初中数学二次根式测试题
初中数学二次根式测试题 (一)判断题:(每小题1分,共5分). 1.2)2(=2.……( ) 2. 2 1x --是二次根式.……………( ) 3. 2 21213-= 2 21213-=13-12=1.( )4. a ,2 ab ,a c 1是同类二次根 式.……( ) 5.b a +的有理化因式为b a -.…………( )【答案】1.√;2.×;3.×;4.√;5.×. (二)填空题:(每小题2分,共20分) 6.等式 2 )1(-x =1-x 成立的条件是_____________.【答案】x ≤1. 7.当x ____________时,二次根式32-x 有意义.【提示】二次根式a 有意义的条件是什么? a ≥0.【答案】≥2 3. 8.比较大小: 3-2______2-3 .【提示】∵ 2 43=<,∴ 023<-, 032>-.【答案】<. 9.计算: 22)2 1()213(-等于__________.【提示】(321)2-(21 )2=?【答案】23. 10.计算:92131·311 4a =______________.【答案】92a a . 11.实数a 、b a o b 则3a - 2 )43(b a -=______________. 【提示】从数轴上看出a 、b 是什么数?[a <0,b >0.]3a -4b 是正数还是负数? [3a -4b <0.]【答案】6a -4b . 12.若8-x +2-y =0,则x =___________,y =_________________. 【提示】 8-x 和2-y 各表示什么?[x -8和y -2的算术平方根,算术平方根一定非负,]你 能得到什么结论?[x -8=0,y -2=0.]【答案】8,2. 13.3-25的有理化因式是____________. 【提示】(3-25)(3+25)=-11.【答案】3+25. 14.当 2 1<x <1时, 122+-x x - 24 1 x x +-=______________. 【提示】x 2-2x +1=( )2;4 1-x +x 2=( )2.[x -1; 2 1-x .]当 2 1<x <1时,x -1与 2 1-x 各是正数还是负数?[x -1是负数, 21-x 也是负数.]【答案】2 3 -2x . 15.若最简二次根式1 32-+b a 与 a b -4是同类二次根式,则a =_____________, b =______________. 【提示】二次根式的根指数是多少?[3b -1=2.]a +2与4b -a 有什么关系时,两式是同类二次根式?[a +2=4b -a .] 【答案】1,1. (三)选择题:(每小题3分,共15分) 16.下列变形中,正确的是………( )(A )(2 3)2=2×3=6 (B )2 )5 2 (-=- 5 2 (C ) 169+=169+ (D ) )4()9(-?-=49?【答案】D . 【点评】本题考查二次根式的性质.注意(B )不正确是因为 2)5 2(=|- 5 2|= 5 2;(C )不正确是
2020-2021初中数学二次根式解析含答案
2020-2021初中数学二次根式解析含答案 一、选择题 1.下列计算正确的是() A.4333 -=B.235 +=C. 1 21 2 =D.822 ÷= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得.【详解】 A、43333 -=,错误; B、2、3不是同类二次根式,不能合并,错误; C、 12 222 22 =?=,错误; D、8242 ÷==,正确; 故选:D. 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则. 2.下列计算正确的是() A.+=B.﹣=﹣1 C.×=6 D.÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断. 【详解】 解:A、B与不能合并,所以A、B选项错误; C、原式= ×=,所以C选项错误; D、原式==3,所以D选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
3.下列各式中计算正确的是() A += B .2+= C = D 2= 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项,分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算,选出正确答案. 【详解】 解:不是同类二次根式,不能合并,故本选项错误; B.2 = ,原式计算错误,故本选项错误. 故选:C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法,在进行此类运算时,掌握运算法则是解题的关键. 4.下列各式计算正确的是( ) A 1082 ==-= B . ()() 236= =-?-= C 115236==+= D .54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断;根据二次根式的乘法法则对B 进行判断. 【详解】 解:A 、原式,所以A 选项错误; B 、原式,所以B 选项错误; C 、原式C 选项错误; D 、原式54==-,所以D 选项正确. 故选:D .
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
二次根式 一、本节学习指导 学习二次根式时,我们把平方根的知识顺带巩固一下。这就是系统性学习,这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。 二、知识要点 1、二次根式的概念a≥0)的式子叫做二次根式。 注意:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必 须注意:因为负数没有平方根,所以a≥0, 2、取值范围 (1)、二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时, 根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 (2)、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0 3、二次根式a≥0)的非负性 a≥0)表示a a≥00(a ≥0)。 注意:a≥0)表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的 算术平方根是0,所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数,即2(a≥0),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用 b=,则 b=,则a=0,b=020 +=,则a=0,b=020 a=0,b=0。 4、二次根式2的性质:2a =(a≥0) 描述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注意:二次根式的性质公式2a =(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公
式也可以反过来应用:若a ≥0,则2a =,如:22=,2 12 =。 5、二次根式的性质 (0) (0)a a a a a ≥?==? - 描述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注意: (1)、化简一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或0,则等 于a 本身,即 (0)a a a ==≥;若a 是负数,则等于a 的相反数-a,即 1.414 1.732 2.236 ≈≈≈;;; 2、a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 3a ,再根据绝对值的意义来进行化简。 6、2与 1、不同点:22表示一个正数a 的算术平方根的平 a 的平方的算术平方根;在2中 a 可以是 正实数,0,负实数。但220≥0≥。因而它的运 算的结果是有差别的,2 a =(a ≥0) (0)(0) a a a a a ≥?==? - 2、相同点:当被开方数都是非负数,即a ≥0时,2a <0时,2 无意义, 而a =-。 7、二次根式的运算 (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍
初中数学二次根式真题汇编及答案
初中数学二次根式真题汇编及答案 一、选择题 1.已知25523y x x =-+--,则2xy 的值为( ) A .15- B .15 C .152- D .152 【答案】A 【解析】 试题解析:由25523y x x =-+--,得 250{520 x x -≥-≥, 解得 2.5 {3x y ==-. 2xy =2×2.5×(-3)=-15, 故选A . 2.计算() 2232?-的结果在( )之间. A .1和2 B .2和3 C .3和4 D .4和5 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据二次根式的运算法则进行计算,再估算出24的范围,再求出答案即可. 【详解】 ()2232262242?-=-=- ∵4245< < ∴22423<-< ∴()2232?-的结果在2和3之间 故选:B 【点睛】 本题考查了无理数大小的估算,用有理数逼近无理数,求无理数的近似值.考查了二次根式的混合运算顺序,先乘方、再乘除、最后加减,有括号的先算括号里面的. 3.下列计算正确的是( ) A .+= B .﹣=﹣1 C .×=6 D .÷=3 【答案】D 【解析】
【分析】 根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断;根据二次根式的乘法法则对C 进行判断;根据二次根式的除法法则对D 进行判断. 【详解】 解:A 、B 与不能合并,所以A 、B 选项错误; C 、原式= ×=,所以C 选项错误; D 、原式= =3,所以D 选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 4.38a -172a -a 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可. 【详解】 根据题意得,3a-8=17-2a , 移项合并,得5a=25, 系数化为1,得a=5. 故选:D . 【点睛】 本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键. 5.已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是( ) A .4 B .62x - C .4- D .26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5()()2215x x --=x-1+5-x=4,故选 A. 6.下列计算结果正确的是( ) A ()23-3
初中数学二次根式经典测试题及解析
初中数学二次根式经典测试题及解析 一、选择题 1.a 的取值范围为()n n A .0a > B .0a < C .0a = D .不存在 【答案】C 【解析】 试题解析:根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,可知:a≥0,且-a≥0. 所以a=0.故选C . 2.已知352x x -+-=的结果是( ) A .4 B .62x - C .4- D .26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4,故选A. 3.已知实数a 满足2006a a -=,那么22006a -的值是( ) A .2005 B .2006 C .2007 D .2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围,然后去绝对值符号化简,再两边平方求出22006a -的值. 【详解】 ∵a-2007≥0, ∴a ≥2007, ∴2006a a -=可化为a 2006a -+=, 2006=, ∴a-2007=20062, ∴22006a -=2007. 故选C . 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件,求出a 的取值范围是解答本题的关键.
4.下列计算中,正确的是( ) A .= B 1b =(a >0,b >0) C = D . =【答案】B 【解析】 【分析】 a≥0,b≥0 a≥0,b >0)进行计算即可. 【详解】 A 、 B 1b (a >0,b >0),故原题计算正确; C ,故原题计算错误; D 32 故选:B . 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法,关键是掌握计算法则. 5.若x 、y 4y =,则xy 的值为( ) A .0 B .12 C .2 D .不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得,2x ?1?0且1?2x ?0, 解得x ? 12且x ?12, ∴x =12 ,
人教版初中数学二次根式解析
人教版初中数学二次根式解析 一、选择题 1.下列计算正确的是( ) A .3= B = C .1= D 2= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得. 【详解】 A 、=,错误; B C 、22 =?= D 2= =,正确; 故选:D . 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则. 2.在下列算式中:= ②=; ③42 ==;=,其中正确的是( ) A .①③ B .②④ C .③④ D .①④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和二次根式的加法运算,分别进行判断,即可得到答案. 【详解】 ①错误; =②正确; 222 ==,故③错误; ==④正确; 故选:B. 【点睛】
本题考查了二次根式的加法运算,二次根式的性质,解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题. 3.x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x ≥1 C .x ≤﹣1 D .x <﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可. 【详解】 解:由题意得,x ﹣1≥0, 解得,x ≥1, 故选:B . 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件,熟悉掌握是关键. 4.下列计算结果正确的是( ) A 3 B ±6 C D .3+=【答案】A 【解析】 【分析】 原式各项计算得到结果,即可做出判断. 【详解】 A 、原式=|-3|=3,正确; B 、原式=6,错误; C 、原式不能合并,错误; D 、原式不能合并,错误. 故选A . 【点睛】 考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 5.若代数式 1x -在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .1x ≠ B .3x >-且1x ≠ C .3x ≥- D .3x ≥-且1x ≠
新初中数学二次根式基础测试题及答案
新初中数学二次根式基础测试题及答案 一、选择题 1.下列计算错误的是( ) A . B C D 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 选项A ,不是同类二次根式,不能够合并; 选项B ,原式=2÷= 选项C ,原式= 选项D ,原式== . 故选A. 2.a 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可. 【详解】 根据题意得,3a-8=17-2a , 移项合并,得5a=25, 系数化为1,得a=5. 故选:D . 【点睛】 本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键. 3.已知352x x -+-=的结果是( ) A .4 B .62x - C .4- D .26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4,故选 A.
4.在下列算式中:=②=; 4 ==;=,其中正确的是() A.①③B.②④C.③④D.①④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和二次根式的加法运算,分别进行判断,即可得到答案. 【详解】 ①错误; =②正确; 22 ==,故③错误; ==④正确; 故选:B. 【点睛】 本题考查了二次根式的加法运算,二次根式的性质,解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题. 5.若x、y4 y=,则xy的值为() A.0 B.1 2 C.2 D.不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得,2x?1?0且1?2x?0, 解得x?1 2 且x? 1 2 , ∴x=1 2 , y=4, ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C. 6.若代数式y=有意义,则实数x的取值范围是()
初三中考数学二次根式及其运算
考点跟踪突破5 二次根式及其运算 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(·金华)在式子1x -2,1x -3,x -2,x -3中,x 可以取2和3的是(C) A .1x -2 B .1x -3 C .x -2 D .x -3 2.(·安徽)设n 为正整数,且n <65<n +1,则n 的值为(D) A .5 B .6 C .7 D .8 3.(·泸州)已知实数x ,y 满足x -1+|y +3|=0,则x +y 的值为(A) A .-2 B .2 C .4 D .-4 4.(·白银)下列计算错误的是(B) A .2×3= 6 B .2+3= 5 C .12÷3=2 D .8=2 2 5.已知y =2x -5+5-2x -3,则2xy 的值为(A) A .-15 B .15 C .-152 D .152 二、填空题(每小题6分,共30分) 6.(·衡阳)化简:2(8-2)=__2__. 7.已知:一个正数的两个平方根分别是2a -2和a -4,则a 的值是__2__. 8.(2012·江西)当x =-4时,6-3x 的值是9.(·福州)计算:(2+1)(2-1)=__1__. 10.(2012·杭州)已知a(a -3)<0,若b =2-a ,则b 的取值范围是三、解答题(共40分) 11.(6分)(2013·济宁)(2-3)2012·(2+3)2013-2|-32 |-(-2)0. 解:原式=[(2-3)(2+3)]2012·(2+3)-3-1=2+3-3-1=1 12.(12分)(1)(·成都)先化简,再求值:(a a -b -1)÷b a 2-b 2,其中a =3+1,b =3-1; 解:原式=b a -b ×(a +b )(a -b )b =a +b ,当a =3+1,b =3-1时,原式=2 3
一、初二数学二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳及典型例题 1.二次根式定义:形如(a≥0)的式子,叫做二次根式. 2.二次根式的性质: ①≥0(a≥0),这是因为(a≥0)表示a的算术平方根,根据算术平方根的意义, 当a>0时,>0,当a=0时,= 0 . ∴≥0.利用这一性质,可以解决下面问题:若,则x=-2,y=2. ②()2= a (a≥0),在探究这一性质时,教科书所采用的方法是不完全归纳法,而 根据算术平方根的意义有:如果x2=a(x≥0),则x=,所以代入上式得()2=a.③= a (a≥0) ,根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是:因为当a≥0 时,a2的算术平方根是a, 所以. 3.代数式:用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子,叫代数式. 4.利用二次根式性质化简:利用=a(a≥0)化简某些代数式时,一般应将被开方数化为完全平方式,如化简(x>-1)=. 典例讲解 例1、填空题:(1)式子中x的取值范围是______________. (2)当x满足条件______________时,式子有意义.
(3)当x=__________时,有最小值,最小值是_________. (4)如果是正整数,那么x能取的最小自然数是________. 答案:(1)x>-2 (2)x≥0且x≠1 (3)-25;9 (4)6 例2、选择题: (1)化简的值为() A. 4 B.-4 C.±4 D. 16 (2)下列各组数中,互为相反数的是() A. -2与 B. C.-2和 D. 2和 (3)若x≥0,那么等于() A.x B.-x C.-2x D. 2x (4)当a≥1,则=() A.2a-1 B. 1-2a C.-1 D. 1(5)在实数范围内分解因式:x2-3=() A.(x+3)(x-3) B.(x+)(x-) C.(x+)(x-) D.(x+9)(x-9) 答案:(1)A (2)A (3)B (4)A (5)C 例3、用带有根号的式子表示: (1)已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长. 解:设它的棱长为x,则所以,故它的棱长为. (2)一个圆的半径是10cm,是它面积2倍的正方形的边长为多少?
人教版初中数学二次根式全集汇编及答案
人教版初中数学二次根式全集汇编及答案一、选择题 1.把 1 a a --中根号外的因式移到根号内的结果是( ) A.a-B.a -C.a --D.a 【答案】A 【解析】 【分析】 由二次根式 1 a a --知a是负数,根据平方根的定义将a移到根号内是2a,再化简根号内 的因式即可.【详解】 ∵ 1 a -≥,且0 a≠, ∴a<0, ∴ 1 a a -->0, ∴ 1 a a --=22 ) 11 (a a a a -?-=-?=a -, 故选:A. 【点睛】 此题考查平方根的定义,二次根式的化简,正确理解二次根式的被开方数大于等于0得到a的取值范围是解题的关键. 2.下列计算正确的是() A.+=B.﹣=﹣1 C.×=6 D.÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断. 【详解】 解:A、B与不能合并,所以A、B选项错误; C、原式= ×=,所以C选项错误; D、原式==3,所以D选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘
除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 3.a 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可. 【详解】 根据题意得,3a-8=17-2a , 移项合并,得5a=25, 系数化为1,得a=5. 故选:D . 【点睛】 本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键. 4.已知352x x -+-=的结果是( ) A .4 B .62x - C .4- D .26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{ 50x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4,故选 A. 5.当3x =-时,二次根m 等于( ) A B C D 【答案】B 【解析】 解:把x =﹣3代入二次根式得,原式=,依题意得: =.故选B . 6.下列计算中,正确的是( ) A .= B 1b =(a >0,b >0)
人教版初中数学二次根式知识点
人教版初中数学二次根式知识点 一、选择题 1.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简2a a b -+的结果为( ) A .2a+b B .-2a+b C .b D .2a-b 【答案】C 【解析】 试题分析:利用数轴得出a+b 的符号,进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可: ∵由数轴可知,b >0>a ,且 |a|>|b|, ∴()2a a b a a b b -+=-++=. 故选C . 考点:1.绝对值;2.二次根式的性质与化简;3.实数与数轴. 2.已知实数a 满足20062007a a a -+-=,那么22006a -的值是( ) A .2005 B .2006 C .2007 D .2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围,然后去绝对值符号化简,再两边平方求出22006a -的值. 【详解】 ∵a-2007≥0, ∴a ≥2007, ∴20062007a a a -+-=可化为a 2006a 2007a -+-=, ∴20072006a -=, ∴a-2007=20062, ∴22006a -=2007. 故选C . 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件,求出a 的取值范围是解答本题的关键. 3.下列式子为最简二次根式的是( ) A . B . C . D .
【解析】 【分析】 【详解】 解:选项A,被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式, A符合题意;选项B,被开方数含能开得尽方的因数或因式,B不符合题意; 选项C,被开方数含能开得尽方的因数或因式, C不符合题意; 选项D,被开方数含分母, D不符合题意, 故选A. 4.x的取值范围是() A.x<1 B.x≥1C.x≤﹣1 D.x<﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可. 【详解】 解:由题意得,x﹣1≥0, 解得,x≥1, 故选:B. 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件,熟悉掌握是关键. 5.12a =-,则a的取值范围是() A. 1 2 a≥B. 1 2 a>C. 1 2 a≤D.无解 【答案】C 【解析】 【分析】 =|2a-1|,则|2a-1|=1-2a,根据绝对值的意义得到2a-1≤0,然后解不等式即可. 【详解】 =|2a-1|, ∴|2a-1|=1-2a, ∴2a-1≤0, ∴ 1 2 a≤. 故选:C.
初二数学 二次根式 知识点+练习题 详细
二次根式的知识点汇总 知识点一:二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 知识点二:取值范围 1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式, 所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。 知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方 根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若 ,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.
知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注:1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a 本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即; 2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而 中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运 算的结果是有差别的,,而 2、相同点:当被开方数都是非负数, 即时,=;时,无意义, 而. 知识点七:同类二次根式 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 知识点八:二次根式的运算: (1)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. (a≥0,b≥0); a>0). (3)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.