2013年考研难题总结,(同济大学高数,线代 ,浙大).doc

2013年考研难题总结，（同济大学高数，线代 ，浙大）

（ 2012.10整理）

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。） 1. 函数??

???≥+<-=，，；

，0cos 01

e )(22x x x a x x

x f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。 2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0

d x y

x d - 。

3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =

12

37 。

4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则?=E

x x x

d sin cos

3

8 。

5．设L 是顺时针方向的椭圆14

2

2

=+y

x

，其周长为l ，则(

)=++?L

s y

x xy d 42

2

4l 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 若0)(lim 0

u x x x =→?且A u f =→)(lim 0

u u ，则（ D ）

（A ） )]([lim 0

x f x x ?→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0

?

（C ） )]([lim 0

x f x x ?→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。

2. 设?

=

x

x x x f sin 0

2d )sin()(，4

3)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ）

（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；

（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无

穷小。

3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）

（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。

4. 设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，I=?t s

x tx f t 0

d )(，其中s > 0，t > 0，则I

的值（ C ）

（A ）与s 和t 有关； （B ）与s 、t 及x 有关； （C ）与s 有关，与t 无关； （D ）与t 有关，与s 无关。 5. 设u (x ，y ) 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足

2

>???y

x u 及

02

2

2

2

=??+

??y

u x

u ，则（ B ）。

（A ）u (x ，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；

（B ）u (x ，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；

（C ）u (x ，y ) 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）u (x ，y ) 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上。

以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无

效。

三、求极限)]

21ln(2[e

cos lim

2

2

2

x x x x x

x -+--

→ 。（本题6分）

解：)(!

4!

21cos 4

4

2

x o x

x

x ++

-

=；

)(8

21)(2!2121e

4

4

242

22

2

2

x o x x x o x x

x

++-=+???? ??-+-=-

； )(22)()2(2

12)21ln(2

222x o x x x o x x x +--=+--

-=-；

由此得到：

[

]

)

(222)(821)(!4!21lim

)]

21ln(2[e

cos lim

2

22

44

24

4

2

2

2

2

x o x x x x x o x x x o x

x

x x x x x x

x +--?

?

?

???++--++-=-+-→-→

241)

(2)

(121

lim

4

44

4

=+-+-=→x o x x o x x 。

四、计算()

?∞

+--+0

2

d e 1e

x x x

x 。

（本题6分）

解

：

()

()

?

?

?

?

?

∞

+∞

+∞

+∞

+∞

+--+=

++∞++-=??

?

??+-=

+=

+0

2

2

d e

11d e

110e 1e 11d d e 1e

d e 1e

x

x

x x x x x x x

x

x

x x

x x

x

命：t t

x t x d 1d e =

=，则，于是

()

2ln 11ln

d 111

d )

1(1d e 1e

1

1

2

=∞++=??

? ??+-=

+=

+?

?

?

∞

+∞

+∞

+--t t t t t t t t x x x

x

五、设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，

x x x u y

u x

u =??=

??)2,(2

2

2

2

且，

2

1)2,('x x x u =，求)2(''11x x u ，。（本题6分）

解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到

1)2,('2)2,('21=+x x u x x u

代入2

1)2,('x x x u =，求得

2

1)2,('2

2x x x u -=

，

2

1)2,('x x x u =两边对x 求导，得到

x x x u x x u 2)2,(''2)2,(''1211=+，

2

1)2,('2

2x x x u -=

两边对x 求导，得到

x x x u x x u -=+)2,(''2)2,(''2221。

以上两式与已知

2

2

2

2

y

u x

u ??=

??联立，又二阶导数连续，所以''''2112u u =，故

x x x u 34)2(''11-

=，。

六、在具有已知周长2p 的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分）

解：设三角形的三条边长分别为x 、y 、z ，由海伦公式知，三角形的面积S 的平方为

))()((2

z p y p x p p S

---=

则本题即要求在条件x + y + z = 2p 之下S 达到的最大值。它等价于在相同的条件下S 2达到最大值。

设

))()((),(2

p y x y p x p p S

y x f -+--==，

问题转化成求),(y x f 在

{}p y x p p y p x y x D 2,0,0),(<+<<<<<=

上的最大值。其中D 中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y > z ，而由假设x + y + z = 2p ，即 z = 2p －（x + y ），故有x + y > z = 2p －（x + y ），所以有x + y > p 。

由???=---==---=0)22)(('0

)22)(('y x p x p p f y x p y p p f y

x ，

求出),(y x f 在D 内的唯一驻点??

?

??=32,32p p M 。因),(y x f 在有界闭区域D 上连续，故),(y x f 在D 上有最大值。注意到),(y x f 在D 的边界上的值为0，而在D 内的值大于0。

故),(y x f 在D 内取得它在D 上的最大值。由于),(y x f 在D 内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M 处取得。于是有

2732,32),(max 4

),(p p p f y x f D y x =

??

?

??=∈， 此时x = y = z =3

2p ，即三角形为等边三角形。

七、计算?

?

??

+

=y y

x

y

y

x

y x y x y I d e d d e d 1

2

12

12

1

4

1。（本题8分）

解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到

e 2

1e 8

3d )e (e d e d d e d d e d 1

2

112

112

12

12

1

4

12-

=

-==

+

=

?

???

???

x x y x x y x y I x

x

x

x

y

y y

x y

y

x y

。

八、计算曲面积分()()()??∑+++++=

y x ay

z

x z ax

y

z y az

x

I d d d d d d 2

3

2

3

2

3

，其

中Σ为上半球面2

2

2

y x a z --=的上侧。（本题7分）

解：记S 为平面z = 0（ x 2 + y 2 ≤ a 2 )的下侧，Ω为Σ与S 所围的空间区域，

()()()()()()()5

5

5

3

20

2

4

2

20

2

2

2

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

20

294

15

6d d sin d d sin d 3d d d d d 3d d d d d d d d d d d d 2

2

2

a

a a r

r a r r y

x ay

z y x x

y x

y

x ay

z

x z ax

y

z y az

x

y

x ay

z

x z ax

y

z y az

x

I a

a

a

y x S S

πππθ

θ??θ

π

π

π

=

+

=+

=+++=

+++++-+++++=

?

?

??

??????????≤+Ω∑

九、已知a >0，x 1>0，定义

() ,3,2,13413

1

=???

?

?

?+=+n x a x x n n n

求证：n n x +∞

→lim 存在，并求其值。（本题8分）

解：第一步：证明数列{}n x 的极限存在：

注意到：当n ≥ 2时，???

? ?

?+++=+3

1

41n n n n n x a

x x x x ≥4

43a x a

x x x n n n n =，因此

数列{}n x 有下界。又

?

??

? ??+=

+41341n n

n x a x x ≤

1341=??? ?

?

+a a ，即x n +1≤x n ，所以{}n x 单调递

减，由极限存在准则知，数列{}n x 有极限。 第二步：求数列{}n x 的极限

设：A x n n =+∞

→lim ，则有A ≥04>a 。

由???

? ??+=+∞→++∞

→3

1

3lim 41lim n

n n n n x a

x x ， 有??

?

??+=3341A a A A ，解得4

a A =（舍掉负根），即4

lim a x n n =

+∞

→。

十、证明不等式()

()∞+∞-∈+≥+++，，x x x x x 2

211ln 1。

（本题7分） 证明：设(

)2

2

11ln 1)(x x

x x x f +-

+++=，则

(

)(

)2

2

2

22

1ln 11111ln )('x

x x

x x

x x x x

x

x x f ++

=+-

++

+++++

=。

命0)('=x f ，得到驻点 x = 0。由

011)(''2

>+=x

x f

可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为0)0(=f ，于是对任意()∞+∞-∈，x 有

0)(≥x f ，即所证不等式成立。

十一、设函数)(x f 在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且

?=1

4

3)0()(4f dx x f ，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 。

（本题7分）

证明：由积分中值定理知，存在??

?

???∈1,43η，使得

)0(d )(4d )(11)(1

4

314

34

3f x x f x x f f ==-

=

??

η

又函数)(x f 在区间[][]1,0,0?η上连续，()η,0内可导，由罗尔定理知，至少存在一点

()()1,0,0?∈ηξ，使得0)('=ξf 。

十二、设)(x f 在区间),[+∞a 上具有二阶导数，且0)(M x f ≤，2)(''0M x f ≤<，

)(+∞<≤x a 。证明2

02)('M

M x f ≤。（本题8分）

证明：对任意的),[+∞∈a x ，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a ，+∞)，于是有

2

)(''!

21)(')()(h f h x f x f h x f ξ+

+=+，其中],[h x h +∈ξ。 即 [])(''2)()(1)('ξf h x f h x f h

x f -

-

+=

故 202

2)('M h h

M x f +≤

，（),[+∞∈a x ，h > 0）

命20

22)(M h h

M h g +

=

，试求其最小值。 命02

12)('2

2

0=+

-

=M

h

M h g ，得到2

002

M

M h =，

04)(''3

>=

h

M h g ，

所以，)(h g 在2

002

M

M h =处得极小值，亦即最小值，

2002)(M M h g =。

故

202)('M M x f ≤，

（),[+∞∈a x ）。

2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．=

-+∞

→x

x x x 1sin

1

312lim

2

3

2。

2．设摆线方程为?

??-=-=t y t t x cos 1sin 则此曲线在3π=t 处的法线方程为3331π

+

-=x y 。 3．=

+?

∞

+e

2

)

ln

1(x x dx 4

π

。

4．设2

2y xy x z +-=在点(－1,1)处沿方向{}125

1，=

→

l 的方向导数

=??l

z 5

3-

。

5．设Σ为曲面2

22R y x =+介于0≤Z ≤R 的部分，则2

2

2

2

2

π

=

++??

∑

z

y x dS 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一

个，不得分。）

1. 曲线)

2)(1(1arctan e 2

1

2

-++-=x x x x y x 的渐近线有（ B ）

（A ） 1条； （B ） 2条；

（C ） 3条； （D ） 4条。 2. 若2)]([)(x f x f ='，则当n>2时=)()

(x f

n （ A ）

（A ）1)]([!+n x f n ； （B ）1)]([+n x f n ； （C ）n x f 2)]([； （D ）n x f n 2)]([!。

3. 已知函数f (x )在（－∞，+∞）内有定义，且x 0是函数f (x )的极大值点，则（ C ）

（A ）x 0是f (x )驻点； （B ）在（－∞，+∞）内恒有f (x )≤f (x 0)；

（C ）－x 0是－f (－x )的极小值点； （D ）－x 0是－f (x )的极小值点。 4. 设??

???=+≠++=0

,00,2

22

2

2

2y

x y x y

x xy

z ，则z = z (x ,y )在点（0，0）（ D ）

（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但不可微； （C ）不连续且偏导数不存在； （D ）不连续但偏导数存在。 5. 设???

Ω++=dv e e e I z y x )(，其中Ω：x 2+y 2+z 2

≤1，z ≥0则=I （ D ）

（A ）???Ω

dv e z

3； （B ）???Ω

dv e x

3；

（C ）???Ω

+dv e e y

z

)2(； （D ）???Ω

+dv e e z

x

)2(。

三、已知极限011ln

arctan 2lim 0

≠=-+-→C x

x

x x n

x ，试确定常数n 和C 的值。（本题6分）

解

：

)

1(4lim

141lim

1111

12lim

11ln

arctan 2lim

4

3

4

21

12

x nx

x

x nx

nx

x

x x

x

x

x x n x n x n x n

x --=--?

=--

+-

+=-+--→-→-→→，

故3

4,3-

==C n 。

四、已知函数f (x ) 连续，?

-=

x

dt x t f t x g 0

2

)()(，求)(x g '。（本题6分）

解：命u = t － x ，则当 t = 0 时，u = －x ；t = x 时，u = 0，于是

?

?

??????----------=??

????--++---++---='

??

?

???++-='

?

?

? ??+='x

x

x

x x

x

x x x

x du

u f x du u uf x f x du u f x x f x x du u uf x f x du u f x du u uf x du u f u du u f x u x g 0

200202

0020

2)(2)(2)1)(()(2)1)(()(2)(2)()()(2)()1()()()(

五、设方程04=++b ax x ，

⑴ 当常数a ，b 满足何种关系时，方程有唯一实根？ ⑵ 当常数a ，b 满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）

解：设b ax x y ++=4，－∞

a x y +='3

4

命0='y 得唯一驻点3

4

a x -

=，又0122≥=''x y ，故当3

4

a x -

=

时，y 有最小值。

且最小值为

b a a a y

a

x +??

? ??-+??

? ??-=-

=3

1

3

44434

又当x →－∞时，y →＋∞；x →＋∞时，y →＋∞，因此，

⑴ 当且仅当0443

1

34

=+??

? ??-+??? ??-b a a a 时，方程有唯一实根。

⑵ 当0443

1

34

>+??

? ??-+??? ??-b a a a 时，方程无实根。

六、在曲线y = x 2（x ≥ 0）上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为12

1，试求： ⑴ A 点的坐标；

⑵ 过切点A 的切线方程；

⑶ 该图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分）

解：⑴设A 点坐标为 (x 0，y 0)，则y 0 = x 02

，于是可知切线方程

y ― x 02

= 2x 0（x ― x 0）即0

2

02x x y x +=

。

由题设，有

3

30404

02023

20200

0201213

22

1210322121212

12

x x x x x x y y x y x dy y x

x y x =-??? ??+=

??????-??? ??+=???

? ?

?-+=

?

故有

)1A(11112

112

12

003

0，，得，即====

x y x x 。

⑵ 切线方程为1-2)1(21x y x y =-=-，即。 ⑶ 在上述切线方程中令y = 0，得到2

11==x x ，故所求旋转体的体积

3065)12(3

1251)

12(2

1)

12()12()(2

11

31

2

12

1

4

2

2

20

1

ππππππ

π

ππ=-=??

??

?

?

?

-?-=---=--

=

?

?

?

?

x x d x dx x dx x dx x V x x x

七、计算?+dx x 3

2

)

1(1。

（本题7分）

解：解法1 命?+=

dx x

I n

n )

1(1

2

，则有

212222

2

1221)1(21

1

1

I I x x dx x x

x x x dx x

I -++=???

? ??+--

+=

+=

??

，于是有

??

?

??++=

12

2121I x x I 。 同理322

2

3

2

2

2

2

2

244)

1()

1(2)

2()

1()

1(1

I I x x dx x x x x x dx x

I -++=

+--

+=

+=?

?，

所以有 C x x x x x I x x I +++++=??????++=

arctan 83

183)

1(413)1(412

222223。 解法2

命θtan =x ，则

C

x x

x x

x C x x x x x x x C θθθd θθd d θθθ

I +++

++

=

+???? ??+-+?+++=??? ??+++=

??

? ??++=

=

=

?

??2

2

2

22224

2

6

3)

1(41

1

83

arctan 8

31)1(243211241arctan 83

4sin 812sin 23414cos 212cos 22341cos sec sec

1

θθθ

八、设x y z y x z y x f u sin ,0),,(),,,(2===?，其中?,f 具有连续的一阶偏导数，且

dx

du z

，求

0≠???。（本题7分） 解：将y

= sin x 代入0

),,(),,,(2

==z y x z y x f u ?，得到

0),s i n ,(),,sin ,(2

==z x x z x x f u ?，显然方程0),sin ,(2

=z x x ?确定了 z 是x 的隐含

数 z = z (x ) ，所以

[]'

'+'+'='=x x z f x f f z x x f dx

du 321cos ),sin ,(

又由 []0c o s 2),s i n ,(3212

=''+'+'='x x z x x z x x ????，

得到 '

'

'

+'-'

+'=33

212

1c o s 2c o s f x x x f f dx

du ???。

九、求{}

1),(2),(22222=+=++=y x y x S y y x x y x f 在上的最大值与最小值。（本题7分）

解：解法1

在S 上有2

2

2

2

11y x y x -==+，即，代入2

2

2

2),(y y x x y x f ++=，得到

)11(,221)(),(3

≤≤--+==y y y y g y x f

因此 2

62)(y y g -='

命0)(='y g ，得到3

23

1±=±=x y ，，

由于9

3413

2321)3

1(

+

=+

=g ，

9

3413

2321)3

1(-

=-

=-

g ，又1)1(=±g ，所以

9341)31(

)(max ),(max ]

1,1[),(+

===-∈∈g y g y x f y S

y x ；

9

341)3

1

()(min ),(min ]

1,1[),(-

=-

==-∈∈g y g y x f y S

y x 。

解法2

构造)1(2),,(22222-++++=y x y y x x y x F λλ， 解方程组

?????=-+==++==++=)

3(0

1)2(0222)1(02422

22

y x F y y x F x xy x F y x λλλ )

4(0

200)2(02242)2()1(2

2

2

23

2

=-==-=--+?-?y

x x x y x xy x xy

xy x y 或，于是有，即

得到

联合求解(3)、(4)，得到6个可能的极值点

)31,32()31,32()31,32(

)31,32(

)1,0()1,0(654321-

-

-

-

-P P P P P P ，，，，，，

因为9

341)()(,9

341)()(,1)()(645321-

==+

====P f P f P f P f P f P f ，所以

9

341),(max ),(+

=∈y x f S

y x ，9

341),(min ),(-

=∈y x f S

y x 。

十、计算??

+=

D

dxdy y x I )cos(，其中区域D 为：2

0,2

0π

π

≤

≤≤

≤y x 。（本题7分）

解：如图，用直线2

π

=+y x 将区域D 分为D 1和D 2两个区域，则

2

)1(cos )sin 1()cos()cos()cos()cos(2

2

222

2

2

2

1

-=--

-=

+-

+=

+

-

+

=

?

?

??

??????--ππ

π

π

ππ

π

πdx x dx x dy y x dx dy y x dx dxdy

y x dxdy y x I x

x

D D

十一、证明：当 0 < x < 1时，

x

x

x 2e

11-<+-。（本题7分）

证明：本题即证当 0 < x < 1时，0)1(e )1(2<+--x x x ，命：

)1,0[),1(e

)1()(2∈+--=x x x x f x

，于是有

1e )21(1e )1(2e )(222--=--+-='x

x x x x x f ，

0e 4e )21(2e 2)(222<-=-+-=''x

x x x x x f ，

即)(x f '在区间(0,1)内单调减少，而0)0(='f ，故当 x > 0时0)(<'x f ，因而)(x f 在

区间(0,1)内单调减少，即0)0()(=

)1,0(,e

112∈<+--x x

x x

。

十二、设C 是取正向的圆周1)1()1(22=-+-y x ，f (x )是正的连续函数，证明：

π2)

()(≥-

?

C

dx x f y dy y xf

（本题8分） 证明：由格林公式有

??

?

???

??

?+=

-

D

C

dxdy x f y f dx x f y dy y xf )(1)()

()(，

其中D 是由 ( x – 1 )2 + ( y – 1 )2 = 1所围成的区域。而

??

???

--==

--+---2

02

)

1(11)

1(112

)1(1)(2)()(2

2

dx x x f dy x f dx dxdy x f x x D

，

??

?

??

--==

--+---2

2

)

1(11)

1(112

)1(1)(2)()(2

2

dy y y f dx y f dy dxdy y f y y D

，

即 ??

??

=

D

D

dxdy y f dxdy x f )()(，

所

以

????

??

?

=≥

???

??

?+=

???

??

?+=

-

D

D

D

C

d dxdy x f x f dxdy x f y f dx x f y dy y xf πσ

22)(1)()(1)()

()(。

2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案

（理工类）

一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设对一切实数x 和y ,恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则=??

?

??21f 2

1 。

2．设???????=≠+-+=?,

0,

;0,1e 2e )1ln()(22

2

2sin 0

x a x dt

t x f x

x x

在x = 0处连续，则a = 2

1 。

3．设2e ),,(yz z y x f z =，其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 所确定的隐函数，则=-')1,1,0(y f

e

2 。

4．?

+∞

=+0

2

2

)

1(x dx

4

π

。

5．曲线??

?

??=+-=++0

214

442

22z y x z

y x 在点M (1,1,1)处的切线方程为 311151--=-=-z y x （或?

?

?=+-=-++020

42z y x z y x ）。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1． 当0→x 时，下列无穷小量

① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+； ③ x x x sin cos 31

3

4??

?

??--； ④ 1e

4

--x

x ， 从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）

（A ） ①②③④； （B ） ③①②④；

（C ） ④③②①； （D ） ④②①③。 2． 设??

?=≠=0

,

00,

cot )(3x x x arc x x f ，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为

（ B ）

（A ） 1阶； （B ） 2阶； （C ） 3阶； （D ）4阶。 3． 设函数)(x f y =在 x = 1处有连续的导函数，又21

)(lim

1

=-'→x x f x ，则x = 1是

（ B ）

（A ）曲线)(x f y =拐点的横坐标； （B ）函数)(x f y =的极小值点； （C ）函数)(x f y =的极大值点； （D ）以上答案均不正确。 4． 设函数f ，g 在区间[a ，b ]上连续，且m x f x g <<)()(（m 为常数），则曲线

a x x f y x g y ===),(),(和x =

b 所围平面图形绕直线y = m 旋转而成的旋转体体

积为（ A ） (A)

?---b

a

dx

x g x f x g x f m )]()()][()(2[π； (B)

?-+-b

a

dx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π；

(C)

?-+-b

a

dx

x g x f x g x f m )]()()][()([π； (D)

?---b

a

dx x g x f x g x f m )]()()][()([π。

5． 设)0(:2222≥=++z a z y x S ，1S 为S 在第一卦限中的部分，则有（ C ） （A ）????=1

4S S

xds xds ；

（B ）????=1

4S S

xds yds ；

（C ）????=1

4S S

xds zds ； （D ）????=1

4S S

xyzds xyzds 。

三、a ，b ，c 为何值时，下式成立

c t

dt t ax

x x

b

x =+-?

→2

2

1sin 1lim

。

（本题6分）

解：注意到左边的极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b = 0，当b = 0时使用诺必达法则得到

2

2

2

2

1)(cos lim

1sin 1lim

x

a x x

t

dt t ax

x x x

x +-=+-→→?

，

由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则

21)1(cos lim

1sin

1

lim

2

2

2

2

-=+-=+-→→?x

x x

t

dt t x

x x x

x 。

综上所述，得到如下结论：1≠a ，b = 0，c = 0； 或a = 1，b = 0，c = －2。

四、设函数??

?

??=≠-=0

,0,cos )()(x a x x

x

x x f ?，其中)(x ?具有连续二阶导函数，且

1)0(=?。

⑴ 确定a 的值，使)(x f 在点x = 0处可导，并求)(x f '。 ⑵ 讨论)(x f '在点x = 0处的连续性。（本题8分）

解：⑴ 欲使)(x f 在点x = 0处可导，)(x f 在点x = 0处必须连续，于是有

)0(1

sin )(lim

cos )(lim

)(lim 0

???'=+'=-=→→→x

x x

x

x x f x x x

即当)0(?'=a 时，)(x f 在点x = 0处连续。

当0≠x 时，

[][]

2

cos )(sin )()(x

x x x x x x f --+'=

'??；

当x = 0时，

[]

1)0(2

12

cos )(lim

2)

0(sin )(lim

)

0(cos )(lim

)

0(cos )(lim

0)

0()(lim )0(0

2

+''=+''='-+'='--='--=--='→→→→→????????x

x x

x x x

x x x x

x

x

x x f x f f x x x x x

故：

[][][]??????

?=+''≠--+'='0

,1)0(2

10

,cos )(sin )()(2x x x

x x x x x x f ???。 ⑵ 因为

[][]2

1

)0(2

cos )(lim

2sin )(cos )(sin )(lim

cos

)(sin )(lim

)(lim 0

2

+''=

+''=-'-+''++'=+-+'='→→→→???????x

x x

x

x x x x x x x

x

x x x x x f x x x x

所以，)(x f '在点x = 0处连续。 五

、

设

正

值

函

数

)

(x f 在),1[+∞上连续，求函数

?

???

?

????? ??+-??? ??+=

x

dt t f t t x x

x F 1

)(ln 2ln 2)(的最小值点。（本题6分） 解：

???

???? ??

+-=??? ??+-??? ??++??? ??+-=??

??

?????

??+-??? ??+=

'x x x

x

dt

t f x x

x f x x x f x x dt t f x x dt t f t t dt t f x x dx d x F 12121

1

)(12)(ln 2)(ln 2)(12)(ln 2)(ln 2)(

注意到：在),1[+∞上0)(>x f ，因此，当x > 1时，0)(1>?x

dt t f 。

命：0)(='x F ，得0122

=+

-

x

x

，解此方程得到唯一驻点 x = 2。

又，当21< 2时，0)(>'x F ，所以)(x F 在点x = 2处取得极小值)2(F ，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是)(x F 的最小值点，最小值为

)2(F 。

六、设2)1arctan()(-='x x y ，且0)0(=y ，求?1

)(dx x y 。（本题6分）

解：

[]2

ln 4

1801)1ln(4142112

101arctan 2

1arctan 2

1

)(arctan 2

1

arctan )1arctan()1()0()1()1arctan()1()1()1arctan()1arctan()1()1()1arctan()1()(0

1)

()(2

1

2

1

1

2

20

1

2

11

2

1

2

1

2

1

02

1

2

1

1

2

-=+-?=

+-==

-

=-

=---=-----

=--

---=--

='-

=?

???

???

??

?

?

=--=-ππu du u

u u

u udu

t d t dt t t dx x x y y dx x x y dx

x dx x x y dx

x x y dx x y x x xy dx x y t

u t

x 命命

七、设变换?????+=+=y

x v y

a x u 2，把方程0212

222=???-??-??y z y z y x z 化为02=???v u z ，试确定a 。（本题7分）

解： 计算一、二阶偏导数

,14122

1,

2

,2112

,22

22222

32

22

2

2

2

2

2

2

???

? ?????+????+???+??? ????+???-

=????+

???+??=

????

?

????+???=

?

??+?

??=

????+??=??-y v z y a v u z y a u z y v z u z a y

y

z v

z v

u z u

z x

z v z

u z a y y

v

z y a

u z y

z v z u z x z

代入方程

0212

2

2

2

=???-

??-??y

z y

z y

x

z ，得到

()0241212

2222

22

2

=???-+?????

? ??-=???-??-??v u z

a u z a y z y

z y

x

z ，

于是有??

???≠-=-

0204

12

a a

，所以2-=a 。 八、设函数),(y x Q 在x O y 平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分?

+L

dy

y x Q xydx ),(2与路径无关，并且对任意的t 恒有

?

?

+=

+)

,1()

0,0()

1,()

0,0(),(2),(2t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx ，求),(y x Q 。

（本题7分） 解：由曲线积分与路径无关知

x xy y

x

Q 2)2(=??=??，

所以)(),(2

y C x y x Q +=，其中)(y C 为待定函数。又

[]

?

??

+

=+=+1

2

102

)

1,()0,0()()(),(2dy y C t dy y C t

dy y x Q xydx t ；

[]?

??

+

=+=

+t

t

t dy y C t dy

y C dy y x Q xydx 0

0)

,1()

0,0()()(1),(2。

根据题设，有

??+

=+

t

dy y C t dy

y C t 0

1

2

)()(，

上式两边对t 求导，得到

)(12t C t +=，于是知12)(-=t t C ，即12)(-=y y C ，故12),(2

-+=y x y x Q 。

九、设函数f (x )具有二阶连续导函数，且0)0(,0)0(,0)0(>''='=f f f 。在曲线y = f

(x )上任意取一点)0))((,(≠x x f x 作曲线的切线，此切线在x 轴上的截距记作μ，求

)

()

(lim

x f xf x μμ→。（本题8分）

解： 过点))(,(x f x 的曲线y = f (x )的切线方程为：))(()(x X x f x f Y -'=-， 注意到：由于0)0(,0)0(>''='f f ，所以当0≠x 时，0)(≠'x f 。因此，此直线在x 轴上的截距为

)

()(x f x f x '-

=μ。且0)

()(lim

lim lim 0

='-=→→→x f x f x x x x μ。

利用泰勒公式将)(x f 在00=x 点处展开，得到

之间；与在x x f x f x f f x f 0,

)(2

1)(2

1)0()0()(12

12

1ξξξ''=

''+

'+=。

类似可得：之间与在μξμξμ0,

)(2

1)(22

2f f ''=。代入得

2

1)

0()0()0()

()()(lim

)

()()(lim

)

()

()(lim

)()(lim

lim

)

()(lim

)(2

1)(21lim

)

()

(lim

120

2

12

20

=

''+''''=

''+'''=''+'''='-'='-=?''''=''''=→→→→→→→→f f f x f x

x f x f x f x x f x f x x f x x f x f x x x f x f x x

f f x

f f x x f xf x x x x x x x x μ

ξξξμ

μ

ξμμ

十、设函数f (x )在闭区间]1,0[上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a 和b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的ξ和η，使得

b a f b f a +='+

')

()

(ηξ。

（本题7分）

证明：取数)1,0(∈μ，由连续函数介值定理知，存在)1,0(∈C ，使得μ=)(C f 。在区间[0,C ]与[C ,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有

.

1111)()1()(,

0,0)0()()(<<--=

--=

'<<=--='ημηξμ

ξC C

C

C f f f C C

C f C f f 显然ηξ≠。

由于)1,0(∈μ，所以01,0≠-≠μμ，即0)(,0)(≠'≠'ηξf f 。从而 )

1()

()

1()

1()1(11)

()

(μμμμμμμμμμμηξ---+=

--+-=

--+=

'+'a b a C b C b aC C

b C

a

f b f a ，

注意到：若取b

a a +=μ，则b

a b +=

-μ1，并且)1,0(1,∈-μμ，代入得

b a b a b

b a a

b a ab

f b f a +=+?++=

'+

')

()

(ηξ。

十一、设?

----+

+-=1

1

1

2

e

)()e 1(2

1)(dt t x x F t

，试证明在区间]1,1[-上)(x F 有且仅

有两个实根。（本题7分）

证明：

?????????????

?

??

?

----------------------------------++-

-

=+-++--=++++--=++-

-+

+++-=-+-

++-=-+

-+

+-

=x

t

x

x

t

t

t

x

x

t

t

t

x

x

t

t

t

t

x

t

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

dt

x dt

x dt x dt x dt x dt x dt x dt

x dt x x

x dt x dt x dt t x dt t dt t dt x dt

x t dt t x x F 0

10

1

110

1

11

10

1

11

1

1

111

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

e

2e

e

2

32

1e

2e

e

e e 2321e

2e

e

e e 2321e

e

1e

2

11

e

2

1e

e

)e 1(21e

e e

e

)e 1(21e )(e

)()e 1(21)(

由于2

e

x

-是偶函数，所以?-x

t

dt 0

2

e

是奇函数，?-x

t

dt x 0

2

e

2是偶函数，于是知)(x F 为

偶函数。

又注意到：

0e 2523e 2e 2121e 2e 2121)1(;

0e

23e e

2321)0(1

01

01

2

>-

=+??

? ??+->+??? ??+-=<-=

-=

??---dt dt F F t

t

0e

2e

2e

2e

2)(0

2

2

2

2

>=++-='??----x

t

x

t

x

x

dt dt x x x F ，（当x > 0时）。

因此，函数)(x F 在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又)(x F 为偶函数，所以)

(x F 在闭区间]0,1[-上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数)(x F 在闭区间]1,1[-上有且仅

【重磅】同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟

悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

同济大学高等数学2

同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解

(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

高等数学(同济大学版)第一章练习(含答案)

第一章 函数与极限 一、要求： 函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限， 间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112 ++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±； 2. 函数y = 是由： 复合而成的； 答：2 ln ,,sin y u v v w w x ====； 3. 设 ,112 2 x x x x f +=??? ? ?+ 则()f x = ；答：22x -； 4. 已知)10f x x x ?? =+≠ ??? ，则()f x = ； 答： ( )11f x x x = +=+ ()0x ≠； 5.11lim 1 n x x x →--= ，答：n ； !lim 1 n n n →∞ += ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(), 0, x e x f x a x x ?<=? +≥?在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )； A.(3)x x -， B.()6(3)x x --， C.()6(3)x x +-， D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin n n n →∞ =（ B ）； A.0 ， B.1， C.+∞， D.-∞； 9.1x =是函数2 2 1 ()32 x f x x x -= -+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点； 10. |sin | ()cos x f x x xe -=是（ A ）； A.奇函数， B.周期函数， C.有界函数， D.单调函数； 11.下列正确的是( A ) A.1lim sin 0x x x →∞ =，B.1lim sin 0x x x →∞ =， C.0 1lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x →∞ =； 12. 1x =是函数)1,13, 1 x x f x x x -≤?=? ->?的（ D ）

同济版高等数学新编课后习题解析

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书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(2 11n n n x a x x + =+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+ =+221)(2 11（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(2 1 1n n n x a x x + =+两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .

P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则2 11)1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念； 2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。 解：由题意：1322 31lim 1cos 1)1(lim 2203 120=-=-=--+→→a x ax x ax x x 得23 -=a 或13 2]1)1()1[(2 1 1lim 1 cos 1)1(lim 31 232 22203 1 20=- =++++?--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化） P42页3（4） 关于间断点：x x x f 1sin 1)(=

高等数学同济大学第六版本

习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-=

同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)

课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题（共15 分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=???Ω dxdydz z y x f ） ． 21 2 0cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 21 2 00 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 2120 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θ πθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz π θθθ?? ? 4． 4．若 1 (1) n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线22 2 x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 题 号（型） 一 二 三 四 核分人 得 分 总分 评卷人

10-2高等数学同济大学第六版本

习题 10-2 1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ?=L dx y x P 0),(. 证明??=L b a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到 b , 所以 ???='=b a L b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)?-L dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中 L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , ??+'++=a dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π (3)?+L xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到

解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 (5)ydz zdy dx x -+?Γ 2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧; 解 ??--+=-+Γπ θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x (6)dz y x ydy xdx )1(-+++?Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 一段直线; 解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1. ?Γ-+++dz y x ydy xdx )1(?-+++++++=10 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ?=+=1 013)146(dt t . 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中 AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,

高等数学同济大学第六版本

习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 (2)??+D d y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?- +=2 22]3[ (3)??++D d y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1}; (4)??+D d y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区 域.

解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是, ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π 00 )][sin(dx y x x x 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; (3)??+D y x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1}; 解 积分区域图如, 并且 D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}?{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.