2013高中数学常用公式及常用结论大总结
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1. 元素与集合的关系
U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.
2.德摩根公式
();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .
3.包含关系
A B A A B B =?= U U A B C B C A ????
U A C B ?=Φ U C A B R ?=
4.容斥原理
()()card A B cardA cardB card A B =+-
()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()
card A B card B C card C A card A B C ---+ .
5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式
()N f x M <
2
M N M N f x +--
()0()
f x N M f x ->-
?
11()f x N
M N
>
--.
8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于 0)()(21 22 11k k a b k +< - <,或0)(2=k f 且 22 122k a b k k <- <+. 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在 a b x 2- =处及区间的两端点处取得，具体如下： (1) 当 a>0 时，若[] q p a b x ,2∈-=， 则 {}m i n m a x m a x ( )( ),()( ) , ( 2b f x f f x f p f q a = -=； [] q p a b x ,2?- =， {} max max ()(),()f x f p f q =， {}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min ()min (), () f x f p f q =，若 [] q p a b x ,2?- =，则{ }m a x ( ) m a x ( f x f p f =， {}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布 依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则 （1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或 - 2 - 2402 p q p m ?-≥? ?->??； （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2 ()0()040 2 f m f n p q p m n >?? >???-≥? ?<-?或()0()0f n af m =??>?； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或 240 2 p q p m ?-≥? ?- (1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是 m in (,)0()f x t x L ≥?. (2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤?. (3)0)(2 4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥??≥??>? 或 2 40a b ac . 12.真值表 13. 14.四种命题的相互关系 - 3 - 15.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上 是增函数； []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上 是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关 于直线2 b a x += 对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2 (a 对称; 若 )()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数 () y f x =的图象关于直线 2 a b x += 对称 ()(f a m x f b m x ?+ = - ()()f a b mx f mx ?+-=. 24.两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位， - 4 - 得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系 a b f b a f =?=-)()(1 . 27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11 b x f k y -=-, 并不是)([1 b kx f y +=-,而函数)([1 b kx f y +=-是])([1b x f k y -= 的反函 数. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数 (a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =， ()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， ()(0)1,lim 1x g x f x →==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠, 或 []1(),(()0,1)2f x a f x + =+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(() (11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4) ) ()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+= +且 1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ； (5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++ ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1 m n m n a a -= （0,,a m n N *>∈，且1n >）. 31．根式的性质 （1 ）n a =. （2）当n a =； 当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?- . 32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈. 注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 - 5 - log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 34.对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m = (0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a M N M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. 36.设函数)0)((log )(2 ≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42 -=?.若 )(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若0a >,0b >,0x >,1x a ≠ ,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数. ， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2 log log log 2 a a a m n m n +<. 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系 11, 1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式 * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 其前n 项和公式为 1() 2n n n a a s +=1(1)2 n n na d -=+ 2 11()2 2 d n a d n =+- . 41.等比数列的通项公式 1* 11()n n n a a a q q n N q -==?∈； 其前n 项的和公式为 11 (1) ,11,1n n a q q s q na q ?-≠? =-??=? - 6 - 或11 ,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=?. 42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为 1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=?? =+--?≠?-? ； 其前n 项和公式为 (1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q d b n q q q q +-=??=-?-+≠?---? . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款(1) (1)1 n n ab b x b += +-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2 x π ∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0, )2 x π ∈ ，则1sin cos x x <+≤ (3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式 22 sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θcos sin ，tan 1cot θθ?=. 46.正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 (1)sin ,sin()2(1)s , n n n co απαα-?-?+=??-? 2 1 2 (1)s ,s ()2(1) s i n ,n n co n co α παα+?-?+=? ?-? 47.和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . 2 2 sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 2 2 cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-. sin cos a b αα+ )α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的 象限决定,tan b a ?= ). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=. 2 2 2 2 cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 2 2tan tan 21tan α αα =-. 49. 三倍角公式 3 sin 33sin 4sin 4sin sin( )sin( )3 3 π π θθθθθθ=-=-+. - 7 - 3 cos 34cos 3cos 4cos cos( )cos( )3 3 π π θθθθθθ=-=-+.3 2 3tan tan tan 3tan tan( )tan( )13tan 3 3 θθππθθθθθ -= =-+-. 50.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π ω = ；函数t a n () y x ω? =+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω =. 51.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = =. 52.余弦定理 2 2 2 2cos a b c bc A =+-; 2 2 2 2cos b c a ca B =+-; 2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 53.面积定理 （1）111222 a b c S ah bh ch == = （a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111 sin sin sin 2 22 S ab C bc A ca B = == . (3)O A B S ?= 54.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+ 2 2 2 C A B π +? = - 222()C A B π?=-+. 55. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=?=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=?=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=?=+∈∈. 特别地,有 sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=?=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=?=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=?=+∈. 56.最简单的三角不等式及其解集 sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤?∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤?∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈++-∈. tan ()(arctan ,),2 x a a R x k a k k Z π ππ>∈?∈++ ∈. tan ()(,arctan ),2 x a a R x k k a k Z π ππ<∈?∈- +∈. 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. - 8 - 59.平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2． 不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=-- . (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式 cos θ= (a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). 64.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB = = 11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 66.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12P P PP λ= ，则 121 211x x x y y y λλ λλ+?=??+? +?=?+? ?121O P O P O P λλ+=+ ?12(1)OP tOP t OP =+- （1 1t λ = +）. 67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123 123 ( , )3 3 x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式 ''' ' x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-????'' O P O P P P ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ， 且' PP 的坐标为(,)h k . 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点' (,)P x h y k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象' C ,则' C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象' C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则' C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象' C ,则' C 的方程 - 9 - 为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O 为A B C ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为A B C ?的外心222 O A O B O C ?== . （2）O 为A B C ?的重心0OA OB OC ?++= . （3）O 为A B C ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=? . （4）O 为A B C ?的内心0aOA bOB cOC ?++= . （5）O 为A B C ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+ . 71.常用不等式： （1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈ ? 2 a b +≥ (当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式 22222 ()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理 已知y x ,都是正数，则有 （1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值 2 4 1s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2 2 +-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x < 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或. 74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 2 2 x a x a a x a 22 x a x a x a >?>?>或x a <-. 75.无理不等式 （1 ()0()0()()f x g x f x g x ≥?? >?≥??>? . （2 2 ()0 ()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥?? >?≥?? ? 或. （3 2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥?? ?? . 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时, () () ()()f x g x a a f x g x >?>; - 10 - ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? . (2)当01a <<时, () () ()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 77.斜率公式 2 1 21 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 78.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --= --(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2 都不为零, ①111122 2 2 ||A B C l l A B C ? =≠； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 80.夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan | |A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π . 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-= +. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan A B A B A A B B α-= +. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是 2 π . 82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为 00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点 - 11 - 000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系 数． (2) 共点 直线系方程：经过两直线 1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为 111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是 0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 83.点到直线的距离 || Ax By C d ++= 点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域 设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ=+??=+? . （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程 (1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是 1212112112()()()()[()()()()]0 x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0 x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中 0a x b y c ++=是直线A B 的方程,λ是待定的系数． (2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系 数． (3) 过圆1C :22 1110x y D x E y F ++++=与圆 2 C : 22 2220 x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是 2 2 2 2 111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系 数． 88.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 89.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: - 12 - 0相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中2 2 B A C Bb Aa d +++=. 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d . 91.圆的切线方程 (1)已知圆2 2 0x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000() () 02 2 D x x E y y x x y y F ++++ + +=. 当00(,)x y 圆外时, 0000() () 02 2 D x x E y y x x y y F ++++ + +=表示 过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222 x y r +=． ①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±. 92.椭圆 22221(0)x y a b a b + =>>的参数方程是cos sin x a y b θ θ=?? =? . 93.椭圆 222 2 1(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(2 1c a x e PF + =，)( 2 2x c a e PF -=. 94．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆222 2 1(0)x y a b a b + =>>的外部22 2 2 1x y a b ? + >. 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. （2）过椭圆222 2 1(0)x y a b a b + =>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点 弦方程是 002 2 1x x y y a b + =. （3）椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是 2 2 2 2 2 A a B b c +=. - 13 - 96.双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 2 1|()|a PF e x c =+，2 2|( )|a PF e x c =-. 97.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>的内部 22 002 2 1x y a b ? - >. (2)点00(,)P x y 在双曲线222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>的外部 22 2 2 1x y a b ? - <. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12 22 2=- b y a x ?渐近线方程： 222 2 0x y a b - =?x a b y ± =. (2)若渐近线方程为x a b y ±=? 0=± b y a x ?双曲线可设为 λ=- 2 22 2b y a x . (3)若双曲线与 12 22 2=-b y a x 有公共渐近线，可设为 λ=- 2 22 2b y a x （0>λ， 焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. （2）过双曲线 222 2 1(0,0)x y a b a b - =>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的 切点弦方程是 002 2 1x x y y a b - =. （3）双曲线 2222 1(0,0)x y a b a b - =>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 2 2 2 2 2 A a B b c -=. 100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02 p C F x =+ . 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+ ++ =21212 2 . 101.抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2( 2 y p y 或或)2,2(2 pt pt P P (,)x y ，其中 2 2y px = . 102.二次函数2 2 2 4()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=+ + (0)a ≠的图象是 抛物线：（1）顶点坐标为2 4(, )24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为 2 41 (, )24b ac b a a -+- ；（3）准线方程是2 41 4ac b y a --= . - 14 - 103.抛物线的内外部 (1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)y px p =>的外部2 2(0)y px p ?>>. (2)点 00(,) P x y 在抛物线 2 2(0 )y p x p = ->的内部2 2(0) y p x p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)y px p =->的外部2 2(0)y px p ?>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =>的内部2 2(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ?>>. (4) 点 00(,) P x y 在抛物线 2 2(0) x py p =>的内部2 2(0 ) x p y p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =->的外部2 2(0)x py p ?>->. 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00()y y p x x =+. （3）抛物线2 2(0)y p x p =>与直线0A x B y C ++=相切的条件是 2 2p B A C =. 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是 12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 2 2 2 2 1x y a k b k + =--,其中 2 2 max{,} k a b <.当 22 m in{,} k a b >时,表示椭圆; 当 2 22 2 m in{,}m ax{,}a b k a b <<时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =或 1212||||AB x x y y = =-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消去y 得到 02 =++c bx ax ，0?>,α为直线A B 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0 F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 2 2 2 2 2() 2() (,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++- - =++. 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220Ax Bxy C y D x Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用 00 2 x y xy +代xy ，用 02 x x +代x ，用 02 y y +代y 即得方程 00 000002 2 2 x y xy x x y y A x x B C y y D E F ++++? ++? +?+=，曲线的切线， 切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； - 15 - （3）转化为面面平行. 111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a =λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?A = ?(1O P t O A t O B =-+ . ||AB CD ?AB 、CD 共线且A B C D 、不共线?A B t C D = 且A B C D 、不共线. 118.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使 p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使 M P x M A y M B =+ ， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使O P O M x M A y M B =++ . 119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足 O P x O A y O B z = ++ （x y z k ++=） ，则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四 点共面；若O ?平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面． C A B 、、、 D 四点共面?AD 与AB 、A C 共面 ?A D x A B =+ ? (1)O D x y O A xO B yO C =--++ （O ?平面ABC ）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ． 推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使O P xO A yO B zO C =++ . 121.射影公式 已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射 影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则 ' ' ||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233 (,,)a b a b a b +++； - 16 - (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =- = 212121(,,)x x y y z z ---. 124．空间的线线平行或垂直 设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r ，则 a b r r P ?(0)a b b λ=≠r r r r ?12 121 2x x y y z z λλλ=?? =??=?； a b ⊥r r ?0a b ?=r r ?1212120x x y y z z ++=. 125.夹角公式 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉 . 推论 2222222 112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西 不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体A B C D 中, A C 与B D 所成的角为θ,则 2 2 2 2 |()()| cos 2AB CD BC DA AC BD θ+-+= ?. 127．异面直线所成角 cos |cos ,|a b θ=r r =|||||| a b a b ?=?r r r r （其中θ（090θ<≤o o ）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线A B 与平面所成角 sin |||| AB m arc AB m β?= (m 为平面α的法向量). 129.若A B C ?所在平面若β与过若A B 的平面α成的角θ,另两边 A C , B C 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为A B C ?的两个内角，则 2 2 2 2 2 12sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+. 特别地,当90ACB ∠= 时,有 222 12sin sin sin θθθ+=. 130.若A B C ?所在平面若β与过若A B 的平面α成的角θ,另两边 A C , B C 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为A B O ?的两个内角，则 2 2 2 ' 2 ' 2 12tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠= 时,有 222 12sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ?= 或cos |||| m n arc m n π?- （m ，n 为平面α，β的法向 量）. 132.三余弦定理 设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则 12cos cos cos θθθ=. - 17 - 133. 三射线定理 若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1 θ,2 θ,与二面角的棱所成的角是θ ，则有 2 2 22 1 21 2 s i n s i n s i n s i n 2s i n s i n c o s ?θθθθθ?=+- ; 1212||180()θθ?θθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d =||AB = = . 135.点Q 到直线l 距离 h = 点P 在直线l 上， 直线l 的方向向量a =PA ，向量b =P Q ). 136.异面直线间的距离 || || C D n d n ?= (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 137.点B 到平面α的距离 || || A B n d n ?= （n 为平面α的法向量，A B 是经过面α的一条斜线， A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式 d = d = d =' E AA F ?=--）. (两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,A F n =,E F d =). 139.三个向量和的平方公式 2222 ()222a b c a b c a b b c c a ++=+++?+?+? 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++?+?+? 140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有 2 2 2 2 123 l l l l =++222 123cos cos cos 1 θθθ?++=2 2 2 123sin sin sin 2θθθ?++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 ' cos S S θ = . (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角 的为θ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则 ①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱. 143．作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应 - 18 - 边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式) 2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F). （1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF = ； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系： 12 E m V = . 146.球的半径是R ，则 其体积3 43 V R π= , 其表面积24S R π=． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12 , 4 . 148．柱体、锥体的体积 13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13 V Sh = 锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）. 149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? . 151.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n = ！ ！ )(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 152.排列恒等式 (1）1(1)m m n n A n m A -=-+; （2）1m m n n n A A n m -= -; （3）1 1m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）1 1m m m n n n A A m A -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 153.组合数公式 m n C = m n m m A A = m m n n n ???+-- 21) 1()1(= ！ ！！ )(m n m n -?(n ∈N * ，m N ∈，且 m n ≤). 154.组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1+. 注:规定10 =n C . 155.组合恒等式 - 19 - （1）11 m m n n n m C C m --+= ; （2）1m m n n n C C n m -=-; （3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=n r r n C 0 =n 2; （5）11 2 1 ++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)1 4205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1 3212 32-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22 2 22 12 )()()()(=++++ . 156.排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 157．单条件排列 以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有1 1---m n m n A A （补集思想）1 1 1 1 ---=m n n A A （着眼位置）11 11 1 ----+=m n m m n A A A （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11 +-+-种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种. （3）两组元素各相同的插空 m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有 n m n n n m C A A 11++=种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同 的排列数为n n m C +. 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N ) !()!(22= ?????=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序 的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N ) !(!)!(! ...22= ????= --. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有 ! !...!!!!...21211m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m = ??=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…， - 20 - m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有 !... !!! ...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ??= - 12!! !!...!(!!!...) m p m n n n a b c = . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有! !...!!21m n n n p N = . （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...) !!(!!...!! 21c b a n n n p N m = . （7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 ! !...!! (2121) 1 m n n n n p n p n n n p C C C N m m = ?=-. 159．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为 1111()![ (1) ]2!3!4! ! n f n n n =-+-+- . 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总 数为 1234 (,)!(1)!(2)!(3)!(4)! (1)()!(1)()! m m m m p p m m m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++-- 1 2 3 4 12 2 4 ![1(1) (1) ] p m p m m m m m m m p m n n n n n n C C C C C C n A A A A A A =- + - + -+-++- . 160．不定方程2n x x x m = 1+++的解的个数 (1)方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的正整数解有11 m n C --个. (2) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 11 n m n C +--个. (3) 方程2n x x x m = 1+++（ ,n m N * ∈）满足条件 i x k ≥(k N * ∈,21i n ≤≤-)的非负整数解有1 1 (2)(1)m n n k C +----个. (4) 方程2n x x x m = 1+++（ ,n m N * ∈）满足条件i x k ≤( k N * ∈, 21 i n ≤≤-)的 正 整 数 解 有 12222321(2)1 1 1 2 1 2 2 1 (1) n m n m n k n m n k n m n k n n n n n n C C C C C C C +--+---+---+---------+-+- 个. 161.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 2 2 21 10) ( ; 二项展开式的通项公式 r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 162.等可能性事件的概率 ()m P A n = . 163.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 164.n 个互斥事件分别发生的概率的和 高中数学公式大全（必备版） 高中数学公式大全（必备版） 篇一 篇二 篇三 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变)，然后在前面加上把α看成锐 高中物理备课组工作总结 物理备课组由7人组成,一学期来,在校教务处和教科研室的直接领导下、在年级组各班主任的配合下,团结协作充分发挥备课组的教学研究和集体备课功能。使高中物理教学质量继续提高。 团结协作相互尊重、不断切磋是我们备课组活动的一大特色。全组教师没有发生过教学及管理之外的任何口角。而在有关业务上、物理问题上则又充分“争鸣”有些具体物理问题之争从个别探讨到小组讨论,十分活跃。虽然三个人因工作之需在三处办公,但每个工作日都在相互沟通,积极、认真地参与和支持备课组的全部活动,使备课组活动正常、有序、和谐、卓有成效地展开。关于如何上好复习课、如何上好实验课,老师们不仅在每周的备课组活动上讨论,在其他时间这种探讨也时常进行,正是这样,才使得十个班级齐头并进、整体水平不断提高。 紧张有序、步调一致、科研领先是我们备课组工作的另一特色。组内老师虽然工作繁杂,但从不在业务上有任何疏忽。从备课,写教案到练习作业的批改都能一板一眼地做好。并始终积极参加备课组活动,紧张的工作,学校、教务处及教研组、备课组布置的工作。我们备课组无一拖拉、补差、提高、竞赛、阅卷等学校统一布置的工作,百分之百的按时完成,即使有时出现反复,加班加点也不落后。教学进度,重点难点突破,练习、测验等主要工作全组步调一致。研究课、公开课、教科研论文、业务进修等件件工作积极参与,无一空白。 向40分钟要质量,不搞题海战是我们备课组工作的又一特色。题海战的做法目前还未灭迹,我们以往也有过教训,一年来我们坚持不断提高学生学习积极性,保护高一学生学习的积极性,坚决不搞破坏学生学习积极性的题海战。精选练习,加强概念和方法的复习上的教学研讨。向4 0分钟要质量,不搞临阵磨枪。如最近我们反复讨论、决定在期末考试前的两周内只印发两套练习供学生复习用。而复习课还是坚持复习基本概念、基本方法的复习上。一年来我们一直坚持这样做,事实证明,做对了,今后我们还会在教务处的指导下,坚持向40分钟要质量,不搞题海战。 备课组活动对年级学科教学质量起着十分重要的作用,备课组是发挥集体优势的最小但又是最基本的团体,它能在第一时间内发现问题并解决问题,实实在在地进行学科教科研活动。目前我们备课组尚需在以往层面上深入展开教科研、更深入开展突破教学难点方面的交流、研究。我们坚信,抓好备课组活动是提高教学质量的基本工作。 高考数学常用公式及结论200条 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 2011高二物理备课组工作总结 2011高二物理备课组工作总结 教学工作总结 本备课小组这个学期开展了的工作如下： 一、认真备课，完善集体备课制度。为了发挥集体的力量和智慧，我们尽量能够具体备课，遇到一些难题时大家能一起讨论，找到一种比较好的解决方法。各位任课教师再根据自己 所教学生情况，适当增减，形成自己的教案。备课组活动做到“三定”、“四备”和“五统一”，即定时间、定内容、定中心发言人；备教材、备学生、备教法、备学法；统一教学进度、统一目的要求、统一重点难点、统一作业练习、统一测验考试。由于使用新教材备课组加强对教材、教法、学法以及练习的研究，以便尽快适应新教材。备课组抓好每次集体备课的质量，落实好备课的专题，有效地把备课内容转化到教学实践中。备课组这一个学期以来，每周都定期召开备课组活动。大家坐在一起，认真讨论教学教法，分享前一段时间的 教学体会，拟定后一段时间的教学进度，对一些难点问题提出来，大家一起讨论，找到解 决问题的办法。大家还在一起研究教材，理解教学大纲，使每一节课的教学目标明确，还讨论一些比较好的教学方法，尽量使每一位同学都有兴趣地去学习。具体安排如下: 第3-第6周第八章动量主备：翟璠 第7-第9周第九章机械振动主备：张敬岗 第10-第13周第十章机械波主备：赵彩清 第14-第15周第十一章分子热运动能量守恒主备：翟璠 第16-第19周第十二章电场主备：张敬岗 第20-第22周第十三章欧姆定律主备：赵彩清 二、积极做好资料、信息收集工作。我们手头上有关新教材的复习资料少，有关新高考的 信息不多，所以注意到了收集、积累，用以或指导或补充我们的高二的学习。大家分工去 收集和查找资料，然后整理出一些练习再印发给学生去做。学生只有多做练习，成绩才会 有所提高，才能取得教好的教学效果。 三、加强课题研究，提高教师的教学水平。我们高二物理备课组，本学期开展新课程改革 教学研究课题，课堂教学模式的构建与实践，指导物理学习方法，培养学生学习能力的研究，进一步完善研究内容，做到分工明确，责任到人，保证研究质量。提高研究效益，并 做好课题的总结工作，在认真总结的基础上推广研究成果。为了新教材的素材资料，我们 高二备课组在每测验一章知识后都及时把试题上传到本年级的课件收集文件夹中，每个科 任教师每上完一节课要把使用过的物理课件和物理图片等有关的新教材素材，都及时上传 到本年级课件收集文件夹内自己设立的个人文件夹中。 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 7.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a a M M N N -=(0.1,0,0)a a M N >≠>> 高中数学常用公式汇总及结论 1 、元素与集合的关 系： 2 、集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 3 、二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式： (2) 顶点式：（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式） (3)零点式：（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式） （4）切线式：。（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时， 设为此式） 4、真值表：同真且真，同假或假 5 、常见结论的否定形式; 6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 充要条件： (1) 则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件； （2）且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件；（4）p ≠> p ，且则P是q的既不充分又不必要条件。 7、函数单调性: 增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。 （2）数学符号表述是：设f（x）在上有定义，若对任意的，都有成立， 则就叫在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有 成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性： 等价关系： (1)设，那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数. 8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。 高中物理教研组工作总结 高一物理从知识体系到学习方法都与高中物理有较大的差别。许多学生在学习时都会有一定的困难，因而是学生易产生分化的一个阶段。因此，教学中我注意研究高中物理的知识特点和学习方法，加强学生学习习惯与思维方法的培养，其中提高学生学习物理的兴趣,是提高高一物理教学质量的关键。了解高一物理学习中存在以下几个难点： 1、大量的概念。 2、教学的难度加大。主要表现在教学函数关系的复杂化、图像的运用等。 3、空间关系的建立,在高中只有一维的问题，高中出现平面问题甚至立体问题。 ４、概念和规律较高中更具复杂性，如曲线运动的速度等。 那么，如何克服这些难点呢？ 首先，要把握好进度,勿图快,尤其在以上几个难点的教学中要把握好进度。第二，重在理解，切勿死记硬背。在高中物理学习中,需要记忆的东西不是很多。必要的物理概念和常数需记忆，而大多数物理知识应在理解的基础上记忆，切勿死记硬背。第三，在教学中,加强观察与实验，教师一定要把物理现象总结、归纳的过程讲清楚，不要草率地给出结论，要使学生体会到物理学是注重讲道理的科学。最后，在教学中不要随意 增加难度。如例题和习题的选择要慎重，应符合学生的实际。对成绩非常好的学生,可选择一些超前性的习题,而对大多数学 生来讲，在高一阶段的习题仍然是对概念的理解和简单的应用。切忌总是将综合性题目拿给学生,更不要把高考的试题拿给学生，那样结果只会适得其反。 物理教学，原本就有教师的教和学生的学两个方面,所以我 们不仅应重视对教师教法的研究，更应重视对改善学生学法的探讨。那种把教学方法只理解为教师的教法和只重视教法研究,而忽视对指导学生学法的探索的现象，对于开发学生智力,培 养学生能力,提高物理教学质量,是极为不利的。物理教学过程，不仅是传授知识技能的过程,而且也是教会学生如何学习物理 的过程。学生学习物理效率的高低，成绩的好坏，在很大程度上又取决于学习方法的是否科学。物理教师教学的最终落脚点,也只能是学生的“学会”和“会学”上面。所以我我们在研究教师 教法的同时,要认真探索学生的学法。 一、在设计教法的同时设计学法 备课的实质，就是一种教法设计。所以从教材的实际和学 生的实际出发，抓住其特点,在备知识、备教法的同时，也备 学生的学法，在设计教法的同时也设计学法，是非常重要的。不同的章节、不同的教材内容，都有其自身的特点,教师在教 法上往往采取不同的形式，同时也要考虑在这种教法下,学生 高中物理工作总结 一年的教学工作已经过去，对我来说是反面而收获良多，我在各方面有一定的工作压力，于是我调整心态，适用学校的一切。本学期我担高一和二的物理教学工作，一年来，本人以学校及各组工作计划为指导；以加强师德师风建设，提高师德水平为重点，以提高教育教学成绩为中心，认真履行岗位职责，较好地完成了工作目标任务，从而提高自己的教学水平和思想觉悟，回顾这一年，忙碌而又充实，付出了，也成熟了。现将本学年的工作做一个小结，总结过去，展望未来。 一、教学工作 在教学工作中，我认真备课、上课、经常听老教师的课、和他们一起评课，做好课后辅导工作，努力形成比较完整的知识结构，多挖掘教材，多思索教法，多研究学生。平时上课严格要求学生，尊重学生，发扬教学民主，使学生学有所得，不断提高自己的教学水平和思想觉悟，顺利的完成了教育教学任务。 备课深入细致，力求深入理解教材，准确把握难重点。在制定教学目标时，非常注意学生的实际情况。请教老教师，教案编写认真，并不断归纳总结经验教训。在教学中注意抓住重点，突破难点，借助多媒体完成教学任务。 在作业批改上，认真及时，力求做到全批全改，重在订正，及时了解学生的学习情况，以便在辅导中做到有的放矢。 同时还加强学生良好学习习惯的培养：1、独立思考是学好知识的前提。学习物理要重在理解，只是教师讲解，而学生没有经过独立思考，就不可能很好地消化所学知识，不可能真正想清其中的道理掌握它，独立思考是理解和掌握知识的必要条件。2、培养学生自学能力，使其具有终身学习的能力。阅读是提高自学能力的重要途径，能提出问题并设法解决。 3、培养学生养成先预习再听课，先复习再作业，及时归纳作总结的良好学习习惯。一章学完主动地整理所学知识，找出知识结构，形成知识网络。要指导学生课后及时归纳总结。 4、强调科学记忆，反对死记硬背。 现在学生不重视知识的记忆，或是什么都不记，或是死记硬背，许多学生到了高三才发现高一、高二时学的知识没有记忆造成的困难。所以，要要求学生重视记忆，尤其是对基本概念和基本规律的记忆；要引导学生科学的记忆。准确的记忆是正确应用的基础，理解是物理记忆的关键，对比联系是记忆的有效方法，将所学知识与该知识应用的条件结合起来，形成条件化记忆才能有效地用来创造性地解决问题。要指导学生深入理解概念和规律的物理意义，明确其本质，在此基础上，将易混的概念和规律放在一起加以比较，找出区别和联系，再行记忆。当掌握了一定量的知识后，要进行整理，把零散的孤立的知识联系起来，形成一定的知识结构，形成一定的物理思维过程。 二、处理好个人与同事和学校的关系 教师是学校长盛不衰的人力资源。我认为学是为了用，学为了自己的发展，学也是为学校的发展。学习是为了自己更好的工作。学校的发展离不开教师个人的发展，而我个人发展又离不开学校。 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 高中物理教研组工作总结 本学期物理教研组在学校教务处、教研室的直接领导和物理组全体成员的共同努力下，结合本校实际，以新教学理念为指导，以课堂教学为中心，以课题研究为主线，以教研为动力，以课堂为立足点，坚决投入到课改中去，狠抓教学常规工作及青年教师培养工作的落实，并积极开展课题研究，圆满完成了本学期的教学、教研工作，取得了显著的成绩。现总结如下： 1．加强教师队伍建设，提高物理教师的理论素养 （1）开学初组织教师学习了新课标的基本理念，以新的教学理念武装头脑，全面提高本组教师的理论素养。 （2）组织全体教师学习新的《物理课程标准》以及课程改革的有关材料，把握新时期物理教学目标与重点，学习新教法，力求我们的教学活动更具成效，取得了显著的成绩。 （3）组织教师开展学习心得体会交流会，互相交流，互相学习，并积极撰写教学论文和教学案例反思，6篇论文获得市一、二等奖并收入汇编，还有多篇论文、教学案例与反思参加学校汇编。 （4）认真组织教师参加远程培训，所有教师都积极地完成规定学时，成绩至少合格。 2．加强了教研组备课组的建设，各项活动有序地进行 （1）严格按照开学时的工作计划，落实教研活动制度，每周进行一次教研活动，并做了详细的安排，真正做到了教研活动有计划、有内容、定时间、定地点。 （2）完善备课组集体备课活动，提高了各备课组的教研质量。集体备课做到了“四统一”（统一进度、教案、练习、测试），加强各组之间的交流、听课、评课等活动，相互学习，相互促进。高一级备课组在这一方面做得非常出色。 （3）认真成功组织了本组的教学公开周活动，陈飞腾老师开了示范课，罗智强、李萍杰、宋锡海、余赛红四位老师分别开了公开课，全组老师积极参与听课、评课，使全组教师得到了很好的学习和锻炼的机会。 3．新课标的理念应用于实际教学中，切实提高了课堂教学效率 （1）学期初组织教师学习教材教法，认真进行教材分析，熟悉各年级知识体系及教学目标、教学要求。 （2）全面进行课堂教学模式改革，实施启发式、讨论式教学模式，提高了学生的领悟能力和学习能力。 （3）教学过程中重视知识的形成过程的教学和情境教学，采用探究式教学模式，提高了学生学习物理的兴趣及实践能力。 高中物理教研组工作总结范文工作总结 高中物理教研组在校长室、教务处、年级段等部门的支持和帮 助下，通过全体组员的共同努力，正视当前我校生源的变化，立足常规，突出创新，圆满地完成学期工作各项任务，现简要总结如下： 根据教务处的学期工作计划，高中物理组在开学初对本学期教 研组工作要点进行分工负责。对本学期必须完成的教研活动，如学生学情分析、拓展性选修课程开发、课堂教学目标校本化、学考化等等，在组内都进行分工，责任到人，在有具体人员负责的情况下进行组内合作，这种分工基础上的合作模式即能有效完成任务，同时大幅提高工作成效。其中最为突出的是“课堂教学目标校本化”，开学初这项任务分配给高一段负责，高一段的物理老师，对今年的浙江省高中物理学业水平考试试题、浙江省普通高中学业水平考试标准以及学科教学指导意见进行认真分析，对学考命题方向、难度分配以及知识点分布等等进行认真解读，在充分掌握学考各项事宜的基础上，主持开展了三次集体学习与研讨，最终确定物理课堂教学的校本化目标。 近年来，学校的招生政策几经变化，课堂教学变革成为一个永 恒的主题，学生年年都在变，尤其是最近一两年，学生的知识基础、兴趣爱好、学习习惯等等都发生了巨大的变化，我们教师的教学方法与模式也必须要发生相应的变革。高中物理组对这一点早已达成共识，教研活动中的一大主题便是“校本化”，包括“学科指导意见校本化”、 “作业校本化”和“课时安排校本化”等等，力求使我们的物理教学符合我校学生的学习需要。 物理实验是教学中补充学生感性材料不足的重要手段，当前我校学生以艺术特长生为主，逻辑推导能力不是艺术生的优点，他们理解每一个新的物理过程都需要大量的感性材料，仅仅靠教材上提供的实验远远不能满足我校艺术生的学习需要，因此，教师创新研制新的物理实验对提高课堂教学效率具有特殊意义。经过物理组全体老师的商议，决定将物理实验的改进与创新设计作为本学期的工作重点，一学期来，物理组全体教师根据学生的学习需要，通过各种渠道改进与创新设计了多款物理实验器材，有效地缓解了实验室器材不足，大大提高了物理课堂教学效率。 随着我国教育教学改革的快速推进，青少年的知识与能力不断提高，我们高中物理组必须紧跟素质教育发展的步伐，扎实基础，努力创新，不断提高自身的专业素养与服务水平。 模板,内容仅供参考 MBA 数学常用公式 初等数学 一、初等代数 1. 乘法公式与因式分解： （1） 222 )2a b a ab b ±=±+（ （2） 2222)222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（ （3）22()()a b a b a b -=-+ （4） 33223)33a b a a b ab b ±=±+±（ （5）3322()()a b a b a ab b ±=±+ 2. 指数 （1）m n m n a a a +?= （2）m n m n a a a -÷= （3）()m n mn a a = （4）()m m m ab a b = （5）()m m m a a b b = （6）1m m a a -= 3. 对数（log ,0,1a N a a >≠） （1）对数恒等式 log a N N a =，更常用ln N N e = （2）log ()log log a a a MN M N =+ （3）log ()log log a a a M M N N =- （4）log ()log n a a M n M = （5 ）1log log a a M n = （6）换底公式log log log b a b M M a = （7）log 10a =，log 1a a = 4.排列、组合与二项式定理 （1）排列 (1)(2)[(1)]m n P n n n n m =--???-- （2）全排列 (1)(2)321! n n P n n n n =--?????= l O b b a A C （3）组合 (1)(2)[(1)] ! !!()!m n n n n n m n C m m n m --???--==- 组合的性质： （1）m n m n n C C -= （2）1 11m m m n n n C C C ---=+ （3）二项式定理 01111n n n n n n n n n n C a C a b L C ab C b ---=++++n （a+b) ● 展开式特征： 1）11,0,1,...,k n k k k n k T C a b k n -++==通项公式：第项为 2）1n +项数：展开总共项 3）指数： 1100;a n b n ???→???→逐渐减逐渐加的指数：由； 的指数：由各项a 与b 的指数之和为n 4）展开式的最大系数： 212132n n n n C n C +++n 当n 为偶数时，则中间项（第项）系数最大 2n+1当n 为奇数时，则中间两项（第和项）系数最大。 2 ● 展开式系数之间的关系 1）n r n C -=r n C ，即与首末等距的两相系数相等。 1 2.2n n n n n C C C ++=），即展开式各项系数之和为2n 0241 35 132,n n n n n n n C C C C C C -++=++=）即奇数项系数和等于偶数项系数和 二、平面几何 1. 图形面积 （1）任意三角形 11sin 22S bh ab C == (2)平行四边形：sin S bh ab ?== (3)梯形：S ＝中位线×高＝1 2（上底＋下底）×高 （4）扇形： 21 1 22S rl r θ== 弧长 l r θ= 高中数学常用公式及知识 点总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 高中数学常用公式及知识点总结 一、集合 1、N 表示N+(或N*)表示Z 表示 R 表示Q 表示C 表示 2、含有n 个元素的集合，其子集有个，真子集有个，非空子集 有个，非空真子集有个。 二、基本初等函数 1、指数幂的运算法则 m n a a =m n a a ÷=()m n a =()m a b = n m a =m a -=()m ab = 2、对数运算法则及换底公式（01a a >≠且，M>0,N>0） log log a a M N +=log log a a M N -=log n a M = log a N a =log a b =log a a = log log a a a b =1log a = 3、对数与指数互化：log a M N =? 4、基本初等函数图像 （3）幂函数的图像和性质 三、函数的性质 1、奇偶性 （1）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=，则()f x 为函数，图像关于对称； （2）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=-，则()f x 为函数，图像关于对称； 2、单调性 设1122,[,],x a b x x x <∈，那么 12()()0()[,]f f f x x a b x --） 12()()0()[,]f f f x x a b x ->?在上是函数。（即 1212 ()() 0f x f x x x -<-） 3、周期性 对于定义域内任意的x ，都有()()f x T f x +=，则()f x 的周期为； 对于定义域内任意的x ，都有1 () ()()()f x f x T f x +=-或 ，则()f x 的周期为； 四、函数的导数及其应用 1、函数()y f x = 在点0x 处的导数的几何意义 高中物理组工作总结 2019-07-16 本学期，物理组紧紧围绕开学初制订的工作计划，围绕学校总体要求和教务处的具体布置，有条不紊地开展工作。认真落实两纲教育，提高课堂教学的质量，抓落实，抓深化，抓课堂教学的常态管理，各项工作都能按照学校的要求认真完成，并取得了一定的成效。 1．业务学习 本组成员，积极主动地参加区教研室组织的各次活动，特别是有关二期课改的业务培训，走出校门，学习二期课改的新理念，适应二期课改的新变化，并落实到自己的教育教学实践中。组内活动、备课组活动频繁，在相互交谈，相互学习、积极讨论的气氛中进一步提高了教师们的业务能力。 2．课堂教学与研讨 高一、高二年级仍处在新教材的摸索中，高三年级围绕高考抓质量，教学任务都很艰巨。组内老师不仅能积极参与组内工作的研讨，还能主动承担公开课的研讨。高一年级师冠华老师的区级公开课“平均速度”，高三年级牛月华老师的“带电粒子在匀强电场中的偏转”，在“落实两纲提高课堂教学有效性”展示活动中，姚广全老师的“匀速圆周运动的实例分析”，陈宏老师的“超重和失重”，刘力华老师的“电路的研究”，曹慧莉老师的“物理模型的建立”，四节课都得到了好评。作为七校联合体的成员，成功地组织了以我校物理组为主的物理教学研讨活动，交流了高三第一轮复习的内容和第二第三轮复习的设想。 3．竞赛 本学期，高一高二年级都处于竞赛前的准备阶段，高三年级在上海市物理竞赛中有多人次获奖，在全国中学生物理竞赛中，获得二个二等奖，一个三等奖，取得了巨大的收获。 4．学案研究与课题研究 根据学校工作的布置，导学讲义学案功能的研究，结合我组全国“十一五”子课题“在高中物理课堂中学习方法指导的'有效性研究”的需要，“聚焦课堂教学，提高教学质量”，高一高二年级在新课教学中，全面、系统地落实了导学讲义制度，高三年级的导学讲义主要落实在第二轮的专题复习中。 主要工作是：老师们提高了思想认识，达成共识，撰写导学讲义形成了制度化。由各备课组长负责各自年级的具体工作，落实到每一位老师，落实到每一个单元、每一节课，落实到每一份学案中。由高级教师、骨干教师主备，提 高中物理组工作总结 本学期，物理组紧紧围绕开学初制订的工作计划，围绕学校总体要求和教务处的具体布置，有条不紊地开展工作。认真落实两纲教育，提高课堂教学的质量，抓落实，抓深化，抓课堂教学的常态管理，各项工作都能按照学校的要求认真完成，并取得了一定的成效。 本组成员，积极主动地参加区教研室组织的各次活动，特别是有关二期课改的业务培训，走出校门，学习二期课改的新理念，适应二期课改的新变化，并落实到自己的教育教学实践中。组内活动、备课组活动频繁，在相互交谈，相互学习、积极讨论的气氛中进一步提高了教师们的业务能力。 高一、高二年级仍处在新教材的摸索中，高三年级围绕高考抓质量，教学任务都很艰巨。组内老师不仅能积极参与组内工作的研讨，还能主动承担公开课的研讨。高一年级师冠华老师的区级公开课“平均速度”，高三年级牛月华老师的“带电粒子在匀强电场中的偏转”，在“落实两纲提高课堂教学有效性”展示活动中，姚广全老师的“匀速圆周运动的实例分析”，陈宏老师的“超重和失重”，刘力华老师的“电路的研究”，曹慧莉老师的“物理模型的建立”，四节课都得到了好评。作为七校联合体的成员，成功地组织了以我校物理组为主的物理教学研讨活动，交流了高三第一轮复习的内容和第二第三轮复习的设想。 本学期，高一高二年级都处于竞赛前的准备阶段，高三年级在上海市物理竞赛中有多人次获奖，在全国中学生物理竞赛中，获得二个二等奖，一个三等奖，取得了巨大的收获。 根据学校工作的布置，导学讲义学案功能的研究，结合我组全国“十一五”子课题“在高中物理课堂中学习方法指导的有效性研究”的需要，“聚焦课堂教学，提高教学质量”，高一高二年级在新课教学中，全面、系统地落实了导学讲义制度，高三年级的导学讲义主要落实在第二轮的专题复习中。 主要工作是：老师们提高了思想认识，达成共识，撰写导学讲义形成了制度化。由各备课组长负责各自年级的具体工作，落实到每一位老师，落实到每一个单元、每一节课，落实到每一份学案中。由高级教师、骨干教师主备，提前拿出讨论稿，备课组内交流讨论，完善后再交付学生使用。从具体操作情况看，取得了一定的成效，有利于推动学生的学习，也有利于教师教学水平的提高。 一个学期的摸索，仍感到有许多值得思考的问题：哪一种模式更优化？学案设计时，安排哪些内容？达到怎样的深度难度？等等，需要及时做归纳和总结，这也是下学期的工作重点之一。 【高中数学常用公式】 说明： 1.本篇所有公式都是用公式编辑器录入。 2.域的概念:本篇的公式都是通过域来实现的，一个{ }就是一个域，在大括号内输入所需的功能代码后按Shift+F9即可得到公式。 3.快捷键 Ctrl+F9添加域 Shift+F9更新域（得到公式） 4.可对所有公式进行复制、粘贴、修改。双击即可在公式编辑器中进行编辑。如不能编辑请安装最新版的公式编辑器。 5.可收藏备用，绝对高效。 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21高中数学公式大全(必备版)
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