中考数学专题4 一元二次方程与二次函数
第一部分 真题精讲
【例1】已知:关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=.
⑴求证:m 取任何实数时,方程总有实数根; ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称. ①求二次函数1y 的解析式; ②已知一次函数222=-y x ,证明:在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立;
⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-,,且在实数范围内,对于x 的
同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式.
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点(1,0)。根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点。于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】 解:(1)分两种情况:
当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, (不要遗漏) ∴当0m =,原方程有实数根.
当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,
∵()()()2
22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.
∴原方程有两个实数根. (如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了)
综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.
(2)①∵关于x 的二次函数32)1(32
1-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,
∴0)1(3=-m .(关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0) ∴1=m .
∴抛物线的解析式为121-=x y .
②∵()()2
21212210y y x x x -=---=-≥,
(判断大小直接做差) ∴12y y ≥(当且仅当1x =时,等号成立).
(3)由②知,当1x =时,120y y ==.
∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. (很重要,要对那个等号有敏锐的感觉) ∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥, ∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0. 又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,
∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. (巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算)
设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立, ∴320y y -≥,
图7
∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥. 又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴
2
4(25)(42)04a a a y a
---=最小≥.(a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值)
∴2(42)4(25)0a a a ---≤. ∴2(31)0a -≤. 而2(31)0a -≥.
只有013=-a ,解得13
a =. ∴抛物线的解析式为3
5343123-+=
x x y .
【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.
(1)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根;
(2)点()11A --,
是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交
于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式,比较简单。值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】: (1)由题意得[]2
2224(1)0m m ?=---->() 解得5
4
m <
210m -≠
解得1m ≠±
当5
4
m <
且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. (2)由题意得212(2)11m m -+-+=-
解得31m m =-=,
(舍) (始终牢记二次项系数不为0) 28101y x x =++ (3)抛物线的对称轴是5
8
x =
由题意得114B ??
-- ???
, (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 1
4
x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)
另设过点B 的直线y kx b =+(0k ≠)
把114B ??
-- ???
,
代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 1
14
y k x k =+-
281011
14
y x x y kx k ?=++?
?=+-?? 整理得21
8(10)204
x k x k +--+=
有且只有一个交点,21
(10)48(2)04
k k ?=--??-+=
解得6k =
162
y x =+
综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,1
62
y x =+
【例3】
已知P (3,m -)和Q (1,m )是抛物线221y x bx =++上的两点. (1)求b 的值;
(2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数
根;若没有,请说明理由;
(3)将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后
的图象与x 轴无交点,求k 的最小值.
【思路分析】 拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组, 十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错。但是仔细看题,发现P ,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b 。 第二问依然是判别式问题,比较简单。第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】
(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到
对称轴距离相等.
所以,抛物线对称轴3142
b x -+=-
=,所以,4b =. (2)由(1)可知,关于x 的一元二次方程为2
241x x ++=0.
因为,2
4b ac =- =16-8=8>0.
所以,方程有两个不同的实数根,分别是
1122b x a -+=
=-+
,2122
b x a --==--
. (3)由(1)可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位
后的解析式为2241y x x k =+++.
若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可.
由24b ac =- =168(1)k -+=88k -<0,得1k > 又k 是正整数,所以k 得最小值为2.
【例4】已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)若2
5
a >
,且抛物线与x 轴交于整数点(坐标为整数的点),求此抛物线的解析式. 【思路分析】本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给2
5
a >
,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. (1)依题意,得0a ≠, ∴2442y ax ax a =-+-
()()22
4422 2.
a x x a x =-+-=--
∴抛物线的顶点坐标为(2,2)- (2)∵抛物线与x 轴交于整数点,
∴24420ax ax a -+-=的根是整数.
∴2x ==±
∵0a >,
∴2x =± ∴
2
a
是整数的完全平方数.
∵2
5
a >, ∴2
5a
<. (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) ∴2
a
取1,4, 当
21a =时,2a =; 当24a =时,1
2
a = . ∴a 的值为2或
1
2
. ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2
122
y x x =-.
【例5】已知:关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=(m 为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求证:无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点;
(3)若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.
【思路分析】本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m-1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X 轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.
解:(1)()()2
2241m m m ?=-+-= ∵方程有两个不相等的实数根, ∴
0m ≠ ∵
10m -≠, ∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.
(2)证明:令0y =得()()21210m x m x -+--=.
∴()()
()()
222121m m m x m m ----±==
--.
∴
()()12221
121211
m m m m x x m m m -+--++==-==---, (这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量
比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)
∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ??-
?-??
,,,, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-,
(3)∵1x =-是整数 ∴只需
1
1
m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠,
, ∴
2m = 当2m =时,抛物线为21y x =-.
把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为 ()2
23168y x x x =--=-+
【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系(韦达定理)近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】已知关于x 的一元二次方程2
2410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.
(1)求k 的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2
241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线
()1
2
y x b b k =
+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
【思考2】已知:关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= (1)若0,m >求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若12<m <40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值.
【思路分析】本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.
【思考3】已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax 2-bx+kc
(c ≠0)的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. (1)若方程①的根为正整数,求整数k 的值;
(2)求代数式akc
ab
b k
c +-22)(的值;
(3)求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
【思路分析】本题有一定难度,属于拉分题目。第一问还好,分类讨论K 的取值即可。第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.
【思考4】已知:关于x 的一元二次方程2
2
(21)20x m x m m -+++-=. (1)求证:不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根12x x ,满足122
11
m x x m +-=+-,求m 的值.
【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ,, 发现12x x ,都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个
题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解:(1)由题意得,168(1)0k ?=--≥. ∴3k ≤. ∵k 为正整数,
∴123k =,
,. (2)当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零; 当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根;
当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根.
综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去;3k =符合题意. 当3k =时,二次函数为2242y x x =++
析式为2246y x x =+-.
(3)设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于
A B 、两点,则(30)A -,,(10)B ,.
依题意翻折后的图象如图所示.
当直线12y x b =
+经过A 点时,可得3
2b =; 当直线12y x b =+经过B 点时,可得1
2
b =-.
由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322
b -<<.
【思考2解析】
证明: []2
2
=2(23)-4414884m m m m ---++ ()=
0,m > 840.m ∴+>
∴方程有两个不相等的实数根。
(2)(23)x m -±
且m为整数.又∵12<m<40,
252181.
m
∴<+<
∴5
9.
35
6,.
2
7,24.
63
8,.
2
m
m
m
=∴=
=∴=
=∴=
∴m=24
【思考3解析】
解:由kx=x+2,得(k-1) x=2.
依题意k-1≠0.
∴
1
2
-
=
k
x.
∵方程的根为正整数,k为整数,
∴k-1=1或k-1=2.
∴k1= 2, k2=3.
(2)解:依题意,二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点(1,0),
∴0 =a-b+kc, kc = b-a .
∴
2
2
2
2
2
2
2
22
a
ab
ab
b
a
ab
b
a
b
a
ab
b
a
b
akc
ab
b
kc
-
+
-
+
-
=
-
+
-
-
=
+
-
)
(
)
(
)
(
=.1
2
2
-
=
-
-
a
ab
ab
a
(3)证明:方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+4ac(k-1).
∵方程kx=x+2的根为正实数,
∴方程(k-1) x=2的根为正实数.
由x>0, 2>0, 得k-1>0.
∴4ac(k-1)>0.
∵(a-kc)2≥0,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y =ax 2-bx +kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(-b )2-4akc =b 2-4akc ≥0. (b 2-4ac )-( b 2-4akc )=4ac (k -1).
由证法一知 k -1>0,
∴ b 2-4ac > b 2-4akc ≥0.
∴ Δ= b 2-4ac >0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.
【思考4解析】
(1)[]2
2
(21)4(2)m m m ?=-+-+- -
22441448m m m m =++--+
90=>
∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根 (2
)由原方程可得12(21)(21)3
22
m m x ++±=
=
, ∴ 1221x m x m =+=-, -- ∴ 123x x -=
又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2
311
m m +=+-
∴ 4m = -
经检验:4m =符合题意.
∴
m 的值为4.
1、二次函数解析式的三种表示方法:
(1)顶点式: (2)交点式: (3)一般式: 2、填表:
开
x+c
3、二次函数y=ax2+bx+c,当a>0时,在对称轴右侧,y随x的增大而,在对称轴左侧,y随x的增大而;当a<0时,在对称轴右侧,y随x的增大而 , 在对称轴左侧,y随x的增大而
4、抛物线y=ax2+bx+c,当a>0时图象有最点,此时函数有最值;当a<0时图象有最点,此时函数有最值
自评分