福建省南安市2016年中学生数学现场说题比赛 初二试题及答案(评委用)

南安市2016年中学生数学现场说题比赛试题题库 初二年 (代号:C 2 )

1、（1）如图1，在ABC ?中，ABC ∠的平分线BF 交AC 于点F ，过点F 作D F ∥BC ,

求证：BD DF =．

（2）如图2，在ABC ?中，ABC ∠的平分线

BF 与ABC ∠的平分线CF 相交于点

F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，

交AC 于点E ．那么BD CE DE 、、之

间有何数量关系？并证明这种关系．

【答案】（1）略； （2）DE BD CE =+

试题分析：（1）由于DF BC ，根据平行线的性质，得DFB FBC ∠=∠，BF 平分ABC ∠，根据角平分线的性质，得DBF FBC ∠=∠，所以DBF DFB ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理，可得BD DF =。

（2）由（1）知 BD DF =，同理，CE FE =，所以DE DF FE BD CE =+=+。

解：（1）∵DF BC ，∴DFB FBC ∠=∠

∵BF 平分ABC ∠，∴DBF FBC ∠=∠

∴DBF DFB ∠=∠,∴BD DF =

（2）由（1）知 BD DF =，

同理，CE FE =，∴DE DF FE BD CE =+=+

【变式】

1、若已知AB AC 、的长，则可求ADE ?的周长；

2、如图3，在ABC ?中，ABC ∠的平分线BF 与

ABC ∠的外角平分线CF 相交于点F ，过点F 作DE BC ，

交AB 于点D ，交AC 于点E ．那么BD CE DE 、、之间有

何数量关系？并证明这种关系．

3、若将原题中平行线DE 的方向改变，如图4，

DF AB ，DE AC ，20BC =，求DEF ?的周长；

2、已知：如图，△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形．

（1）求证：AD=CE ；

（2）求证：AD ⊥CE ．

证明：（1）∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，

∴AB=BC ，BD=BE ，∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABC ﹣∠DBC=∠DBE ﹣∠DBC ， 即∠ABD=∠CBE ，

∴△ABD ≌△CBE, ∴AD=CE ．

（2）延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F ，

∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD=∠BCE ，

∵∠BAD+∠BGA =90°，∠BGA=∠CGF ，∴∠BCE+∠CGF=90°

∴∠AFC=180°-（∠BCE+∠CGF ）=90°,∴AD ⊥CE ．

评价：试题来源：外地中考题，本题考点：等腰直角三角形；全等三

角形的性质；全等三角形的判定．

分析：（1）要证AD=CE ，只需证明△ABD ≌△CBE ，由于△ABC 和△DBE

均为等腰直角三角形，所以易证得结论．本小题要求学生能够掌握证明线

段相等的重要方法三角形全等的性质。 （2）延长AD ，根据（1）的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD ⊥CE ．本小题的解题关键是垂直的定义，即证明两直线的夹角90°.所以要延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F ，由此可知要证明∠AFC =90°.通过本题练习与讲解帮助学生更好地掌握证明三角形全等的判定与性质，以及证明线段相等和证明垂直的办法.

3、如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，E 为CD 边上一点，沿直线AE 把△ADE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处，且△ABF 面积为302cm .

求：（1）AD 的长； (2) DE 的长.

解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABF=90°

∵△ABF 面积为302cm ∴302

1=?AB BF ，又∵AB=5，∴BF=12

∴

∵AD 与AF 重叠 ，∴AD=AF=13cm .

（2）由已知可得BC=AD=13cm ，CD=AB=5cm ，DE=EF ，∴CF=B C －BF=13－12 =1（cm ） 设DE=EF=xcm ，则CE=（5-x ）cm ， 由勾股定理得：

.

∴，解得x=2.6cm ，∴ DE=2.6cm . 解析：本题是课本总复习题的稍改装（第2步），主要考查的知识点：轴对称、勾股定理、折叠 三角形的面积公式等知识的理解；考查的技能：学生动手操作的能力、图形的转化、逻辑推理能力；考查的数学思想方法：方程思想、转化思想.

4、如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件： ,使△ABC ≌△ABD.

要求 : 尽量给出多种解法，并一一证明.

解法一：添加条件：C D ∠=∠

证明：∵∠1＝∠2, ∠Ｃ＝∠Ｄ，又∵BA BA =，

∴△ABC ≌△ABD （ＡＡＳ）

解法二：添加条件：BAC BAD ∠=∠

证明：∵∠1＝∠2, BAC BAD ∠=∠，又∵BA BA =，

∴△ABC ≌△ABD （ＡＳＡ）

解法三：添加条件：BC BD =

证明：∵BC BD =,∠1＝∠2, 又∵BA BA =，∴△ABC ≌△ABD （ＳＡＳ）

试题评价：本题改编于华东师大八年级上册第103页复习题第6题改，本题较为简单，但它又属于条件开放性题目，它以全等三角形判定以考查知识点，通过本题的解答，可以引导学生较全面复习ＡＡＳ,ＡＳＡ,ＳＡＳ等全等判定的知识。作为开放性试题，可以考查学生的思维能力与创新意识，通过这些题目，为考生提供了自主探索的机会，培养了学生的空间想象、合情推理与初步的演绎推理等能力 .

5、用7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．

（1）.若a=4,b=1,直接写出线段AP 与线段QC 的数量关系．

（2）设x QC y AP ==,．

①用含x b a ,,的代数式表示y ．

②设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，用含x b a ,,的代数式表示S.

解：（1）依题意得：AP+4=QC+1×4，所以AP=QC

（2）①依题意得：AP+a=QC+b ×4,即：y+a=x+4b, 得y =x+4b-a.

②左上角阴影部分的长为AP=y, 宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为QC=x,宽为a,

∴阴影部分面积之差S=AP ?AF ﹣QC ?CE=3b*y ﹣a*x.=3b （x+4b ﹣a ）﹣ax

=3bx ﹣ax+12b 2﹣

3ab

P

Q

E

F

6、如图，已知：在四边形ABCD 中，AB ∥CD,AD ∥BC,点E 、F 是直线BD 上的两个点，且ED=BF ，连结AE 、CF.

(1)求证：△ABD ≌△CDB ； (2)求证：AE=CF.

证明：(1) ∵AB ∥CD,AD ∥BC

∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD 在⊿ABD 和⊿CDB 中

?????∠=∠=∠=∠CBD ADB BD

BD CDB

ABD ∴⊿ABD ≌⊿CDB(ASA);

(2)法一

由（1）知⊿ABD ≌⊿CDB

∴ AD=BC

∵由（1）知∠ADB=∠CBD

∴∠ADE=∠CBF

∵ED=BF

∴⊿ADE ≌⊿CBF(SAS)

∴AE=CF

法二

∵ED=BF

∴BE=DF

又由（1）知∠ABE=∠CDF

∴⊿ABE ≌⊿CDF(SAS)

∴AE=CF

对本试题的评价：

本题为原创题，考查的知识点有平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质；考查学生试图能力、分析能力以及运用知识解决问题的能力.第（1）小题解决问题的关键点是从已知和图形的性质找出三角形全等的三个条件；第（2）小题的关键点是找出线段AE 、CF 所在的三角形，利用全等三角形的对应边相等解决问题，而线段AE 、CF 所在的三角形有两种情况，所以有两种方法.本试题是平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质综合运用，中考的考点之一，做好此类题目，对中考的要求有一定导向. F E D C

B

A