一种基于三维激光点云数据的单木树冠投影面积和树冠体积自动提取算法

三维激光扫描仪使用说明

瑞士徕卡三维激光扫描仪 产品型号：ScanStation c10 徕卡测量系统股份有限公司HDS高清晰测量系统部门是三维激光扫描解决方案的供应商，她是全球范围内将三维激光扫描技术应用于改建工程、细部测量、工程设计与咨询以及地形测量项目的领导者。其先进的高清晰测量扫描仪、软件以及“交钥匙”系统是高精度、确保投资回报、容易使用以及手段灵活的完美结合。除了这些产品之外，徕卡也向客户提供最全 面的客户服务和支持，并把客户介绍给业内最大也是经验最丰富的服务商网络。 徕卡测量系统的HDS产品家族包括：基于时间测量的HDS3000和ScanStationc10测量系统,基于相位测量的超高速系统HDS6000.这样的产品组合再结合Ｃyclone软件和CAD 插件Cloudworx，我们为用户提供完整的工程解决方案，用户可以获得符合徕卡品质的测量成果、完整的ＣＡＤ工具集成、高精度的可提交成果以及海量工扫描数据管理能力。 徕卡ScanStation 全球第一个带有全站仪功能的三维激光扫描仪 全方位视场角 360°×270°双轴补偿±5′ 全站仪级别的单点测量精度 有效的测距范围 300米 模型表面精度±2mm 全新四大特点： 1、全方位视角:360°×270° 徕卡ScanStation c10全站式扫描仪能够扫描建筑的天花板或顶棚、桥梁下底面、架空管道支撑架、高大物体的立面、柱状或塔式建筑物。全站仪的视场角没有限制，因此，测量员和其它专业人员在安置徕卡ScanStation 全站式扫描仪时，不需为视场角问题费心劳神。 2、高精度双轴（倾斜）补偿器:双轴补偿±5′分辨率1” 比全站仪更加灵活和自由，徕卡ScanStation c10全站式扫描仪可以根据测量控制点完成高精度的导线测量，因为它使用了和徕卡全站仪一样高精度的双轴（倾斜）补偿器。 3、测量级的点位精度:模型表面的精度±2mm 和有些扫描仪通过“多次测量取平均”的方法达到测量级的精度不同，徕卡ScanStation c10全站式扫描仪测量的单点精度也能达到测量级的精度。在远距离扫描时，徕卡ScanStation c10全站式扫描仪的超精细扫描保证了标靶扫描的精度以及扫描拼接的精度，用户会切身体会到其中的好处。

钨基合金激光立体成形的组织及性能研究

第４０卷 第２期２０１６年３月 激 光 技 术ＬＡＳＥＲＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖｏｌ．４０，Ｎｏ．２Ｍａｒｃｈ，２０１６ 文章编号：１００１-３８０６（２０１６）０２-０２５４-０５ 钨基合金激光立体成形的组织及性能研究 王 攀１，２ ，刘天伟１﹡ ，王述钢１ ，蒋 驰１ ，杨 帆 １ （１．中国工程物理研究院表面物理与化学重点实验室，绵阳６２１９０７；２．中国工程物理研究院材料研究所，绵阳６２１９０７）摘要：为了制备高性能、大尺寸钨合金零件，利用激光立体成形技术进行了前期探究实验，在大气环境下制备多种 配比的Ｗ-Ｎｉ-Ｆｅ高比重合金力学拉伸试验件，通过测试抗拉强度、硬度，结合组织结构和成分配比的探究分析，发现其成 形性及力学性能与传统的粉末冶金烧结工艺之间还存在着一定的差距。抗拉强度在Ｗ原子数分数为０．６时达到最大值７１７．５ＭＰａ，之后随着Ｗ原子数分数的增大反而明显减小，当Ｗ原子数分数在０．８以上时，强度已低于４００ＭＰａ。样品存在孔洞和氧化现象，大量Ｗ未溶化，Ｎｉ和Ｆｅ元素越多，微观组织均匀性越好、成分偏析越小。结果表明，利用激光立体成形技术可对钨基合金堆积成形，但是实验工艺参量和实验环境仍需进一步改进。此研究可获得免受大气气氛影响和工艺参量限制的试样，为获得性能更好的高比重钨合金激光立体成形件提供了帮助。 关键词：激光技术；激光立体成形；Ｗ-Ｎｉ-Ｆｅ高比重合金；性能检测；组织分析 中图分类号：ＴＮ２０４ 文献标志码：Ａ doi ：１０．７５１０／ｊｇｊｓ．ｉｓｓｎ．１００１-３８０６．２０１６．０２．０２２ Research of microstructure and properties of tungsten based alloy fabricated by laser solid forming WANG Pan １，２ ，LIU Tianwei １ ，WANG Shugang １ ，JIANG Chi １ ，YANG Fan １ （１．ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｎＳｕｒｆａｃｅＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＣｈｅｍｉｓｔｒｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＰｈｙｓｉｃｓ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１９０７，Ｃｈｉｎａ；２，ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＭａｔｅｒｉａｌ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＰｈｙｓｉｃｓ，Ｍｉａｎｙａｎｇ６２１９０７，Ｃｈｉｎａ） Abstract ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｐｒｅｐａｒｅｈｉｇｈ-ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｎｄｌａｒｇｅ-ｓｉｚｅｔｕｎｇｓｔｅｎａｌｌｏｙｐａｒｔｓ，ｔｈｅｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｗｅｒｅｃａｒｒｉｅｄｏｕｔｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｌａｓｅｒｓｏｌｉｄｆｏｒｍｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．ＶａｒｉｏｕｓｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎｓｏｆＷ-Ｎｉ-Ｆｅｈｉｇｈ-ｄｅｎｓｉｔｙａｌｌｏｙｍｅｃｈａｎｉｃａｌｔｅｎｓｉｌｅｔｅｓｔ ｐｉｅｃｅｓｗｅｒｅｐｒｅｐａｒｅｄｕｎｄｅｒａｔｍｏｓｐｈｅｒｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｂｙｔｅｓｔｉｎｇｔｅｎｓｉｌｅｓｔｒｅｎｇｔｈａｎｄｈａｒｄｎｅｓｓ，ｂｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｔｈｅｃｏｍｐｅｎｔｓｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｐｏｗｄｅｒｍｅｔａｌｌｕｒｇｙｓｉｎｔｅｒｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｆｏｒｍａｂｉｌｉｔｙａｎｄｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｗｅｒｅｆｏｕｎｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｔｅｎｓｉｌｅｓｔｒｅｎｇｔｈｒｅａｃｈｅｓ７１７．５ＭＰａｕｎｄｅｒ０．６ｏｆＷａｔｏｍｉｃｉｔｙｆｒａｃｔｉｏｎａｎｄｉｔｄｅｃｒｅａｓｅｓｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆＷａｔｏｍｉｃｉｔｙｆｒａｃｔｉｏｎ．ＷｈｅｎａｔｏｍｉｃｉｔｙｆｒａｃｔｉｏｎｏｆＷａｔｏｍｉｓｍｏｒｅｔｈａｎ０．８，ｔｈｅｓｔｒｅｎｇｔｈｉｓｌｏｗｅｒｔｈａｎ４００ＭＰａ．Ｈｏｌｅｓａｎｄｏｘｉｄａｔｉｏｎｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎｅｘｉｓｔｉｎｔｈｅｓａｍｐｌｅｓ．ＡｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｏｆＷｄｏｅｓｎ’ｔｍｅｌｔ．ＴｈｅｍｏｒｅＮｉ，Ｆｅｅｌｅｍｅｎｔｓ，ｔｈｅｂｅｔｔｅｒｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅｕｎｉｆｏｒｍｉｔｙ，ｔｈｅｓｍａｌｌｅｒｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓｅｇｒｅｇａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｐｒｅｅｓｅｎｔｔｈａｔｔｕｎｇｓｔｅｎａｌｌｏｙｃａｎｂｅｆｏｒｍｅｄｂｙｌａｓｅｒｓｏｌｉｄｆｏｒｍｉｎｇｔｅｃｈｎｉｑｕｅｂｕｔｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｐｒｏｃｅｓｓｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｒｅｍａｉｎｔｏｂｅｆｕｒｔｈｅｒｉｍｐｒｏｖｅｄ．Ｓａｍｐｌｅｓｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｆｒｅｅｆｒｏｍｅｆｆｅｃｔｏｆａｔｍｏｓｐｈｅｒｅａｎｄｐｒｏｃｅｓｓｐａｒａｍｅｔｅｒｓｌｉｍｉｔｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓｓｔｕｄｙ．Ｆｕｒｔｈｅｍｏｒｅ，ｔｈｅｓｔｕｄｙｉｓｈｅｌｐｆｕｌｔｏｏｂｔａｉｎｂｅｔｔｅｒｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｕｎｇｓｔｅｎａｌｌｏｙｌａｓｅｒｓｏｌｉｄｆｏｒｍｉｎｇｐａｒｔｓ． Key words ：ｌａｓｅｒｔｅｃｈｎｉｑｕｅ；ｌａｓｅｒｓｏｌｉｄｆｏｒｍｉｎｇ；Ｗ-Ｎｉ-Ｆｅｈｉｇｈ-ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｌｏｙ；ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｔｅｓｔ；ｍｉｃｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎａｌｙｓｉｓ 基金项目：中国工程物理研究院重点实验室学科发展基金资助项目（ｘｋ２０１３０８） 作者简介：王 攀（１９９０-），男，硕士研究生，主要从事合 金激光立体成形方面的研究。 ﹡通讯联系人。Ｅ-ｍａｉｌ：ｌｉｕｔｉａｎｗｅｉ＠ｃａｅｐ．ｃｎ 收稿日期：２０１４-１２-２３；收到修改稿日期：２０１５-０３-１７ 引 言 钨基高比重合金是国防和核工业中的重要原料，可用于常规武器用的穿甲弹弹芯，制造航天和航天器用的陀螺仪转子、导向装置和减震装置等，是一种战略资源 ［１］ 。目前主要采用粉末冶金烧结的方法制备，受 制于烧结设备尺寸和烧结温度限制，在制备高性能、大尺寸钨合金零件方面还存在一些问题。开辟新的钨基高比重合金材料零件制备途径，是未来突破国外技术封锁和发展具有我国自主知识产权制备钨合金技术的必经之路，有利于保障我国国防核工业的持续发展。近年来，随着激光立体成形技术的发展和成熟，其所具有的逐点逐层的离散熔覆沉积及沉积温度可控的 特点［２］ ，使其成为钨基高比重合金材料制备的一条新的途径。激光立体成形技术（ｌａｓｅｒｓｏｌｉｄｆｏｒｍｉｎｇ，ＬＳＦ）是将激光涂覆和快速原型制造技术相结合在一起，在计算机中生成零件的３维计算机辅助设计（ｃｏｍｐｕｔｅｒａｉｄｅｄｄｅｓｉｇｎ，ＣＡＤ）模型，然后用切片软件将３维ＣＡＤ

(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E

∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2

数控激光切割机

数控激光切割机 三维激光切割机 使用U形管激光头的激光切割机，可以在立体的加工对象上，进行各种工艺所需的加工。三维激光切割机，可以在任意一个面上进行工作，无需人工掉正角度。 行业应用： 广泛应用于汽车制造、模具制造、医疗器械、五金、装饰、金属对外加工服务等各种制造行业。 设备优势： 1)尖端光纤激光技术与数字控制技术完美融合，代表着最先进的激光切割水平; 2)专业的激光切割机控制系统，电脑操作，能够保证切割质量，使切割工作更方便，操作更为简单; 3)配置进口智能六轴机器人，可实现三维立体切割，操控方便，智能化程度高。保证设备的高速度、高精度、高可靠性; 4)激光切割头配置进口激光切割头，反应灵敏、准确，与机械手有效配合，避免切割头与加工板材碰撞，并能保证切割焦点位置，保证切割质量稳定; 5)激光切割头可承受1.0Mpa气体压力，高压气路设备，提高了对不锈钢等难割材料的切割能力。 可加工材料 不锈钢、碳钢、合金钢、硅钢、弹簧钢、铝、铝合金、镀锌板、镀铝锌版、酸洗板、铜、银、金、钛等金属板材及管材切割。 产品特点 采用精密丝杆传动技术，配以专业高精度激光头，激光输出功率稳定，加工幅面大，可对亚克力、木材等各种不同厚度材料进行精准切割加工，配备五寸液晶显示屏，脱机数控系统，操作更为便捷。 三维激光切割机 应用范围 适用于玻璃、有机玻璃、板材等各种非金属材料。

技术参数 激光类型 CO2RF金属激光器 激光输出功率 100W、150W、300W、450W、600W 工作幅面1300mm×900mm 切割平台条状工作平台 切割(空程)速度 0-48000mm/min 定位精度≤0.01mm 运动系统伺服运动系统 供电电源AC220V±5% / 50HZ 支持图形格式 AI、BMP、PLT、DXF、DST等 标配跟随式抽烟系统、恒温冷水机、、550W排烟机、微型空压机选配激光加工工艺配件盒、CCD智能摄像定位系统、Z轴自动跟

法如激光三维扫描仪在古建筑保护领域的应用

三维激光扫描技术 21世纪初,三维激光开始被应用于古建筑测绘领域,如用于故宫修复测绘.和数码相机相结合对古建筑物进行快速三维重建等,实现古建地数字化存档,为研究中国古建筑史和建筑理论提供重要资料. 三维激光在古建筑保护中相对于传统测绘手段而言更显示出其独特地.无法取代地优越性.然而,由于建筑本身地特性以及技术本身地局限性,也使得三维激光用于古建筑测绘存在一定地缺陷,且技术含量较高,硬件设备昂贵,投入大,易受古建筑物周围高大树木遮挡等,实际实施往往有难度. 三维激光扫描仪（FaroFocus3D） 图Faro大场景地面三维激光扫描仪

三维激光扫描技术又称“实景复制技术”,通过现场扫描操作直接将各种大型.复杂.不规则地.标准或非标准等实体三维数据完整地采集到电脑中,进而快速重构出目标地三维模型及线.面.体.空间等各种制图数据.同时,采集地三维激光点云数据还可进行各种后处理工作,如：测绘.计量.分析.仿真.模拟.展示.监测.虚拟现实等,它是各种正向工程工具地对称应用工具,即逆向工程工具.它区别于传统地单点定位测量.点线测绘技术及照相测量技术. 图三维激光扫描仪 三维激光扫描可以同时获取空间三维点云Pointcloud和彩色数字图像两种数据,扫描点空间定位精度达到5mm~10mm,使该项技术成为欧美等国在高效率空间数据获取和地面遥感探测及三维建模方面地研究热点.近年来,该项技术在欧美等国家和地区地应用涉及城市规划.资源调查.灾害管理.工程设计及国防等方面,特别在城市三维景观.古建重建.虚拟现实与仿真等方面发挥了巨大优势. 工作原理 三维激光扫描技术,是通过内部地激光脉冲发射器向目标物发出激光脉冲,通过反光镜旋转,发出地激光脉冲扫过被测目标,信号接收器接收来自目标体返回地激光脉冲,通过每个激光脉冲从发出到被测物表面返回仪器所经过地时间可以获得被测物体到扫描中心地距离,同时扫描控制模块可测量每个激光脉冲地水平扫描角α和竖向扫描角β,后处理软件自动解算得出被测点地相对三维坐标,进而转换成绝对坐标系中地三维空间位置坐标或三维模型.

射影面积法求二面角

射影面积法（cos S S 射影原 q = ） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD ∥BC,∠ABC=90°，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=BC=1， AD=21 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。 解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S △SCD 与S △SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足cos θ= 1 11?? 3 。 例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中， 2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P

解：（Ⅰ）证略 （Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C =， BC ∴⊥平面PAC ． 取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥． EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥． ∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得： 2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ， 2==EC AE 则1222 121=?=?= =?CE AE S S ACE 射， 3622 1 21=?=?= =?EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为?，则3 3 3 1cos = = = 原 射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3 3arccos =? 练习1： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的 棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成 锐角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值为cos θ= 3 2）. A C B E P A 1 D 1 B 1 1 E D B C A 图5

国内知名的金属激光切割机厂商排行榜

国内知名的金属激光切割机厂商排行榜 耗电耗材： 系统耗电：<8KW(根据选配激光器功率大小而异) 零星耗材：<0.5元/小时(包括高功率激光器水冷系统的滤芯、切割头气嘴和切割头保护镜片) 吹气费用：<6元/小时(以用纯氧辅助切割2MM内碳钢为例) 性能指标: 激光功率:200W/300W/400W/500W/1000(根据工件材质和料厚可选) 激光波长:1070NM 工作区域:半径2米的半球形工作区域(选配半径2米的机械手) 切割速度:0-15米/分钟(根据功率大小和工件材质与厚度可调) 供电电源:三相交流380V 用电功率: <8KW(根据选配激光器功率大小而定) 冷却方式:风冷/水冷(根据选配激光器功率大小而定) 切割头焦距：5-7英寸(根据工件厚度可选) 机械手重复定位精度：±0.1MM 机械手保护等级：IP65 系统使用寿命：十万小时 系统保修:2年 系统选型： 1. 根据工件大小选配不同臂长的机械手。在置顶安装的情况下，机械手为半球面的工作区域，考虑到用户的实际加工情况和后期产品升级空间，建议采用臂长 2.01米的机械手，可达直径3米的半球形加工区域。 2. 根据工件材质和厚薄选配不同功率级别的光纤激光器。金属的切割以碳钢、铝和不锈钢三种为代表，铝等为高反射材料，同样料厚情况下需选配更大功率的激光器，碳钢比较容易切割，典型参数为2MM内厚碳钢选用200W激光器。具体选型可接洽我公司工艺工程师。

3. 根据工件厚薄选配不同焦距的切割头，有3、5、7英寸可供选配。6mm以下薄板切割可选5英寸的中焦距切割头，6mm 以上中厚板切割一般选用7英寸的长焦距切割头。 4. 根据实际需要选配离线编程软件。 产品结合汽车钣金覆盖件和底盘件的行业特点，采用工业机器人+光纤激光器的组合进行三维切割，耗材耗电总费用控制在每小时20元内。 采用用工业机器人代替五轴机床。工业机器人的重复定位精度比五轴机床稍低，约为 ±100uM，但完全满足汽车钣金覆盖件和底盘件行业的精度要求。而采用工业机器人大大降低了系统的成本造价，减少了耗电系统费用和系统运行维护费用以及系统的占地面积。 用光纤激光器代替CO2激光器。光纤激光技术是近几年高速发展的激光技术，相比传统激光，具有更好的切割质量，更低的系统造价，更长的使用寿命和更低的维护费用，更低的耗电。光纤激光器的激光可以通过光纤传输，方便与工业机器连接，实现柔性加工。 三维光纤激光切割机是由专用光纤激光切割头、高精度电容式跟踪系统、光纤激光器以及工业机器人系统对不同厚度的金属板材进行多角度、多方位柔性切割的先进的激光切割设备。 三维激光切割机是利用工业机器人灵活和快速的动作性能，根据用户切割加工工件尺寸的大小不同，可以选择将机器人进行正装或者倒装对不同产品、不同轨迹进行示教编程或离线编程，机器人的第六轴装载光纤激光切割头对不规则工件进行三维切割;光纤激光切割头上配备随动装置和光路传输装置，利用光纤将激光传输到切割头上，再利用聚焦系统进行聚焦，针对不同厚度的板材开发出多套聚焦系统对多种三维金属板材进行多方位的切割，满足客户的需求。 根据金属板材的厚度不同，所选光纤激光器的功率大小也不一样，做三维切割的光纤激光器的功率一般分200W、300W、400W、500W、1000W等多种规格;对不同功率的激光器配备制冷量不同的冷却系统，以保障激光器的正 常工作。同时要根据机械臂的工作半径和客户加工工件的大小选定合适长度的操作光纤传输激光以满足客户切割要求。 三维光纤激光切割机采用的辅助气体是99.99%的氧气，这样对切割的精度、速度和切割的断面效果有很大的帮助。 产品介绍： 首先，用工业机器人代替五轴机床。两者都能进行空间轨迹的描述实现三维立体切割，工业机器人的重复定位精度比五轴机床稍低，约为±100uM，但这完全可以满足汽车钣金覆盖件和底盘件行业的精度要求了。而采用工业机器人大大降低了系统的成本造价，减少了耗电系统费用和系统运行维护费用，减少了系统的占地面积。 其次，用光纤激光器代替CO2激光器。光纤激光技术是近几年高速发展的激光技术，相比传统激光，具有更好的切割质量，更低的系统造价，更长的使用寿命和更低的维护费用，更低的耗电。关键是光纤激光器的激光可以通过光纤传输，方便与工业机器连接，实现柔性加工。

激光立体成形技术的发展现状与趋势

激光立体成形技术的发展现状与趋势 近年来，激光立体成形技术得到发达国家政府、大企业和研究机构的高度重视。作为美国制造业振兴计划“We Can't Wait”项目的一部分,美国政府于20xx年8月高调宣布成立国家增材制造创新研究所(NAMII ：National Additive Manufacturing Innovation Institute )，其第一阶段的政府和民间投资为7000万美元。奥巴马总统强调这个研究所的成立是强化美国制造业的步骤。在空客于2006年启动的集成机翼计划(Integrated Wing ATVP，第一阶段总经费3400万英镑)中，英国焊接研究所(TWI)承担起落架激光成形研发工作，经费400万英镑，TWI为此建立了两套激光成形装备。南非科技与工业研究院(CSIR)下属的国家激光中心与南非航空制造公司Aerosud将合作开展Aeroswift项目研究。Aeroswift的目标是，自主开发高速度、大体积的高性能金属零件激光添加材料制造(LAM)系统，为全球航空工业制造钛金属材料配件，并力争在未来三年内，使Aerosud成为全球航空结构材料制造领域的领军者。Aeroswift的目标是直接加工2m×0.5m×0.5m的零件。为此，南非科技部已经投入了2800万兰特(约合1712万元人民币)，并且预计他们的LAM制造体系将在20xx 年底至20xx年初完成组建和试验工作，然后开始优化和工艺鉴定，希望从20xx年开始全面生产。 美国波音公司、洛克希德·马丁公司、通用电气航空发动机公司、

Sandia国家实验室和Los Alomos国家实验室、欧洲EADS公司、英国罗罗公司、法国SAFRAN公司、意大利AVIO公司、加拿大国家研究院、澳大利亚国家科学研究中心等大型公司和国家研究机构都对激光立体成形技术及其在航空航天领域的应用开展了大量研究工作。参与这项研究的世界著名大学更是数不胜数。 值得注意的是，美国军方对这项技术的发展给予了相当大的关注，在其直接支持下，美国于20xx年率先将这一先进技术实用化。应用目标包括先进飞机承力结构件如钛合金支架、吊耳、框、梁等，航空发动机零件如镍基高温合金单晶叶片，战术导弹、人造卫星、超音速飞行器的薄壁结构件如导弹制导部外壳座、导弹姿态控制系统的铼燃烧室等。20xx年10月该公司获得美国国防部后勤局(U. S. Defense Logistics Agency)出资1940万美元，资助AeroMet公司由单纯的技术研究开发到成为军用及民用飞机的通过认证的、性能可靠的钛合金结构件激光立体成形制造供应商的转变。 我国在激光立体成形技术领域处于世界先进水平。西北工业大学于19xx年开始在国内率先提出以获得极高(相当于锻件)性能构件为目标的激光立体成形的技术构思，并在迄今xx年的时间里持续进行了激光立体成形技术的系统化研究工作，形成了包括材料、工艺、装备和应用技术在内的完整的技术体系。针对航空航天等高技术领域对结构件高性能、轻量化、整体化、精密成形技术的迫切需求，开展了

光纤激光切割机常见问题

光纤激光切割机常见问题 1.概述 三维光纤激光切割机是由专用光纤激光切割头、高精度电容式跟踪系统、光纤激光器以及工业机器人系统组成，对不同厚度的金属板材进行多角度、多方位柔性切割的先进设备。三维机器人激光切割机设备广泛应用于金属加工、机械制造及汽车零部件制造等对3D工件有加工需求的生产中。 2.三维光纤激光切割机器人 (1)三维激光切割原理激光通过激光器产生后，由反射镜传递并通过聚集镜照射到加工物品上，使加工物品(表面)受到强大的热能而温度急剧增加，使该点因高温而迅速的熔化或者汽化，配合激光头的运行轨迹从而达到加工目的。 (2)光纤的选择根据金属板材的厚度不同，选用不同的光纤激光器功率，三维切割光纤激光器的功率一般分200W、300W、400W、500W与1000W等多种规格;对不同功率的激光器配备不同的冷却系统，以保障激光器的正常工作。同时要根据机械臂的工作半径和加工工件的大小选定合适长度的操作光纤传输激光，以满足客户切割要求。 (3)辅助气体的要求三维光纤激光切割机采用的辅助气体是99.99%的氧气，这样对切割的精度、速度和切割的断面效果有很大的帮助。 3.三维光纤激光切割机器人的特点 (1)柔性高尤其适合小批量的三维钣金切割。 其高柔性主要表现在两个方面： 第一，对材料的适应性强，激光切割机通过数控程序基本可以切割任意板材。 第二，加工路径由程序控制，如果加工对象发生变化，只须修改程序即可，这一点在零件修边、切孔时体现得尤为明显。由于修边模、冲孔模对其他不同零件的加工无能为力，而且模具的成本高，所以目前三维激光切割有取代修边模、冲孔模的趋势。一般来说，三维机械加工的夹具设计及其使用比较复杂，但激光加工时对被加工板材不施加机械加工力，这使得夹具制作变得很简单。此外，一台激光设备如果配套不同的硬件和软件，就可以实现多种功能。 总之，在实际生产中，三维激光切割在提高产品质量、生产效率，缩短产品开发周期、降低劳动强度、节省原材料等方面优势明显。因此，尽管设备成本高、一次性投资大，国内还是有很多汽车、飞机生产厂家购进了三维激光加工机，部分高校也购进了相应设备进行科研，三维激光技术势必在我国制造业中发挥着越来越大的作用。 (2)光纤激光切割机器人优缺点第一，用工业机器人代替五轴机床，两者都能进行空间轨迹描述实现三维立体切割。工业机器人的重复定位精度比五轴机床稍低，约为±100μm，但这完全可以满足汽车钣金覆盖件和底盘行业的精度要求;而采用工业机器人大大降低了系统的成本造价，减少了耗电系统费用和系统运行维护费用，减少了系统的占地面积。 第二，光纤激光相比传统激光，具有更好的切割质量，更低的系统造价，更长的使用寿命和更低的维护费用，更低的耗电。关键是光纤激光器的激光可以通过光纤传输，方便与工业机器人连接，实现柔性加工。 第三，本系统唯一的缺陷是只能加工金属工件，不能加工非金属工件。这是因为本系统采用的是光纤激光，其波长为1064nm，相对于波长为10640nm的CO2激光，不易为非金属材料所吸收。

三维激光扫描仪的使用说明

甘肃启奥地理信息工程服务有限公司 三维激光扫描仪 使用规范 二零一二年十二月

三维激光扫描仪以其长距离，高精度，快速度数据扫描的特点，能在条件恶劣，人员无法抵达的环境里，完成了一系列高难度、高强度的测绘任务，发挥出了其独有的优势，给我们测绘带来前所未有的效益。在使用RIEGL VZ-1000近一年半的时间里，我们也总结了很多经验，我将此仪器的常规操作做一简要总结，作为基本的使用规范： 一、外业基础工作 1.配件及外业准备工作 三维激光扫描仪外业测绘所需配件有：RIEGL VZ-1000主机、充电器、电瓶、电瓶充电器、数据线、电源线、笔记本电脑(电池，鼠标等)。 辅助设备：RTK1+1模式、仪器箱、内六方扳手、背包（仪器保护小棉袄）、木质脚架，简易脚架、记录本、觇板、反射贴片，卷尺等。 2.充电 1）三维激光扫描仪自带电池直接可以充电，由于其自身的电池保护功能在电池电量没有完全用完的情况下，首先开机放电，让其正常耗电，电量小于10%以下，电量显示为红色，方可继续充电，否则无法充电。充电时间保持8小时以上。 2）电瓶充电时，必须严格按照正负极标注进行接线，严禁违规操作。接通电瓶充电器，绿灯亮后，在仪表盘上，电压设置12V,电流设置18A以上。充电时间保持10小时以上。 3）其余设备（RTK、笔记本电脑、对讲机等）按正常标准充电，

充分保证野外工作的顺利经行 3.外业数据采集 1）找到合适的仪器架设位置后，固定脚架，使其基本平整，将扫描仪固定到脚架上，拧紧连接螺旋。先连接数据线(注意卡口，切记野蛮连接)，如果需用电瓶供电，再连接电源线缆。打开供电按钮，启动一起，同时启动电脑。在距离扫描仪15米左右视野开阔的地方，固定简易脚架，设置反射贴片位置,并记录反射贴片高度，反射贴片正对扫描仪。 2）扫描仪开机后，仪器下方出现激光束投射到地面上，找准激光位置，做好标记，量取仪器高并记录(激光投射地面点到脚架基座的高度,单位m)。 3）笔记本启动后，桌面上点击图标，启动软件，进入软件操作界面（见图1）。 图1 软件操作界面

射影面积法

射影面积法 在两平面间二面角的求法中,一种是利用余弦定理,另外一种便是射影面积法. 详细方法:一个面上取个三角型面积为S1 在另一个面上做或者找到那个三角形的射影（即 以3个点的射影为顶点的三角形）的面积S2。二面角为X 则COSX=S2/S1 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO 逆定理 三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 用法： ⊥AO ∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥PO ∴a

例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。 已知：∠BAC 在平面α内，点在α外，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α，垂足分别是E 、F 、O ，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO 证明：连接PA ， OE ，OF ∵ PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α， ∴AB ⊥OE ，AC ⊥OF （三垂线定理的逆定理） ∵ PE=PF ，PA=PA ，∴Rt PAE ≌Rt PAF 。 ∴AE=AF 又AO=AO ∴，∴Rt AOE ≌Rt AOF 。 ∴ ∠BAO=∠CAO 用公式法求二面角的平面角 大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就 确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设 为一个三面角， ， ， ， 二面角 的平面角为 ，则有 ． 略证：如图， ， ，则 ．令 ， ．在 △ 中， ， ．同理， ， ．故 ． 又在△ 中， ， ① 在△ 中， ． ② α A B C O P E F

三维激光切割加工

三维激光切割加工 性能参数 耗电耗材： 系统耗电：<8KW(根据选配激光器功率大小而异) 零星耗材：<0.5元/小时(包括高功率激光器水冷系统的滤芯、切割头气嘴和切割头保护镜片) 吹气费用：<6元/小时(以用纯氧辅助切割2MM内碳钢为例) 三维切割系统的技术优势： 1.因为采用了业内最高精度的史陶比尔机械手，本体较轻，切割速度快，在小弧度的精细切割和大边的高速切割方面具有明显优势，实际切割速度可以达到18米/分钟而无抖动，综合加工效率是其他品牌机械手组合的两倍，性价比高，还可以节约一组的耗材和人工，后期可以少追加设备也能满足产能要求。还可24小时持续工作。一次性投入相对较少，在一个很短的折旧期内(两班8小时工作制)，史陶比尔机器人激光解决方案就可回收投资。同时能耗少，体积小，维护需求低。 2.切割精度高。采用史陶比尔专利齿轮减速系统JCS和JCM，独一无二的驱动技术，确保了无可匹敌的轨迹控制精度和速度。即使是要求极高的小圆，或复杂立体几.何图形的加工，也可精确和快速完成，从而提升您的产品品质。系统重复定位精度高达±0.05M，完全可以满足钣金件行业的精度需求。可切割直径小至2MM的小圆，切割效果圆滑美观，目测无形变和毛刺。 3.切割幅面大，实际死角小。选配臂长2.01米的机械手，除了实现直径达3米的半球形三维加工区域外，还可实现较大的二维平面切割，配合我公司配套生产的可移动工作台2.5mX5m(2m 的运动行程)，可实现2mX5m的二维平面切割。 4. 根据实际需要选配离线编程软件，可读取UG,SOLIDWORK等三维作图软件导出的 vda,igs,x_t,sldprt,prt,stp,ipt,par等格式的数模，修改后直接生成切割轨迹，代替人工示教，简单易用。 5. 工业控制理念，模块化设计，全系统的防护等级为IP55,机械手防护等级更是高达IP65，系统集成度高，故障少，抗冲击振动，抗灰尘，无须光学调整或维护，真正适合于工业加工领域的应用用于恶劣的激光环境。结构坚固，动态性更佳。而其他同类产品为简单集成，设备的稳定性较差。 6.系统的工艺性和易用性较好。简单而功能强大的史陶比尔激光专用标准软件LasMAN基于Windows操作系统，用户界面简单友好，集成了机器人运动控制、激光控制、数据处理和产品管理等功能。友好的人机界面，模块化的设计，使得操作者仅需经过简单的培训即可达到系统产能最大化，同时也易于集成。这就大大降低了对操作工人的要求，降低了对工人的管理难度。

三维激光扫描仪使用说明

三维激光扫描仪使用说明 1、三维激光扫描原理 Trimble GX200三维激光扫描系统由三维激光扫描仪、数码相机、扫描仪旋转平台、软件控制平台，数据处理平台及电源和其它附件设备共同构成，是一种集成了多种高新技术的新型空间信息数据获取手段。地面三维激光扫描系统的工作原理：首先由激光脉冲二极管发射出激光脉冲信号，经过旋转棱镜，射向目标，然后通过探测器，接收反射回来的激光脉冲信号，并由记录器记录，最后转换成能够直接识别处理的数据信息，经过软件处理实现实体建模输出。 2、三维激光扫描工作流程 应用三维激光测量技术采集数据的工作过程大致可以分为计划制定、外业数据采集和内业数据处理三部分。在具体工作展开之前首先需要制定详细的工作计划，做一些准备工作，主要包括：根据扫描对象的不同和精度的具体要求设计一条合适的扫描路线、确定恰当的采样密度、大致确定扫描仪至扫描物体的距离、设站数、大致的设站位置等等；外业工作主要是采集数据：主要包括数据采集、现场分析采集到的数据是否大致符合要求、进行初步的质量分析和控制等等；内业数据处理是最重要也是工作量最大的一环，主要包括：外业采集到的激光扫描原始数据的显示，数据的规则格网化，数据滤波、分类、分割，数据的压缩，图像处理，模式识别等等。 3、三维激光扫描仪用途 目前Trimble GX200三维激光扫描仪的主要用途为工程测量、地形测景、虚拟现实和模拟可视化、矿区土方开挖断面和体积测量、工业制造、变形测量、加工检测、施工控测、事故调查、历史古迹的调查与恢复，以及特殊动画效果的测量等。 4、本校对三维激光扫描仪主要用途说明 本校对Trimble GX200三维激光扫描的主要用途有如下三个方面： （1）本科生可以运用三维激光扫描仪进行相关的教学实验，用于建立简单的建筑物模型，了解外业操作和内业数据处理的基本方法，使自己掌握先进的测量仪器，拓宽自己知识面，为以后进一步的研究打下基础。 （2）硕士研究生可以结合本专业情况运用三维激光扫描仪进行各种实验项目，例如可以在变形监测方面运用仪器进行相关实验，获得测量数据进行相关的后续研究。 （3）博士研究生可以更深入对三维激光扫描系统进行理论研究。例如三维激光扫描仪工作原理的研究，相关数据处理软件的研究和开发，三维激光测量系统理论方法的研究等。

激光三维成像关键技术研究

激光三维成像关键技术研究 随着激光成像技术的发展,激光三维成像雷达以其自身独特优势在现代军事防御领域中扮演着愈发重要的角色。本文结合目前我国自主研发的激光三维成像雷达成像数据特点,围绕目标三维可视化和分类识别这一核心问题,对贯穿其中的激光三维成像仿真、曲面光顺、目标表面重建、目标三维特征提取与分类识别等激光三维成像雷达关键数据处理技术开展探索研究工作,具体的研究内容和创新成果如下:(1)激光三维成像仿真研究本文基于激光三维成像理论模型研究,进行激光三维成像仿真研究,开发出两种模拟激光光束与目标表面之间物理交互逻辑的仿真方案,可模拟激光三维成像装置对目标的理想成像过程,获取目标理想三维成像数据——距离图像或三维点云,一方面可用于硬件系统研制初期设计方案的验证与研讨,降低设计错误成本;另一方面可用于后续三维成像数据处理算法预先研究,缩短整套系统研制周期。其中几何法创造性地将光束追踪引入到激光三维成像仿真当中,加以局部搜索,能快速仿真激光三维成像装置对任一目标的三维成像过程。本文使用该激光三维成像雷达仿真方案,模拟国防科大激光三维成像雷达对不同空间位置不同运动状态下的典型空中目标的理想成像过程,并基于仿真成像结果(距离图像或三维点云)开展曲面光顺、目标表面重建等后续算法研究。 (2)曲面光顺算法研究通过曲面光顺算法处理,滤除或减小噪声对目标三维成像数据的影响,是基于目标三维成像数据进行目标表面重建非常重要的预处理环节。目前应用比较广泛的曲面光顺算法是基于双边滤波思想的Fleishman光顺方法,它的核心思想是沿着顶点法向量方向调整顶点位置实现曲面光顺,曲面顶点位置调整大小和调整方向依赖于顶点邻域三角面片顶点和面片法向量。但当激光采样点阵稀疏,顶点法向量计算误差比较大时,这种方法便不能很好地工作了。本文针对我国自主研发的激光三维成像雷达,充分利用其输出距离图像中所包含的目标表面采样点空间拓扑信息,并充分考虑当前流行的双边滤波曲面光顺方法在稀疏点云光顺问题上的局限性,提出采用图像中值和双边组合滤波方式进行二维数据处理实现目标表面光顺,不仅避免了点云法向量估计、空间投影等三维空间计算,而且能在最大程度保持目标表面几何形状的基础上有效滤除测量数据中的孤立噪声点和小幅度噪声,实现目标表面光顺。

第二章 航空摄影测量的基本知识

第二章航空摄影测量的基本知识 主要内容 1.航摄仪和感光材料 2.航摄基本知识及其作用 比例尺重叠度（航向旁向） 相片偏角 3.投影比较：类型特点 第一节航空摄影仪与感光材料 一、航空摄影仪 指航空摄影机、地面摄影测量用的摄影经纬仪，以及近景摄 影测量用的摄影机，简称摄影机。主要由暗箱和镜箱构成。 1.镜箱物镜 物镜筒 座架 框标平面镜箱体是一个可调节摄影物镜与像平面之间距离的封闭筒 2.暗箱： 3.框标平面:镜箱体后端为一金属框架，研磨成极为精确的平面 作用：像点坐标量测 3.框标坐标： 在框标平面内区其交点作为坐标原点，建立起框标直角坐标系。航摄软片紧密贴附在框标平面上，所以框标平面即为像

平面的位置。 4.像主点：摄影机主光轴与像平面的交点 5.摄影机主距（像片主距）：摄影机物镜后节点到像片主点的垂距称为摄影机主距，也叫像片主距，一般用字母f表示。 二、分类 （一）按摄影物镜焦距和像场角分为： 1.短焦距航摄仪， f＜150 mm，相应的像场角为β＞100o； 2.中焦距航摄仪 f:150 mm＜＜300 mm，像场角为70o＜β＜100o； 3.长焦距航摄仪 f＞300 mm，相应的像场角为2≤70o。 二、分类 （二）按照像幅（正方形）大小分： 1.短焦距航空摄影机的像幅多为18 cm×18 cm 2.中焦距航空摄影机的像幅有18 cm×18 cm和23 cm×23 cm 3.长焦距航空摄影机的像幅多为23 cm×23 cm和30 cm×30 cm 第二节航空摄影测量对摄影资料的基本要 求 ?测绘地形------摄影多采用竖直摄影方式，即航摄机在曝光瞬 间物镜主光轴保持垂直于地面。 ?《航空摄影测量规范》要求像片倾角应小于2o～3o。

二面角问题求解方法大全

五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明： AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 (1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 练习2如图，在四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用 补棱法解决 例3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点， PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. C E D P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D