称其为方程组特解);然后在求对应的导出组的解空间(设该解空间的基础解系为ηηη12n-r ，，...),则(*)解空间的维数为n-r,且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为: 2.................()k k k γηηη+?0112n-r n-r ++...+ 我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解、

线性代数复习题-第三章

第三章向量组的线性相关性与线性方程组复习题一、填空题: 1. 矩阵1 23235471A ?? ?=- ? ??? 的秩为______. 2．若n 阶方阵A 满足0,0*≠=A A ，则()____R A =. 3．设A 是n 阶方阵，且秩()A r n =<，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含个解向量. 4. 非齐次线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 . 5.设12,αα是(3)n n ≥元齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则秩(A )= . 6.设A 是34?矩阵,2)(=A R ,又???? ? ?? =301020201B ,则=)(AB R . 7. 设n 阶方阵A 满足A A =2,E 为n 阶单位阵,则=-+)()(E A R A R . 8. 1(1,3,5)T α=, 2(1,1,3)T α=, 3(1,,6)T a α=线性相关 ,则a 应满足__________. 9. 已知向量组()()()1231,4,3,2,,1,2,3,1T T T t ααα==-=-线性相关,则t 应满足 . 10 设向量组1(1,2,3)T α=，2(2,1,3)T α=，3(1,1,0)T α=-,则向量组123,,ααα的秩是 . 11. 已知向量组222(1,,),(1,,),(1,,),a a b b c c αβγ=== 则当常数,,a b c 满足_________时该向量组线性无关. 12.设向量组 I:αα1,, s 线性无关，而ββ12, 都能由向量组I 线性表出，则秩(ααββ112,,,, s )= ____. 13. 设向量组321,,ααα线性相关,则向量组133221,,αααααα+++线性 . 14. 设向量(3,5,7,9)α=，()1,5,2,0β=-，向量γ满足325αγβ-=，则向量γ=__________. 二、判别说理题： 1. 若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量，则αβ-是方程组0Ax =的解. （） 2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为零. （） 3.若线性方程组b AX =有解,则A 的秩一定为零. （） 4．设向量12,ηη是n 元线性方程组Ax b =的解向量，那么121 2 33ηη+也是这个方程组的一个解向量. （） 5. 若ξ是0AX =的解,若η是(0)AX b b =≠的解，则ξη+是b AX =的解. （） 6. n 元线性方程组(0)Ax b b =≠当()R A n <时有无穷多解. （） 7. 设A 是n 阶方阵,若方程组b AX =满足),()(b A R A R =,则b AX =有唯一解. （）