极限定义的总结
极限定义的总结
极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：
函数的变化趋势自变量变化趋势=)(lim x f
自变量的变化趋势主要有六种：
-+→→→-∞→+∞→∞→0
00,,,,,x x x x x x x x x 函数的变化趋势主要有四种：
-∞→+∞→∞→→)(,)(,)(,)(x f x f x f A x f 自变量的描述格式如下：
,0>?X 当X |x |>时；（∞→x ）
,0>?X 当X x >时；（+∞→x ）
,0>?X 当-X x <时；（-∞→x ）
,0>?δ当δ<<|x -x |00时；（0x x →）
,0>?δ
当δ<<0x -x 0时；（+→0x x ） ,0>?δ 当δ<<|x -x |00时；（-→0x x ）
函数的描述格式如下：
,0>?ε ,
恒时：ε<-|)(|A x f （A x f →)(） ,0>?ε ,
恒时：M x f >|)(|（∞→)(x f ） ,0>?ε , 恒时：M x f >)(（+∞→)(x f ）
,0>?ε ,
恒时：M x f ->)(（-∞→)(x f ） 那么函数极限的定义可以是这241416=?C C 种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自
变量的变化不连续的特殊情形。
工作总结的好处
工作总结的好处 一、工作总结的意义及作用 工作总结是对一定时期内的工作加以总结,分析和研究,肯定成绩,找出问题,得出经验教训,摸索事物的发展规律,用于指导下一阶段工作的一种书面文体.它所要解决和回答的中心问题,不是某一时期要做什么,如何去做,做到什么程度的问题,而是对某种工作实施结果的总鉴定和总结论,是对以往工作实践的一种理性认识. 工作总结是做好各项工作的重要环节.通过它,可以全面地,系统地了解以往的工作情况,可以正确认识以往工作中的优缺点;可以明确下一步工作的方向,少走弯路,少犯错误,提高工作效益. 工作总结还是认识世界的重要手段,是由感性认识上升到理性认识的必经之路.通过工作总结,使零星的,肤浅的,表面的感性认识上升到全面的,系统的,本质的理性认识上来,寻找出工作和事物发展的规律,从而掌握并运用这些规律。 写好工作总结,须勤于思索,善于总结.这样可以提高领导的管理水平,培养出更多理论与实践相结合,具有工作能力的干部.总结中,须对工作的失误等有个正确的认识,勇于承认错误,可以形成批评与自我批评的良好作风.写好总结,须从以往的工作实际出发,可养成调查研究之风.总之,写好工作总结是非常重要的,但也要非常困难的.难度主要表现在两方面;一是总(过去的工作),二是结(工作的经验,教训,规律).要正确处理好两者关系:总是结的依据,结是总的概括. 二,工作总结的种类,特点和内容 (一)工作总结的种类 1.按内容划分 (1)思想工作总结 (2)经济工作总结 2.按范围划分 (1)地区工作总结 (2)部门工作总结
(3)单位工作总结 (4)个人工作总结 3.按时间划分 (1)月份工作总结 (2)季度工作总结 (3)年度工作总结. (4)三年以上工作总结 4.按性质划分 (1)综合性总结 (2)专题性总结 (二)工作总结的特点 1.客观性 总结是对过去工作的回顾和评价,因而要尊重客观事实,以事实为依据. 2.典型性 总结出的经验教训是基本的,突出的,本质的,有规律性的东西,在日常学习,工作,生活中很有现实意义,具有鼓舞,针砭等作用. 3.指导性 通过工作总结,深知过去工作的成绩与失误及其原因,吸取经验教训,指导将来的工作,使今后少犯错误,取得更大的成绩. 4.证明性 这是说总结的基本表达手段是被动的(严格地说是证明),它要用自身实践活动中的真实的,典型的材料来证明它所指出的各个判断的正确性. (三)工作总结的内容 工作情况不同,总结的内容也就不同,总的来说,一般包括以下几个方面: 1.基本情况 包括工作的有关条件,工作经过情况和一些数据等等. 2.成绩,缺点 这是工作总结的中心重点.总结的目的就是要肯定成绩,找出缺点. 3.经验教训 在写总结时,须注意发掘事物的本质及规律,使感性认识上升为理性认识,以指导将来的工作.
高考一轮复习极限知识点归纳总结
高考一轮复习极限知识点归纳总结对于极限的复习是否还有所不熟，今天的编辑为考生们带来的极限知识点，希望给大家以帮助。 考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求： (1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确;②假设当 ( )时，结论正确，证明当时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果 ①当 ( )时，成立; ②假设当 ( )时，成立，推得时，也成立. 那么，根据①②对一切自然数时，都成立. 2. 函数极限; ⑴当自变量无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .
记作或当时， . 注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求 .(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零. ⑵函数极限的四则运算法则： 如果，那么 特别地，如果C是常数，那么 注：①各个函数的极限都应存在. ②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ② (0 ( 1) 4. 函数的连续性： ⑴如果函数f(x)，g(x)在某一点连续，那么函数在点处都连续. ⑵函数f(x)在点处连续必须满足三个条件： ①函数f(x)在点处有定义;② 存在;③函数f(x)在点处的极限值等于该点的函数值，即 . ⑶函数f(x)在点处不连续(间断)的判定： 如果函数f(x)在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f(x)的不连续点.
【精品】高等数学习题详解第2章 极限与连续
习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散；
（4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以
求极限的方法总结
学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日
摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理
Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem
工作总结的意义和作用
工作总结的意义及作用 一,工作总结的意义及作用 工作总结是对一定时期内的工作加以总结,分析和研究,肯定成绩,找出问题,得出经验教训,摸索事物的发展规律,用于指导下一阶段工作的一种书面文体.它所要解决和回答的中心问题,不是某一时期要做什么,如何去做,做到什么程度的问题,而是对某种工作实施结果的总鉴定和总结论,是对以往工作实践的一种理性认识. 工作总结是做好各项工作的重要环节.通过它,可以全面地,系统地了解以往的工作情况,可以正确认识以往工作中的优缺点;可以明确下一步工作的方向,少走弯路,少犯错误,提高工作效益. 工作总结还是认识世界的重要手段,是由感性认识上升到理性认识的必经之路.通过工作总结,使零星的,肤浅的,表面的感性认识上升到全面的,系统的,本质的理性认识上来,寻找出工作和事物发展的规律,从而掌握并运用这些规律.毛泽东同志曾指出:领导者的责任,就是不断指出斗争的方向,规定斗争的任务,而且必须总结具体的经验,向群众传播这个经验,使正确的获得推广,错误的不致重犯. 写好工作总结,须勤于思索,善于总结.这样可以提高领导的管理水平,培养出更多理论与实践相结合,具有工作能力的干部.总结中,须对工作的失误等有个正确的认识,勇于承认错误,可以形成批评与自我批评的良好作风.写好总结,须从以往的工作实际出发,可养成调查研究之风.总之,写好工作总结是非常重要的,但也要非常困难的.难度主要表现在两方面;一是总(过去的工作),二是结(工作的经验,教训,规律).要正确处理好两者关系:总是结的依据,结是总的
概括. 二,工作总结的种类,特点和内容 (一)工作总结的种类 1.按内容划分 (1)思想工作总结 (2)经济工作总结 2.按范围划分 (1)地区工作总结 (2)部门工作总结 (3)单位工作总结 (4)个人工作总结 3.按时间划分 (1)月份工作总结 (2)季度工作总结 (3)年度工作总结. (4)三年以上工作总结 4.按性质划分 (1)综合性总结 (2)专题性总结 (二)工作总结的特点 1.客观性 总结是对过去工作的回顾和评价,因而要尊重客观事实,以事实为依据.
2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
2020年考研高数知识点：极限中的“极限” 说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填 空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极 限的形式给出的。 第一，极限的定义。理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。 第二，极限的性质。性，有界性，保号性和保不等式性要理解， 重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的 本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在 做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目 中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个 数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断 是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。 第三，极限的计算。这个部分是重中之重，这也是三大计算中的 第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会 计算不同类型的极限计算。首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹 逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定 义求极限。其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如： 四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷 形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要 掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换 公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第 二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替
数列极限的概念(经典课件)
第二章 数列极限 引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１ 数列极限的概念 教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小 数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 一、数列概念： １．数列的定义： 简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为 该数列的通项。 ２．数列的例子： （1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ； （2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ； （4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念： １．引言： 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。
高等数学极限计算方法总结
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
浅谈年终总结的重要性
浅谈年终总结的重要性 又是一年岁尾，也到了各单位忙着年终总结的时候。有总结才会有进步，才会有提高，总结也是不断提高思想素质和业务技能的一项工作，年终总结还是指导、推动各项工作的一个步骤，更好地促进下一年工作的开展。 在年终工作总结中，全面、深入地回顾一年来本单位和个人所取得的成绩，总结工作中的宝贵经验，培养、锻炼自己的思维方法、分析能力、辩证观点、鼓舞干劲。年终总结还对年初工作规划没有得到落实或落实不到位的原因及工作中存在的问题，分析出现问题的原因，从而提出解决问题的办法，进一步做好来年的各项工作都是很重要的。如果说我们在实践中增长才干，那么年终工作总结也是增长才干的一种好方法。所以，年终工作总结的过程也是我们自我提高的过程，更是我们提高工作能力的重要途径。 任何一种事物、一项工作，都存在内在联系、外部制约，都有它自身的发展、运动规律。遵循这些客观规律办事就能顺利达到预期的目的，否则就会受到违背规律的惩罚而招致失败。而要找寻、发现客观规律的途径就需要总结。工作总结不仅仅是总结成绩，更重要的是为了研究经验，发现做好工作的规律，也可以找出工作失误的教训。这些经验教训是非常宝贵的，对本单位的工作有很好的借鉴与指导作用，在今后工作中可以改进提高，趋利避害，避免失误。
现在做任何一项工作，不管是个人也好，团队也好干工作都需要一种奉献精神和团结协作精神，要从细处着手，认真思考，反复操作、辛勤劳动才能完成。每一次具体实践，都有成绩与失误、经验与教训，及时总结就会及时取得经验教训，提高认识和工作技能。不断实践，不断总结，不断反思，那么人们对客观事物的认识也就越来越深刻，知识越来越广，智慧越来越高，所进行的事业通过总结才会不断发展、前进。 年终进行总结，是一项常规性的工作，是对全年工作的全面回顾、检查、分析、评判，并从中找出成绩与缺点、成功与失败、经验与教训，实事求是地作出正确评价，使大家认识统一。以此来给大家一个明确的努力方向，以便在来年的工作中更好地发扬优点，克服缺点，避免各种工作失误，避免重蹈覆辙，为下一年的工作打下坚实的基础。 通过年终总结，我们可以把零散的、肤浅的感性认识上升为系统、深刻的理性认识，从而得出科学的结论，以便发扬成绩，克服缺点，吸取经验教训，使今后的工作少走弯路，多出成果，这有利于指导把下一年工作做得更好、更出色。
考研数学极限知识点全解
2017考研数学极限知识点全解 来源：文都图书 极限是高数中的重要知识点，也是考研数学的重要考点，我们一起来了解一下极限在考研大纲中的相关考点，及其题型等。 一、极限在考研数学中的要求 根据考研大纲，极限需要理解和掌握的是：极限的概念，函数左右极限的概念以及函数极限存在与左右极限的关系，极限的性质及四则运算法则，极限存在的两个准则，利用两个重要极限计算极限的方法，无穷小量、无穷大量的概念，无穷小的比较方法。 要求会求和了解的是：利用极限存在的两个准则求极限，用等价无穷小量求极限。 二、极限是高等数学的基础 1、极限是高数三大基本工具(极限、微分、积分)中最基本的工具，也是微分与积分的基础。另外高等数学中很多概念都是通过极限来定义的，如连续的概念，导数的概念，定积分的概念以及级数的概念都是通过极限来定义的。考研数学虽然大多数题目是计算题，但是只记住计算步骤，死记硬背，是万万不行的。要想考高分，需要对基本概念的理解到位，否则你学的知识就如同浮光掠影，很难取得好成绩。因此，我们从最基础的极限开始就要学习到位，基本概念理解好，极限计算要熟练，为以下各章节的学习打好基础。 2、考研中的很多题目也间接与极限有联系，尤其是极限的计算一定要过关，因为很多题目的计算都会用到极限的计算。如判断函数的连续性，找函数的间断点的类型，求渐近线，求函数一点数的导数，级数的敛散性的判别，求幂级数的收敛半径和收敛域，这些问题都会用到极限，如果极限不会求这些题目就无法做出来。所以考生在复习极限这章的时候一定要到位，计算尤其要过关，否则后患无穷。 三、极限在考研数学中的常见题型
极限这部分不计间接命题，直接命题的分值一般是一道小题(4分)和一道大题(10分左右)，足见本章内容的重要性。 直接命题常见题型： (1)考查极限的概念，常见于选择题; (2)求极限式中的未知参数; (3)直接计算函数的极限; (4)考查极限的概念，常见于选择题; (5)利用收敛准则，求数列极限，常见于数一、数二。 (6)结合无穷小的比较考查极限的计算; 上面总结归纳了考研数学极限知识点的相关知识点，并且对题型进行了分析，考生们认真学习吧，希望对你们的备考有帮助，汤家凤编写的《2017考研数学硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义》这本书按照考研大纲所编写，并且附有相关练习题，基础、强化、巩固一体，可以好好利用哦，加油。
求极限的方法总结
求极限的几种常用方法 一、 约去零因子求极限 例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。 二、 分子分母同除求极限 求极限limx→∞x3-x23x3+1 ∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13 三、 分子(母)有理化求极限 例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1) 分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 ()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x 例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx3 30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=() x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→= 41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。 四、 应用两个重要极限求极限
(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例：求极限limx→∞(x+1x-1)x 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。 limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2 五、利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例：求limx→∞sinxx 因为sinx≤1, limx→∞1x=0,所以limx→∞sinxx=0 六、用等价无穷小量代换求极限 常见等价无穷小有： 当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex1， 1-cosx~12x2，(1+ax)b-1~abx 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 例：limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0xx12x2=2
总结的重要性
总结的重要性 我们都知道，学习是要通过总结来提高的。古代曾子曰：“吾日三省吾身”，现代老师也经常会告诉学生，要适当总结，那么总结在学习和工作过程中带来的重要性到底有哪些呢? 工作总结是对一定时期内的工作加以总结、分析和研究，肯定成绩，找出问题，得出经验教训，摸索事物的发展规律，用于指导下一阶段工作的一种书面文体。它所要解决和回答的中心问题，不是某一个时期内要做什么、如何去做、做到什么程度的问题，而是对某种工作实施结果的总鉴定和总结论，是对以往工作实践的一种理性认识。工作总结是做好各项工作的重要环节，通过它可以全面地、系统地了解以往的工作情况，可以正确认识以往工作中的优缺点，可以明确下一步工作的方向，少走弯路，少犯错误，提高工作效益。 工作总结还是认识世界的重要手段，是由感性认识上升到理性认识的必经之路。通过工作总结使零星的、肤浅的、表面的感性认识上升到全面的、系统的、本质的理性认识上来，寻找出工作和事物发展的规律，从而掌握并运用这些规律。毛泽东同志曾指出：领导者的责任就是不断指出斗争的方向，规定斗争的任务，而且必须总结具体的经验，向群众传播这个经验，使正确的获得推广，错误的不致重犯。 写好工作总结，须勤于思索，善于总结。这样可以提高领导的管理水平，具有工作能力的干部总结中，须对工作的失误等有个正确的认识，勇于承认错误，可以形成批评与自我批评的良好作风。写好总结须从以往的工作实际出发，可养成调查研究之风。 所以，写好工作总结是非常重要的，可以起到承上启下的作用，不仅总结能帮助我们理顺知识结构，突出重点，突破难点，在总结的过程中还帮助我们稳固知识点和技术难点，为后续内容做好准备工作。也正是在这种在不断地遇见问题、发现问题、解决问题并总结归纳的过程才使我们不断地成长与提升。 因此，人也要学会常常总结自己，人生就是一个不断反省不断进步的过程，总结有利于及时找到自己的不足并改正，特别是优秀、高质的总结更能收到事半功倍的效果。所以培养员工养成良好的总结习惯和总结方法，有利于对自己的工作和生活进行合理的规划。总结给了人努力工作的动力，培养了人思考的习惯，使工作更有效率，头脑更加清醒，目标更加明确，工作更有意义，不能不说是提高工作效率的一条极其重要途径。
极限知识点
高中数学第十三章-极限 考试内容： 教学归纳法.数学归纳法应用. 数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求： (1) 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2) 了解数列极限和函数极限的概念. (3) 掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限. (4) 了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. § 13.极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n取第一个m时结论正确；②假设当n k ( k N ,k 时，结论 n0)正确，证明当n k 1时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①当n n0 ( n0N )时，P(n)成立； ②假设当n k (k N ,k no)时，P(n)成立，推得n k 1时，P(n)也成立. 那么，根据①②对一切自然数n n0时，P(n)都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①lim a n a n ②当n 时，a n a . ⑵几个常用极限： ①lim C C ( C为常数) n a 1 ........ ②lim w 0 (k N,k是常数) n n k ③对于任意实常数， 当|a| 1 时，lim a n 0 n 当 a 1 时，若 a = 1,贝U lim a n 1 ；若a 1,贝U lim a n lim ( 1)n不存在 当a 1时，lim a n不存在n ⑶数列极限的四则运算法则： 如果lim a n a, lim b b b,那么n n ①lim (a n b n) a b n ②lim (a n b n) a b n ③lim 色a(b 0) n b n b 特别地，如果C是常数，那么 lim (C a n) lim C lim a n Ca. n n n ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当q 1时，无穷等比数列的各项和为S —(q 1). (化循环小数为分数方法同上式)
高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结
L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
述职报告目的
关于统一述职报告撰写要求的请示报告 目的：签发： 为确保述职工作格式统一、高效高质进行，规范述职报告书写内容及格式，现制订本述 职报告撰写要求。 一、述职报告的内容 述职报告统一按工作总结、工作中存在的问题、工作规划三个部分进行。 （一）工作总结撰写要求 1、根据部门的职能版块罗列工作要点，内容要有事实依据支撑； 2、对工作要点中做得好的版块进行阐述和分析，尽量采用量化指标 说明，并说明在该过程中所采取的措施和方法； 3、述职时本着务实的原则，避免形成两个极端，即“表功”和“检讨”。 （二）工作中存在的问题撰写要求 针对总结中罗列的做得不好的部分进行简要的说明，避免写大而泛的概念，要从根源上 提出问题，透过现象看本质（比如是机制、管理模式、操作方法、考核点等方面来想），提出 可行的改进办法。 （三）工作规划撰写要求 1、结合公司整体发展规划，提出2012年度部门部门整体工作开展的思路及构想； 2、根据部门各职能版块制订整体工作计划及拟采取何种措施和方法来达成； 3、针对部门上年度工作存在的问题提出改进措施和基本操作方法； 4、制订工作计划实施时间表。 二、述职报告的格式、字体 述职报告统一以word版本提交，待领导审核通过后需制作成ppt（按照信息部下发的统 一模板）供述职时使用。文档字体及字号按以下标准执行： （一）述职报告排版格式要求 1、题目为小三号宋体加黑、居中； 2、职务姓名在题目之下，小四、宋体、居中； 3、正文采用宋体、小四； 4、行间距为22磅。 （二）标题号规定 一级数字序号：一、二、三?? 二级数字序号：（一）（二）（三）?? 三级数字序号：1、2、3?? 四级数字序号：（1）（2）（3） 拟稿：审核：审批：篇二：述职报告的含义及作用篇三：述职报告与工 作总结的区别 述职报告与工作总结的区别 什么是述职报告 述职报告是指各级各类机关工作人员，主要是领导干部向上级、主管部门和下属群众陈 述任职情况，包括履行岗位职责，完成工作任务的成绩、缺点问题、设想，进行自我回顾、 评估、鉴定的书面报告。 述职报告怎么写 述职报告是大型企业、规范企业进行个人年度总结的一种形式。一般是针对个人一年的 岗位职责执行情况、个人指标完成情况进行总结性答复。述职报告的写作方式一般为2种：一是四大段式，即做法+成绩+不足+改进。
极限知识点(2020年10月整理).pdf
高中数学第十三章-极 限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1?=a ，则n n n n a )1(lim lim ?=∞ →∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞ →)(lim ②b a b a n n n ?=?∞ →)(lim
高等数学习题详解-第2章-极限与连续
习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。