欧拉公式e~ix=cosx+isinx的几种证明及其在高等数学中的应用

．欧拉公式的历史渊源及其意义

1世纪中叶产生了明确的复数概念．“在世纪，已有的初等数学包括三角函数、指数函数和对数函数则被推广到1618了复数领域，这也是受到了积分计算的激发．”[1]

这些数学成果，为欧拉公式的产生奠定了基础．

年，英国数学家科兹（，，～），首先发表了定理1714Cotes Roger 16821716（）117年月日，瑞士数学家欧拉（，，～）在给瑞士数学家约翰伯努利（401018Euler Leonard 17071783John ，Bernoulli ～）的信中说，和都是同一个微分方程的解，因此它们应该相等．年他

166717481743又发表了这个结果，即，（）

2年欧拉重新发现了科兹所发现的结果（）式，它也可以由（）式导出．174812[2]

“年，欧拉在递交给圣彼得堡科学院的论文《微分公式》中首次使用来表示，但很少有人注意它．直到

177718年，德国数学家高斯（，，～）系统地使用了这个符号，以后渐渐流行，沿用至今．”

01Gauss Carl Friedrich 17771855[3]由和上述（）、（）两式得

12，（）

（）

3这就是著名的欧拉公式．指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了它们可以相互转化，并被欧拉公式这个非常简单的关系式联系在一起．特别是当时，欧拉公式便写成了，这个等式将数中最富特色的五个数，0，，，绝妙地联系在一起，“是正整数也是实数的基本单位，是虚数的基本单位，是唯一的中性数，它们都具有110独特的地位，最具代表性．可以说，来源于代数，来源于几何，来源于分析，与在超越数之中都独具特色．这5

个看来似乎是互不相干的数，居然如此和谐地统一在一个式子中．”[4]因而，公式成为人们公认的优美公式，被视为数学美的一个象征．这充分地揭示了数学的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综合素质、提高数学教育的质量具有重要意义．

欧拉公式的

几种证明及其在高等数学中的应用

李劲（河西学院数学系，甘肃张掖）

734000摘要：在复数域上给出欧拉公式

的几种证明；举例说明欧拉公式在高等数学中的几

类应用．

关键词：欧拉公式；证明；高等数学；应用；举例

中图分类号：文献标识码：文章编号：－（）－－O13A 16720520200805000106———————————————

收稿日期：作者简介：李劲（—），男，甘肃临潭人，河西学院数学系副教授，主要从事数学教育教学研究．

5第卷第期（）河西学院学报（）2452008Vol.24No.52008cos sin ix e x i x =+cos sin ix e x i x =+1log (cos 1sin )e φφφ=+

2cos y

x =11x x y e

e =+11cos 2s s e e

s +=11sin 21s s e e

s =i 11i =cos sin ix e x i x =+x R ∈x π

=10i e π+=i e πi

i i πe e π10i e π+=-1-2008-04-22

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