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极限法测定几种频率的听觉阈限

极限法测定几种频率的听觉阈限
极限法测定几种频率的听觉阈限

极限法测定几种频率的听觉阈限

10090320133 范思洁

(华东师范大学应用心理学系,上海,200062)

摘要本实验采用极限法测定几种频率的听觉阈限,极限法是测定阈限的直接方法,它能形象地表明阈限这一概念。也就是说,在记录纸上可以直接看出这一类与那一类(感觉得到和感觉不到)反应的界限。实验中采用交替地使用递增和递减系列,这样既能抵消习惯误差,又能抵消期待误差。本实验被试为华东师范大学应用心理学系年龄均为19岁的男女各两名同学。通过分析实验结果发现绝对听觉阈限与不同频率的声音刺激有关,听觉感受性最高的频率在1000Hz到4000Hz之间,当声音频率低于1000Hz或高于4000Hz时,听觉阈限显著升高,即绝对听觉阈限与声音刺激的频率呈现“U”字的相关。

关键词:极限法、听觉阈限、习惯误差、期待误差

1引言

在我们生活的内外环境里,存在着各式各样的刺激,有些刺激对我们的感官是不适宜的。它们超出我们感受的限度,因而不能引起我们的感觉。但即使是适宜的刺激,也不是在任何情况下都能引起感觉;要想引起感觉,刺激的最小变化必须达到一定的量。这种人对适宜刺激的感觉能力称为感受性,它通常用感觉阈限来度量。感觉阈限,是指能引起感觉的、持续一定时间的刺激量。听觉阈限中的绝对听觉阈限,即指能引起听觉的最小的刺激量,它用声级(分贝)来表示。声音响度与声波的振幅相对应,音高则是与声波的频率相对应的。但是这种对应关系并不是简单的直线性的。对不同频率的纯音进行听觉阈限的测定,可以揭示这种对应关系,而且也是一切与听觉有关的研究的基础工作之一。同时,这种工作对于通讯器材的设计、医用测听器的校准和聋症的诊断等有很大的助益。在听觉阈限的研究历史上, Cohen, 1969 年的研究,找出了乐器、人和多种动物发声的频率范围,并发现了女性声音频率值高于男性,而且频率范围也要稍大些,动物和人的情况相差较大,最突出的是蝙蝠和海豚,它们发出的被感知的声音频率可达

120,000HZ以上。通常,人耳接受的声音频率范围为20 到20,000HZ, 40 岁以上成年人听力上限还会下降到12,000HZ左右,甚至更低,而敏感范围为1,000 到3,000HZ。研究表明, 1,000HZ单耳听力阈限声压级数约为7分贝, 8, 000HZ单耳听力阈限声压级数约为13分贝, 125HZ单耳听力阈限声压级数约为45分贝。(1)极限法(limit method)是一种测定阈限的直接方法,又称最小变化法(minimal-change method)、序列探索法(method of serial exploration)、最小可觉刺激(method of least difference)或差别法。其特点是刺激按“渐增”和“渐减”两个序列交替变化组成,且每次变化的数量是相等的。每一个序列的刺激强度包括足够大的范围,能够确定从一类反应到另一类反应的瞬间转换点或阈限的位置。因为极限法刺激的两个系列被试都知道,他也知道每次都有一定强度的刺激出现,因此极限法便容易产生两种误差:一种是在渐增序列中提前报告“有”和在渐减序列中提前报告“无”的倾向所产生的期望误差;另一种是在渐增序列中坚持报告“有”和在渐减序列中坚持报告“无”的倾向产生的习惯误差。渐增序列和渐减序列相交替出现,在确定阈限时,求各次结果均值的方法就是为了平衡这一系统误差(一般称作“常误”)。因为极限法的刺激系列反复出现,被试很快就会了解刺激范围,为了克服定势的影响,两个系列的起始点不要相同,要经常无规则的变化才行。为了检查被试是否有期望或习惯误差,↑↓的操作顺序还要做适当的安排。因为在多次的测定过程中,往往会受练习或疲劳的影响而产生不一致的情况。要检查↑与↓所测结果是否有差别,就要使两者练习或疲劳影响的程度相等,也就是使两者在测定顺序上机会均等(假设练习或疲劳的作用随测定次数的增多而等速变化)。极限法一般交替地使用递减和递增系列,这样既能抵消习惯误差,又能抵消期待误差。

2方法

2.1 被试

随机选取华东师范大学应用心理学系大二2名男生2名女生,年龄均为19岁。

2.2 材料

听觉仪,型号EP304A,华东师大科教仪器厂生产

2.3 程序

(1)试验之前让被试者面对仪器坐下,戴上耳机,刺激的呈现有时从强到弱,有时从弱到强,被试分别报告听到声音和听不到声音。

(2)实验时主试先使用1000Hz,再顺序使用2000、400、4000、200、8000Hz。每种频率都交替进行递增、递减各4 个系列的测试。递减系列从远超于听觉阈限的声音强度开始,每次衰减3分贝,直到被试者听不见时,记下这时的衰减数值。递增系列从远在阈限以下的声音强度开始,每次增加3分贝,直到被试者刚刚听到声音时,记下这时的衰减数值。不论递增或递减系列,主试者必须随机改变相继系列的开始点。

3结果

3.1不同频率下测得的听觉阈限的平均值和标准差(单位:db)

频率200 400 1000 2000 4000 8000

平均值34.2527.4422.6920.8825.2520.41

标准差 3.831 5.53 4.317.5611.12 5.76

3.2根据3.1所制折线图

方差齐性,且得:F=4.797,df=5,P=0.001<0.05,说明这六组数据在0.05水平下存在显著差异进一步对这六组数据作LSD检验得:

频率200 400 1000 2000 4000 8000

200 —.049*.001*.000*.010*.000*

400 .049*—.164.057.518.042

1000 .001*.164—.592.449.500

2000 .000*.057.592—.199.890

4000 .010*.518 .449 .19 —.156

8000 .000*.042*.500 .890 .156 —

由表可得在200Hz频率下与其他频率均有显著性差异

3.4 将被试的全部实验数据按递增、递减序列分为两组,对这两组数据作独立样本t检验

方差齐性t=-1.115, P=0.271>0.05, 两组数据并无显著差异

由表可得P=0.607>0.05,说明四组数据在0.05水平下不存在显著差异,说明绝对听觉阈限在不同个体之间不存在显著差异

3.6将四名被试的实验数据按性别分为两组,对这两组数据作独立样本t检验

方差齐性,由表可得t=-0.856 df=46 p=0.397>0.05,故两组数据在0.05水平下不存在显著差异,说明绝对听觉阈限在不同性别之间不存在显著差异

4讨论

4.1实验误差及控制

用极限法求绝对阈限经常会产生一些误差。在这些误差中,有些是由直接对感觉产生干扰的因素引起的;还有些是非感觉方面的因素引起的,如习惯和期望、练习和疲劳、时间和空间等等。这些因素在测定阈限的过程中经常起作用,以致使测定结果产生一定倾向的误差。这类误差叫做常误(constant error)。极限法测定绝对阈限产生的误差主要有四种:习惯误差和期望误差、练习误差和疲劳误差。

4.1.1习惯误差和期望误差的控制

在极限法实验中,由于刺激是按一定的顺序呈现的,被试在长序列中有继续给同一种判断的倾向,如在下降序列中继续说“有”或“是”,在上升序列中继续说“无”或“否”,这种被试习惯于前面几次刺激所引起的感觉叫作习惯误差。

由于习惯误差在递增法序列中,即使刺激强度早已超出阈限,被试仍报告感觉不到,这就会使测得阈值偏高。相反,在递减法序列中,即使刺激强度早已小于阈限,被试仍报告有感觉,这就会使测得的阈值偏低。

与习惯误差相反的是另一种误差叫期望误差(error of anticipation)。它表现为被试在长的序列中给予相反判断的倾向,期望转折点的尽快到来。用递增法测定时,阈值就会偏低;用递减法测定时,阈值就会偏高。

实验中,采用递增序列和递减序列在数量上保持一致的办法,来让习惯误差和期望误差尽可能相互抵消。

4.1.2练习误差和疲劳误差的控制

练习误差(error of practice)是由于实验的多次重复,被试逐渐熟悉了实验情景,对实验产生了兴趣和学习效果,而导致反应速度加快和准确性逐步提高的一种系统误差。

与此相反,由于实验多次重复,随着实验进程而发展的疲倦或厌烦情绪的影响,而导致被试反应速度减慢和准确性逐步降低的一种系统误差,称之为疲劳误差(error of fatigue)。

随着时间的进展,练习可能使阈限降低,而疲劳可能使阈限升高。

为了平衡练习和疲劳效应的影响,在实验中,采用抵消平衡设计(即ABBA设计),这样,即使可以让练习或疲劳效应平均作用在递增或递减序列上。

4.2 极限法用于本实验测定听觉阈限的不足之处

极限法测定听觉阈限的理论假设是存在一个分界点,此点之前是绝对听得到的,此点之后是绝对听不到的,并且这点至少在一定的时期内是固定不变的。这一假设本身就有欠妥之处。首先,研究表明,从听到→听不到不是绝对的突变,而是存在一个过渡带的,即它是一个渐变的过程。而在实验中要求被试在某一刻报告“听到”或“听不到”时,被试可能是从这个过渡带上选取一个点来报告,但是由于被试无法保证每次都选同一个点,所以,结果会随机地出现一系列的数字。其次,在数据处理时,只是简单地进行加减求平均数,这本身就是一个缺陷。倘若把阈限定义为一个区间,通过被试的报告,根据统计学原理,就可以找到一定的置信区间,用区间来对阈限进行描述,其可靠性必然会有所提高。同时,这样也可以消除被试报告中的抽样误差。

4.3 影响实验的其它因素

4.3.1本实验的声音刺激为纯音,纯音(Pure tone)是指波形呈正弦曲线的声音,如音叉的声音和用音频信号发生器发出的声音。在自然环境中我们所能听到的声音极少是单一的纯音,而是不同频率和振幅混合而成的复合音。由于被试平时很少听到这样的纯音,再加上实验室外有部分噪音,以及实验器材本身产生的噪音,使被试对纯音的分辨受到影响,甚至产生幻听、耳鸣的现象。

4.3.2 听觉适应和听觉疲劳现象

听觉适应(auditory adaptation)乃是持续的声音刺激引起听觉感受性下降的现象。听觉系统一般对一个稳定声的感受性在最初1~2 分钟内有所下降,而后很快稳定在一个水平上,听觉适应的特点就在于它是一个平衡过程。听觉疲劳(auditory fatigue)乃是声音刺激强度大大超过听觉感受器的正常生理反应限度,或声音刺激长时间作用于听觉器官而引起的听觉阈限暂时提高的现象。由于实验中被试长时间听一个声音,会产生听觉适应和听觉疲劳现象,这会直接影响到阈限的测定。在实验中,笔者采用当主试呈现声音刺激时才戴上耳机,当主试在调节刺激声音的分贝时就把耳机取下的策略,这样可以较好的避免听觉适应现象。笔者还采用每完成一种频率的测试,就交换主试和被试的策略,这样可以较好的避免听觉疲劳现象。

4.3.3判断标准

实验中,被试判断标准的不一致也会引起误差,避免这一误差的方法之一是实验前要训练被试,使其掌握恰当的判断标准。

4.3.4被试的主观情绪

由于本实验需要重复多次,被试很容易产生焦躁的情绪,会在很大程度上影响实验结果,所以实验中要注意及时休息,要求被试努力克服不良情绪。

4.3.5 听觉掩蔽效应

听觉掩蔽(auditory masking)是两个声音同时呈现时,一个声音因受到另一个声音影响而减弱的现象。在日常生活中经常可以遇到声音的掩蔽现象。一个可听声由于其他声音的干扰而使听觉发生困难,前者必须增加强度才能重新听到,这种阈限强度增加的过程和强度增加的量就叫声音的掩蔽效应。

5结论

5.1对同一被试,绝对听觉阈限与不同频率的刺激有关,且听觉感受性最高的频率在1000Hz到4000Hz之间,当声音频率低于1000Hz或高于4000Hz时,听觉阈限显著升高,即绝对听觉阈限与声音刺激的频率呈现“U”字的相关。

5.2绝对听觉阈限在不同个体和性别之间均无显著的差异

6参考文献

杨治良.实验心理学.杭州:浙江教育出版社,1998:167-174

刘源.对音乐速度差别感受阈限的研究.重庆师范大学学报(自然科学版),2009,26(4);127-130

7附录

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii )A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后,就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=, 这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候)

关于计算极限的几种方法

目录 摘要 (1) 引言 (2) 一.利用导数定义求极限 (2) 二.利用中值定理求极限 (2) 三.利用定积分定义求极限 (3) 四.利用施笃兹公式 (4)

五.利用泰勒公式 (5) 六.级数法 (5) 七.结论 (6) 参考文献 (6)

内容摘要

引言: 极限是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代,极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术,就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的,因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪,由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作,才将其置于严密的理论基础之上,从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述,都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分,三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 一.利用导数定义求极限 据文[]1定理1导数的定义:函数)(x f 在0x 附近有定义,对于任意的x ?, 则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在,则此极限值就 称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这 种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ,然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。 例1:求a x x a a x x a a a a x --→lim 解:原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ,令a x x a y -=, 当a x →时,0→y ,故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地,能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求,值得注意的是许

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在: (1)数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 (5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成

数列极限求法及其应用-毕业论文

数 列 极 限 的 求 法 及 其 应 用 2012年 9 月 28 日

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On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Name: Yang NO. 07 The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N - language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.

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1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后,就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=,这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候) 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ; cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

求极限方法总结

求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限,是以函数的形式表现出来的,所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限,还有个数列极限,区别在于数列极限时发散的,是一般极限的一种 2解决极限的方法如下:我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化,只能在乘除时候使用,但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导,直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方

对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,这就是为什么只有3种形式的原因, LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候,尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn的极限存在的情况下, xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法,非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧,不会对模一道题目而言就只需要换元,但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法,当然也是夹杂其中的

高等数学-求极限的各种方法

求极限的各种方法 1.约去零因子求极限 例1:求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限 例2:求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方; (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限 例3:求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

例4:求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子...........是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim , 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5:求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑X 1 + ,最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6:(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ;(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ,求a 。 5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有: 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-; (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式.. ;

极限的常用求法及技巧.

极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限,从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法,极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要,但是运算题目多,而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关,为此,本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型:数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分),其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类,如果再详细分下去,还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷,x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系,以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n

数列极限的几种求法

数列极限的几种求法 一、定义法: 数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε?>0 ?N>0使当n>N 时,都有 a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ,记为n n a ∞ →lim =a ,否则称数列{n a }不收敛(或称数列{n a }发散)。故可从最原始的定义出发计算数列极限。 例1、 用ε-N 方法求 n n n 1lim +∞ → 解:令 n n 1+=t+1 则 t>0 ∴ n+1=n t )1(+2)1(2)1(12 2t n n t n n nt -≥+-++≥ ∴ 1 2)1(4)1()1(211-≤-≤-+≤=-+n n n n n n n t n n ∴ε?>0 取 ?? ????+=142εN 则当N n >时,有 ε<-≤-+12 11n n n ∴ n n n 1lim +∞→=1 二、单调有界法: 首先我们介绍单调有界定理,其内容如下: 在实数系中,有界的单调数列必有极限。 证明:不妨设{n a }为有上界的递增数列。由确界原理,数列{n a }有上界,记为sup =a {n a }。以下证明a 就是{n a }的极限。事实上,ε?>0,按上确界的定义,存在数列{n a }中某一项N a ,使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性,当N n ≥时有 εε+<<-a a a n , 这就证得 a a n n =∞ →lim 。同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界。 例2、证明数列 ,222,22,2+++ 收敛,并求其极限。 证:222 ++=n a ,易见数列{n a }是递增的。现用数学归纳法来证明{n a }有上界。 显然 221<=a 。假设2

求极限的常用方法

毕业论文 题目:求极限的方法 学院:数学与统计学院 专业:数学与应用数学 毕业年限:2013 学生姓名:俞琴 学号:200971010249 指导教师:伏生茂

求极限的方法 俞 琴 (数学与应用数学 200971010249) 摘要:在数学分析中,极限思想始终贯穿于其中,求极限的方法也显得至关重 要,求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等,除了这些常用方法外,还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结,通过一些典型的实例,对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余. 关键词:极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性 一、极限的定义及性质 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限概念和极限方法产生的客观基础. 极限概念是数学分析中最基本的概念,因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达,且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述,如函数)(x f y =在0x x =处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分、三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线,它将数学分析的各个知识点连在了一起.所以,极限概念与极限运算非常重要,学好极限便为学习数学分析打好了基础. (一)定义 定义1 设}{n a 为数列,a 为定数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当N n >时有 ε<-a a n ,则称数列}{n a 收敛于a ,定数a 称为数列}{n a 的极限,并记作

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法

设 f (x )=xsin 1/x + a,x<0,b+1,x=0,x^2-1,x<0,试求: 当a ,b 为何值时,f (x )在x=0处的极限存在? 当a ,b 为何值时,f (x )在x=0处连续? 注:f (x )=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解:f(0)=b+1 左极限:lim(x→0-) f(x)=lim(x→0-) (xsin(1/x)+a)=0+a =a 左极限:lim(x→0+) f(x)=lim(x→0+) (x^2-1)=0-1=-1 f(x)在x =0处连续,则lim(x→0-) f(x)=lim(x→0+) f(x)=f(0), 所以a =-1=b+1, 所以a =-1,b =-2 7.利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-. 解 由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-,而 ()sin ~0x x x →,()2 1cos ~02 x x x -→,()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=. 注 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代,如在例题中,若因有()t a n ~0x x x → ,()s i n ~0x x x →,而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==, 则得到的式错误的结果. 附 常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →,()tan ~0x x x →,()2 1cos ~02 x x x -→, ()arcsin ~0x x x →,()arctan ~0x x x →,()1~0x e x x -→, ()()ln 1~0x x x +→,()()11~0x x x α α+-?→. 8 利用洛比达法则求极限 洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限.用此种方法求极限要求在

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法(精髓版) 初等数学的研究对象基本上是不变的量,而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限,下文研究的是函数的极限,这些方法对于数列的极限同样适用。 1.直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2.约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3.分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注:一般地,分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4.分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5.应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=,下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim

极限平衡法的几种方法介绍

For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法,根据不同的适用条件,主要有摩根斯坦-普瑞斯(Morgenstern-Price)法、毕肖普(Bishop)法、简布(Janbu)法、推力法、萨尔玛(Sarma)法等。 Bishop法概述: 目前,在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法,它们均属于极限平衡法。瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理,得出的安全系数明显偏低,而简化毕肖普法的假设较为合理,计算也不复杂,因而在工程中得到了十分广泛的应用。 当土坡处于稳定状态时,任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分,并与切向力相平衡,见图1(a),其算式为 (1)如图1(b)所示,将所有的力投影到弧面的法线方向上,则得 (2)当整个滑动体处于平衡时(图1(c)),各土条对圆心的力矩之和应为零,此时,条间推力为内力,将相互抵消,因此得 (3) 图1 毕肖普法计算图 将式(2)代入式(3),且,最后得到土坡的安全系数为

(4) 实用上,毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差,即,式(4)将简化为 (5) 所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零,即并结合摩擦力之差为零,得出 (6) 代入式(5),简化后得 (7) 当采用有效应力法分析时,重力项将减去孔隙水压力,并采用有效应力强度指标有 (8) 在计算时,一般可先给假定一值,采用迭代法即可求出。根据经验,通常只要迭代3~4次就可满足精度要求,而且迭代通常总是收敛的。 摩根斯坦-普瑞斯(Morgenstern-Price)法 该方法考虑了全部平衡条件与边界条件,消除了计算方法上的误差,并对Janbu推导出来的近似解法提供了更加精确的解答;对方程式的求解采用数值解法(即微增量法),滑面形状任意,通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。

(整理)几种求极限方法的总结

几种求极限方法的总结 摘 要 极限是数学分析中的重要概念,也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究,我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 []1 根据极限的定义:数列{n x }收敛??a,ε?〉0,?N N ∈+,当n 〉N 时,有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11 lim =+∞→n n n 证明:0,ε?>要使不等式 11-+n n =11n ε<+成立:解得n 11ε>-,取N=?? ????-11ε,于是0,ε?>? N=?? ? ???-11ε,n N ?>,有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n 2利用两边夹定理求极限[]1 例2 求极限???? ??+++++++∞ →n n n n n n 22221 31211 1lim 解:设= n c n n n n ++++ +2 2 2 12 11 1 则有:2 n c n n > =+ 同时有: 21 n c n <=+,于是 n c << 1 n n <=+>=. 有 11 n n n c n n <<< < =+ 已知:11lim =+∞→n n n ∴???? ??+++++++∞→n n n n n n 2222131211 1lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1

实数的连续性定理:单调有界数列必有极限. 例3 设a x =1,a a x +=2, a a a x n +++= (n=1,2, )(0a >),求n n x ∞ →lim 解:显然{}n x 是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见 12x a x +=,23x a x += , 1-+=n n x a x , 从而 12 -+=n n x a x ,显然n x 是单调增加的,所以2n n x a x <+ 两段除以n x ,得 1n n a x x < + 1+≤≤?a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →,对等式12 -+=n n x a x 两边去极限,则有∞ →-∞ →+=n n n n x a x 12 l i m l i m ?a l l +=2解得2 1 4++= a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2 关于无穷小的性质有三个,但应用最多的性质是:若函数f(x)(x )a →是无穷小,函数g(x)在U (),ηa 有界,则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞ → 解4 )2 21sin()221sin( 2cos 1cos x x x x x x -+++-=-+ 2)221sin( 2≤++-x x 而) 1(21 221)221sin( 0x x x x x x ++=-+≤-+≤ 而,0) 1(21 lim =++∞ →x x x 故 02 _1lim =+∞ →x x n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2 e x x x x x x =+=∞→→)1 1(lim ,1sin lim

求极限的常用方法Word版

求极限的常用方法 摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理,这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时,极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限;计算方法 初等数学的研究对象基本上是不变的量,而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限,下文研究的是函数的极限,这些方法对于数列的极限同样适用。 1.直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2.约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3.分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注:一般地,分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4.分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

求极限的几种方法

求函数极限的方法和技巧 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词:函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x

()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-< 20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则: B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 (IV )cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim (c 为常数) 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,

数列极限的几种求法

数列极限的几种求法 摘要本文通过实例,归纳总结了数列极限的若干种求法.学习并掌握这些方法,对于学好数学分析颇有益处. 关键词数列极限;级数;定积分;重要极限;单调有界数列 中图分类号O171 Several Methods of Sequence limit Abstract:Through examples,summarized several series method for finding the limit.Learn and master these methods,mathematical analysis is quite good for studying. Keywords:Sequence limit;Series;Definite integral;Important limit;Monotone bounded sequence 1引言 极限是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态. 极限的概念,可追溯到古希腊时代,德谟克里特(Democritus)是古希腊的哲学家,他博学多才,著作多到五六十种,涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面.年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历,获得了大量的科学知识.马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”.谟克里特以探求真理为最大快乐,他有句名言:“宁可找到一个因果的解释,不愿获得一个波斯王位.”在他的著作中有一种原子法,把物体看作是由大量微小部分叠和而成,利用这一理论,求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一,这是极限思想的萌芽.公元前五世纪,希腊数学家安提丰(Antiphon)在研究化圆为方问题时创立了割圆术,即从一个简单的圆内接正多边形出发,把每边所对的圆弧二等分,连结分点,得到一个边数加倍的圆内接正多边形,当重复这一步骤多次时,所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度.实际上,安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合.稍后,另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤.这种以直线形逼近曲边形的过程表明,当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想.公元前4世纪,欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法,称为穷竭法,并发展为较为严格的理论,提出现在分析中通称的“阿基米德公理”.穷竭法成功地运用于面积的计算.这些都可以看作是近代极限理论的雏形. 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载.如,中国古代的《墨

求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则; (2) 利用两个重要极限; (3) 利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量); (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限: (1)x x x 33sin 9lim 0-+→ (2)1)1sin(lim 21--→x x x (3)x x x 1 0)21(lim -→ (4)2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ (5))1 1e (lim 0-+→x x x x 解(1)对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? (2)利用第一重要极限和函数的连续性计算,即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= (3)利用第二重要极限计算,即 x x x 1 0)21(lim -→=2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 (4)利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量)计算,即

222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注:其中当∞→x 时,x x x x sin 1sin =,)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量,即它们还是无穷小量。 (5) 利用函数的连续性计算,即 )11e (lim 0-+→x x x x =11 01e 00-=-+?

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