普通高中毕业班质量检查(文科数学)
准考证号 姓名
（在此试卷上答题无效）
保密★启用前
泉州市2016届普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学
注意事项：
1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1).已知全集{}，31|<<-=x x U 集合{}
，03|2
<-=x x x A 则=A C U
A.{}01-|≤ B. {}31-|< C. {}30|< D.{0|≤x x 或}3≥x (2).已知复数,-12 i i z += 则z 的共轭复数为 A.i +1 B.i 21+ C.i 21- D.i 32+ (3).不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取三个球，则这三个球号码之和为5的倍数的概率为 A. 10 1 B.51 C. 92 D. 41 (4)若直线y=x-2过双曲线()01:222 >=-a y a x C 的焦点，则此双曲线C 的渐近线方程为 A.x y 33± = B.x y 3±= C.x y 31±= D.x y 5 5±= (5).已知等比数列{}n a 满足,88,221175731=++=++a a a a a a 则=++1397a a a A.121 B.154 C.176 D.352 (6).下列函数既是偶函数，又在()π，0上单调递增的是 A.x y sin = B.x y tan = C.x y 2cos = D.x y cos -= (7)执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.13 (8).已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ，，所对的边，若，0cos cos )2(=++C b B c a 则角B 的大小为 A. 6π B.3π C.32π D.6 5π (9)P 为曲线()02:2 >=p py x C 上任意一点，O 为坐标原点，则线 段PO 的中点M 的轨迹方程是 A.()02 =/=x py x B.()02 =/=y px y C.()042 =/=x py x D.()042 =/=y px y (10)如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是 A.π6 B.π7 C.π12 D.π14 （11）已知函数()()?? ? ??π< ?>ω>?+ω=2,0,0sin A x A x f 的部分图像如图所示，若3tan =α，则?? ? ??π+ α8f 的值为 A.53- B.54- C.523- D.5 24- （12）已知四边形ABCD 的对角线相交于一点，()() 1331，，，-==BD AC 则CD AB ?的取值范围是 A.()2,0 B.(]4,0 C.[)0,2- D.[)0,4- 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题--第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题--第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）设x ，y 满足,632?? ? ??-≥≥+≤x y y x x y 则y x z +=2 的最小值为 . （14）设函数()(),0 ,0 ,1lg 3 ???<-≥+=x x x x x f 则使得()1≤x f 成立的x 的取值范围是 . （15）已知A ,B ,C 在球O 的球面上，AB =1,BC =2， 60=∠ABC ，且点O 到平面ABC 的距离为2，则球O 的表面积为 . （16）若定义在R 上的函数()x f 满足：当20<≤x 时，(),22x x x f -=当() * ∈+<≤N k k x k 222时，()),2(2-=x f x f 则函数()()x f x x F -=ln 的在区间(0，16)内的零点个数为 . 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，,6,221==a a 且数列{}( )* -∈-N n a a n n 1是公差为2 的等差数列. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)记数列}1 { n a 的前n 项和为n S ，求满足不等式2016 2015>n S 的n 的最小值. （18）（本小题满分12分）在一次文、理科学习倾向的调研中，对高一年段1000名学生进行文综、 理综各一次测试(满分均为300分).测试后，随机抽取若干名学生成绩，记理综成绩X ，文综成绩为 Y ，Y X -为Z ，将Z 值分组统计制成下表，并将其中女生的Z 值分布情况制成频率分布直方图(如 下右图所示). (Ⅰ)若已知直方图中[60,80)频数为25，试分别估计全体学生 中，[)200， ∈Z 的男、女生人数； (Ⅱ)记Z 的平均数为Z ，如果60>Z 称为整体具有学科学习 倾向，试估计高一年段女生的Z 值(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)，并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向. （19）（本小题满分12分）在如图所示的直三棱柱111C B A ABC -中，， ，3,21===AB BC AC 侧棱,11=AA 点D ,M 分别为111,C B B A 的中点. (Ⅰ)求证：⊥CD 平面BM A 1； (Ⅱ)求三棱锥BC A M 1-的体积 . （20）（本小题满分12分）已知椭圆()0,1:22 22>>=+b a b y a x C ，过点()42， P 作圆20:22=+y x O 的切线l ，直线l 恰好过椭圆C 的右顶点与上顶点. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ)若圆O 上的一点Q 的切线1l 交椭圆C 于A ,B 两点，试确定AOB ∠的大小，并加以证明. （21）（本小题满分12分）已知函数()()() (,1a e x a x f x --=常数R a ∈且） 0=/a . (Ⅰ)若函()x f 在()()0,0f 处的切线与直线x y =垂直，求a 的值； (Ⅱ)若对任意[)+∞∈,1x 都有(),2 x x x f -≥求a 的取值范围. 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的延的切线，交AB 的延长线于点C ，过点C 作AC 的垂线，交AD 长线于点E . (Ⅰ)求证：CDE ?为等腰三角形； (Ⅱ)若2 1 2==CE BC AD ， ，求⊙O 的面积. （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin cos 1? ??α=α +=y x (其中α为参数)，以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ=ρsin 4. (Ⅰ)若B A ，为曲线1C ，2C 的公共点，求直线AB 的斜率； (Ⅱ)若B A ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，当AB 取最大值时，求AOB ?的面积. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22. (Ⅰ)当1=a 时，解不等式()5≥x f ； (Ⅱ)若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围. 泉州市2016届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，或受篇幅限制、或考虑问题还不够周全，遇多种解法时，一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型的解法.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．D 7．C 8．C 9．A 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｃ 解析： 第1题 {} 032<-=x x x A (0,3)=，故U A ={}01≤<-x x ，选A. 也可通过选取特殊元素代 入检验，使用排除法得解. 第2题 化简复数i i +-= 12 z 12i =+，得12i z =-，选C. 第3题 列举基本事件：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)， (2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)；查找满足要求的基本事件：(1,4,5)，(2,3,5)；统计基本事件数，根 据古典概型概率计算公式得解. 选B. 第4题 双曲线:C 12 22=-y a x （0>a ）焦点在x 轴上，直线2-=x y 与x 轴交点为(2,0)， 故焦点为(2,0) 2=，2 3a =. 得双曲线方程后，再求渐近线. 选A. 第5题 整体思想： 4571113788 422 a a a q a a a ++===++，22q =；=++1397a a a 25711()q a a a ++ 288176=?=. 选C. 第6题 x y sin =在( ,)2ππ递减，x y tan =在(0,)π不具单调性，cos 2y x =在(0,)2 π 递减，排除A ，B ，C 选项. 也可直接考察cos y x =-的图象而得解. 选D . 第7题 循环1，10lg lg3,33S k =+=-=；循环2，13 0lg lg lg5,535 S k =++=-=；循环3，1350lg lg lg lg 7,7357S k =+++=-=；循环4，1357 0lg lg lg lg lg9,3579 S =++++=- 9k =；循环5，13579 0lg lg lg lg lg lg111,11357911 S k =+++++=-≤-=. 选C. 若能发现规律，运用归纳推理，则不必写出所有循环结果，也可得解. 第8题 运用正弦定理，将边角关系统一为角的关系，经恒等变形化简解得1cos 2B =-，23 B π =. 选C. 第9题 法一：设P 到(0, )2p F 的距离为d ，则M 到' (0,)4 p F 的距离为2d . 因P 到x 轴的距离 为2p d -，故M 到x 轴的距离为24d p -，M 到直线4p y =-的距离为2d . 由M 到' (0,)4 p F 的距离 等于M 到直线4 p y =- 的距离，可得M 的轨迹方程py x =2 )0(≠x . 选A. 法二：根据点,M P 的坐标关系，使用相关点代入法，求得M 的轨迹方程py x =2 )0(≠x . 第10题 受三视图的启发，据三视图，想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为：在一个水平横放的底面半径为2，高为4的圆柱中，在其前方、上侧的右侧挖去1 8 ，余下的部分. 所以该几何体的体积为 27 (2)4148 ππ???=.选Ｄ. 第11题. 充分利用三角函数图象几何特征中所隐含的代数性质信息：半周期3442 πππ -=，周期π，求得2ω=；据图象下降途中的零点3( ,0)8π，得32(21)8k πφπ?+=+，因||2πφ<，故k 取0，4 π φ= ；由图象过点A ，求得A = . 所以())4 f x x π =+ . ()28 f π αα+= , 因3tan =α,22 2 21tan 4 cos 2cos sin 1tan 5ααααα-=-= =-+ ，所以，()28f παα+==. 选D. 第12题 由)3,1(=，)1,3(-=，得||||2AC BD ==，且AC BD ⊥. 法一：注意到?的取值只与,,,A B C D 的相对位置关系有关，与具体的坐标位置无关，所以可等价转换命题为：(0,0)A ，(2,0)C ，(,)B x y ，(,2)D x y +，02x <<，20y -<<，求CD AB ?的取值范围. 2 2 (1)(1)2[2,0)AB CD x y ?=-++-∈-. 选C. 法二：取(0,0)A ， 则C ；设11(,)B x y ，22(,)D x y ， 则2121 1. x x y y ?-=?? -=??求 得 2222((22AB CD x y ?=++--≥- ，当1 11,21,2 x y ?=????=?? 且221 ,2 1 ,2 x y ?=????= ??时， AB CD ?取到最小值2-，结合图形可判断此时满足ABCD 的对角线相交于一点的要求，故选C. 法三：数形结合，在满足“||||2AC BD ==，且AC BD ⊥，ABCD 的对角线相交于一点” 要求的情况下，固定AC 位置，移动BD 位置，考察各极端（极限）位置上AB CD ?的取值情况，结合选择支判断选项可得解. 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分. 13．3； 14．]9,1[-； 15．π20； 16. 15. 解析： 第13题 画线：y x =，2x y +=，36y x =-；定域：ABC ?的内部与边界 （(1,1),(2,0),(3,3)A B C ）；考察斜率为2-的动直线2z x y =+的纵截距z ，得z 的最小值为3. 第14题 解0, lg(1)1, x x ≥?? +≤?得09x ≤≤，解3 0, 1,x x -≤? 得10x -≤<，故()1f x ≤的解为]9,1[-. 也可通过考察分段函数?? ?<-≥+=,0,, 0),1lg()(3 x x x x x f 的图象而得解. 第15题 ABC ?中用余弦定理求得AC =据勾股定理得BAC ∠为直角，故BC 中点1O 即 ABC ?所在小圆的圆心；1OO ⊥面ABC ，在直角三角形1OO B 计算球O 的 表面积为π20. 第16题 分别考察函数()f x 在[0,2],[2,4],...,[14,16)的解析式及图象，得到函数()f x 图象的全貌，然后考察其与函数ln y x =图象的交点，判断交点个数为15. 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查数列的概念与等差数列的基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查 函数与方程思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）数列{})(1* +∈-N n a a n n 是首项为412=-a a ，公差为2的等差数列， 所以22)1(241+=-+=-+n n a a n n )(* ∈N n . …………3分 所以)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a n n n +=++++=22642 . …………6分 （Ⅱ） 1 11)1(1112+-=+=+=n n n n n n a n ， …………8分 所以12 111n n S a a a = +++ 111111(1)()()1223 111 n n n n n =-+-+ +-=-=+++， …………10分 由20162015> n S 得2016 2015 1> +n n ，2015>n ， 又* ∈N n ， 故n 的最小值为2016. …………12分 18．本小题主要考查频率分布直方图、频率分布图表、古典概型、用频率估计概率的统计思想等统 计与概率的基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想等.. 满分12分. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，女生)80,60[∈Z 的频率为 255 20160016 ?=． ………1分 所以样本中女生总人数为5 258016 ÷ =． ………2分 由频率分布直方图可知，女生[0,20)Z ∈的频率为 80 320)1600251600201600151600101600616001(1=?+++++-， …………4分 所以女生)20,0[∈Z 的频数为3 80380 ?=． 结合统计表可知，男生)20,0[∈Z 的频数为431-=． ………6分 又因为样本容量为200，故样本中，男、女生)20,0[∈Z 的频率分别为 1200与3200 ， …………7分 据频率估计概率、样本估计总体的统计思想，可知年段1000名学生中，)20,0[∈Z 的男生 约有5名，女生约有15名．………8分 （Ⅱ）依题意，样本中女生的Z 值约为 310201030508080200? +?+?251561709011013080808080 +?+?+?+?=65.25．10分 根据样本估计总体的统计思想，全体女生65.25Z ≈． …………11分 因为6025.65>，所以年段女生整体具有显著学科学习倾向. …………12分 19．本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象变换、函数的性质等基础知识，考查推理论证 能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．. 满分12分. 解：（Ⅰ） 1=AC ，2=BC ，3=AB ，满足222AC BC AB +=， AC BC ∴⊥. 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴1CC BC ⊥, 又∵1AC CC C =， ∴BC ⊥面1ACC . ∵1 AC ?面1ACC ,∴1BC A C ⊥. 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， AC AA ⊥∴1 ,21=∴C A , 又∵2= BC ， ∴1CD A B ⊥，且2 21112 CD AC BC = +=. ……2分 连结MD ． …………1分 16 A M BM == ，点D 为1A B 的中点， ∴1MD A B ⊥，且22112 2 MD A M A D =-=.…………3分 又6 CM =，则222CM CD MD =+， CD MD ∴⊥.………4分 又1A B ?面1A BM ，MD ?面1A BM ，D MD CD = ， CD ∴⊥面1A BM ，………6分 （Ⅱ）连结MD ，由（Ⅰ）知CD ⊥面1A BM ，故11M A BC C A BM V V --=．………8分 2212,A B A B BB =+=………9分 111111(2133226 M A BC C A BM A BM V V S CD --?∴==??=????=………12分 20．本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、 推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等. 满分12分. 方法一： 解:（Ⅰ）因为点)4,2(P 在圆20:2 2 =+y x O 上， 所以直线l OP ⊥， 又因为直线OP 的斜率为224 == OP k ，…………1分 所以直线l 的方程为：)2(21 4--=-x y ． 令0=y ，可得10=x ，所以椭圆C 的右顶点坐标为()0,10；……………3分 再令0=x ，可得5=y ，所以椭圆C 的上顶点坐标为()5,0. ……………4分 所以5,10==b a ，因此，椭圆C 的方程为： 125 1002 2=+y x ．……………6分 （Ⅱ）若直线1l 的方程为：52=x ，则() )52,52(,52,52-B A ． 此时0=?OB OA ，故?=∠90AOB ； 若直线1l 的方程为：52-=x ，则() )52,52(,52,52---B A ， 此时0=?OB OA ，故?=∠90AOB . 猜想?=∠90AOB 为定值． ……………7分（写一种情形即可） 证明如下： 若直线1l 的斜率存在，设),(),,(),,(221100y x B y x A y x Q ， 则直线l 的方程为：)(00 0x x y x y y -- =-整理可得：2000=+y y x x ，………8分 将0 020x y y x -= 代入椭圆方程可得1004)20( 22 00=+-y x y y ， 整理得010040040)4(2 0022 02 0=-+-+x y y y x y , 所以2 202 214100400x y x y y +-= . ……………9分 将0020y x x y -= 代入椭圆方程可得：100)20( 420 02 =-+y x x x ， 整理得010********)4(2 0022 02 0=-+-+y x x x x y ， 所以2 202 2141001600x y y x x +-=. ……………10分 故2121y y x x OB OA +=? 202020202020410016004100400x y y x y x +-++-=2 202 02041001600100400x y y x +-+-= 2 202 0204)(1002000x y y x ++-=2020420 1002000x y +?-=0=． ……………11分 所以?=∠90AOB 为定值． ……………12分 方法二： 解: （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）若直线1l 的方程为：52=x ，则() )52,52(,52,52-B A ． 此时0=?，故?=∠90AOB ； 若直线1l 的方程为：52-=x ，则() )52,52(,52,52---B A ， 此时0=?，故?=∠90AOB . 猜想?=∠90AOB 为定值． ……………7分（写一种情形即可） 证明如下： 若直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：b kx y +=． 联立方程组? ????=++=125 1002 2y x b kx y ，可得010048)41(2 22=-+++b kbx x k . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2 2 12221418,411004k kb x x k b x x +-=++-=，……………8分 又因为b kx y b kx y +=+=2211,， 则2 21212 21)(b x x kb x x k y y +++= 22 222 418411004b k kb kb k b k ++-?++-?= 2 2 222222241481004k b k b b k k b k +++--= 2 2 241100k k b +-=.……………9分 所以2121y y x x +=? 2222241100411004k k b k b +-++-=2 2241) 1(1005k k b ++-=. ……………10分 因为直线1l 与圆O 相切，所以 201||2 =+k b ，即)1(2022k b +=．……………11分 所以041) 1(100)1(2052 22=++-+?=?k k k ， 故?=∠90AOB 为定值. ……………12分 21．本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基 础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，'()[(1)'()(1)()']()x x x f x a x a x a a x a =--+--=?-e e e ．…………2分 因为)(x f 在))0(,0(f 处切线与直线x y =垂直，所以2 '(0)1f a =-=-． 解得1a =±． …………4分 （Ⅱ）依题意，“对任意),1[+∞∈x ，x x x f -≥2)(”等价于“()x a a x -≥e 在(1,)x ∈+∞上恒 成立”． 令()()x g x a a x =--e ，则'()1x g x a =-e ． …………5分 （1）当0a <时，'()0g x <，()()x g x a a x =--e 在),1[+∞∈x 上单调递减， 又011)()1(2 <--=--=a a a a g e e ，不合题意，舍去． …………6分 （2）当0a >时，'()10x g x a =-=e 得1 ln x =． …………8分 ①当1ln 1a ≤，即1 a ≥e 时，()()x g x a a x =--e 在),1[+∞∈x 上单调递增，得min (1)g g =， 由()0x a a x --≥e 在),1[+∞∈x 上恒成立，得(1)0g ≥，即22 a ≤≤e e ， 又1 a ≥e a ≤≤．…………10分 ②当1ln 1a >，即1 0a < 成立，得1(ln )0g a ≥，即2 1ln 0a a +-≥． 令2 ()1ln h a a a =+-，则2112()2a h a a a a -=-=．由()0h a =得2a =或2-（舍去）， ()h a 单调递增 单调递减 由上表可知2 ()1ln h a a a =+-在0a << e 上单调递增，则2()()0h a h <=- ，故不等式2 ()1ln 0h a a a =+-≥无解．综上所述，2244 a --+-≤≤e e e e ．…………12分 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号下的方框涂黑. (22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连接线段DB ， ………1分 因为DC 为⊙O 的切线，所以DAB BDC ∠=∠，………3分 又因为AB 为⊙O 的直径，BD AE ⊥， 所以90CDE CDB DAB AEC ∠+∠=∠+∠=, ………4分 所以CDE AEC ∠=∠， 从而CDE ?为等腰三角形. ………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知CE CD =, 因为DC 为O 的切线， 所以CA CB CD ?=2, …………7分 所以CA CB CE ?=2，即 2 1 ==CA CE CE CB . …………8分 又ABD Rt ?∽AEC Rt ?，故 21 = =AD BD CA CE . …………9分 因为2=AD ，所以1=BD ，5=AB ，2 554S π π??== ? ??? , 所以⊙O 的面积为 54 π . …………10分 （23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）消去参数α得曲线1C 的普通方程02:2 2 1=-+x y x C . ……（1） …………1分 将曲线θ ρsin 4:2=C 化为直角坐标方程得 04:222=-+y y x C .……（2）……3分 由)2()1(-得024=-x y ，即为直线AB 的方程，故直线AB 的斜率为 2 1 . ………5分 注：也可先解出84(0,0),(,)55A B …1分，再求AB 的斜率为 2 1 . …1分 （Ⅱ）由1)1(:2 2 1=+-y x C 知曲线1C 是以） （0,11C 为圆心，半径为1的圆；由4)2(:222=-+y x C 知曲线2C 是以）（2,02C 为圆心，半径为 2的圆. …………6分 因为1122||||||||AB AC C C BC ≤++， 所以当AB 取最大值时，圆心21,C C 在直线AB 上， 所以直线AB （即直线21C C ）的方程为：22=+y x . ………7分 因为O 到直线AB 的距离为55 2 5 2= = d ， …………8分 又此时12||||123AB C C =++= …………9分 所以AOB ?的面积为15 53)53(55221+=+??= S .……10分 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当1=a 时，122)(++-=x x x f . 由5)(≥x f 得5122≥++-x x . 当2≥x 时，不等式等价于5122≥++-x x ，解得2≥x ，所以2≥x ； ……1分 当22 1 <<- x 时，不等式等价于5122≥++-x x ，即2≥x ，所以x ∈?；……2分 当21- ≤x 时，不等式等价于5122≥---x x ，解得34-≤x ，所以3 4 -≤x .…3分 所以原不等式的解集为{3 4 |- ≤x x 或}2≥x . …………5分 （Ⅱ）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f . ……7分 因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， …………9分 所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围.…………10分 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?= 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 高中数学各章节知识点汇总 目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21) 第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等 高一年级学生学习情况调查表 学生问卷调查表 本卷的填写方式是在每道选择题中，必须选择一个选项,前三题可以多选。 1、你觉得那门功课最重要，请选择：（ ) A、语文 B、数学 C、英语 D、物理 E、化学 F、生物 G、政治J、历史 K、地理 2、你认为你哪一科最有优势 A、语文 B、数学 C、英语 D、物理 E、化学 F、生物 G、政治 J、历史 K、地理 3、你认为你哪一科急需提高 A、语文 B、数学 C、英语 D、物理 E、化学 F、生物 G、政治 J、历史 K、地理 4、有的同学表示课前预习对自己学习有很大帮助，所以习惯预习；而有的同学表示预习对学习并没有什么帮助，所以不预习。你呢？（） A、不预习 B、很少预习 C、老师布置预习才预习 D、经常预习 5、如果你预习，那你都经常预习那些科目？（） A、自己喜欢的科目 B、自己喜欢那位老师的科目 C、家长强调的重点科目 D、预习自己认为成绩不理想的科目 6、预习的方法多种多样，你常用哪一种？（） A、把要学的内容看一遍 B、阅读要学的内容，并归纳出重点和难点 C、阅读要学的内容，归纳出重难点并划出不懂或有疑问的地方 D、阅读要学的内容，并查阅相关资料，解决疑难 7、课堂上，你最喜欢（） A、答问 B、自由阅读 C、老师边讲解边提问 D、讨论 8、有的同学表示会在课堂上课过程中常常走神，你呢？（） A、对感兴趣的内容很认真，不感兴趣的就干别的事情 B、上课内容听不懂时会走神 C、认为上课内容已经很懂了，不用听 D、基本不会走神 9、不同的同学都有自己的听课方式，你是怎样的呢？（） A、听课时不记笔记，但愿意想，会配合老师的节奏 B、老师让记什么就记什么 C、听课时会记自己认为重要的笔记，但常常听不到老师讲的下面的内容 D、一面听，一面把老师讲的和自己认为重要的内容记在书上 10、你认为老师布置的作业（ ) 1.1、集合与函数概念（6）/6 含义 集合集合间的基本关系 集合的运算 函数函数的概念 函数的基本性质映射映射的概念 具体： 1、集合含义： 2、集合间的基本关系： 3、集合的运算： 4、函数的概念： 5、函数的基本性质： 6、映射的概念： 备注： 1.2、基本初等函数（1）（9）/9 整数指数幂定义 有理指数幂指数对数 无理指数幂运算性质定义定义 指数函数对数函数 图象与性质图象与性质具体： 1、整数指数幂： 2、有理指数幂： 3、无理指数幂： 4、对数定义： 5、对数运算性质： 6、指数函数定义： 7、指数函数图象与性质： 8、对数函数定义： 9、对数函数图象与性质： 备注： 函数与方程函数零点 求近似解 应用模型类别解决问题 解决问题 模型与应用建立模型 具体： 1、函数零点； 2、求近似解： 3、模型类别： 4、解决问题： 5、建立模型： 备注： 柱 结构锥台 球 三视图 空间几何体三视图和直观图 直观图 表面积 表面积和体积 体积 具体： 1、柱： 2、锥： 3、台： 4、球： 5、三视图： 6、直观图： 7、表面积： 8、体积： 备注： 2.2、点、直线、平面的位置关系（） 平面（公理1，公理2，公理3，公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线直线位置关系直线平面位置关系平面平面位置关系具体： 位置关系： 备注： 2.3、直线与方程（3）/3 从几何直观到代数表示 （建立直线的方程） 直线二元一次方程一般式 两点式 从代数表示到几何直观 （通过方程研究几何性质和度量） 两条直线的位置关系平行和垂直的判定相交平行 （一个交点）（没有交点） 两点间的距离 距离点到直线的距离 两条平行线间的距离 具体： 1、一般式： 2、两条直线的位置关系： 3、距离： 备注： 高中数学必修3知识点总结 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念： 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2．算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的． (２)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. （5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念: （一)程序构图的概念：程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 （二)构成程序框的图形符号及其作用 １、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判 断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 （三）、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的,只有在执行完A 框指定的操作后,才能接着执 行B 框所指定的操作。 ２、条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框。无论P 条件是否成立，只能执行Ａ框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能Ａ框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中,经常会出现从某处开始，按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： (1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框,如此反复执行A 框,直到某一次条件Ｐ不成立为止，此时不再执行Ａ框，离开循环结构。 (2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立,如果P 仍然不成立,则继续执行A 框,直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行Ａ框，离开循环结构。 当型 直到型循环结构 注意:1循环结构要在某个 条件下终止循 ,但不允许“死循环”。2数变量,累加一次,计数一次。 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句 １、输入语句 （1）输入语句的一般格式 (2)输入 高中数学必修3知识点 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念： （一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。 （二）构成程序框的图形符号及其作用 学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 （三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执 行B 框所指定的操作。 2、条件结构： 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类： （1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。 （2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。 高中数学知识结构图 集合的概念与表示方法 集合集合的性质 集合之间的关系与运算 解析法 函数的概念与表示方法列表法 图像法 定义域 函数的三要素对应关系 值域 单调性 奇偶性 函数的性质周期性 极值 最值一次、二次函数 反比例函数 基本初等函数指数函数与对数函数图像、性质和应用函数函数的分类幂函数 复合函数三角函数 分段函数 函数图像及其变换平移、对称、翻折和伸缩变换 概念 反函数存在条件 与原函数的关系 函数与方程函数的零点对应方程的解 函数的应用建立函数模型 任意角弧度制与三角函数 同角三角函数关系 诱导公式 三角函数中的公式和角、差角公式 二倍角公式与半角公式 三角函数和差化积与积化和差公式 正弦函数三要素 三角函数余弦函数性质 正切函数图像及其变换 正弦定理 解三角形余弦定理 三角形面积 柱体结构 椎体 空间几何体台体三视图和直观图 球体 简单组合体表面积与体积 点、直线、平面的位置关系 点、直线、平面的关系直线、平面平行的性质和判定 直线、平面垂直的性质和判定立体几何点到点的距离 点到直线的距离 空间距离点到平面的距离 直线到平面的距离 平行平面间的距离 异面直线形成的角 空间的角直线与平面形成的角 倾斜角、斜率和截距 点斜式 斜截式 直线直线与方程两点式 截距式 一般式 直线之间的位置关系垂直与平行的条件 圆与方程一般方程与标准方程 几何圆点与圆的位置关系 位置关系直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 解析几何 圆锥曲线椭圆定义及标准方程 双曲线性质 离心率 点到点的距离 点到直线的距离 平面距离点到圆的距离 两平行线的距离 直线到圆的距离 相离圆的距离 对称问题中心对称关于点对称 轴对称关于直线对称 平面向量概念 向量加减法 向量运算向量的数乘 向量的数量积 空间向量几何意义及应用 高中生学习情况调查表 1.进入高中你有自己的高考目标——心仪大学吗？（）A.有 B.正在考虑 C.没有 2.进入高中你有自己的学习计划与安排吗？（） A.有 B.有时有 C.没有 3.进入高中后你是如何对待自己的薄弱学科？（） A.利用课外时间全力补跛 B. 偶尔补跛 C.有心无力，任其发展 4.你有课前预习的习惯吗？（） A.总有 B.经常有 C.偶尔有D几乎没有 5.课堂上你会做与课堂无关的事吗（如打瞌睡、看小说杂志、玩手机等）？（） A.从来不会 B.偶尔有 C.经常有 6.课堂中你是否有开小差或注意力不集中的表现？（） A.不曾有过 B.偶尔有 C.经常有 7.课堂上你是否认真听老师讲课？（） A.紧跟教师节奏 B.只听自己不会的内容 C.自己独立搞自己的学习 D.不喜欢听讲 8.课堂上老师提出的问题或作业，你是如何处理的？（） A.积极思考、认真作答 B.只做自己会做的 C.不思考，反正教师会对答案 D.抄袭别人 9.课堂上你是如何记录教师讲课的笔记？（） A.全盘照抄 B.只记自己不懂的内容 C.基本不记笔记 10.课后你是否及时完成老师布置的课外作业？（） A.非常及时 B.基本按要求完成 C.经常在教师催促下才完成D几乎没有完成 11.不同的同学都有自己的听课方式，你是怎样听课的？（） A. 听课时不记笔记，但会跟随老师的思路听 B. 老师让记什么就记什么 C. 听课时会记自己认为重要的内容，但常常听不到老师讲的下面内容 D.一面听一面把老师讲的自己认为重要的内容记在书上 12.你有没有建立六个主干学科的错题本？（） A.六个学科都有 B.大部分学科有 C.个别学科有 D.几乎没有 13.在学习方面，你大致属于下列哪种情形？（） A.没有任何厌学情绪 B.有时有厌学情绪 C.有较严重的厌学情绪 14.你会自主复习吗？（） A.从来不会 B. 每周1——2次 C.每周3——4次 D.每周超过4次 15.上课听不懂或有不会做的题你会怎么做？（） A.及时问老师 B.查找参考书解决 C.找同学讨论解决 D.放之任之 16.学习让你觉得快乐吗？（） A. 很快乐 B.有时快乐 C.对学习没感觉，无所谓 D.不知道 17.你的课外时间是如何安排的？（） 高中数学知识结构框图必修一：第一章集合 集合含义与表示 基本关系 基本运算 列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法 包含关系 相等关系 交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且 韦恩图; 数轴 子集; 真子集 函数概念 定义域 对应关系 值域 表示 解析法 图象法 列表法 性质 单调性 定义 图象特征 最值 奇偶性 定义 图象特征:对称性 映射映射的概念上升或下降 第二章函数 第三章基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ) 指 数 与 指 数 函 数 指 数 根式n a 分数指数幂(0,,*,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 无理数指数幂 运算性质 指 数 函 数 定义(0,1) x y a a a =>≠ 图象: “一撇或一捺”，过点(0,1).见教材P91 性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线 对 数 与 对 数 函 数 对 数 定义：x a N x a N = 若则叫以为底的对数 运算性质 对 数 函 数 定义：log(0,1) a y x a a =>≠ 图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线.见教材P103 性质：过点（1，0） log()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M N N M n M ?=+ =- = () () r s r s r s rs r r r a a a a a ab a b + = = = 幂 函 数 定义：y xα = 具体的五 个幂函数 2 3 1 2 1 y x y x y x y x y x- = = = = = 特征：过点（1，1）， 当0 α>时在(0,) +∞ 上递增；当0 α<时， 在(0,) +∞上递减。 换底公式： log log(0,1,0,1,0) log c a c b b a a c c b a =>≠>≠> 图象：P109 初高中中学生数学学习方式现状调查表 说明：⑴每题答案可填写一个以上；⑵可另补充答案。 1、你对学习数学的兴趣 A、非常喜欢 B、比较喜欢 C、曾经喜欢，到高中不喜欢 D、曾经喜欢，到初中开始不喜欢 E、一直不喜欢 2、你是否获得过数学老师的表扬(初中以来) A、经常 B、多次 C偶尔 D、从来没有 3、你是否有过解决数学问题后的愉悦？ A、没有 B、偶尔有 C、经常有 D、有过，感觉不明显 4、你对数学学科有何认识？ A、数学有用 B、数学训练思维 C、数学解决许多实际问题 D、数学好可以在高考中获得高分 E、数学没有多大用处 5、你是否想了解数学的历史 A、很想 B、比较想 C、无所谓 D、不想 6、你每天花在学习数学上的自主时间(不包括数学课)有多少时间 A、1、5小时以上 B、1- 1、5小时 C、0、5-1小时 D、0、5小时以内 7、你在上数学课前是否有预习的习惯 A、课前常先看书 B、老师要求时就预习 C、凭自己一时的兴趣 D、没有时间预习 E、不愿意预习 8、在数学课上你喜欢 A、先看书后听老师讲解 B、听老师讲 C、主要由自己看书、做题目 D、其它形式(自填，下同) 9、你认为在课堂上老师讲数学题的最佳方法是 A、老师讲解 B、老师分析思路、学生做 C、先学生做，再由老师评讲 D、学生先做，再相互交流，最后老师评讲 E、 10、你对一题多解这种形式的看法是 A、非常好 B、不必讲多种方法 C、无所谓 D、讲通法和巧思妙解 E、只要掌握一种就行 11、你认为解题要达到什么程度才能考出优良成绩 A、解题数量越多越好 B、各种题型都能遇到 C、题目难度大 D、 12、在学习数学中，你是否会自己提出一些数学问题 A、经常提出 B、偶尔提出 C、从未提出 D、没有问题 13、遇到数学问题时，你往往 n 个元素集合子集数2)()()U U B C A C B = )U A A = {|x B ={|U x x A =能够判断真假的语句。原命题：若p 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命逆命题：若q 否命题：若?←??? →一一对应复平面内的点向量OZ 向量OZ 的模叫做复数的模，di ，则首先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），在进行四则运算时，可以把 投影 cos b a 方向上的投影。【注意：投影是数量】2e 为,x y 轴 一般表示,a b （0b ≠1122122(,)(,)x y x y x y x y λ=?=a b +的平行四边形法则、三角形法则。 ()(a b c a ++=+a b -的三角形法则。 MN (N M MN x x =-a λ?为向量，0λ>与a 方向相同， 与a 方向相反，a a λ=。(,a x λλ=a )λμ，a a λμλ=+)(b a λλ++( cos ,b a b a b =?> 2 a a =，a b a b ≤?。2a x y =+2121y y x ≤+b a =，(a +()()()a b a b a b λλλ==。 与上面的数量积、数乘等具有同样 的坐标表示方法。 4.算法、推理与证明 圆的方程 圆心x 2+ y 2= r 2 （0 ) 2 + ( y – b ) 2 = r 6.计数原理与二项式定理 ……做第n 步m 种不同的方法个不同元素中，任意取出m 个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从 !m 11n n a C a b -+1 1++；n n n C C C C 210++++ 8. 函数与方程﹑函数模型及其应用 数轴、V een 图、函数图象 集合 集合元素的特性 确定性、互异性、无序性 集合的分类 有限集 无限集空集φ 集合的表示 列举法、特征性质描述法、V een 图法 集合的基本关系 真子集 子集几何相等性质 集合的基本运算 补集 交集q p 并集q p . p q ，则逆命题：若. q p ，则原命题：若. q p ??，则否命题：若.p q ??，则逆否命题：若互为逆否互逆 互逆 互否 互否 四种命题 {}{}{}{}{}{}{}{}. 000)8()7()6(22)5()4()3()2()1(1φφφφφφφ???∈?∈????=??-≠ ，表示空集，表示集合， ，区别：，，的集合； 表示只有一个元素表示元素， 区别：一般地，与表示集合与集合关系； 表示元素与集合关系，的区别：，个真子集； 有个子集，个元素的集合有含有；，则，若； 或则则；真子集； 空集是任何非空集合的a a a a a n C A C B B A B A B A B A A A n n ()()()()()()()()()()()()()()()()()； ；结合律：； ； 分配律：； ； ；；；或，，；，，，C B A C B A C B A C B A C A B A C B A C A B A C B A B C A C B A C A A C C A C A U A C A B A B A B A A B A B A B A A B A A A A A A A A A A U U U U U U U ========????=??=====)6()5()4()3()2()1(φφφφ基本逻辑 联结词 ∨或() q p ??或∧且? 非q p ∧q p ∨量词 全称量词存在量词 全称命题存在命题 ()()00::x p M x p x p M x p ?∈??∈?，；则，若()() x p M x p x p M x p ?∈??∈?，；则，若::00否定 第一部分集合与简易逻辑 退出 上一页 函数与方程区间 建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示 三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出上一页 第一部分 集合、映射、函数、导数及微积分 集合 映射 概念 元素、集合之间的关系 运算：交、并、补 数轴、Venn 图、函数图象 性质 确定性、互异性、无序性 定义 表示 解析法 列表法 三要素 图象法 定义域 对应关系 值域 性质 奇偶性 周期性 对称性 单调性 定义域关于原点对称，在x ＝0处有定义的奇函数→f (0)＝0 1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、证明单调性：作差（商）、导数法； 3、复合函数的单调性 最值 二次函数、基本不等式、双钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数. 幂函数 对数函数 三角函数 基本初等函数 抽象函数 复合函数 赋值法、典型的函数 函数与方程 二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 零点 函数的应用 建立函数模型 使解析式有意义 导数 函数 基本初等函数的导数 导数的概念 导数的运算法则 导数的应用 表示方法 换元法求解析式 分段函数 几何意义(切线问题）、物理意义 单调性 导数的正负与单调性的关系 生活中的优化问题 定积分与微积分 定积分与图形的计算 注意应用函数的单调性求值域 周期为T 的奇函数→f (T )＝f (T 2)＝f (0)＝0 复合函数的单调性：同增异减 三次函数的性质、图象与应用 一次、二次函数、反比例函数 指数函数 图象、性质 和应用 平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换 图象及其变换 最值 极值 第二部分 三角函数与平面向量 角的概念 任意角的三角函数的定义 三角函数 弧度制 弧长公式、扇形面积公式 三角函数线 同角三角函数的关系 诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式 公式的变形、逆用、“1”的替换 化简、求值、证明（恒等变形） 三角函数 的 图 象 定义域 奇偶性 单调性 周期性 最值 对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对 称中心为(k π 2 ，0)（k ∈Z ）. 正弦函数y ＝sin x = 余弦函数y ＝cos x 正切函数y ＝tan x y ＝A sin(ωx ＋?)＋b ①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意ω的符号）； ④最小正周期T ＝ 2π | ω |；⑤对称轴x ＝(2k ＋1)π－2?2ω，对称中心为(k π－?ω，b )（k ∈Z ）. 平面向量 概念 线性运算 基本定理 加、减、数乘 几何意义 坐标表示 数量积 几何意义 模 共线与垂直 共线（平行） 垂直 值域 图象 a →∥ b →?b →＝λa → ? x 1y 2－x 2y 1=0 a →⊥b →?b →·a →＝0 ? x 1x 2＋y 1y 2=0 解三角形 余弦定理 面积 正弦定理 解的个数的讨论 实际应用 S △＝12ah ＝1 2ab sin C ＝p (p －a )(p －b )(p －c )（其中p ＝a ＋b ＋c 2 ） 投影 b →在a →方向上的投影为|b →|cos θ＝a → ·b → ——|a →| 设a →与b →夹角θ，则cos θ＝a → ·b → ——|a →|·|b →| 对称性 |a →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 夹角公式 数 学 知 识 点 总 结 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位臵关系、线性规划、圆、直线与圆的位臵关系最全高中数学知识点总结(最全集)
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