八年级数学二次根式的概念和性质
二次根式的概念及性质
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为__________，面积为S 的正方形的边长为___________。 （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为___________。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系：h=52
t 。如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为____________。
【知识梳理1】二次根式的概念
形如_____（a≥0）的式子叫做二次根式， 叫做 。 注：（1）二次根式的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“
”，如：2、
3
2
等都是二次根式。尽管9的结果为3，但由于9满足二次根式的特征，所以9是二次根式；
（2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，如
21x ﹣－，由于被开方数小于0，所以它不是二次根式；
（3）根指数是2，这里的2可以省略不写，如37不是二次根式，因为它的根指数不是2；
形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数的形式，如352不能写成1
152
的形式。
【例题精讲】二次根式的定义
例1. 在式子()12,02,1,42
2
2
3+-<--+x x x x a y x ，，4，x 中，是二次根式的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个 【试一试】
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、12+a
2. 在、、、、中是二次根式的个数有______个。
【知识梳理2】二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义，则 ≥0。 根据具体的情况可分类讨论如下：
a 2a
b 1x +2
1x +3
（1）单个二次根式如
A 有意义的条件：A≥0；
（2）多个二次根式相加如
A B N ＋＋…＋有意义的条件：
000A B N ???
????≥，≥，…≥；
（3）二次根式作为分式的分母如
B
A
有意义的条件：A ＞0； （4）二次根式与分式的和如
1
A B ＋
有意义的条件：0.
A B ???≥0，≠ 重点剖析：当二次根式的被开方数是分式时，除了要保证被开方数是非负数外，还要同时保证分母不能为零。
【例题精讲】二次根式有意义的条件 例1. 当x 取什么实数时，下列各式有意义?
（1）x -； （2）()2
12-x ； （3）x x -?-21；
（4）()()x x --21； （5）
5124
--x x ； （6）311
x
--．
【试一试】
1. 若32-a 是二次根式,则字母a 应满足的条件是( ) A 、23
≠a B 、 23≤a C 、 23>a D 、 2
3≥a 2. 当a 满足__________时， a
2
-有意义。 3. 当
2
1-a 有意义时，a 的取值范围是_________________。
4. 若x x -+有意义，则x 的取值范围是_______________。
5. 使式子x -4有意义且取得最小值的x 的取值是( )
A 、0
B 、4
C 、2
D 、不存在
【知识梳理3】二次根式的性质
性质1：式子a （a≥0）具有双重非负性：它既表示二次根式，又表示非负数a 的算术平方根。具体描述为（1）a 是非负数，a 的最小值是0；（2）a 的被开方数a 是非负数。 性质2：(a )2＝a (______)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 注：不能忽略被开方数为非负数这个限制条件，从而出现类似()()2
5﹣
＝﹣5式的错误。
性质3：2a ＝a ＝____0)__0)((__a a ??
?≥＜，
，
即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于 ；当一个
数为负数时，它的平方的算术平方根等于 。
注：a 的取值范围是任意实数，不一定总是非负数，须避免出现类似(
)2
7﹣＝﹣7式的错误。
【例题精讲1】二次根式的性质
例1. 已知443422-=++++-c c b a ，求c
b
a
)(的值。
例2. 已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2
1a a －
＋。
【试一试】
1. 若0)1(32
=++-n m ，则m n +的值为 。
2. 已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A 、3
B 、– 3
C 、1
D 、– 1
3. 已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为__________。
4. 若
1
a b -+与
24a b ++互为相反数，则()
2005
_____________
a b -=。
5. 实数a 、b 在数轴上的位置如下图所示，且a b ＞，化简2
a －a
b ＋。
【例题精讲2】二次根式的化简
例1. 当x=-2时，二次根式x 2
12-的值为_______。
例2. 填空：当a≥0时，＝_____；当a ＜0时，＝_______， 并根据这一性质回答下列问题。 若＝a ，则a 可以是什么数？ 若＝-a ，则a 可以是什么数？ ＞a ，则a 可以是什么数？ 当m ＜3时，()
2
3m －＝ 。
【试一试】
1. 计算：（1）21142?? ???
＝ ；22
112233???? ? ?????＋﹣
＝ ；()223??????﹣﹣＝ 。 2. a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
A 、＝≥-
B 、＞＞-
C 、＜＜-
D 、-＞＝
3. 当时，代数式的值是 。
【例题精讲3】利用二次根式的非负性求值
例1. 已知3260x y x y ＋－＋－＋＝，求x 、y 的值。
例2. 已知226y x x ＝－＋－＋，求x
y
的值。
2
a 2
a 2a 2
a 2
a 2a 2
()a -2
a 2a 2()a -2a 2a 2
()a -2
a 2a 2()a -2a 2a 2
a 2
()a -2-=x 1352
--x x
1、化简：()
3313--
2、已知2x <,则化简244x x -+的结果是（ ）
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
3、根式2(3)-的值是( )
A 、-3
B 、3或-3
C 、3
D 、9
4、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A 、－a
B 、a
C 、－3a
D 、3a 5、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（ ）
A 、 －1
B 、 1
C 、2a －7
D 、 7－2a 6、化简2
1816x x x ---+的结果是2x -5，则x 的取值范围是（
）
A 、x 为任意实数
B 、1≤x ≤4
C 、 x ≥1
D 、x ≤1 7、若代数式2
2
(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是（ ）
A 、4a ≥
B 、2a ≤
C 、24a ≤≤
D 、2a =或4a =
8、如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）
A 、 a=0
B 、a=1
C 、 a=0或a=1
D 、 a≤1
一、选择题。
1、实数a ?b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b|﹣2
a 的结果是（ ）
A 、 2a ﹣b
B 、 b
C 、﹣b
D 、﹣2a+b
2、若x<2，化简2(x 2)-+|3﹣x|的正确结果是（ ）
A 、 ﹣1
B 、 1
C 、2x ﹣5
D 、5﹣2x
2a
二次根式的概念与性质1
二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥， 其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（）
二次根式定义与性质
二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质 编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨 一、目标认知 1.学习目标： 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论： ，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点： ；，及其运用． 3.难点： 利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释： 二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.
知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．
新人教版数学八年级下册二次根式基础专项练习
新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1．下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 2．下列式子是二次根式的有（） ①；②（a≥0）；③（m，n同号且n≠0）；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列根式中，属于最简二次根式的是（） A． B．C．D． 二、二次根式有意义的条件 4．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 5．已知y=，则的值为（） A．B．﹣ C．D．﹣ 6．若式子﹣+1有意义，则x的取值范围是（） A．x≥B．x≤C．x= D．以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7．下列运算正确的是（） A．B． C．D． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a 9．若1＜x＜2，则的值为（） A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 四、最简二次根式
10．下列二次根式是最简二次根式的是（） A． B．C． D． 11．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④ 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A．B．C．（a＞0）D． 五、二次根式的乘除法 13．计算2×÷的结果是（） A．B．C．D．2 14．下列运算正确的是（） A．a+a=a2B．a2?2a3=2a6C．÷=3 D．（﹣ab3）2=a2b6 15．下列计算正确的是（） ①=?=6；②=?=6 ③=?=3；④=?=1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 六、分母有理化 16．﹣1的倒数为（） A．﹣1 B．1﹣C．+1 D．﹣﹣1 17．a=，b=，则a+b﹣ab的值是（） A．3 B．4 C．5 D． 七、同类二次根式 18．下列根式中，与为同类二次根式的是（） A．B．C．D． 19．下列二次根式中，能与合并的是（） A． B． C．D． 20．在根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二次根式的概念及性质
第十六章二次根式 16. 1 二次根式 第1课时 二次根式的概念和性质 ：?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式 子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果 ，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简. 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如 何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ； (2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ； 2 (3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ；'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？ (2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性. 当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0; 当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0. 也就是说，当a > 0时，? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.
八年级数学下册二次根式定义练习题
八年级数学下册二次根式定义练习题 一、选择题 1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x≤1 B.x≥1 C.x ＞0 D.x ＞﹣1 2、下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.2 x B.8 C.2x D.12+x 4x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．2x ≥- C ．2x ≥ D ．2x ≤ 5、若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.43x ≥ B. 43x> C. 34x ≥ D. 34 x> 6. 如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠1 C ．x ＞0 D ．x≥0且x≠1 7 =成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 8、在函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣2且x ≠0 B.x ≤2且x ≠0 C.x ≠0 D.x ≤﹣2 9、求使下列各式有意义的x 的取值范围？ （1）2+x －x 23- （2）x -－ 11+x (3) 1y x = - （4）2||12--x x
一、选择题 1．下列式子成立的是（ ） A ．33 1= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 2．化简8的结果是（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．±22 3．化简27 23-的结果是（ ） A ．32- B ．32- C ．36- D ．2- 412a =-，则（ ） A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 5、已知y 3，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 6＜0)得（ ） A B C D 7、设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 2a +|a +b |的结果是（ ） A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 8、若+|2a ﹣b+1|=0，则(b ﹣a)2015=（ ） A.﹣1 B.1 C.5 2015 D.﹣520159
八年级下册数学--二次根式知识点整理讲解学习
二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、 分母≠0 4、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数 为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。如2 5 可以写作 5 。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。其中a ≥0是 a 有意 义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 （5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 2 3 2 。 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ； （4）3 -8 ； （5）x 2 +2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 1 2 ）
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1 二、二次根式的性质： 练习：计算（1）（3 5 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18 ）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系：
最新二次根式的有关概念及性质资料
二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而， ，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3， 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两 个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题： 例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴ ∴当-≤x<时，原式有意义。
八年级数学二次根式的概念和性质
二次根式的概念及性质 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）面积为3的正方形的边长为__________，面积为S 的正方形的边长为___________。 （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为___________。 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系：h=52 t 。如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为____________。 【知识梳理1】二次根式的概念 形如_____（a≥0）的式子叫做二次根式， 叫做 。 注：（1）二次根式的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“ ”，如：2、 3 2 等都是二次根式。尽管9的结果为3，但由于9满足二次根式的特征，所以9是二次根式； （2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0，如 21x ﹣－，由于被开方数小于0，所以它不是二次根式； （3）根指数是2，这里的2可以省略不写，如37不是二次根式，因为它的根指数不是2； 形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数的形式，如352不能写成1 152 的形式。 【例题精讲】二次根式的定义 例1. 在式子()12,02,1,42 2 2 3+-<--+x x x x a y x ，，4，x 中，是二次根式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 【试一试】 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、12+a 2. 在、、、、中是二次根式的个数有______个。 【知识梳理2】二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义，则 ≥0。 根据具体的情况可分类讨论如下： a 2a b 1x +2 1x +3
青岛版数学八年级下册9.1《二次根式和它的性质》教案
《二次根式和它的性质》教案1 教学内容 二次根式的概念及其运用． 教学目标 a≥0)的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1 a≥0)的式子叫做二次根式的概念． 2 a≥0)”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是 ___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是______ ____． A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x 求点的坐标 ． 问题2：由勾股定理得AB 问题3：由方差的概念得S 二、探索新知
a ≥0)的式子叫做二次根 式， (学生活动)议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a <0 下列式子，哪些是二次根式，、1x x >0、 -1x y +x ≥0，y ≥0)． ；第二，被开方数是正数或0． x >0)、(x ≥0，y ≥0)；不是二次根 1x 1x y +． 例题解析 例1 当x 在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0才能有意义． 解：由3x -1≥0，得：x ≥13 当x ≥13在实数范围内有意义． 例2 计算 （1）；）（215 （2）；）-（2830. （3）. 223）-（ 三、应用拓展 当x 11x +在实数范围内有意义？ 11x +在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和
二次根式的概念及性质练习题
二次根式的概念及性质练习题 班级 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1x 的取值范围是x<0 （ ） （2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4（ ） （5）2= —12 （ ）;（6—1 2 （ ） （7）2= —1 2 （ ）;（8）（2 =2×1 2=1 （ ） 二、填空题： 1．b ≥3）s ≥0）a （0≥a ）的代 数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ．
4． （7） 2 =________；（8 +（ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a取______ 时， 7．当x取______ 8．当m=-2 值为________． 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式（） A ． ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === ===
2 ．使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12 且x ≠-2; D ．x ≥1 2且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A =3+4=7 B C ．（ 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （ 3） 4时x 的值． ( )( )( )123( 4
二次根式及其性质
二次根式及其性质（2） 鄌郚镇中学 郑全河 教学目标： 1. 会根据 ，以及 进行化简。 2. 知道什么是最简二次根式，会辨别最简二次根式。 3. 掌握二次根式乘、除法运算法则，会熟练进行计算，并将结果写为最简二次根式。 重点、二次根式的性质及运算法则 难点、（1） 化简的分类讨论。 （2）熟练进行二次根式的乘、除法运算及将二次根式化为最简二次根式。 教学过程： 一、观察与思考： 当a ≥0时，a 2的算术平方根是多少？由此你能得到一个怎样的等式? 当a ≥0时, =a 例3 化简： （1）16， （2）2)5(- 解：16＝4 2)5(-＝5 想一想，当a ≥0时, 表示a 的算术平方根，因此有 ， 二、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ ［1］ 94? 94? ［2］ 2516? 2516? ［3］ 4936? 4936? ［4］ 8164? 8164? ［5］ 121100? 121100? 这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积［注：在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数。］ 探一探 用你发现的规律填空［判断是否相等］： ab a b a 0b 0=≥≥（ ，）
32?____________ 6 52?____________ 10 例4 化简 8116? ； 324b a 解：8116?= 324b a = 三、二次根式的性质 的化简： （1） 对于 的化简，注意对被开方数 ，需考察它的正负数，若a 为非负数，即 ，则 ；若a 为负数，则 。显然这和绝对值的化 简是一致的，所以对这一性质，也可以记出中间过程 。 （2）公式 与公式 的比较 ①公式 的左边是对a 先进行开平方再平方，a 是被开方数，所以必须有 的条件，否则 在实数范围内无意义；而公式 的左边 是对a 先平方再开平方， 是被开方数，所以a 取任何实数，总有 ，因此公式 在实数范围内总有意义。 ②只有在 时， 四、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ 小结：一般的， 这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 例5 化简 解：（让同学上黑板演示） 跟踪练习： 阶段小结：（1）怎样形式才算是最简二次根式？ ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 注：对最简二次根式可作如下理解： ①被开方数不含分母。 ()()2925210031y x 972)1()2 81(2)025x x >
初二数学 二次根式 知识点+练习题 详细
二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式， 所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方 根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而 中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运 算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数， 即时，=；时，无意义， 而. 知识点七：同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 知识点八:二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二次根式的概念及性质练习卷
二次根式的概念及性质练习卷 姓名 一．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1 x 的取值范围是x<0 （ ） （2 中字母x 的取值范围是x ≤34 （ ） （3）当x=-1 （ ） （4）当a=-4 （ ） （5） 2= —12 （ ）;（6 —12 （ ） （7） ）2= —12 （ ）;（8）（ 2=2×12=1 （ ） 二、填空题： 1． b ≥3） s ≥0） a （0≥a ）的代数式，叫做_______． 2．当x______ 时， 3 x 的取值范围是_______ ． 4． （7） 2 ； （8 （ 2=________． （10 ． 5．当x=-2 _______． 6．当a 取______ 有意义．7．当x 取______ 8．当m=-2 ________． ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ======
9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ，则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是（b-3）cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题： 1．下列各式中，哪一个是二次根式 （ ） A B C D 2 x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-2; B ．x ≤12且x ≠-2; C ．x<12且x ≠-2; D ．x ≥12 且x ≠-2 3．下列各式中一定成立的是（ ） A B C ．（ 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围： 五、计算：（1 -（12）2; （2） （3） 4时x 的值． x-4│—│7-x │． ( )( )( )123( 4
新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总
二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1、1x x>0）、、1x y +、 x ≥0，y?≥0） ． ”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二次 根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 例2．当x 例3．当x 11x +在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负 数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 例4(1)已知，求x y 的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值
知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若， 则，如：，. 例1 计算 ）2 1．）2 2．（2 3．2 4．（ 2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （1（2（3（4 例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1，则a可以是什么数？（2，则a是什么数？（3，则a是什么数？
人教版八年级下册数学二次根式
二次根式 ◆【课前热身】 1．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 2．下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A B C D 3．3最接近的整数是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．5 4. ） A ．3- B ．3或3- C ．9 D ．3 5.计算18－8＝___________． 【参考答案】◆【考点聚焦】 1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式.掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 2.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化. 1．二次根式 a ≥0）叫做二次根式． 2．最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 3．同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4．二次根式的性质 ① （2 =a （a ≥0）； │a │=(0)0(0)(0)a a a a a >??=??-0）． 5．分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，?若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． ◆【备考兵法】 （本知识点涉及到的常用解题方法） 1.考查最简二次根式、同类二次根式概念.有关习题经常出现在选择题中. 2.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多. 二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． ◆【考点链接】 1．二次根式的有关概念 ⑴ 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数a 只能是 ． ⑵ 最简二次根式 被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最 简二次根式． (3) 同类二次根式
人教16.1二次根式的概念性质练习题
新人教版数学八年级下册二次根式课时练习 一、单选题（共15小题） 1．已知3+x =0，则x 为（ ） >3 <－3 C. x=－3 D. x 的值不能确定 2．化简：2 1a -+的结果为（ ） A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3．如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简|32|8136472-++--k k k 结果是（ ） A 、4k —5 B 、1 C 、13 D 、19—4k 4．下列命题中，错误．． 的是（ ） A =5，则x=5; B ．若a （a ≥0 C π-3 D 5 5．若式子ab a 1+-有意义，则点P （a ， b ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．当a ≥0时，2a 、2)(a -、2 a -，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A.2a =2)(a -≥2a - B.2a >2)(a ->2 a - C. 2a <2)(a -<2a - D.2a ->2a =2 )(a - 7．等式33-=-x x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≠3 B ．x ≥0 C ．x ≥0且x ≠3 D ．x>3