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高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

2012.3.26

4.公式： 1.两实数大小的比较

??<-?<=-?=>-?>0b a b a 0b a b a 0

b a b a 一. 不等式(精简版）

3.基本不等式定理

????

???????

?????????????????-≤+?<≥+?>≥+

???

????+≤+≥+??

????????

?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1

a 0a 2a 1a 0a

b ,a (2b a

a b )b a (2b a ab 2

b a 2b a ab 2b a ab )b a (2

1b a ab 2b a 2

22222

222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形

式1122a b a b --+≤≤≤

+2.不等式的性质：8条性质.

3.解不等式

(1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式：

???

?<<

≠>)0a (b

x )0a (a b

x )0a (b ax

一元二次不等式的求解流程：

一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：

高次不等式：

(4)解含参数的不等式：（1）

(x – 2)(ax – 2)>0

（2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0；

（3）2x 2 +ax +2 > 0；

注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：

1、讨论a 与0的大小；

2、讨论⊿与0的大小；

3、讨论两根的大小；

二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；

2、数形结合的思想；

3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题：

??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0)

x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )

x (f 0

)())((21>---n a x a x a x

???

??用图象

分离参数后用最值函数、、、3

例1．已知关于x 的不等式

在(–2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围．例2．关于x 的不等式

对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.

20,31

x a x x >≤++恒成立，

例3.若对任意

则的取值范围.

22(3)210x a x a +-+-<)

1(log 22++-=ax ax y

二次方程根的分布问题的讨论：

()

f k

1．x1< x2< k

()0

f k

2．k < x1< x

()0

f k< 3．x1< k < x2

4． k 1 < x 1 < x 2 < k 2 5． x 1 < k 1 < k 2 < x 2

1212()0(

)00

2f k f k b k k a >??

>???

?>?

?<-

()0()0f k f k >??>?

6． k 1

122

()0

()0()0f k f k f k >??

? 4解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

z ax by =+2

x z +=y

z x

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

4.求函数

的最小值.

5.已知两个正数满足求使恒成立的的取值范围.

1. 实数的性质：

0>-?>b a b a ；0<-?

2. 不等式的性质：

3. 常用基本不等式：

2.()2log (01)log f x x x x =++<<求函的最大值；

4.f(x)=x+

x ≥+（x 4）的最小值2(1)4()(1)1

x f x x x ++=>-+4,

a b +=,a b 28

m a b +≥m 3

7. 不等式证明方法：

基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法

特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

例：解下列不等式：

(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥；

(3)

2210x x -+<；

(4)

2220x x -+<．

解：(1)方程2

7120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2712y x x =-+的图象，可得原不等式27120

x x -+>的解集是{|

34}x x x <>或．

(2)不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2

230x x +-≤．

方程2

230x x +-=的解为123,1x x =-=．

根据

223y x x =+-的图象，可得原不等式2230x x --+≥的解集是{|31}x x -≤≤．

(3)方程2

210x x -+=有两个相同的解121x x ==．

根据

221y x x =-+的图象，可得原不等式2210x x -+<的解集为?．

(4)因为0?<，所以方程2

220x x -+=无实数解，根据222y x x =-+的图象，可得原不等式2220x x -+<的解集

为?．

练习1. （1）解不等式

073

<+-x x ；（若改为307

x x -≤+呢？）（2）解不等式

x x -<+；

解:(1)原不等式?

??>-<+??

?<->+?03,

0703,07x x x x 或{|73}x x ∴-<<

(该题后的答案:{|73}x x -<≤).

(2)

x x -<+即{|710}x x ∴-<<.

8、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族

平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：

（1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

（3）由目标函数z ＝ax ＋by 变形为y ＝－b a x ＋b

，所以，求z 的最值可看成是求直线y ＝

－b a x ＋b

在y 轴上截距的最值（其中a 、b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化）。（4）作平行线：将直线ax ＋by ＝0平移（即作ax ＋by ＝0的平行线），使直线与可行域有

交点，且观察在可行域中使b

最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值。

9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点

()

00,x y P ．

①若 0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若 0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 10、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．

①若 0B >，则0x y

C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域． ②若 0B <，则0x y

C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直

线0x y C A +B +=上方的区域．

11、最值定理

设x 、y 都为正数，则有

⑴ 若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

s ．

⑵ 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值” 注意：一正、二定、三相等

几种常见解不等式的解法重难点归纳

解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题

(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法

(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法

(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法

(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论

典型题例示范讲解

例1：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(

当分式不等式化为

)0(0)

()

(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①

0)()(0)

()

(

0)()(0)(0)()(0

)(0)()(0)()

(

用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含

重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．

不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．

例：解不等式：（1）01522

3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3

<-++x x x ．

解：（1）原不等式可化为

0)3)(52(>-+x x x

把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2

,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．

∴原不等式解集为?

?????><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于

?>-<-≠????>-+≠+?>-++2

450)2)(4(0

)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或

∴原不等式解集为{}

2455>-<<--

x y

1.已知x>0,y>0，且+=1，求x+y的最小值.6

必修五-不等式知识点总结[1]

三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等）四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型（精编）变 2．下列结论正确的是（） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是例2、解下列不等式（1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值（1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4）变、（1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值（1），y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______

高中不等式知识点总结

1．不等式的解法（1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解；（2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；（3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。一般地有： |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)?()()()11当时，a f x g x >>； ()()()201当时，<<?（1）当a >1时， g x f x g x ()()()>>?? ???0；（2）当01<在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质.

(2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O

一元二次不等式的求解流程：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0；（3）2x 2 +ax +2 > 0；注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小；二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ

高中数学必修五教案-基本不等式

第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一）教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；教学重点： 2 a b +≤的证明过程；教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵教学过程：一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ：用分析法证明：要证 2a b +≥，只要证 a+b ≥ (2)，要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3），只要证（ - ）2（4），显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3.

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

必修五基本不等式题型分类(绝对经典)

一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习教学重点基本不等式教学难点基本不等式的应用教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。二、内容讲解： 1．如果那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。三、课堂总结与反思：带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结四、作业布置：见讲义管理人员签字：日期：年月日作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：

基本不等式复习

知识要点梳理知识点：基本不等式 1．如果（当且仅当时取“=”号）. 2．如果（当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求的最小值；（2）若（3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知类型二：含“1”的式子求最值

2．已知且，求的最小值. 变式1：若变式2：变式3：求函数类型三：求分式的最值问题 3. 已知，求的最小值变式1：求函数

高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc

1 1．不等式的解法（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）； 2．一元一次不等式情况分别解之。 3．一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。一般地有： |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式 0Ax By C ++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。说明：由于直线0Ax By C ++=同侧的所有点的坐标(,)x y 代入 Ax By C ++，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直

1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。（2）有关概念引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最小值。由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大，当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-=

一元一次不等式知识点总结

四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率；（2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。（1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题：一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。十位数可表示为10b+a ，百位数可表示为100c+10b+a 。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ）（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折：折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间。（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题：（1）工作总量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作总量÷工作时间（2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和（4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和

必修五不等式大复习-知识点加练习-适合整章复习

必修五不等式综合一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如练习一、：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______ （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。练习二;（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21 log log 21+t t a a 和的大小（2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积

不等式知识点总结

期末复习之不等式知识点 2 3 1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x2–(a+a2)x+a3>0；（3）2x2 +ax +2 > 0；注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有： 1、讨论a与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小；运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：例1．已知关于x的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围． ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象分离参数后用最值函数、、、 3 2 1

例2．关于x 的不等式对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围. 4 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 （1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）,a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a ＝b 时取“=”号)．总结：已知y x ,都是正数，则有（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）如果和y x +是定值s ，那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正，则要加负号，若不定，则要凑定值，若不等，则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z +=

必修五-不等式知识点汇总复习课程

必修五-不等式知识点汇总

不等式总结一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a

高中数学必修五第3章不等式同步练习 3.4基本不等式(含答案)

《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（）Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则133y x x =--的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ．1 1 1 a b c ++≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是（）Ａ． 22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤+ Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<

基本不等式的应用(适合高二必修五)

基本不等式的应用一．基本不等式 1.（1）若R b a,，则ab b a 22 2 (2)若R b a,，则2 2 2 b a ab （当且仅当b a 时取“=”）2. (1) 若* ,R b a ，则 ab b a 2 (2) 若 * ,R b a ，则a b b a 2（当且仅当 b a 时取“=”） (3)若 * ,R b a ，则2 2 b a ab (当且仅当b a 时取“=”） 3.若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”）若0x ，则11122-2x x x x x x 即或 (当且仅当b a 时取“=”） 4.若0ab ，则2a b b a (当且仅当b a 时取“=”）若0ab ，则 22-2a b a b a b b a b a b a 即或 (当且仅当b a 时取“=”） 5.若R b a,，则2 ) 2 (2 2 2 b a b a （当且仅当b a 时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋ 1 x 解：（1）y ＝3x 2 ＋ 1 2x 2≥23x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x · 1x ＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋ 1x = －（－x －1 x ）≤－2x · 1x =－2 ∴值域为（－∞，－ 2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54 x ，求函数142 45 y x x 的最大值。解：因45 0x ，所以首先要“调整”符号，又1(42) 45 x x 不是常数，所以对42x 要进行拆、凑项， 5,5 404 x x ， 1142 5 43 45 5 4y x x x x 231 当且仅当15454x x ，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max 1y 。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

(完整版)高中数学不等式知识点总结

选修4--5知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.

④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18.

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