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二次函数知识点总结与例题讲解

二次函数知识点总结与例题讲解

二次函数知识点总结与例题讲解

1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。

2、二次函数2ax y =的性质：

（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴；（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系：

①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当0

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a 。（P21-12）

3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线。

4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2

-=-=，。 5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2ax y =；②k ax y +=2；③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

⑤c bx ax y ++=2。

6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。（P23-9,10） 7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

x 2-=。（P26-9）

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。

注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。 9、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（P29-例2,1,10）（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线。

=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a

（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点； ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则

。 10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向

顶点坐标 2ax y = 当0>a 时开口向上当0

0=x （y 轴）

（0,0） k ax y +=2

0=x （y 轴）

h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2

11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：c bx ax y ++=2

。已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。（2）顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。

26．1 （用函数观点看一元二次方程

1. 如果抛物线y ax bx c =++2与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x x =0时，函数的值是0，因此x x =0就是方程ax bx c 20++=的一个根。

2. 二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

26．2 实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

例题讲解：一、选择题

1．由二次函数22(3)1y x =-+，可知（）

A ．其图象的开口向下

B ．其图象的对称轴为直线3x =-

C ．其最小值为1

D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大 2、抛物线12

2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（） A 、0

3.已知二次函数2

4(2)3y x =+-，它的顶点坐标为（） A.（-2,3） B .（-2，-3）

O 1 4.对于二次函数23y x =，23y x =-和2

，下列说法正确的是（） A.开口都向上，且都关于y 轴对称 B. 开口都向上，且都关于x 轴对称

C .顶点都是原点，且都关于y 轴对称 D. 顶点都是原点，且都关于x 轴对称

5．抛物线222y x x =-+-（）

A ．与x 轴只有一个交点

B ．与x 轴有两个交点

C ．在x 轴上方

D ．在x 轴下方 6.无论m 取何值，代数式2

47m m +-一定是（） A.正数

B .负数 C.非正数

二、填空题

1.写出一个开口向下，顶点在y 轴的二次函数解析式_______________.

2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程

220x x m -++=的解为．3.-1

3.已知抛物线与231y x x =--与直线:l y x b =+的图像只有一个交点，则o 到直线l 的距

离为__________.

4．将抛物线2

y x =-向上平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是． 5、将二次函数2

x y =的图象向下平移一个单位，则平移后的的解析式为 6、已知，32-2+=bx x y 的对称轴是1=x ，则b 的值是 1 7.已知二次函数2

44y x x =--，当x=__________时，y 的值是4- .0.

8．如图是抛物线c bx ax y ++=2

的一部分，其对称轴为直线1=x ，与x 轴一交点为B （3，

0），则由图象可知，不等式02

>++c bx ax 的解集是．x ＞3或x ＜-1 9．若二次函数2

()1y x m =--，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．m ≥1

10、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，

则 y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围是

方程ax 2＋bx ＋c =0的两个根是

三、解答题

1、（已知，二次函数的顶点是（4，-8），且过点（6,0）求此二次函数的解析式

2、画二次函数34-2+=x x y 的图象

3、已知点A （1，3）在抛物线2y ax =（0a ≠）上，求当9y =时x 的值。

4、已知抛物线过三点：（-1，-1）、（0，-2）、（1,1）.求抛物线所对应的二次函数的关系式.

5. （本题满分9分）抛物线2

y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：

… 2- 1- 0 1 2 … y

（1）根据上表填空：

① 抛物线与x 轴的交点坐标是和；

② 抛物线经过点（3-，）；

③ 在对称轴右侧，y 随x 增大而；（2）试确定抛物线2y ax bx c =++的解析式。解：

6、(8分) 已知，二次函数22++=kx x y

（1）当3-=k 时，求函数图象与x 轴的交点坐标。（1.0）（2,0）

（2）命题“函数22++=kx x y 的图象一定与x 轴有两个交点”．是否正确，若正确请

证明，若不正确，请举反例说明.

(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于点（0,5）

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线顶点坐标；

（3）画出这条抛物线（描五点即可）；

（4）根据图像回答：①当x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？②当x 取什么值时，y>0？（9分）

8．（本题满分12分）已知关于x 的方程

2(31)30mx m x +++=.

（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；

（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，

试确定此抛物线的解析式；m=1

（3）若点P 1(x ，1)y 与Q 1(x n +，2)y 在（2）中抛物线上（点P 、Q 不重合)，且

12y y =．求代数式22114125168x x n n n ++++的值.

9、（11分）如果一条抛物线()2

=++0y ax bx c a ≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶

点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）若抛物线()2

=-+>0y x bx b 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；2

（2）若△OAB 是抛物线()2

=-+''>0y x bx b 的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中

心的矩形ABCD ？若存在，求出过O C D 、、三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

10.如图10，已知抛物线2

2y x x m =-++经过点C （0,3），它与X 轴相交于A,B 两点，抛物线的对称轴为直线l 交x 轴于点E ，D 为对称轴l 上异于E 的一个动点。（1）求点A 、B 的坐标；（2分A(-1,0 ) B （3,0）

（2）求△ADC 的周长的最小值，并求此时D 的坐标；（5分）D （1,2）

11、（10分）26．如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，

二次函数的图象记为抛物线．

（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．

（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线

的函数表达式．

（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．

（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

初三.二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：

2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。总结：

3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k

总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。总结：从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

二次函数典型例题解析与习题训练

又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）．（2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方．（3）令x=0，则y=m ．即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ．当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ）在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8．【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m

为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值．（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积．（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2EP，②EH=2 3 EP．【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，得x1=5，x2=1．由m

二次函数知识点及典型例题

二次函数一、二次函数的几何变换二、二次函数的图象和性质 (Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质

(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质

(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响三、待定系数法求二次函数的解析式 1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。 2、顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。 4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2 。 5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2 +c 。 6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2 h x a y -=。 7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。四、抛物线的对称性 1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x= 2x x 2 1+。 2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2 n m +。 3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(a b -, c)。

五、二次函数与一元二次方程的关系对于抛物线c bx ax y ++=2 （a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。要分三种情况： 1、判别式△=b 2 -4ac ＞0?抛物线与x 轴有两个不同的交点（a b 24ac b -2+，0）（a b 24ac b --2，0）。有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2= a c 。 2、判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴有一个交点（a b 2-，0）。 3、判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴无交点。六、二次函数与一元二次不等式的关系 1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。（2）02 ＜c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。 2、a ＜0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。（2）02 ＜c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。七、二次函数的应用 1、面积最值问题。 2、长度、高度最值问题。 3、利润最大化问题。 4、利用二次函数求近似解。

(完整版)九年级上册数学二次函数知识点汇总,推荐文档

新人教版九年级上二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． a b c 知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶 ??点 2. 二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+（1）二次函数基本形式的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 2y ax = （2）的图象与性质：上加下减 2y ax c =+

（3）的图象与性质：左加右减 ()2 y a x h =-

（4）二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+ 3. 二次函数的图像与性质 c bx ax y ++=2 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最小值．y 2 44ac b a - （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为． 0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值．y 2 44ac b a -

4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2 y a x h k =-+()h k ，② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下： 2 ax 【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：，∴顶点是，对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=），（a b ac a b 4422--是直线.a b x 2- =②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(, ()k h x a y +-=2 h )，对称轴是直线. k h x =

二次函数知识点总结及典型例题

浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例1】、已知函数y=x 2 -2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0 知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02 =++c bx ax 有实根1x 和 2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我

二次函数典型例题解析

二次函数典型例题解析关于二次函数的概念例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为。例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是；对称轴是；顶点为。关于二次函数的性质及图象例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号为，例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是（只要写出一个可能的解析式）例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（）（A ）第一或第二象限（B ）第三或第四象限（C ）第一或第四象限（D ）第二或第三象限例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图象是（）例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结： 2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．

总结： 3. ()2 y a x h =-的性质：结论：左加右减。总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：总结： a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

二次函数知识点总结题型分类总结

二次函数知识点总结——题型分类总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。二、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2 ，则对称轴为： _ , 最值为：；如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2 ，则对称轴为： __ ，最值为：；如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为：，最值为：。 1．抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点，则m 的值为。 2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322 -+=x x y 的对称轴是。 8．若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线，

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函

数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D 【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ，设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+，易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

二次函数知识点及题型归纳总结

二次函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2 ()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a =- ，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --. (1) 单调性与最值 ①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,) b -+∞上递减，当 b x =- 时，；24()4ac b f x a -=. (2) 当2 40b ac ?=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和 22(,0)M x ，1212|||||| M M x x a =-== . 二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，图2-9

最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质（1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 a 时，开口向上；当0

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线 h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0 c ,与y 轴交于正半轴；③0

人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质：上加下减。 y ax c

二次函数知识点总结及典型例题

二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法：二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

商品利润问题与二次函数典型例题解析

商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利元；问题二：涨价后日销售量减少千克；问题三：涨价后每天的销售量是千克；问题四：涨价后每天盈利元根据题意列方程得：解方程得：因为商家涨价的目的是；所以符合题意。答：。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是新知解析：例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时销售额最大为1800元。此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5

初中二次函数知识点详解及典型例题

知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02 =++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数 c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点三、二次函数的最值

中考数学二次函数知识点总结

中考数学二次函数知识点总结 I. 定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存有如下关系：y=ax^2+bx+c (a, b, c为常数，a z0,且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还能够决定开口大小，lal越大开口就越小,IaI 越小开口就越大. )则称y 为x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II. 二次函数的三种表达式一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a z0) 顶点式：y=a(x-hF2+k[抛物线的顶点P (h, k)] 交点式：y=a(x-x)(x-x)[ 仅限于与x 轴有交点A(x, 0)和B( x, 0) 的抛物线] 注：在 3 种形式的互相转化中,有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-bA2)/4a x,x=(- b±V bA2-4ac)/2a III. 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2 的图像,能够看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴(即直线x=0)

2. 抛物线有一个顶点P,坐标为：P（-b/2a , （4ac-"2）/4a）当-b/2a=0 时，P在y轴上；当△二b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a v0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab> 0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab v 0）,对称轴在y轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与y 轴交于（0, c） 6. 抛物线与x 轴交点个数 △=b A2-4ac >0时，抛物线与x轴有2个交点。 △=bA2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 △=bA2-4ac v 0时，抛物线与x轴没有交点。 X的取值是虚数（x=-b±V bA2 —4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） V. 二次函数与一元二次方程特别地,二次函数（以下称函数）y=axA2+bx+c, 当y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程）,即 axA2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

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