天津大学现代控制理论第六章

6.1 概述 6.2 研究最优控制的前提条件 6.3 静态最优化问题的解 6.4 离散时间系统的最优控 6.5 离散时间系统最优控制的 离散化处理 6.6 泛函及其极值-变分法 6.7 用变分法求解连续系统最 优控制问题-有约束条件 的泛函极值
6.8 极小值原理 6.9 Bang-Bang控制 控制 6.11 动态规划法 6.12 线性二次型最优控制问 题 6.13 线性二次型次优控制问 题
6.10 双积分系统的时间最优
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6．1 概述
所谓最优化，原非新鲜概念，人们在从事某项工作时，总是想着采取 最合理的方案或措施，以期收到最好的效果，这里就包含着最优化问题。 求解动态最优化问题的方法主要有古典变分法，极小(大)值原理及动态 规划法等。 动态最优化问题可以分为确定性和随机性两大类。在确定性问题中，没 有随机变量，系统的参数都是确定的。本书只讨论确定性最优控制问题。
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6.2 研究最优控制的前提条件
在研究确定性系统的最优控制时，前提条件是： 1.给出受控系统的动态描述，即状态方程 对连续时问系统 对离散时间系统 （6） 2.明确控制作用域 在工程实际问题中，控制矢量 意大。即 上式的点 往往不能在 空间中任意取值，
而必须受到某些物理限制，例如，系统中的控制电压，控制功率不能取得任 要满足某些约束条件，这时，在 的集合，记作： 空间中，把所有满足
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（7） 这时，在 空间中，把所有满足上式的点 的集合，记作： (8)
U称为控制集。把满足
（9） 的 称为容许控制。
3．明确初始条件 通常，最优控制系统的初始时刻 定始端。如果 条件： 是给定的。如果初始状态 称固 是任意的，则称自由始端。如果 必须满足某些约束
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相应的始端集为：
此时，
则称为可变始端。 和终端状态 都是给
4．明确终端条件 类似于始端条件，固定终端是指终端时刻 定的。 自由端则是在给定 则是指 情况下，
可以任意取值不受限制。可变终端
的情况。其中
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是由约束条件
所形成的一个目标集。
5．给出目标泛函，即性能指标 对连续时间系统，一般表示为：
对离散时间系统，一般表示为：
上述形式的性能指标，称为综合型或鲍尔扎型。它由两部分组成，等 式右边第一项反映对终端性能的要求，例如对目标的允许偏差、脱靶情况等， 称为终端指标函数；第二项中L为状态控制过程中对动态品质及能量或燃料 消耗的要求等，称为动态指标函数。
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若不考虑终端指标函数项
则有：
这种形式的性能指标称为积分型或拉格朗日型。若不考虑动态指标函数 项， 则形如：
称为终端型或梅耶型。
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6.3 静态最优化问题的解
静态最优化问题的目标函数是一个多元普通函数，其最优解可以通过古 典微分法对普通函数求极值的途径解决。动态最优化问题的目标函数是一个 泛函数，确定其最优解要涉及古典变分法求泛函极值的问题。 6.3.1 一元函数的极值 设 点 为定义在闭区间 的必要条件是： （21） 为极小值点充要条件是： 上的实值连续可做函数，则存在极值
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为极大值点充要条件是：
因为
的极小值和
的极大值等效，所以今后所有推导和
结论，均以圾小化为准。 6.3.2 多元函数的极值 设 元函数 这里 为 维列向量。它取
极值的必要条件是：
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或函数的梯度为零矢量。
至于取极小值的充要条件，尚需满足：
即下列海赛矩阵为正定矩阵。
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6.3.3
具有等式约束条件的极值
上面讲的是无约束条件极值问题的求解方法。对于具有等式约束条件的 极值问题，则要通过等效变换，化为无约束条件的极值问题来求解。 设罐头桶的几何尺寸：高为 半径为 则容积为： （29） 给定铁皮面积A=常量。要使罐头桶容积为最大，必然要受条件： （30） 的约束： 解此类问题的方法有多种，如嵌入法(消元法)和拉格朗日乘子法(增元法) 等。
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1.嵌入法 先从约束条件式(30) 解出一个变量，例如 数式(29)得： (31) 这样就变成一个没有约束条件的函数式。显然，式(31)取极值的条件为： 等，然后代入目标函
可解出极值点：
又因为 积为： 2.拉格朗日乘子法
故上述极值点为极大值点。罐头桶的最大容
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6.4 离散时间系统的最优控
6.4.1 基本形式
6.4.2 具有二次型性能指标的线性系统
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6．5 离散时间系统最优控制的离散化处理
设系统状态方程为：
（73） 目标函数为： （74） 式中， 为终端代价函数，假定 是自由终端。 使式(74)为最小。
最优控制问题是在式(73)约束条件下，寻求
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6.6 泛函及其极值——变分法
6.6.1 变分法的基本概念 1．泛函 变分法是研究泛函极值问题的数学工具。什么叫泛函呢?通俗地说，泛 函就是函数的函数。它是普通函数概念的一种扩充。 2.泛函的极值 3.泛函的变分 4．泛函极值定理 6.6.2 泛函极值的必要条件——欧拉方程 求泛函
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6.6.3 多元泛函的极值条件 6.6.4 可变端点问题 6.6.5 具有综合型性能泛函的情况
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6．7 用变分法求解连续系统最优控制问题——有约束条件的 泛函极值
6.7.1 拉格朗日问题
6.7.2 波尔札问题
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6.8
极小值原理
定理6.8.1 设系统状态方程为： （1） 始端条件为： 控制约束为： （2） 终端约束为： （3） 性能泛函为： （4）
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取哈密顿函数为： （5） 则实现最优控制的必要条件是，最优控制 态矢量 满足下列关系式： 、最优轨线 和最优协
1)沿最优轨线满足正则方程 （6）
（7） 若 则为： （8）
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2)在最优轨线上，与最优控制
相应的H 函数取绝对极小值，即
或 沿最优轨线，有
（9）
（10） 3)H函数在最优轨线终点处的值决定于：
（11）
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253003[机械制造技术基础] 天津大学考试题库及答案

机械制造技术基础复习题 一、填空题 1、制造业属于第二产业的范畴。 2、六个自由度都需要限制的定位方法，称为完全定位。 3、主运动是指直接切除工件上的余量形成加工表面的运动。 4、从形态上看，切屑可以分为带状切屑、挤裂/节状切屑、单元切屑和崩碎切屑四种类型。 5、工艺基准可分为工序基准、定位基准、测量基准和装配基准。 6、目前比较成熟的测量切削温度的方法有自然热电偶法、人工热电偶法和红外测温法。 7、批量法则是指与中小批量生产相比，大批量生产可取得明显的经济效果。 8、使用概率法计算尺寸链时,封闭环的公差等于各组成环公差平方和的平方根。 9、工件常用的装夹方法有：直接找正装夹，划线找正装夹和使用夹具装夹。 10、加工硬化概念：已加工表面表层金属硬度高于里层金属硬度的现象。 11、由于切削变形复杂，用材料力学、弹性、塑性变形理论推导的计算切削力的理论公式与实际差距较大，故在实际生产中常用经验公式计算切削力的大小。 12、材料改性与处理通常指零件热处理以及电镀、涂装等表面保护工艺。 13、残余应力概念：未施加任何外力作用情况下，材料内部保持平衡而存在的应力。 14、一批零件加工尺寸符合正态分布时，常值系统误差影响分布曲线的位置，随机误差影响分布曲线的形状。 15、为改善切削性能而进行的热处理工序如退火、正火、调质等，应安排在切削加工之前。 16、当铣刀上与工件接触部分的线速度方向与工件的进给方向相反时称为逆铣。 17、一次磨刀之后，刀具进行切削，后刀面允许的最大磨损量（VB B），称为磨 钝标准，或者叫做磨损限度。

18、确定工艺过程包括哪些工序是由被加工零件的结构复杂程度、加工精度及生产类型所决定。 19、切削塑性材料时，若刀具前角较大，切削速度较高以及进给量较小时易产生带状切屑。 20、麻花钻由工作部分和柄部构成。 21、加工原理误差是指采用了近似的加工方法或近似的刀具轮廓进行加工所产生的加工误差。 22、生产规模分为：单件小批生产、批量生产、大批大量生产。 23、机械加工表面质量将影响零件的耐磨性、耐蚀性、耐疲劳强度和配合质量。 24、工件加工时必须限制的自由度未被完全限制，称为欠定位。 25、磨粒磨削点温度是指磨粒切削刃与切屑接触部分的温度，是磨削中温度最高的部位。 26、常用的减振器有摩擦减振器、冲击减振器和动力减振器。 27、工艺系统的软件包括加工方法、工艺过程、数控程序等。 28、以设计基准作为定位基准，称为基准重合原则。 29、基准重合原则是指应尽量选择加工表面的设计基准作为定位基准。 30、分组选配法适用于装配尺寸链环数较少且装配精度要求较高的场合。 31、常用的机械装配方法有互换法、调整法、选配法和修配法等。 32、高硬度材料之所以硬是因为表面经过淬火处理。 33、高速加工是指采用超硬材料的刀具，通过极大的提高切削速度和进给速度，来提高材料切除率和机械加工质量的现代加工技术。 34、在时间定额中，把直接改变生产对象的尺寸、形状、相对位置，以及表面状态或材料性质等的工艺过程所消耗的时间，称为基本时间。 35、CAPP系统按其工作原理可划分为派生式、创成式和综合式。 36、安排机械加工顺序的原则是先基准后其他、先主后次、先粗后精、和先面后孔。 37、成组零件放在一起加工可以减少机床调整工作量，以提高加工效率。 38、零件分类编码系统是用字符对零件有关特征进行描述和识别的一套特定的规则和依据。 39、在车床上加工某零件，先加工其一端，再调头装夹，加工另一端，这应是同

天津大学仁爱学院机械制造技术基础简答题答案

*成组技术在机械制造领域中的定义？ 将多种零件(产品或部件）按其相似性分类成组，并以这些零件组（部件组或产品组）为基础组织生产，实现多品种，中小批量生产的产品设计，制造工艺和生产管理的合理化。 *并行工程CE？ 是对产品及相关过程（制造过程和支持过程）进行并行，一体化设计的一种系统化工作模式。这种工作模式力图使开发者从一开始就考虑到产品生命周期（从概念形成到产品报废）中所有因素，包括质量，成本，进度与用户需求。 *简述专用夹具设计的一般步骤？ 1.研究原始资料，明确设计要求，进行经济性分析 2.拟定夹具结构方案，绘制夹具结构草图 3.构建夹具实体模型 4.绘制工程图（夹具总图），标注尺寸和技术要求 5.绘制零件图 *简述切削热是由哪些原因产生的？切削热通过哪些方式传出？ 为切削层变形、前刀面摩擦、后刀面摩擦产生的热量 切削热由切屑、工件、刀具和周围介质（切削液、空气等) 传散出去 *刀具寿命如何定义？刀具磨损如何控制？ 刀具从切削开始至磨钝标准的切削时间 1.合理选择刀具材料的种类和牌号，在断续切削或受冲击载荷时，所选刀具应具有较好的韧性 2.合理确定刀具几何参数，保证切削刃和刀尖具有一定强度 3.合理选择切削用量，避免超负荷 4.保证刀具焊接和刃磨质量，重要工序刀具应检查有无裂纹 5.减小切削加工中的冲击和振动 *根据下图说明磨削过程中磨屑的形成过程？ 弹性变形：磨粒在工件表面滑擦而过，不能切入工件 塑性变形：磨粒切入工件，材料向两边隆起，工件表面出现刻痕（犁沟），但无磨屑产生 切削：磨削深度、磨削点温度和应力达到一定数值，形成磨屑，沿磨粒前刀面流出 *简述磨削液的作用？ 冷却，润滑，清洗，防锈，对人体无害。 *工序集中和工序分散各有什么特点，目前发展趋势是哪一种？ 工序集中 1.在一次安装中可加工出多个表面.2.有利于采用高效的专用机床和工艺设备。3.所用机器设备的数量少占地面积小工人少易于管理。4.机床结构通常较为复杂，调整和维修较困难 工序分散1.使用设备较为简单，易于调整和维修。2.有利于选择合理的切削用量。3.使用设备数量多，占地面积较大，工人多。 *什么是机器装配？ 机械装配是按规定的精度和技术要求，将构成机器的零件结合成组件、部件和产品的过程。装配是机器制造中的后期工作，是决定产品质量的关键环节 *制订装配工艺规程的原则？ 1.保证产品装配质量 2.选择合理装配方法，综合考虑加工和装配的整体效益 3.合理安排装配顺序和工序，尽量减少钳工装配工作量，缩短装配周期，提高装配效率 4.减少装配占地面积，提高单位面积生产率，改善劳动条件 5.注意采用和发展新工艺、新技术

天津大学机械制造练习5

第5章练习题 1. 单项选择 1-1 重要的轴类零件的毛坯通常应选择（）。 ①铸件②锻件③棒料④管材 1-2 普通机床床身的毛坯多采用（）。 ①铸件②锻件③焊接件④冲压件 1-3 基准重合原则是指使用被加工表面的（）基准作为精基准。 ②设计②工序③测量④装配 1-4 箱体类零件常采用（）作为统一精基准。 ①一面一孔②一面两孔③两面一孔④两面两孔 1-5 经济加工精度是在（）条件下所能保证的加工精度和表面粗糙度。 ①最不利②最佳状态③最小成本④正常加工 1-6 铜合金7 级精度外圆表面加工通常采用（）的加工路线。 ①粗车②粗车-半精车③粗车-半精车-精车④粗车-半精车-精磨 1-7 淬火钢7级精度外圆表面常采用的加工路线是（）。 ①粗车—半精车—精车②粗车—半精车—精车—金刚石车 ③粗车—半精车—粗磨④粗车—半精车—粗磨—精磨 1-8 铸铁箱体上φ120H7孔常采用的加工路线是（）。 ①粗镗—半精镗—精镗②粗镗—半精镗—铰 ③粗镗—半精镗—粗磨④粗镗—半精镗—粗磨—精磨 1-9 为改善材料切削性能而进行的热处理工序（如退火、正火等），通常安排在（）进行。 ①切削加工之前②磨削加工之前③切削加工之后④粗加工后、精加工前 1-10 工序余量公差等于( )。 ①上道工序尺寸公差与本道工序尺寸公差之和 ②上道工序尺寸公差与本道工序尺寸公差之差 ③上道工序尺寸公差与本道工序尺寸公差之和的二分之一 ④上道工序尺寸公差与本道工序尺寸公差之差的二分之一 1-11 直线尺寸链采用极值算法时，其封闭环的下偏差等于（）。 ①增环的上偏差之和减去减环的上偏差之和 ②增环的上偏差之和减去减环的下偏差之和 ③增环的下偏差之和减去减环的上偏差之和 ④增环的下偏差之和减去减环的下偏差之和 1-12 直线尺寸链采用概率算法时，若各组成环均接近正态分布，则封闭环的公差等于（）。 ①各组成环中公差最大值②各组成环中公差的最小值 ③各组成环公差之和④各组成环公差平方和的平方根 1-13 用近似概率算法计算封闭环公差时，k值常取为（）。 ① 0.6～0.8 ② 0.8～1 ③ 1～1.2 ④ 1.2～1.4 1-14 派生式CAPP 系统以（）为基础。 ①成组技术②数控技术③运筹学④网络技术

现代控制理论1-8三习题库

信息工程学院现代控制理论课程习题清单

正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对 角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性） 空间，称之为______（传递函数，状态空间）。

天津大学一般学术期刊目录ok版

天津大学一般学术期刊目录（按刊物名称拼音顺序排列） 序号刊物名称 1ACTA MATHEMATICA SCI 2ACTA MATHEMATICA SINICA 3ACTA MECHANICA SINICA 4ACTA METALLURGICA SINICA 5APPROX THEORY AND ITS APPL 6ASTROPHYSICS REPORTS 7CHIN J CHEM ENGI 8CHIN J OF OCEA AND LIMN 9CHIN J OF POLYMER SCIENCE 10CHIN PHYS 11CHIN PHYS LETT 12CHINA OCEAN ENGINEERING 13CHINESE ANNAULS OF MATHEMATICS 14CHINESE CHEMICAL LETTERS 15CHINESE MEDICAL SCIENCES JOURNAL 16COMMUN THEOR PHYS 17J COMPUT SCI&TECH 18J HYDRODYNAMECS B 19J MATER SCI&TECH 20J OF ENVIRONMENTAL SCIENCES 21J PARTIAL DIFF EQS 22JOURNAL OF RARE EARTHS 23PEDOSPHERE 24TRANS NONFERROUS MET SOC CHINA 25WORLD JOURNAL OF GASTROENTEROLOG 26癌症 27安徽大学学报 28安徽大学学报（哲社版） 29安徽农业大学学报 30安徽农业科学 31安徽师范大学学报 32安徽医科大学学报 33安徽中医学院学报 34氨基酸和生物资源 35白求恩医科大学学报 36百年潮 37半导体光电 38半导体技术 39半导体学报 序号刊物名称 40保险研究 41爆破 42爆破器材 43爆炸与冲击 44北方交通大学学报 45北京大学学报 46北京大学学报（哲社版） 47北京电影学院学报 48北京服装学院学报 49北京工业大学学报 50北京航空航天大学学报 51北京化工大学学报 52北京科技大学学报 53北京理工大学学报 54北京林业大学学报 55北京农学院学报 56北京社会科学 57北京生物医学工程 58北京师范大学学报 59北京师范大学学报（人文社科版）60北京体育大学学报 61北京医科大学学报 62北京医学 63北京邮电大学学报 64北京中医药大学学报 65比较法研究 66比较教育研究 67编辑学报 68编辑学刊 69变压器 70冰川冻土 71兵工学报 72兵器材料科学与工程 73病毒学报 74波谱学杂志 75玻璃钢／复合材料 76玻璃与搪瓷 77材料保护 78材料导报

习题解答_现控理论_第6章

6-1 对线性系统 A B C D =+?? =+? x x u y x u 作状态反馈v x u +-=K ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。 解 将反馈律代入状态空间模型，则有 ()()()()A B K A BK B C D K C DK D =+-+=-+=+-+=-+x x x v x v y x x v x v 因此，闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 1()()()()()K A BK B C DK D G s C DK sI A BK B D -=-+?? =-+?=--++x x v y x v 6-2 对线性系统 A B C D =+?? =+? x x u y x u 作输出反馈u =-H y +v ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。 解 将反馈律代入状态空间模型的输出方程，则有 () C D H C DH D =+-+=-+y x y v x y v 即 ()I DH C D +=+y x v 因此，当()I DH +可逆时，闭环系统输出方程为 11()()I DH C I DH D --=+++y x v 将反馈律和上述输出方程代入状态方程，则有 11() [()][()]A B A B H A BH I DH C BH I DH D B --=+=+-+=-++++x x u x y v x v 当闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 1111 11111[()][()]()()()()[()][()]()H A BH I DH C BH I DH D B I DH C I DH D G s I DH C sI A BH I DH C BH I DH D B I DH D ---------?=-++++?=+++?=+-++++++x x v y x v

现代控制理论习题解答(第四章)

1 v(x) a 1x 12 b 1x 22 c 1 x 32 2x 1x 2 4x 3 x 2 2X 1X 3 a 1 x T 1 1 b 1 2 (1) v(x) x 12 4x 22 x 32 2x 1x 2 6x 3x 2 2x 1x 3 (2) v(x) x 12 10x 22 4x 32 6x 1 x 2 2x 3x 2 2 2 2 (3) v(x) 10x 1 4x 2 x 3 2x 1x 2 2x 3x 2 4x 1 x 3 【解】： (1) 二次型函数不定。 ⑵ 二次型函数为负定。 ⑶ 二次型函数正定。 3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。 【解】： 3-4-1 第四章 控制系统的稳定性 试确定下列二次型是否正定。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 , 1 0, 3 0, 1 4 3 1 1 1 1 4 1 3 1 1 1 3 1 P 4 10 0, 3 10 0, 10 10 P 1 2 1 , 10 1 1 10 1 2 10 1 39 0 1 4 1 1 4 2 1 1 0, 17

a 1 0 a 1 b 1 1 a 1b 1 c 1 4 b 1 4a 1 c 1 【解】： (1) 设 2 2 v(x) 0.5x 1 0.5X 2 V (X ) X 1X 1 X 2X 2 X 1X 2 X 1X 2 X2 x/ ° " °)为半负定。 0 (x 0) 又因为v(x) 0时，有X 2 0, 则X 2 0，代入状态方程得： X 1 0. 所以系统在X 0时，v(x)不恒为零。 则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (2) 设 2 2 v(x) 0.5X 1 0.5X 2 v(x) X 1X 1 X 2X 2 X 1 ( X 1 X 2) X 2(2X 1 3X 2) X 12 3X 22 3X 1X 2 T 1 1.5 1 1 1 1.5 X x 1 0, 1.5 3 1 1 1 1.5 3 T … X Px P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。 (3) 0 1 1 1 (1) X X (2) x X ； 1 1 2 3 1 1 1 0 (3) x X (4) x X 1 1 0 1 3-4-3 满足正定的条件为: a i | of 1 1 b i a i 0, 1 1 1 1 b 1 2 0 2 C 1 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。

工程数学基础2014年试卷

课程名称：工程数学基础 课程编号：S131A035 学院名称： 教学班 学号： 姓名： 一. 判断 （10分） 1．设X 是数域K 上的线性空间,12,M M 是X 的子空间, 则12?M M 是X 的 线性子空间. （ ） 2．设A C A n n ,?∈相似于对角阵的充分必要条件是其特征多项式无重零点 . （ ） 3．设是],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤ 10为节点的Lagrange 插值基函数，则 ()1==∑n k k l x . （ ） 4. 解线性方程组Ax b =，若A 是正定矩阵，则G-S 迭代格式收敛。( ) 5. 设(, )x X ∈，当0x ≠时，必有0x >. ( ) 6. 差商与所含节点的排列顺序无关. （ ） 7．对任意,n n A ?∈ A e 可逆.（ ） 8. 若Jacobi 迭代格式收敛，则Seidel 迭代格式收敛.（ ） 9. 设(,)∈x,y X ，则00,x,y x =?=或0y =.（ ） 10.设3 3?∈C A 的Jordan 标准形?? ?? ??????=2212J ，则A 的最小多项式为 2(2)λ-. （ ） 二. 填空(10分) 1. 设 201361A ?? ??=?? ??-?? , 则A 的Jordan 标准型为 . 2. 具有1n +个不同求积节点的插值型求积公式，至少具有 次代 数精度 3．设200010011A -?? ??=?? ???? ，则=∞)(A Cond . 4. Cotes 求积系数() n k C 满足()0 n n k k C ==∑ 。 5. 2 ()2-1f x x =，则0123 [2,2,2,2]f = 。

现代控制理论第4章教学要求(第四章)

现代控制理论第4章教学要求 按章节，打*号的部分为本科不要求的内容，另外在一些未打*的部分有些内容也不要求，请按下面要求的内容组织本科教学。 第4 章动态系统的结构分析 4.1 引言 4.1.1 能控性与能观性物理现象——从例子谈起 从物理角度理解能控性与能观性的重要性。 4.1.2 能控性与能观性的数学描述 从数学角度理解能控性与能观性的状态方程特点。 4.2 连续线性系统能控性与能观性定义 4.2.1 能控性定义 理解能控性的定义包含的丰富内涵。 能利用定义解决与系统能控性相关的问题。 4.2.2 能观性定义 理解能观性的定义包含的丰富内涵。 能利用定义解决与系统能观性相关的问题。 4.3 连续线性系统能控性与能观性判据 4.3.1 定常系统的能控性判据与能控性指数 掌握定常系统的Gram矩阵能控性判据。 掌握Jordan标准型的能控性判据，并能依此进行相应计算。 掌握能控性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。 了解能控性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。 了解定常系统的能控性指数，并基此减小能控性矩阵的规模。 4.3.2 定常系统的能观性判据与能观性指数 掌握定常系统的Gram矩阵能观性判据。 掌握Jordan标准型的能观性判据，并能依此进行相应计算。。 掌握能观性矩阵秩判据，并能依此进行相应计算。 了解能观性PBH判据，包括PBH秩判据和PBH特征向量判据。。 了解定常系统的能观性指数，并基此减小能观性矩阵的规模。 4.3.3 时变系统的能控性判据 了解时变系统的 Gram矩阵能控性判据。 了解时变系统的能控性秩判据。 4.3.4 时变系统的能观性判据 了解时变系统的 Gram矩阵能观性判据。 了解时变系统的能观性秩判据。 4.3.5 时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系 理解时变系统的能控、能观性判据与其定常情况的关系。 4.4 连续线性系统输出能控性和输出函数能控性及判据 4.4.1 输出能控性定义及其判定* 本科不要求此节内容。 4.4.2 输出函数能控性定义及其判定* 本科不要求此节内容。 4.5 连续线性系统的对偶关系 4.5.1 定常情况下的对偶关系 理解定常情况下的对偶关系，燕能利用对偶关系解决相关问题。 4.5.2 时变情况下的对偶关系 了解定常情况下的对偶关系，燕能利用对偶关系解决相关问题。 4.6 定常连续线性系统的能控型与能观型 4.6.1 SISO 系统的能控标准型与能观标准型 掌握SISO系统的能控标准型与能观标型以及变换方法，能计算标准型。 4.6.2 MIMO 类SISO 的能控标准型与能观标准型 了解MIMO 类SISO 的能控标准型与能观标准型。 4.6.3 MIMO 系统的Wonham 规范型与Luenberger 规范型* 本科不要求此节内容。 4.7 连续线性系统的结构分解

应用数学考研录取学校排名

应用数学研究生录取学校排名 1 北京大学A+ 15 东南大学A 29 北京航空航天大学A 2 浙江大学A+ 16 上海交通大学A 30 哈尔滨工业大学A 3 清华大学A+ 17 中山大学A 31 上海大学A 4 复旦大学A+ 18 武汉大学A 32 福州大学A 5 中国科学技术大学A+ 19 华中科技大学A 33 中南大学A 6 南开大学A+ 20 北京理工大学A 34 电子科技大学A 7 四川大学A+ 21 湖南大学35 苏州大学A 8 山东大学A+ 22 西安电子科技大学A 36 华中师范大学A 9 新疆大学A+ 23 华东师范大学A 37 华东理工大学A 10 北京师范大学A+ 24 西北工业大学A 38 首都师范大学A 11 吉林大学A 25 西安交通大学A 39 厦门大学A 12 南京大学A 26 同济大学A 40 陕西师范大学A 13 大连理工大学A 27 重庆大学A 41 广州大学A 14 兰州大学A 28 华南理工大学A 42 云南大学A B+等(63个)：河北师范大学、西北师范大学、湘潭大学、曲阜师范大学、湖南师范大学、东北师范大学、北京交通大学、南京师范大学、暨南大学、辽宁师范大学、江苏大学、安徽师范大学、合肥工业大学、华南师范大学、南昌大学、东北大学、东华大学、广西大学、桂林电子科技大学、哈尔滨工程大学、四川师范大学、辽宁大学、河海大学、郑州大学、内蒙古大学、天津大学、长江大学、广东工业大学、北京科技大学、徐州师范大学、南京航空航天大学、上海师范大学、西南交通大学、山东科技大学、扬州大学、北京工业大学、武汉理工大学、兰州理工大学、大连海事大学、温州大学、南京信息工程大学、北方工业大学、上海理工大学、浙江工业大学、山东师范大学、宁波大学、湖南科技大学、浙江师范大学、哈尔滨理工大学、安徽大学、福建师范大学、中国矿业大学、广西师范大学、江南大学、黑龙江大学、西安建筑科技大学、河南师范大学、北京邮电大学、南京农业大学、兰州交通大学、成都理工大学、西安理工大学、长沙理工大学 B等(62个)：安庆师范学院、武汉科技大学、河北大学、南京财经大学、中国海洋大学、江西师范大学、重庆师范大学、杭州电子科技大学、中北大学、中国人民大学、山西大学、西南大学、青岛大学、河南大学、河北工业大学、五邑大学、太原理工大学、渤海大学、辽宁工程技术大学、湖北大学、青岛科技大学、深圳大学、西华大学、贵州大学、云南师范大学、长春工业大学、大连大学、天津工业大学、南京邮电大学、汕头大学、华北电力大学、烟台大学、聊城大学、中国农业大学、北京化工大学、中国石油大学、青岛理工大学、信阳师范学院、河北科技大学、哈尔滨师范大学、华东交通大学、西安科技大学、安徽理工大学、三峡大学、西北农林科技大学、辽宁工业大学、河南科技大学、集美大学、中国计量学院、海南大学、上海财经大学、南京理工大学、南昌航空工业学院、南华大学、南通大学、东北林业大学、宁夏大学、海南师范大学、中南民族大学、西华师范大学、安徽工业大学、中国传媒大学 不跨专业：基础数学，应用数学，概率论与数理统计，计算数学，运筹学与控制论跨专业：经济学和计算机方向 精算学——（华东师范大学）生物数学——（中国科学技术大学）信息安全——（山东大学) 信息计算科学—(中山大学)

现代控制理论第2章l

第2章 线性系统理论 线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。 现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。 2.1 基本概念 输入：外部施加到系统上的全部激励。 输出：能从外部测量到的来自系统的信息。 状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。 状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即 )(t x 为状态向量。 状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。 状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。 连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。 离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程

组或一阶差分方程组。一般形式为 或 式中 u ——输入向量； k ——采样时刻。 状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。 输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式 它是一个代数变换过程。 状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。 线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统 ? ??+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x & （2–1） 式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ?n 矩阵； B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ?p 矩阵； C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ?n 矩阵； D (t )——输入输出矩阵，q ?p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。 2）离散时间系统

2013天津大学工程硕士工程数学复习题纲

第四章 掌握重点：方阵范数及谱值的元素 1），||A||F =() 1/2 2ij a ∑∑即矩阵中每个元素取模或者绝对值，然后相加，之后再开根号； 2），||A||1= 1 1max n ij i j n a -≤≤∑ 即矩阵中每列的元素取模，然后找最大的 3），||A||∞= 即矩阵中每行的元素取模，然后找最大的 4），||A||2 5），ρ(A)=max{|λi |} 即如果求该式结果，需要计算特征值 1,矩阵A=11021120i i -?? ??-?????? 则 ||A||F =||A||1=5 ||A||∞=3 ||A||1来说，分别计算各列元素模的和，找最大的：01 i =2，122 =5(max),110 i -大们别说复数的取模不会啊 ！！ ||A||∞来说，分别计算各行元素模的和，找对最大的：11i -=3； 02 1i - 120=3 (max) ||A||F 所有元素都取模平方， =

2,矩阵A=1212????-?? 则ρ ||A||2 解析：E A λ-=121 4λλ--??? ?+??=λ2+2λ-4=0；分解因式得λ 又因为取得数值要取模，所以答案中为正。 第五章 掌握重点：p102,例5.1 1，A(t)=201t t ??? ???则求导10()02dA t t dt ?? =???? P105 例5.2, 2，f(x)=21332 1233sinx x x x e x x ??+??+?? 求' ()f x 解：思路：按照分别对x 1,x 2,x 3求导，在求导过程中，要把其他元素看成常数处理，生成一个矩阵形式. '()f x =2 23 2 2 1 23 233032sinx cosx x x x e e x x x ?? +???? 3,设f(x)=212121x x x x x x e ?? ?+ ? ??? 求' ()f x 解：' ()f x =222 1111x x x x e x e ?? ??? ????? 4，关于求,,cosA,cosAt A At e e ,方法1，利用J 标准型；2，采用最小多项式 例5.9 A=010001254????????-?? 求At e

天津大学机械制造技术基础课程设计报告书

机械制造技术基础课程设计报告书 学院机械工程 专业机械设计制造及其自动化 年级 班级组别 小组成员 指导教师 2014年 10 月 10 日

机械制造技术基础课程设计任务书

目录 第一章零件分析 1.1 零件的作用 (1) 1.2 零件的工艺分析 (1) 1.3 确定零件生产类型 (1) 第二章确定毛坯类型绘制毛坯简图 2.1选择毛坯 (2) 2.2确定毛坯尺寸公差和机加工余量 (2) 2.3绘制拨叉毛坯简图 (3) 第三章工艺规程设计 3.1定位基准的选择 (4) 3.2拟定工艺路线 (4) 3.3工序尺寸及公差确定 (6) 3.3切削用量的确定 (7) 第四章机床夹具设计 4.1定位及加紧机构设计 (8) 4.2切削力及夹紧力计算 (11) 4.3夹紧元件的强度校核 (13) 4.4定位误差分析 (14) 参考文献.................................................... .. (18)

附 录 .................................................... . (19)

第一章零件分析 1.1 零件的作用 题目所给的零件是拨叉。它位 于变速机构中，主要起换档、使主轴 回转运动按照工作者的要求工作，获 得所需的速度和扭矩的作用。零件上 方的φ20H7孔与操纵机构相连，并用 螺钉经M5孔与变速叉轴连接。拨叉脚 则夹在双联变换齿轮的槽中。当需要 变速时，操纵变速杆，变速操纵机构 就通过拨叉头部的操纵槽带动拨叉与 变速叉轴一起在变速箱中滑移，通过 连接装置改换档位，实现变速。 1.2 零件的工艺分析 零件的材料为QT400，球墨铸铁 是通过球化和孕育处理得到球状石 墨，有效地提高了铸铁的机械性能， 特别是提高了塑性和韧性，从而得到 比碳钢还高的强度。 该拨叉零件叉轴孔Φ20H7 mm的 轴线是拨叉脚两端面和螺纹孔M5的设 计基准，拨叉头左端面是拨叉轴向方 向上尺寸设计基准。选用叉轴孔Φ20H7 mm的轴线和拨叉头左端面作为精基准。选用叉轴孔Φ20H7 mm的轴线和拨叉头左端面作为精基准定位加工拨叉脚两端面和螺纹孔M5,实现了设计基准和工艺基准重合，保证了被加工表面的垂直度要求。另外，由于拨叉件刚性较差，受力易发生弯曲变形，选用拨叉头左端面作为精基准，夹紧力作用在插头的右端面上，可以避免在机械加工中产生夹紧变形， mm的尺寸要求，所以选择拨叉脚左端面作为粗基准。夹紧稳定可靠。由于有50 2.0 采用Φ32 mm的外圆面定位加工内孔尅保证孔的壁厚均匀；采用拨叉脚左端面作为粗基准加工左端面，可以为后续工序准备好精基准。 该拨叉的加工质量要求较高，可将加工阶段分为粗加工、半精加工和精加工几个阶段。在粗加工阶段，首先用车床将精基准（拨叉头左端面和叉轴孔）准备好，因为车床可以一次性将两个精基准都加工出来，从而提高了精度，也为使后续工序都采用精基准定位加工，保证其他加工表面的精度要求；由于精度要求不高，故而粗铣，半精铣拨叉脚左右端面、拨叉脚内表面、螺纹孔端面，最后完成M5螺纹孔的加工，这也体现了工序集中的原则。 1.3 确定零件生产类型 由零件图示的生产批量200件可知，该零件为单件小批量生产。

(完整word版)现代控制理论习题解答(第二章)

第二章 状态空间表达式的解 3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ???? ??-=2010A （2） ?? ? ???-=0410A （3） ??????--=2110 A （4） ???? ??????-=452100010A （5）?? ??????? ???=000010000100 0010A （6）? ???? ? ??? ???=λλλλ000100010000A 【解】： （1） ???? ? ? ????? ?++=?? ????+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11 111s s s s L s s L A sI L t ??? ? ????-=????? ? ??????++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01 （2） ?? ? ???-=???? ? ? ??????+++- +=?? ????-=-=Φ-----t t t t s s s s s s L s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 44 441 4}41{])[()(222211 111 （3） ??? ? ? ?????? ?++-+++=?? ????+-=-=Φ-----222211 111)1()1(1)1(1 )1(2 }211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ??? ? ????--+=Φ------t t t t t t te e te te e te t )( （4） 特征值为：2,1321===λλλ。 由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为

数学与应用数学专业

数学与应用数学专业 数学与应用数学专业 数学与应用数学专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。 数学与应用数学专业属于基础专业。无论是进行科研数据分析、软件开发，还是从事金融保险，国际经济与贸易、化工制药、通讯工程、建筑设计等，都离不开相关的数学知识。可见数学与应用数学专业是从事其他相关专业的基础。随着科技事业的发展和普及，数学专业与其他相关专业的联系将会更加紧密，数学知识将会得到更广泛的应用。 中文名 数学与应用数学专业 专业代码 070101 授予学位 理学学士 修学年限 四年 一级学科 理学

5.?商务人员 1.?BI工程师 2.?教师 3.9开设学院 4.10专业大学排名 知识技能 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1．具有扎实的数学基础，受到比较严格的科学思维训练，初步掌握数学科学的思想方法； 2．具有应用数学知识去解决实际问题，特别是建立数学模型的初步能力，了解某一应用程序； 3. 能熟练使用计算机（包括常用语言、工具及一些数学软件），具有编写简单应用程序的 能力； 4．了解国家科学技术等有关政策和法规； 5．了解数学科学的某些新发展和应用前景； 6. 有较强的语言表达能力，掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息 的基本方法，具有一定的科学研究和教学能力。 主干学科 数学。 主干课程 分析学、代数学、几何学、概率论、物理学、数学模型、数学实验、计算机基础、数值方法、数学史等，以及根据应用方向选择的基本课程。 实践教学 主要实践性教学环节：包括计算机实习、生产实习、科研训练或毕业论文等，一般安排10～20周。 相近专业 信息与计算科学、数理试点班. 从业领域 数学与应用数学是计算机专业的基础和上升的平台，是与计算机科学与技术联系最为紧密的专业之一。

天津大学仁爱学院机械制造技术基础复习5

第五章复习题 1.单选 （1）在多个工序中均采用同一精基准作为定位基准的原则称为（）。 ①基准重合②基准统一③自为基准④互为基准 （2）齿轮加工中，以孔定位加工齿面，热处理后再以齿面定位加工孔，遵循的精基准选择原则是（）。 ①基准重合②基准统一③自为基准④互为基准 （3）箱体类零件加工常使用（）作为统一的精基准。 ①一面一孔②两面一孔③一面两孔④两面两孔 （4）加工经济精度是指在（）条件下所能保证的加工精度和表面粗糙度。 ①最不利②最有利③最小成本④正常加工 （5）加工铸铁箱体零件上φ120H7 孔，其加工方案宜采用( )。 ①扩－铰②粗镗－半精镗③粗镗－半精镗－精镗④粗镗－半精镗－ 粗磨－精磨 （6）采用复合工步是为了缩短（）。 ①基本时间②辅助时间③布置工作地时间④准备终结时间 2.判断 （1）机械加工工艺规程是连接产品设计和制造过程的桥梁。（） （2）粗基准可以作为主要基准重复使用。（） （3）在选定定位基准时，应先确定定位精基准。（） （4）中小批量的生产多采用工序分散的原则。（） （5）尺寸链中的封闭环是加工中直接得到的尺寸。（） （6）普通机床的折旧费属于工艺成本中的不变费用。（） （7）粗加工阶段的主要任务是使加工表面达到一定的加工精度，为精加工做好准备。（） （8）为消除毛坯的内应力，在切削加工之前可对毛坯进行调质处理。（）（9）总加工余量是指零件从毛坯变为成品切除材料层的总厚度。（）（10）利用查手册的方法获得的加工余量是本道工序所需的最小余量。（） 3.填空 (1)基准重合原则是指作为。 (2)机械加工工序安排的原则包括先基准后其他、、、和先粗后精。 (3)成组工艺过程的设计方法主要有，和。 (4)渗碳淬火一般安排在之后，之前进行。

现代控制理论基础第二章习题答案

第二章 状态空间表达式的解 3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ???? ??-=2010A （2） ?? ? ???-=0410A （3） ??????--=2110 A （4） ???? ??????-=452100010A （5）?? ??????? ???=000010000100 0010 A （6）? ???? ? ??????=λλλλ000100010000A 【解】： （1） （2） （3） （4） 特征值为：2,1321===λλλ。 由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为 ???? ??????=421211101P ，??????????----=-1211321201 P 线性变换后的系统矩阵为： （5） 为结构四重根的约旦标准型。 （6） 虽然特征值相同，但对应着两个约当块。 或}0 100010000{ ])[()(1 111----?? ??? ????? ??------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。 【解】：

（1） （2） 特征方程为： 特征值为： 2,1321===λλλ。 由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。 求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得： 0110000000312111=????????????????????--P P P ，???? ? ?????=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得： 对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为： []??????????-==11001000132 1 P P P P ，???? ??????=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为： （3） 特征值为： 2,1321===λλλ。 即 (4) 3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A 。 （1）??? ???????-=Φt t t t t sin cos 0cos sin 0001 )(（2）????????-=Φ--t t e e t 220)1(5.01)( （3）???? ??? ?+--+--=Φ--------t t t t t t t t e e e e e e e e t 22222222)(（4）? ??? ??? ?++-+-+=Φ----t t t t t t t t e e e e e e e e t 33335.05.025.025.05.05.0)( 【解】： （1） ∴不满足状态转移矩阵的条件。 （2） ∴满足状态转移矩阵的条件。 由)()(t A t Φ=Φ &，得A A =Φ=Φ)0()0(&。

现代控制理论第4章答案

现代控制理论第四章习题答案 4-1判断下列二次型函数的符号性质： （1）222 123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：（1）由已知得 []1123 123 1232311 2 3231 1()3112 2111113211112x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?? ? ???=-+------???? ? ????? ? ? ??--??? ?????=--???????????? ---?? 110?=-<，211 2013 -?= =>-，31111711 3 024 1 1112 --?=--=-<-- - 因此()Q x 是负定的 （2）由已知得 [][]112312312323112323()433111143131x Q x x x x x x x x x x x x x x x x x x ????=---+---+?????? --???? ????=--???? ????--???? 110?=>，211 3014 -?= =>-，3111 143160131 --?=--=-<-- 因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：

11122122a a x x a a ??= ??? 试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。 解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A 的特征值均具有负实部。 即： 11 12 2122 2112211221221()0 a a I A a a a a a a a a λλλλλ---= --=-++-= 有解，且解具有负实部。 即：1122112212210a a a a a a +<>且 方法（2）：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定，等价于T A P PA Q +=-。 取Q I =，令11 121222P P P P P ??=???? ，则带入T A P PA Q +=-，得到 11 2111121122 211212 2222220100 221a a P a a a a P a a P -???? ????????+=????????????-?????? 若 112112 1122 2111221122122112 22 220 4()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠，则此方程组有唯一解。即 22 21221222211122 1222211111121122()1 ()2()A a a a a a a P a a a a A a a a a A ??++-+=-??-++++?? 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定，则要求 22 2122 111112202()A a a P a a A ++?== >-+ 22 1122122121122()()0 4() a a a a P a a ++-?==>-+