3.1 不等关系与不等式 学案(人教A版必修5)

第三章 不等式

§3.1 不等关系与不等式

材拓展

1．不等式的基本性质

对于任意的实数a ，b ，有以下事实：

a>b ?a －b>0；

a ＝

b ?a －b ＝0；

a

这三条基本性质是差值比较法的理论依据．

例如：已知a>b>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b

的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m )

. ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0，

∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m

.

2．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面

单向性：

(1)a>b ，b>c ?a>c.

(2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d.

(3)a>b ，c>0?ac>bc.

(4)a>b ，c<0?ac

(5)a>b>0，c>d>0?ac>bd.

(6)a>b>0，n 为正实数?a n >b n .

双向性：

(1)a －b>0?a>b ；a －b ＝0?a ＝b ；

a －b<0?a

(2)a>b ?b

(3)a>b ?a ＋c>b ＋c.

单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)． 若把c>0作为大前提，则a>b ?ac>bc ，若把c<0作为大前提，则a>b ?ac

解不等式：－16x ＋34<23x －112

. 解 －16x ＋34<23x －112

?－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)

?－2x<8x －10 (不等式两边都加上－9)

?－10x<－10 (不等式两边都加上－8x)

?x>1 (不等式两边都乘以－110

，不等式方向改变！) 3．正分数的一个有趣性质

在a>b>0，m>0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：b a

. 由b a

可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大．例如： 12<23<34<45<56<67<78<89

. 由a ＋m b ＋m

可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小．例如： 32>43>54>65>76>87>98>109

. 从函数的观点看：

当a>b>0时，函数f(x)＝b ＋x a ＋x 在x ∈[0，＋∞)上是单调递增的；函数f(x)＝a ＋x b ＋x

在[0，＋∞)上是单调递减的．

法突破

一、利用作差法比较实数大小

方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法．

例1 已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1

，试比较f (a )与f (b )的大小． 解 可将f (a )与f (b )分别表示出来，然后根据m ，a ，b 的取值范围进行比较，但由于m 的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解．

由于f (x )＝mx x －1，所以f (a )＝ma a －1，f (b )＝mb b －1

， 于是f (a )－f (b )＝ma a －1－mb b －1＝m (b －a )(a －1)(b －1)

， 由于a >b >1，所以b －a <0，(a －1)(b －1)>0.

当m >0时，m (b －a )(a －1)(b －1)

<0，所以f (a )

>0，所以f (a )>f (b )； 当m ＝0时，m (b －a )(a －1)(b －1)

＝0，所以f (a )＝f (b )． 二、利用作商法比较实数大小

方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a ，b 都是正数，则a >b ?a b

>1； a

＝1. (2)若a ，b 都是负数，则a >b ?a b

<1. a 1；a ＝b ?a b

＝1. 作商比较法的基本步骤为：

①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．

例2 设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b ，a b b a ，(ab )a ＋b 2

三者的大小． 解 ∵a a b b

(ab )a ＋b 2

＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2 ＝a a －b 2·b b －a 2＝????a b a －b 2

当a >b >0时，a b >1，a －b >0，a －b 2

>0 ∴????a b a －b 2>????a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2

. 当0

<0. ∴????a b a －b 2>????a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2

. 所以，不论a >b >0还是0

总有a a b b >(ab )a ＋b 2

. 同理：(ab )a ＋b 2

>a b b a . 综上所述，a a b b >(ab )a ＋b 2

>a b b a . 三、利用不等式的性质比较大小

方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断． 例3 对于0

①log a (1＋a )

?1＋1a ②log a (1＋a )>log a ???

?1＋1a ③a 1＋a

④a 1＋a >a 1＋1a

其中成立的是( )

A ．①与③

B ．①与④

C ．②与③

D ．②与④

解析 ∵0

， 而y ＝log a x 在(0，＋∞)上与y ＝a x 在R 上均为减函数，

∴log a (1＋a )>log a ????1＋1a ，a 1＋a >a 1＋1a

. 答案 D

四、利用不等式性质求参数范围

方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围．此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐．对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明．

例4 是否存在实数a ，使不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3

＋…＋12n >112log a (a －1)＋23对一切大于1的自然数n 都恒成立？如果存在，试确定a 的取值范围，否则说明原因．

解 记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3

＋…＋12n (n ∈N *，且n ≠1)．如果存在题意中要求的实

数a ，

那么112log a (a －1)＋23

<[f (n )]min ∴f (n )－f (n ＋1)＝1n ＋1－12n ＋1－12(n ＋1)

＝12(n ＋1)－12n ＋1

<0， ∴f (n )为增函数，

故[f (n )]min ＝f (2)＝13＋14＝712

， 112log a (a －1)＋23<712

， 由此可解得1

????1，1＋52.

区突破

误用不等式的性质而致错

例 已知：1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的范围．

[错解] 由于1≤a －b ≤2①

2≤a ＋b ≤4②

①＋②得3≤2a ≤6

32

≤a ≤3③ ②＋①×(－1)得0≤2b ≤3

0≤b ≤32

④ ③×4＋④×(－2)得3≤4a －2b ≤12.

[点拨] 上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的．那到底是为什么呢？我们先看不等式4a －2b ≥3什么时候取等号，由上述解题过程可知，当a ＝32且b ＝32

时，才取等号，而此时a －b ＝0，不满足①式，因此4a －2b 是不能等于3的．同理可验证4a －2b 也不能等于12，出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形．因此结论是错误的．

[正解] 换元法

令a ＋b ＝μ，a －b ＝v ，则2≤μ≤4,1≤v ≤2.

由????? a ＋b ＝μa －b ＝v 解得??? a ＝μ＋v 2b ＝μ－v 2.

∴4a －2b ＝4·μ＋v 2－2·μ－v 2

＝2μ＋2v －μ＋v ＝μ＋3v . 而2≤μ≤4,3≤3v ≤6，则5≤μ＋3v ≤10.

∴5≤4a －2b ≤10.

题多解

例 设00，a ≠1，试比较|log a (1－x )|和|log a (1＋x )|的大小．

解 方法一 首先判断对数式log a (1－x )和log a (1＋x )的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较．解题过程必须注意对数函数的单调性．

∵0

(1)当a >1时，log a (1－x )<0，log a (1＋x )>0

∴P ＝|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|

＝－log a (1－x )－log a (1＋x )

＝－log a (1－x 2)

∵0<1－x 2<1，∴－log a (1－x 2)>0.

故P >0，得|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.

(2)当0

log a (1－x )>0，log a (1＋x )<0

∴P ＝|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|

＝log a (1－x )＋log a (1＋x )

＝log a (1－x 2)

∵0<1－x 2<1，∴log a (1－x 2)>0.即P >0.

故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|

综上所述，当a >0，a ≠1时，均有

|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.

方法二 将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论．

P ＝log 2a (1－x )－log 2a (1＋x )

＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )]

＝log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x

由已知0

0<1－x 2<1,0<1－x <1,1<1＋x <2，

∴0<1－x <1＋x ，∴0<1－x 1＋x

<1. (1)当a >1时，log a (1－x 2)<0，log a 1－x 1＋x

<0， ∴P >0；

(2)当0

log a (1－x 2)>0，log a 1－x 1＋x

>0，∴P >0 综合(1)、(2)知，当a >0，a ≠1时总有

log 2a (1－x )>log 2a (1＋x )

故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.

方法三 将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式 |log a (1－x )||log a (1＋x )|

＝|log (1＋x )(1－x )| ∵0

∴0<1－x 2<1，∴1－x <11＋x

∴log (1＋x )(1－x )

?11＋x ＝－1. ∴|log (1＋x )(1－x )|>1，

∴|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.

题赏析

1．(2011·北京)如果log 12x

y <0，那么( ) A ．y

C ．1

D ．1

解析 不等式转化为???

log 12x

2．(2008·江西)若0

( )

A ．a 1b 1＋a 2b 2

B ．a 1a 2＋b 1b 2

C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12

解析 方法一 特殊值法．

令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34

， 则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38

， a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38

， ∵58>12>38

，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．

∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0

∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，

∴0

. 又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)

＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，

a 1a 2＋

b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)

＝a 1＋b 1－a 21－b 21，

a 1

b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)

＝a 1＋b 1－2a 1b 1，

∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1

＝(a 1－b 1)2≥0，

∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.

∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1) ＝(2a 1－1)(2b 1－1)

＝4?

???a 1－12????b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.

∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12

－a 1－b 1 ＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)?

??

?b 1－12 ＝2????a 1－12????b 1－12>0，

∴a 1b 1＋a 2b 2>12.

综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2. 答案 A

必修五-不等式知识点汇总.doc

不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a> b <=> b h.h > c a> c (3)加，去丫去贝U：a> b^> a + c> b + c ； a>b,c>dna + c>b + d (4)乘法法则：a > b,c > 0 => ac > be ； a > b.c <0=> ac < be a > b > O. c > d > 0 => ac > bd (5)倒数法则：a> b,ab>0^> — < — a h (6)乘方法则：a>b>O^>a rt > b\n e TV > 1) (7)开方法贝ij：ci>b>0 = &> 巫(nwN* 旦n>l) 二、一元二次不等式or? +Zzx + c〉0和ax2 + bx + c < 0(口丈0)及其解法 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间三、均值不等式

2、如果6/ >0,则不等式: \x\> a \x\>a <=> x >。或r < -a \ x\< a<=> -a < x - a< x< a 3. 当c〉0时, \ax + b\> c <=> ax-^b> c^cuc + b <-c , 4、解含有绝对值不等式的主要方法: (2)定义法：零点分段法; (3)平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平 =>定义域 oQ f(x)>[g(x)]2fW > o 7cv)<[j?(x)]2 L均值不等式：如果a, b是正数，那么啰2而当且仅地"时取*). 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均，算术平均N儿何平均N调和平均(Q、。为正数)，即 疽+b“a + b N血兰2 (当a = b时取等) 2 — 2 —"11 —i— a b 四、含有绝对值的不等式 1?绝对值的几何意义:|x|是指数轴上点尤到原点的距离;氐-花|是指数轴上尤"两点间的 距离 \ax + h\C = XCR, |"X +》| 0) -a < x < a , \x\> a (a>0) <^> x> a E^x<-a . 方. 五、其他常见不等式形式总结： %1分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 祭 >。=肿心>0;祭 g(x) g(x) %1无理不等式：转化为有理不等式求解 f{x)> 0 J/(x) > Jg(x)。、g(x) > 0 J\x)>g(x)

人教版高中语文必修五《小说》专题教案

必修五《小说》专题教案 【学习目标】 1、学生理解有关生字词的注音及含义； 2、会用简洁的语言复述小说的故事情节； 3、掌握小说人物分析的基本方法即通过分析小说人物的语言、动作、 心理、外貌等描写来分析人物形象； 4、掌握小说中环境描写的基本作用即烘托人物形象或氛围、推动故事 情节发展。 其一：《林教头风雪山神庙》 一、阅读全文，找出文中的生字词，把其注音和解释抄写在下面横线上。例如：酒馔（zhuàn，酒食）。 赍发（ji，一声，资助）恶（wu，四声，触怒）了高太尉恁地（nen，四声，那么，这么）不省得（xing，三声，不明白）仓廒（ao，二声，仓库）沽酒（gu，一声，买酒）庇佑（bi，四声，保护）央浼（mei，三声，恳求，托请）肐察（ge，一声，拟声词）掇开（duo，一声，拿，搬）搠倒（shuo，四声，刺，扎） 二、用简练的语言复述故事梗概。（提示：故事梗概应该包括事件的起因、经过和结果。） 本节主要叙述了林冲因为触怒了高俅而被刺配到沧州看管草料场，高俅派陆虞侯和福安串通了差拨防火烧掉了草料场来谋害林冲，不料被在山神庙中避雪的林冲撞破，大怒之下的林冲杀了三人，雪夜离开了沧州。 三、试分析林冲的人物形象。（分值设定：10分。已经有固定格式，请记住这些固定的用语，以便使答案更规范。） 1.从语言描写看，①当店小二让林冲住在店里时林冲说：“我是罪囚， 恐怕玷辱了你夫妻两个。”这表现了他懦弱、忍气吞声、同时而又善良、仁慈的性格特征；（1分） ②当林冲听店小二说陆虞侯、福安来沧州时林冲说：“休要撞着我，只 叫他骨肉为泥！”这表现了他嫉恶如仇、大义炳然的性格特征；（1分） ③当林冲听说自己被派去照看草料场时林冲说：“却不害我，倒与我好 差使，正不知何意？”这表现了他细心谨慎的性格特征；（1分） ④当看到草料场的茅草屋摇摇欲坠时林冲说：“这屋如何过得一冬？待 雪晴了，去城中唤个泥水匠来修理。”这表现了林冲随遇而安的性格特

高中数学必修5基本不等式知识点总结

高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。

Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值

新人教A版必修4高中数学正切函数的图像与性质学案

高中数学 正切函数的图像与性质学案 新人教A 版必修4 【学习目标】掌握正切函数的图象和性质。 【重点难点】能正确应用正切函数的图象性质解决有关问题。 【学习内容】 问题情境导学 一、正切函数图像的画法 复习1、正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？ 预习1、正切函数tan y x = 的最小正周期为______ 2、正切函数tan y x =的定义域为____________；值域为 _____________。 3、正切函数tan y x =在每一个开区间________ __内为增函 数。 4、正切函数tan y x =为___________函数。（填：奇或偶） ？想一想（1）我们知道做周期函数的图像一般先做出长度为一个周 期的区间上的图像，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图像，那我们先选择哪一个区间来研究正切函数呢？ （2）我们用五点法能简便地画出正弦、余弦函数的图像的简图，你 能类似地画出函数tan y x =，)2,2(π π-∈x 的简图吗？ 看一看（1）正切函数tan y x =，)2,2(π π-∈x 的图像画法 ①作出直角坐标系，并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆。

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。 ③描点（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应正切线） ④连线。 （2）函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2,π π的图像画法 ①根据正切函数的周期性，只要把上述图像向左、右扩展，就得到正切函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2,π π的图像，我们把它叫做正切曲线。 ②正切函数的简图可以用三点两线法，这里的三点分别为（)0,πk ，（)1,4ππ+k ，)1,4(--ππk ，两线为2 π π±=k x ， x y π23- π 2π- 2π π2 3 0 y x 2π- 2π

人教版语文高三-人教必修五陈情表教学设计1

人教必修五《陈情表》教学设计 设计说明： 该教学设计是在分析教材和考虑学情的基础上进行的。这篇课文是新课标必修五教材中的古代抒情散文单元的一篇文言文。首先，作为文言文，要重视吟诵、品读，于是在教学中我加大了朗读的份量，设计几种朗读方式，包括教师的范读，学生的齐读、单读、分散读，在朗读中积累文言词语、句式知识、体悟文本中蕴含的情感。其次，《陈情表》是古代散文中传诵千古的名篇之一。文本中涉及的语汇较多，消化理解文言实词是学生读懂文本、真正理清文本思路的前提，也有助于学生更进一步体悟作者在字里行间蕴含的真挚情感，因此要求学生进行课前预习，在授课中让学生结合文本详尽的注释疏通文意，教师做适当的点拨。进而针对文本提出所陈何情。文本的教学设计流程也是按照这一顺序展开的， 教学目标： 1、熟读课文，疏通文句，弄懂文意，掌握积累文中重要的实词、虚词以及文言句式，提高文言阅读能力。 2、通过诵读，理解所陈之情，体会陈情的方式。 3、品味作者在文中蕴含的真挚情感。 教学重点： 在反复诵读中体会字里行间蕴含的真挚情感。 教学难点： 引导学生在反复诵读中体悟以情动人的陈情艺术，进而分析作者是怎样通过陈情达到“愿乞终养”的目的。 教学方法： 1、诵读法。在反复诵读中，体会文中蕴含的真挚感情。 2、点拨法。点拨关键的字、词、句，使学生在深层意义上领会文中蕴含的拳拳真情。 3、讨论法。讨论文中的关键内容，充分发挥学生的主体性作用，让学生在自主学习和讨论中获取新知。 教学时数：1课时 教学过程： 一、课文导入： 距今一千七百多年的魏晋时期，时局动荡，风云变幻。公元265年，司马炎篡位称帝，改国号为晋，魏国灭亡。晋武帝司马炎为了稳定局势、巩固政权、笼络人心，便采用怀柔政策，大力征召西蜀名士入朝为官，于是蜀汉旧臣李密便走进了他的视野。李密幼年丧父，母亲改嫁，由祖母刘氏一手抚养长大，以孝谨闻名，博学善辩。但就在晋武帝下诏征辟的时候，李密年迈的祖母已经是“夙婴疾病，常在床蓐”。一面是宠命优渥的皇帝诏命，一面是难以割舍的祖孙之情；一面是言辞切峻的朝廷诏书，一面是恩重如山的养育之恩，在这人生的重要抉择之时，李密将会做出怎样的选择呢？今天就让我们一同走近李密的《陈情表》。 二、初读课文。（学生读完后，教师做诵读指导，同时做正音指导、点拨句读。） 教师范读第一段，指名学生朗读第二、三段，全班齐读第四段。 （要求：诵读要注意读准字音，读清句读，读出感情。） 三、再读课文、缓读领会： （要求：缓慢诵读、圈点勾画参照课文注释还不能完全理解的字、词、句，师生共同解决。）四、三读课文、速读课文，思考： （1）、李密为何陈情，陈情所遇到何种困难。（要求：用原文语句作答） 陈情的缘由：愿乞终养。（陈情是为了达到“奉养祖母，暂不出仕”的目的。）

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______

正弦函数余弦函数的图象学案(人教A版必修4)

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 自主学习 知识梳理 1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线． (2)图象：如图所示． 2．“五点法”画图 步骤： (1)列表： x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 －1 1 (2)描点： 画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________． (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x ＝sin ????x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象， 只需把y ＝sin x 的图象向______平移π 2 个单位长度即可． 自主探究 已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系． 对点讲练 知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象 例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．

回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图． 知识点二利用三角函数图象求定义域 例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域． 回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍． 变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域． 知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数 例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数． 回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．

人教版高中语文必修五表达交流 1.《访谈》教案教学设计

《访谈》教案教学设计 访谈 【访谈指津】 访谈者要事先与被访谈者商定时间和地点，而且尽可能以被访谈者的方便为宜。每次访谈尽量不要超时两个小时，否则会使对方感到疲劳和厌倦，影响访谈质量，但也不要蜻蜓点水，半个小时不到就结束。如果被访谈者表示出仍有兴趣，可以适当延长时间。访谈地点的选择要考虑到被访谈者的感受和心情。被访谈者多愿意在单独场合、僻静环境下接受访谈。 访谈提纲应是一个粗线条的，只列出问题要点和内容范围的提示性材料，在操作中可以灵活修改和调整。一般来讲，拟定初步的访谈问题时要考虑下面四个方面的情况：（1）这个问题有必要问吗？答案将会如何分析和使用？（2）这个问题是否涵盖了主题？其他附带的问题有无必要？（3）这个问题将如何诠释？在获得有意义的回答之前，访谈者是否要考虑与问题有关的其他事情？访谈者是否要从问题中获得对方在态度、喜好、价值、信念等方面的信息？（4）对方是否有回答问题的信息储备？是否允许信息出现偏差？ 在访谈中，要以诚恳的态度、轻松的话题为开场白，先介绍自己的背景与兴趣，减少对方对自己的陌生感与不安全感，增强彼此的信任和理解；然后要说明访谈目的，强调一下访谈的重要意义，并保证对涉及个人隐私的内容保密。 访谈者要注意礼貌，遵循口语化、生活化、通俗化和地方化的原则进行。访谈中要尽量用被访谈者熟悉的语言和表述方式发问，做到问题清楚明了，通俗易懂，用对方的语言表述来讨论问题。访谈结束后，访谈者要对被访谈者表示谢意。【访谈实例】 国家科技最高奖获得者袁隆平访谈录 记者：最近从电视上看到您做的一个公益广告，我想问从理论上计算水稻最高的产量有多少？ 袁隆平：根据我国科学家的理论，太阳晒到地球上的能量，有百分之五能够转化成有机物，这么一计算，我们根据长沙的气象记录来算。长沙早稻的产量理论上可以达到2000公斤，晚稻2300公斤，中稻可以达到3000公斤，潜力相当大。一般理论值是达不到的，我们打个对折，早稻可以搞到1000公斤，晚稻可以搞

最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答

不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2

一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入

人教版数学高一学案 任意角 (人教A版必修4)

1.1.1任意角 课前预习学案 一、预习目标 1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分； 2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性； 3、能用集合和数学符号表示象限角； 4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. 二、预习内容 1．回忆：初中是任何定义角的？ 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？ 2.角的概念的推广： 3．正角、负角、零角概念 4.象限角 思考三个问题： 1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？ 2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？ 3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？ 4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？ （1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100. 5.终边相同的角的表示 三、提出疑惑

课内探究学案 一、学习目标 （1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角a 终边相同的角（包括角a ）的表示方法； 学习重难点： 重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。 二、学习过程 例1. 例1在0360? ? ~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几象 限角.（注：0360?? －是指0360β? ? ≤<） 例2.写出终边在y 轴上的角的集合. 例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α? -≤ 720?<的元素β写出来. （三）【回顾小结】

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质.

(2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O

一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0； （3）2x 2 +ax +2 > 0； 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ

人教版高中语文必修五 第一、第二单元教案

林教头风雪山神庙 教学目的 1.了解林冲由逆来顺受、委屈求全到奋起反抗的思想性格的发展变化，从而认识封建社会里被压迫者走上反抗道路的必然性。 2.学习本文通过语言、行动、心理描写表现人物性格的写法。 3.了解景物描写和细节描写的作用。 教学设想 1.教学重点是指导学生分析林冲思想性的发展变化和景物描写、细节描写的作用。 2.在分析刻画人物的方法上，应当突出心理活动的描写。 第一教时 教学要点：分析林冲的性格特点。 教学内容与步骤： 1.介绍作者和作品 在预习的基础上，可让学生简要介绍，再由教师补充。 施耐庵，生于1296年，卒于1370年，元末明初人。曾考中进士，作过两年官，后来弃官回乡闲居，从事写作。 《水浒》是我国文学史上第一部以农民起义为题材的优秀长篇小说。这部书是作者在民间传说、话本、杂剧的基础上创作而成的，它艺术地再现了梁山泊农民起义的产生、发展、经过直至失败的过程，歌颂以宋江为首的起义英雄的反抗斗争精神，揭露北宋王朝朝政的黑暗腐败。《水浒》故事性强，情节紧张生动，引人入胜，语言简练生动，是在口语基础上经过加工提炼的文学语言。 2.介绍与课文有关的情节 预习提示介绍了有关情节的梗概，可让学生自己阅读。 3.分析林冲的性格 教师：关于林冲的思想性格的发展变化，课文的“预习提示”概括为“由逆来顺受、委曲求全走向反抗道路”。下面，我们按故事情节发展的几个阶段作具体分析。 （1）提问：课文开头一段“闲话”对表现林冲的思想变化有什么作用？ 明确：开头一段有两个内容，一是插叙了当初在东京时的情况，二是林冲、李小二相遇后的一段对话。插叙的一段内容，表现了林冲的正义感和侠义精神，反映了林冲对黑暗现实的不满。从林冲和李小二的对话里，又看到他忍受屈辱、不思反抗斗争软弱动摇的性格特点。他明知是高俅“生事陷害”，自己才吃了官司，被刺配到沧州，但和李小二说到这件事时，他并不气愤、痛恨，还把高俅称作“高太尉”，甚至认为是自己冒犯了高太尉才受了官司。这既表现了林冲的善良安分，也表现了他忍受屈辱、性格软弱的一面。 （2）提问：林冲无辜受害，被刺配到沧州，远离了京城，高俅一伙，陆谦、富安又追到沧州，在李小二的酒店里密谋陷害林冲。林冲从李小二那里听说了这件事之后是什么态度？表现出林冲的什么性格？ 明确：林冲听到李小二的报信，并确知从东京来的尴尬人就是陆虞候时，马上意识到“那泼贱贼”是要“来这里害我”，他识破了仇人的阴谋，激起了复仇的怒火，气愤地说：“休要撞着我，只叫他骨肉为泥！”说罢，便怒冲冲地“先去街上买把解腕尖刀，带在身上，前街后巷一地里去寻”，次日，“带了刀，又去沧州城里城外，小街夹巷，团团寻了一日”。这说明，当迫害逼到眼前时，林冲也具有了强烈的反抗意识。但是，“街上寻了三五日，不见消耗”时，“林冲也自心下慢了”，对仇人有所怀疑，却失去了应有的警惕性，刚刚点燃起来的复仇怒火又慢慢熄灭了。这说明林冲的反抗并不坚决，幻想得过且过，委曲求全。

高中数学必修五基本不等式学案

高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最

小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]

人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案

第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

人教版高中语文必修五边城 教案

人教版高中语文必修五边城教案 <<边城>>教案 （自读课文，以讨论、自由发言为主） 1.依靠揣摩词句，领会人物的心理和性格。 2.联系现实生活，理解小说中体现的人性之美。 3.进行联想想象，体会小说中描绘的湘西风土人情。 第一课时 （课前布置预习，着重了解人物的性格、心理。） 一、导入新课 中篇小说《边城》自问世以来，就引起了人们的广泛关注。赞者认为这是“一颗千古不磨的珠玉”、“田园诗的杰作.人性，作为文学创作的永恒主题在沈从文笔下得到了最充分的体现。因为在沈从文看来：“一部伟大作品，总是表现人性最真切的欲望。”故表现人性便是他创作的中心。沈从文神往于不受“近代文明”玷污更不受其拘牵的原始古朴的人性，他创作时往往去除现实生活中严酷的政治经济关系，而在古老的生活节奏与情调中塑造一系列不带社会阶级烙印的自然化的人，讴歌一种自在、自得的人生，追求一种“优美、健康”的生活。故而，他的作品游离于当时的社会背景，在文学的大道上另辟蹊径，以抒写自然的人性为题材，从而寄托作者对社会、人生的反思。在他众多的作品中，中篇小说《边城》就是这类内容的代表。 二、简介作者 大部分小说是以湘西生活为背景，对故乡人民怀有不可言状的同情和温爱。以其特异的“生命形式”，熔生动丰富的社会风景画和优美清新的风情风景画于一炉，展示其民情的粗犷强悍，民俗的淳厚善良，使作品充溢着浓郁的乡土气息和反朴归真的牧歌情调。这种乡土抒情体的美学风格代表了京派作家的社会理想，也对后来作家产生了深刻的影响。 沈从文的创作风格趋向浪漫主义，他要求小说的诗意效果，融写实、纪梦、象征于一体，语言格调古朴，句式简峭、主干凸出，单纯而又厚实，朴纳而又传神，具有浓郁的地方色彩，凸现出乡村人性特有的风韵与神彩。整个作品充满了对人生的隐忧和对生生命的哲学思考，如他那实在而又顽强的生命，给人教益和启示。

高中数学 新人教A版必修4导学案全套

任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o

问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。

必修五不等式大复习-知识点加练习-适合整章复习

必修五不等式综合 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除， 但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 练习一、： （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 练习二;（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21 log log 21+t t a a 和的大小 （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积

人教A版数学必修四第二章平面向量导学案

第二章 平面向量 1.向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1.如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向； (2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |. 作法.在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB → ＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下： 例2.如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向. 作法.在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA → ＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－ b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下： 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3.如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1.(应用三角形法则) (1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步：作OA → ＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA → 与a 同向. 第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB → 即为a ＋b . 作图如下： (2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB → ＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA → 即为a －b . 作图如下： 点评.向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2.(应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB → ＝a ， AD → ＝b ，以AB ，AD 为邻边作?ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB → ＝a －b .作图如下：