中考数学——方程与不等式(贾吉真) (2)

中考数学——方程与不等式

【知识梳理】

一：一元一次方程与一次不等式（组）的概念与解法，应用； 二：二元一次与二元二次方程组的概念与解法，应用；

三：一元二次方程的概念与解法，应用；韦达定理与判别式的应用； 四：分式方程的概念，解法，应用；

【典型例题】

模块一：解下列方程与不等式

①

003.002.003.03

255.09.03.0=+---+x

x x ②2223122211x x x x x x x x ---=+++-

③113122

2=??? ??

+-??? ?

?

+x x x x ④?????=--=+-0

352122

2

22y xy x y xy x

⑤?

?????>-<-322

2,3532x

x x x ⑥?????-<-->-->+.3273,4536,7342x x x x x x

模块二：方程与不等式解的定义应用。

1、如果方程

42

832

x x -+-=-的解与方程4(31)621x a x a -+=+-的解相同，求式子1a a -的值 ．

2、已知1x 、2x 是方程0132

=+-x x 的两根，则1112422

1++x x 的值为 。

3. 如果不等式4x －3a>－1与不等式2（x －1）+3>5的解集相同，请确定a 的值。

4.如果不等式组2

223

x

a x

b ?+???-

5、已知0132

=++x x ，求4

41

x x +

的值。

模块三:方程与不等式解的讨论所涉及的参值与数范围问题

1、a 取什么值时，方程)2(4)2(-=-a x a a ①有唯一的解？ ②无解？ ③有无数多解？④是正数解？

2、关于x 的不等式组??

?->-≥-1

23,

0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围．

3、已知不等式13a x ->的每一个解都是

211

22x -<的解，求a 的取值范围；

4、关于x 的不等式组233(2),1,x x x m ->-??

->? ①有解，求m 的取值范围．②无解，求m 的范围。

5、当a 为何值时，关于x 的方程2

3

4222+=-+-x x ax x ①会产生增根？ ②无解？

6、已知关于x 的方程x 2

+(2k －1)x +(k －2)(k +1)=0……①和kx 2

+2(k －2)x +k －3=0……②.

⑴求证：方程①总有两个不相等的实数根；

⑵已知方程②有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围；

⑶如果方程②的两个不相等实数根α、β的倒数和等于方程①的一个根，求k 的值.

7、已知方程组

?????y

2

＝4x y ＝2x ＋b

有两个实数解

?????x ＝x 1y ＝y 1

和

?????x ＝x 2

y ＝y 2

，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．

（1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得 1

x 1

＋

1

x 2

＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．

模块四：韦达定理与判别式应用 1、解方程组??

??

?==+23

xy y x

2、求出以一元二次方程0232

=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。

3、若实数z y x 、、满足y x -=6，92-=xy z ．求证：y x =．

4、已知0832=-+x x ，0832=-+y y ，求y

x

x y +的值。

5、已知关于x 的方程063)2(22=-+-+m x m x 。

（1）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足1x ＝32x ，求实数m 的值。 （2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x +=，求实数m 的值。 （3）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足3||21=-x x ，求实数m 的值。

6、已知正方形ABCD 的边长是1，点M, N 分别在BC ，CD 上，使得△CMN 的周长为2，则△MAN 面积的最小值为 。

模块五：方程与不等式的应用与构建

1、．如图是反比例函数y ＝

2

x

，x ≤－2和x

≥1时的部分图象，若二次函数y ＝ax

2

的图象与上述图象

有公共点，则a 的取值范围是（ ） A ．－2≤

a

≤1且a ≠0

B ．a

≤－2或a

≥1

C ．－

1

4

≤

a

≤2且a ≠0

D ．a

≤－

1

4

或a

≥2

2．当x 满足－3≤x ≤－2时，不等式 3x

2

＋4x －a

x ＋1

＞3x －1恒成立，则a 的取值范围为（ ）

A ．a ＞－3

B ．a ≥－3

C ．a ＜－5

D ．a ≤－5

3、．对于每个x ，函数y 是y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝－

3

2

x ＋12这三个函数的最小值，则函数y 的

最大值是（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．48

7

4．在平面直角坐标系中，以点（3，－5）为圆心，r 为半径的圆上有且仅有．．．．

两点到x 轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（ ）

A ．r ＞4

B ．0＜r ＜6

C ．4≤r ＜6

D ．4＜r ＜6

5．已知二次函数y ＝ax

2

＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：

①abc ＞0；②2a ＋b ＜0； ③a ＋bm ＜m (

am ＋b

)（m ≠1）；

④(

a ＋c

)2＜b

2

；⑤a ＞1．其中正确的是（ ）

A ．①⑤

B ．①②⑤

C ．②⑤

D ．①③④

6、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.

7、如图，四边形ABCD 是矩形，AD ＝10，

DC ＝8，以DF 为折痕把Rt △ADF 折叠，使点A 落在 BC 上的点E 处，求BF= 。

8、在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，若BD ＝1，CD ＝2，试求△ABC 的面积．

D

C

B

A

B A

C

D

9、 如图，六边形ABCDEF 由五个相同的正方形组成，正方形的边长为1cm ，过点A 的一条直线和ED 、CD 分别相交于点M 、N ，若这个六边形在直线MN 两侧的部分有相等的面积，则EM 的长度是___________。

10、如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，求四边形AEFD 的面积= 。

11、如图，弦MN 、PQ 、RS 分别交于A 、B 、C ，已知MA RB QC ==，PB NC SA ==，

求证：?ABC 是等边三角形。

12．已知锐角三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，正方形DEFG 是△ABC 的内

接正方形，试猜想正方形DEFG 的两个顶点在哪条边上可使正方形的面积最大，并证明你的结论。

【巩固提高】

1、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝4AD ＝42，∠B ＝45°．直角三角板含45°角 的顶点E 在边BC 上移动（不与点C 重合），一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ． （1）当△ABE 为等腰三角形时，求CF 的长；

（2）在点E 移动过程中，求△ADF 外接圆半径的最小值．

2、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，BC ＝132，设AB ＝ a ，CD ＝b ，且a ＋b ＝34． （1）求：a 、b 的值；

（2）设－62＜t ＜62，是否存在实数m 、n ，使得方程组

?

????x －2y ＝m ＋n x ＋y ＝m

2＋n

2

＋2t 关于x 、y 的解恰好 为

?

????x ＝a

y ＝b ？若存在，请说明理由，并判断点（m ，n ）在第几象限？若不存在，请给予证明．

E

O

D

C

A

B

3、某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：

方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．

方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）．

（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式．（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？

（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的想法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．

讲义编辑：justin

2015 年3月13日星期五