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线面角、二面角、面面垂直练习题

线面角、二面角、面面垂直练习题
线面角、二面角、面面垂直练习题

新2011级B 部数学周练题 2011年10月27日 命题:陈玖新

一、选择题(每题5分)

1.下列命题中,假命题的个数是( )

① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交;

② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行;

③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行;

④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行;

⑤ a 和b 异面,则经过b 存在唯一一个平面与α平行

A .4

B .3

C .2

D .1

2、对于直线m ,n 和平面,,αβγ,有如下四个命题,其中真命题的个数是( ):

(1)若m∥α,m ⊥n ,则n ⊥α (2)若m ⊥α,m ⊥n ,则n∥α

(3)若αβ⊥,γβ⊥,则α∥γ (4)若m α⊥,m∥n,n β?,则αβ⊥

A .1

B .2

C .3

D .4

3.已知平面α∥平面β,P 是两平面间一点,过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ,过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA =6,AC =9,PD =8,则BD 的长为( )

A .16

B .24

C .14

D .20 4.a =1

b =2

c =a -b b =a +c -b

PRINT a ,b ,c

END ,则输出结果为( ) A .-1 B .1,-1,-1

C .-2

D .1,-2,-1

5.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出s 的值为( )

A .-1

B .0

C .1

D .3

6.如图所示,在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,

∠BAC =90°,BC 1⊥AC ,则C 1在底面ABC

上的射影H 必在( )

A .直线A

B 上 B .直线B

C 上 C .直线AC 上

D .△ABC 内部

7.在正方体1111ABC D A B C D -中,点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动,并

且总保1AP BD ⊥,则动点P 的轨迹是 A .线段1B C B .线段1BC

C .1B B 中点与1C C 中点连成的线段

D .B C 中点与11B C 中点连成的线段

8..如图所示,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =AB ,∠BCD =45°,∠BAD =90°,将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,构成三棱锥A -BCD ,下列命题正确的是( )

A .平面ABD ⊥平面ABC

B .平面AD

C ⊥平面BDC

C .平面ABC ⊥平面BDC

D .平面ADC ⊥平面ABC

二、填空题(每题5分)

9.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,1,2,901

====∠BC AB AA ABC ,则异面直

线A 1B 与AC 所成角余弦值的的大小是___________

10.阅读下面的程序:输入x=-2,0,则输出的结果y分别为__ _ , _____.

11.等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直,∠BAD=90°,

E是BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为___________.

12.在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两互相垂直,且OC

=,

OB

OA=

M是AB边的中点,则OM与平面ABC所成角的正切值_______

三、解答题(共40分)

13.如图,PD⊥正方形ABCD,E、F、G分别为线段PC、PD、BC

的中点,AD=PD=2,(1)求证:AP∥平面EFG;

(2)若点Q是线段PB的中点,求证:PC⊥平面ADQ;

(3)求三棱锥C-EFG的体积.

14、如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB= 2AD =2CD =2.E是PB的中点.(I)求证:平面EAC⊥平面PBC; (II)若二面角B-AC-E为450,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

15、如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=1.CD=2,DE=3,

M为CE的中点. (I)求证:B M∥平面ADEF:

(Ⅱ)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值;

(Ⅲ)求二面角B-EC-D的余弦值.

线线角,线面角,二面角的一些题目

B 1 D 1 A D C 1 B C A 1线线角与线面角习题 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法. 2.理解直线与平面所成角的概念,并掌握求线面角常用方法. 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中,AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3,AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο 和45ο,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 46 (B).36 (C).6 2 (D).63 3.平面α与直线a 所成的角为3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 . 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 . 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并 要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. A C B D B P C D A C B F E

线面垂直与面面垂直垂直练习题(新)

2.3线面垂直和面面垂直 线面垂直专题练习 一、定理填空: 1.直线和平面垂直 如果一条直线和,就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么 判定定理2:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么. 线面垂直性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 性质定理1:垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 二、精选习题: 1.设M表示平面,a、b表示直线,给出下列四个命题: ①M b M a b a ⊥ ? ? ? ? ⊥ // ②b a M b M a // ? ? ? ? ⊥ ⊥ ③? ? ? ? ⊥ ⊥ b a M a b∥M④? ? ? ? ⊥b a M a// b⊥M. 其中正确的命题是( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.那么,在四面体P—DEF 中,必有( ) A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 3.设a、b是异面直线,下列命题正确的是( ) A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题: 第3题图

人教版高一数学必修2 空间直线的垂直关系练习题(含答案详解)

必修2 空间中的垂直关系 基础知识点 一、选择题: 1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍,则AB与平面α所成的角是 ( ). A.60° B.45° C.30° D.120° 2.直线l⊥平面α,直线m?α,则( ). A.l⊥m B.l∥m C.l,m异面 D.l,m相交而不垂直 3.如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中与AC垂直的线段有( ). A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( ). A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 5.已知长方体ABCDA1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则 ( ). A.ME⊥平面AC B.ME ?平面AC C.ME∥平面AC D.以上都有可能 6.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ).

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 二、填空题: 7.在正方体A1B1C1D1ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心(如图),则EF与平面BB1O的关系是________. 8.若a,b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的有________个. ①a⊥α,b∥α?a⊥b; ②a⊥α,a⊥b?b∥α; ③a∥α,a⊥b?b⊥α;④a⊥α,b⊥α?a∥b. 9.α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β外的两条不同的直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③m⊥α;④n⊥β.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________. 10.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________. 三、解答题:

线面角及二面角的求法

第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1)线面角的求法,找出斜线在平面上的射影,关键就是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解. (2)二面角的大小求法,二面角的大小用它的平面角来度量. 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A =AB=BC,E就是PC的中点. (1)求PB与平面P AD所成的角的大小; (2)证明:AE⊥平面PCD; (3)求二面角A-PD-C的正弦值. (1)解在四棱锥P-ABCD中, 因P A⊥底面ABCD,AB?平面ABCD, 故P A⊥AB、又AB⊥AD,P A∩AD=A, 从而AB⊥平面P AD, 故PB在平面P AD内的射影为P A, 从而∠APB为PB与平面P AD所成的角. 在Rt△P AB中,AB=P A,故∠APB=45°、 所以PB与平面P AD所成的角的大小为45°、 (2)证明在四棱锥P-ABCD中,

因P A⊥底面ABCD,CD?平面ABCD, 故CD⊥P A、由条件CD⊥AC,P A∩AC=A, ∴CD⊥平面P AC、 又AE?平面P AC,∴AE⊥CD、 由P A=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=P A、 ∵E就是PC的中点,∴AE⊥PC、 又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD、 【变式探究】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD就是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC、E就是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F、 (1)证明P A∥平面EDB; (2)证明PB⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小. (1)证明如图所示,连接AC,AC交BD于O,连接EO、 ∵底面ABCD就是正方形, ∴点O就是AC的中点. 在△P AC中,EO就是中位线, ∴P A∥EO、 而EO?平面EDB且P A?平面EDB, ∴P A∥平面EDB、 【针对训练】 1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,P A⊥底面ABCD,AC=22,P A=2,E就是PC上的一点,PE=2EC、

高中数学立体几何线面垂直的证明

立体几何证明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行?线面平行”) 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行?线线平行”) 2..直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直?线面垂直”) 判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 (线面垂直?线线垂直) 性质2:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 1. 平面与平面平行 判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(“线面平行?面面平行”) 2. 两个平面垂直 判定定理:如果一条直线与一个平面垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直?面面垂直”) 性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.(面面垂直?线面垂直)

知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。 (1)求证:EF//平面11D ABC ;(2)求证: 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥; (3)求三棱锥EFC B -1的体积V. 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的 中点, PA =AD =AB =1. (1)证明: //EB PAD 平面; (2)证明: BE PDC ⊥平面; (3)求三棱锥B -PDC 的体积V . 3、如图所示,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC=60°,PA=AB=BC ,E 是PC 的中点,证明: (1)AE ⊥CD (2)PD ⊥平面ABE .

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有:_________,_________,_________三种。 2.(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1:如果一个平面有_____________直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理:垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行,那么其中一个平面的所有直线都_____于另一个平面. 二.知识点梳理 要点诠释:定义中“平面的任意一条直线”就是指“平面的所有直线”,这与“无数条直线”不同(线 线垂直线面垂直) Ⅰ.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle ). 这条直线叫做二 面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ--. (简记P AB Q --)

二面角的平面角的三个特征: ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角:在二面角αβ-l -的棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用:衡量二面角的大小;围:000180θ<<. 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 (垂直问题中要注意题目中的文字表述,特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼) 三.常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法: (1) 通过“平移”。 (2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 (3) 利用勾股定理。 (4) 利用直径所对的圆周角是直角 (1) 通过“平移”,根据若则a //b,且b⊥平面α,a⊥平面α 1.在四棱锥P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB ⊥平面PBC ,AB ∥CD ,AB=2 1 DC ,中点为PD E . 求证:AE ⊥平面PDC. 2.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD , ∠PDA=45°,点E 为棱AB 的中点.求证:平面PCE ⊥平面PCD ; (第2题

立体几何-线面与面面垂直的证明

理科数学复习专题 立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一.线面垂直 (1)直线与平面垂直的定义: 如果直线l 和平面α内的__________一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α垂直,记作__________. 重要性质:__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法: ①判定定理:一条直线与一个平面内的两条__________都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号表示为: ②常用结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.用符号可表示为: (3)直线与平面垂直的性质: ①由直线和平面垂直的定义知:直线与平面垂直,则直线垂直于平面内的_______直线. ②性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为: 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义: 两平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条__________,那么这两个平面互相垂直.简述为“线面垂直,则面面垂直”, 用符号可表示为: (3)平面与平面垂直的性质: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号可表示为: 【题型总结】 题型一 小题:判断正误 1.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 2.已知如图,六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形,PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确的是( ). A.CD ∥平面PAF B.DF ⊥平面PAF C.CF ∥平面PAB D .CF ⊥平面PAD 2. 设m ,n, l 是三条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,判断命题正误: α αααααββααβαβα//n ,,m //,,n ,//,,//,//,,则⑤则④则③则②则①n m n m n m n m m m m m m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ γ αβγβαγαγββααα⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则,⑩则⑨则,⑧则⑦则⑥,//m ,//,m //,//m ,,m n ,//,n m l l n n l l n n m

线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案第次补课

直线、平面垂直的判定与性质 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直,记作l ⊥α,直线l 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知:直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ,那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小;范围:0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 2、判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。简述为“线面垂直,则面面垂直”,记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直,记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】 【例1】(2012浙江文)设l 是直线,a,β是两个不同的平面 ( ) A .若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B .若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C .若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D .若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B

线面垂直经典例题及练习题-(精.选)

立体几何 1.P 点在则ABC ?所在的平面外,O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ,PA 、PB 、PC 两 两垂直,则D 点是则ABC ? ( B ) (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( A ) (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两平面的位置关系是( A ) (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4.在空间,下述命题正确的是 ( B ) (A)若直线//a 平面M ,直线b a ⊥,则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ,则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ,平面M 内的直线a b ⊥,则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ,则平面N //平面M 5.a 、b 表示两条直线,α、β、γ表示三个平面,下列命题中错误的是 (A ) (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ,则βα// (B)a 、b 是异面直线,则存在唯一的平面与a 、 b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α,αβ⊥,则l 与平面β的位置关系是 ( D ) (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7.已知直线l ⊥平面α,直线m ?平面β,有以下四个命题:①//l m αβ?⊥② //l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?,其中正确的是(D ) (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8.αβγδ,,,是四个不同的平面,且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥,,,,则( B ) (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且 (C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9.已知平面α和平面β相交,a 是α内的一条直线,则( D ) (A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线 10.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面,垂足为A ,连PB PC PD AC BD ,,、,,则互 相垂直的平面有( C ) (A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对

立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题 一、 异面直线所成的角 1、如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是矩形,⊥PA 底面ABCD ,E 是PC 的中点,已知2=AB ,22=AD ,2=PA ,求: (1)三角形PCD 的面积; (2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小。 2、如图6,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点E是正方形11BCC B 的中心,点F、G分别是棱111,C D AA 的中点.设点11,E G 分别是点E,G在平面11DCC D 内的正投影. (1)求以E为顶点,以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线11FG FEE ⊥平面; (3)求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值

二、直线与平面所成夹角 1、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面为直角梯形,//AD BC , 90BAD ∠=,PA ⊥ 底面ABCD ,且2P A A D A B B C ===,M N 、分别为PC 、PB 的中点。 求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。 2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ,求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。 三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形, 且∠DAB=60?,PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.

2、如图5,?AEC 是半径为a 的半圆,AC 为直径,点E 为?AC 的中点,点B 和点C 为线 段AD 的三等分点,平面AEC 外一点F 满足FB FD ==,EF =。 (1)证明:EB FD ⊥; (2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点,23FQ FE =,2 3 FR FB =,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

怎么证明面面垂直

怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB 在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD 垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°,即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角,一个三角形的一边中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时,两直线经过平移后相交成直角,则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直,则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边,那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑): Ⅰ.平行关系: 线线平行:1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行:1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行,一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行:1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系: 线线垂直:1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直,那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直:1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面,那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个,那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直:1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线,那么这两个平面垂直。

线线角、线面角、二面角知识点及练习

线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b '',我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围:090θ<≤?; 垂直时,异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中,13,4,5,4AC BC AB AA ==== ,点D 为AB 的中点异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 二、直线与平面所成的角 1. 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围:? ? ≤≤900θ。 _1 _A

例2. 如图、四面体ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中 点,求(1)BC 与平面SAB 所成的角。 (2)SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 一、 二面角: 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围:? ? ≤≤1800θ 两个平面垂直:直二面角。 B M H S C A

3.作二面角的平面角的常用方法有六种: 1.定义法 :在棱上取一点O ,然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法:先找到一个平面的垂线,再过垂足作棱的垂线,连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法:分别作出两个半平面的法向量,由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上,取恰当的点,经常是端点和中点。 例3.如图,E 为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点,求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A

如何证明线面垂直

如何证明线面垂直∵PA⊥平面α,直线L∈平面α ∴PA⊥L========================① ∵PB⊥平面β,直线L∈平面β ∴PB⊥L========================② 综合①②得: 直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面) ∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线) 线面垂直的判定定理证明,我一直觉得证明过程太过复杂。前年曾经这样证明,今天写在这里。m和n为平面中两条相交直线,通过平移或者说原本就在,使得l经过m、n的交点O,我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD,则得到平行四边形ABCD。此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。 答案补充 证明:已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直,L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF,分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延长DE、BF分别交 L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。所以OA=OC,所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC,MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF,所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS),所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补,所以角MOE=角MOF=90度,即L⊥L3 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°,即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角,一个三角形的一边中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时,两直线经过平移后相交成直角,则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直,则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边,那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑): Ⅰ.平行关系: 线线平行:1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行:1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行,一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行:1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案

直线、平面垂直的判定与性质 【考纲说明】 1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。 2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直,记作l ⊥α,直线l 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知:直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ,那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小;范围:0 0180θ<<. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 2、判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。简述为“线面垂直,则面面垂直”,记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? .

线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题与答案解析

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1.在四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; 2如图,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC, 平面SAB⊥平面SBC. (第1题) (1)求证:AB⊥BC; 3.如图,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形,PA⊥底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB. (1)求证:平面PCE⊥平面PCD;(2)求点A到平面PCE的距离. 4. 如图2-4-2所示,三棱锥S—ABC中,SB=AB,SC=AC,作AD⊥BC于D,SH⊥AD于H,求证:SH⊥平面ABC.

5. 如图所示,已知Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D 为斜边AC的中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 6. 证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D 11 A B1 D C B 7. 如图所示,直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=1,,侧棱,侧面的两条对角线交点为D,的中点为M. 求证:CD⊥平面BDM.

8.在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD, 作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD. 9. 如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC. 10.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连结ED,EC,EB和DB. (1)求证:平面EDB⊥平面EBC; (2)求二面角E-DB-C的正切值. 11:已知直线PA垂直于圆O所在的平面,A为垂足,AB为圆O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。求证:平面PAC 平面PBC。 12..如图1-10-3所示,过点S引三条不共面的直线,使∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,若截取SA=SB=SC.

立体几何线面与面面垂直的证明

理科数学复习专题立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一.线面垂直 (1)直线与平面垂直的定义: 如果直线I和平面a内的_______________ 一条直线都垂直,我们就说直线I与平面a垂直, 记作 ___________ . 重要性质:______________________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法: ①判定定理:一条直线与一个平面内的两条________________ 都垂直,那么这条直线就垂直于 这个平面.用符号表示为: ②常用结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平 面.用符号可表示为: (3)直线与平面垂直的性质: ①由直线和平面垂直的定义知:直线与平面垂直,则直线垂直于平面内的_____________ 直线. ②性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为: 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义: 两平面相交,如果它们所成的二面角是_________________ ,就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条_________________ ,那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直,则面面垂直”,用符号可表示为: (3)平面与平面垂直的性质: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平

面.用符号可表示为:【题型总结】

题型一小题:判断正误 1.“直线I垂直于平面a 内的无数条直线”是“ I丄a”的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知如图,六棱锥P— ABCDEF勺底面是正六边形,PA丄平面ABC则下列结论不正确的 是(). //平面PAF丄平面PAF //平面PAB D. CF丄平面PAD 2.设m n, 1是三条不同的直线,,,是三个不同的平面,判断命题正误: ①m ,m ,则// ⑥m n,m// ,则n ②m ,// ,则m ⑦m n,n 1,则 m//l ③m ,m//n,则n ⑧, ,则 ④m ,n ,则m//n ⑨m n,n//I,则m 1 ⑤m ,m n,则n// ⑩,// ,则 题型二证明线面垂直 1.如图,四棱锥F- ABCD中,底面ABCD为平行四边形, / DAB= 60°, AB= 2AD PDL底面ABCD (1)证明:BD丄面PAD (2)证明:PAI BD 归纳:①证明异面直线垂直的常用方法:___________________________________ ②找垂线(线线垂直)的方法一:_________________________________________ J*

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系 1.线面垂直 直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式: 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2.面面垂直 两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理:(线面垂直?面面垂直) 如果 ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: 两平面垂直的性质定理:(面面垂直?线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系 为:线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明. 例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC; (2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥ 证明:平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图,AB 就是圆O的直径,C就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,E为垂足,F就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .

线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点 、若直线a 与平面,αβ所成的角相等,则平面α与β的位置关系是( B ) A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o ,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面,垂足为H ,则H 一定在( B ) A 、直线上 B 、直线上 C 、直线上 D 、△的内部 、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π,过A 、B 分别作两平面交线的垂 线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A α

A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==o , 12,1BC CC ==上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A , 若棱上存在点P ,使得PC P D ⊥1,则棱长 的取值范围是 。 题型一:直线、平面垂直的应用 1.(2014,江苏卷)如图,在三棱锥中,D ,E ,F 分别为棱,,的中点. 已知 ,685PA AC PA BC DF ⊥===,,. 求证:(1) PA DEF P 平面;(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明: (1) 因为D ,E 分别为棱,的中点, 所以∥. 又因为 ? 平面, 平面, 所以直线∥平面. (2) 因为D ,E ,F 分别为棱,,的中点,=6,=8,所以∥,= 12 =3,=12 =4. 又因 =5,故2 =2 +2 , 所以∠=90°,即丄. 又⊥,∥,所以⊥. C D 1 B 1 B 1 1 D A D B A

线面角与二面角的向量解法

线面角与二面角的向量解法 广州市第65中学 朱星如 510450 几何中的距离和角是初等几何学的核心问题,是新旧教材的教学重点,也是高考常考点。近几年来,各种数学杂志发表了不少用向量解几何题的文章,笔者觉得有些方法在实际解题中,操作起来并不方便,在教学中效果不佳。如线面角论及得较少;而用法向量求二面角的平面角时,两法向量的夹角与二面角的平面角是相等或互补,但不易确定取哪种关系。本文就这两个问题的解答方法作一介绍,但愿对同行的教学有所裨益。 先推导一个线面角公式。设PQ 是平面a 的一条斜线段,P 、Q 均 不为斜足,线段PQ 所在直线与平面α交于点Q ',直线PQ 与平 面α所成的角为q ,见图1。P '为直线PQ 上的一点,作P 'Q a ^ 于H ,连H Q ',则P Q H q ⅱ?。设平面a 的法向量为n r ,则有: 90HP Q q ⅱ+?o ,,HP Q n PQ ⅱ ?uuu r r 或,n PQ p -uuu r r , sin cos cos ,HP Q n PQ q ⅱ=?=uuu r r PQ n PQ n ×uuu r r g uuu r r ,从而 arcsin (1)PQ n PQ n q =×uuu r r g L uuu r r 。 注:当Q 点为斜足或点P 、Q 在平面α的异侧时本公式也适用。 我们改编一个91年全国的高考题例说公式(1)的应用。 例1:已知正方形ABCD 的边长为4,PA ⊥平面ABCD ,PA =2,E 、F 分别为BC 、 CD 的中点。求直线EB 、FB 分别与平面PEF 所成的角(见图2)。 解:以A 为原点,AD 所在的直线为x 轴,AB 所在的直线为y 轴,AP 所在的 直线为z 轴,建立空间右手直角坐标系。则有 B (0,4,0),C (4,4,0),D (4,0,0),P (0,0,2)。用中点坐标公式 可得E (2,4,0),F (4,2,0)。(2,2,0),(2,4,2)E F E P =-=--u u u r u u u r ,(2,0,0)EB =-u u u r , (4,2,0)FB =-u u u r 。设平面PEF 的法向量为(),,n x y z =r ,则有 0,0n EF n EP ==u u u r u u u r r r g g ,由此得:220,2420x y x y z -=--+=,可解出: ,3y x z x ==,取1x =得()1,1,3n =r , 记直线BE 、BF 与平面PEF 所成的角分别为1θ、2θ,则由公式(1)得 1sin n EB n EB q == =uuu r r g uuu r r ,1arcsin q = 22sin arcsin n FB n FB q q == ==uu u r r g uu u r r 。 处理线面角问题用公式(1),可回避找斜线在平面内的射影之苦,从而提高学生的学习效率,真正为学生减负。 () A O B D 图 2 P ' Q ' θ 图1

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