K解析函数的双边幂级数与孤立奇点
第１８卷第３期２００９年７月
云南民族大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹｔｍｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ０１．１８Ｎｏ．３
Ｊｕｌ．２００９Ｋ一解析函数的双边幂级数与孤立奇点
张建元张毅敏熊绍武
（昭通师范高等专科学校数学系，云南昭通６５７０００）
摘要在定义了双边Ｋ一幂级数的基础上，推出了在日（．｜｝）上Ｋ一解析函数的双边幂级数展开式，并用其研究了Ｋ一解析函数的孤立奇点及其性质，所得结论是解析函数与共轭解析函数中的级数理论的继续和应用．
关键词Ｘ一解析函数；双边Ｋ一幂级数展开式；孤立奇点分类
【中图分类号】０１７５．４【文献标识码】Ａ【文章编号】１６７２—８５１３１２００９）０３—０１９８—０４
ＴｗｏＳｉｄｅｄＰｏｗｅｒＳｅｒｉｅｓａｎｄＳｉｎｇｕｌａｒＰｏｉｎｔｏｆｔｈｅＫ——ａｎａｌｙｔｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎ
ＺｈａｎｇＪｉａｎｙｕａｎＺｈａｎｇＹｉｍｉｎＸｉｏｎｇＳｈａｏｗｕ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＺｈａｏｔｏｎｇＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｚｈａｏｔｏｎｇ６５７０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｄｅｆｉｎｅｓＫ—ｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓ，ｇｉＶｅｓｔｈｅｅｘｐａｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅＫ—ａｎＭｙｆｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅｔｗｏ—ｓｉ—ｄｅｄＫ—ｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓｉｎａｎｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｒｉｎｇＨ（｜ｊ｝），ａｎｄａｐｐｌｉｅｓｉｔｔｏｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆｉｓｏｈｔｅｄｓｉｎｇｕｌａｒｐｏｉｎｔａｎｄｉｔｓｎａｔｕｒｅ０ｆＫ—ａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｉｓｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎａｎｄａｐｐｈｃａｆｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓａｂｏｕｔｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｃｏｎｊｕｇａｔｅａｎａｌｙｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｋ—ａｎａｌｙｔｉｃｆｔｍｃｔｉｏｎ；ｔｗｏ—ｓｉｄｅｄＫ－ｐｏｗｅｒｓｅｒｉｅｓｅｘｐａｎｓｉｏｎ；ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｉｓｏｌａｔｅｄｓｉｎｇｕｌａｒｐｏｉｎｔ
在文献［１—２］中，我们给出了Ｋ一解析函数的概念及其存在的条件与幂级数展开式，并用级数的数学思想方法研究了它的一些性质．本文将在此基础上研究讨论Ｋ一解析函数的双边幂级数展开式，Ｋ一解析函数的孤立奇点的分类及其性质，它是解析函数与共轭解析函数的幂级数理论在Ｋ一解析函数中的继续和应用．
１Ｋ一解析函数的双边幂级数展开式
１．１Ｋ一解析函数与双边Ｋ一幂级数
形如工（ｋ）＝石＋ｉｋｙ（ｋ≠０，ｋ∈Ｒ）的复数称为ｚ＝茗＋ｉｙ的Ｋ一复数．
定义１．１设函数刷在％的某邻域内有定义，极刚㈣（钿）＝黼慝ｌ嗍ｉｒａ揣（存在）称为以：）在钿处的Ｋ一导数，八ｚ）在区域Ｄ内的每点是Ｋ一可导，其Ｄ内Ｋ一导数记为厂’‘。）（ｚ）（：∈Ｄ），一般地八：）在区域Ｄ内的ｎ阶Ｋ一导数为ｚ：ｉ（ｚ）＝妻群＝出（ｄ．｜｝）。ｆ出ｄ“（－Ｉ七ｆ）（“ｚ）。ｌ（ｚＥＤ）．一：｛（彳）有时也简记为，。１（ｚ）．定义１．２…若八：）在区域Ｄ内Ｋ一可导，称八：）在Ｄ内Ｋ一解析；以二）在：＝Ｚｏ的某个邻域内Ｋ一可导，称以ｚ）在％是Ｋ一解析．把在区域Ｄ内Ｋ一解析的函数全体记为Ｆ（Ｄ（Ｉ｜｝））．
设级数：芝：ｃ。（：一口）（ｋ）‘，（１）芝：ｃ．（ｚ一口）（ｋ）“（其中ｃ。，口∈Ｃ，ｎＥｚ）．（２）
收稿日期：２００９—０２—１６．
基金项目：云南省教育厅科学研究基金资助项目（０８Ｙ０３６９）．
作者简介：张建元（１９５６一），男，副教授．主要研究方向：复分析与边值问题．
１９８
第３期张建元：Ｋ一解析函数的双边幂级数与孤立奇点
由幂级数理论【２卅知级数（１），（２）分别在椭圆域口（后）：Ｉ（＝一口）（．｜｝）Ｉ姐（０＜Ｒ≤＋∞）及ｌ／Ｉ（：一口）（｜ｊ｝）ｌ＜ｌ／ｒ或Ｉ（三一ａ）（ｋ）Ｉ＞ｒ（ｒ≥０，ｒ＝０时ｄ／ｒ＝＋∞）内表示Ｋ一解析函龇（彳）与厶（ｚ），当且仅当ｒ＜Ｒ时，在公共的收敛椭圆环日（矗）：ｒ＜Ｉ（ｚ一口）（Ｉ｜｝）ｌ＜Ｒ内（１）与（２）同时收敛称级数（１）与（２）之和级数：∑ｃ．（名一口）（后）４或∑：：ｃ。（ｚ一。）（后）“＝∑：：．ｃ．（：一口）（后）。＋∑：。ｃ．（＝一口）（Ｉ｜｝）。（３）为椭圆环日（后）上的双边Ｋ一幂级数，简称双边幂级数其中（１）、（２）分别称为（３）的正则部分与主要部分．注：因曰（后）的边界ＣＲ：（石一口）（Ｉ｜｝）＝Ｒｅ¨（Ｏ＜Ｒ＜４－∞，０ｓ０ｓ２１Ｔ）即（实形式）（茗一口，）２＋旷（），一口，）２＝Ｒ２为一个椭圆周，称Ｂ（七）为一个椭圆域，日（｜｜｝）为椭圆环．
由以上讨论及幂级数的性质得：
定理１．１设双边幂级数（３）的收敛椭圆环为日（Ｊ２）：ｒ＜Ｉ（＝一口）（ｋ）Ｉ＜Ｒ（ｒ≥０，Ｒｓ＋∞），则（ｉ）级数（３）在日（ｋ）内绝对收敛且内闭一致收敛于八＝）＝工（：）＋五（石）（ｚＥ日（．｜｝）；（ｉｉ）八：）在日（后）内Ｋ一解析；（ｉｉｉ）以：）＝∑＋：ｃ。（：一口）（屉）４在Ｈ（ｋ）内可逐项求Ｋ一导数Ｐ次（ｐＥⅣ）．
１．２Ｋ一解析函数的双边幂级数展开式
定理１．２在椭圆环日（后）：ｒ＜Ｉ（ｚ—ａ）（．｜｝）Ｉ＜Ｒ（ｒ芝０，Ｒｓ＋∞）内Ｋ一解析的函数人：）必可展成双边Ｋ一幂级数：人：）＝芝：ｃ．（：一ｎ）（后）。．（４）其中ｃ－２赤Ｌ西等仿水（矾（舻ｏ，“，±２，…）’（５）
Ｊ１：Ｉ（ｆ一口）（后）Ｉ＝ｐ（ｒ＜Ｐ＜Ｒ）且展开式是唯一的．
证明Ｖ工ＥＨ（ｋ），作％（Ｉｊ｝）妒１＜Ｉ（ｚ一口）（后）Ｉ＜Ｐ２ｃＨ（ｋ）（ｒ＜Ｐｌ＜Ｐ２＜
尺）使ｚ∈日１（后）（如图１）．因八ｚ）在马（后）上Ｋ一解析，由Ｋ一积分公式‘７３得
州＝乩芒‰㈣，一乩。毋缩㈣，．㈤
当ｆ∈厂２：Ｉ（２－一口）（｜｜｝）Ｉ＝Ｐ２时，级数
ｌ
（ｆ—ｚ）（ｋ）———————！一ｆ（ｋ）一口（后）一●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿－－＿＿＿＿＿－●●＿＿－－＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿●。。＿＿＿＿＿●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿－＿＿●－＿■－●－＿－●●＿＿＿＿－＿＿一
ｌ
—ｆ（｜｜｝）一ａ（ｋ）一（ｚ（ｋ）一ｎ（ｋ））
图１ｚＥＨＩ（七）的示意图
ｌ
一（ｉ（ｋ）一ａ（ｋ））（１一（＝一口）（．｜｝）／（ｆ—ａ）（ｋ））
砉（苦端）４＝砉揣一致收敛【２１．
二！＝：：：！：：：一：÷（＜＝堡世Ｅ：争（ｆ＝璺世￡！万丽２百ｉ而叹Ｆ可■万两瓦ｉ而鼍刍方乏菥２刍气ｉ节商－一致收敛．一
代上两级数Ａ（６）并逐项积分得（４），其中
ｃ．＝乩瓦等扣鸳（州一０’ｌ，２，…）’ｃ一－一乩矿等扣鸳（趴一－，２，…），由Ｋ一积分定理，对厂：Ｉ（：一口）（Ｉ｜｝）Ｉ＝ｐ（Ｖｐ：ｒ＜ｐ＜Ｒ），有ｃ．＝瓤矿等扣鸳（州ｎ－０，”．．），ｃ一。＝乩面静㈤（一ｌ，２，…），合并上两式有：ｃ。＝南Ｌ西＿二静（后）（ｎＥｚ）?
唯一性在Ｈ（七）上设以ｚ）另有展开式：八：）＝∑：：ｃ．’（ｚ一口）（蠡）ｍｌ，由定理１．１，当ｚＥＦ：Ｉ（ｚ一口）（孟）ｌ＝ｐ（ｒ＜Ｐ＜Ｒ）时．上面级数与级数以ｆ）?（ｆ一口）（露）‘‘＿＋１’＝∑：：ｃ．’（ｆ一口）（后）。一“皆一致收敛，逐项积分得ｃ，．＝丢４忑蜘嘭（后）（ｎＥｚ），从而ｃ‘＝ｃ，．（ｎＥｚ）．
云南民族大学学报（自然科学版）第１８卷
（４），（５）式分别称为足一解析函数以彳）在点口的双边（Ｋ一）幂级数展开式及其展开式的系数．
１．３置一解析函数在孤立奇点领域内的幂级数展开式
定义１．３若函数八ｚ）在点ａ的某一去心领域Ｂ（Ｉ｜｝）一｛口｝：０＜Ｉ（：一口）（Ｊ｝）ｌ＜Ｒ内Ｋ一解析，但在点口不Ｋ一解析，则称口为以名）一个孤立奇点．
显然当ｒ＝０时，日（ｋ）为Ｂ（五）一｛ａ｝，由定理１．２与文献［２］定理２．２得：
推论１．３若口为Ｋ一解析函数以＝）的一个孤立奇点，则必存在Ｒ＞０（或＋∞），使八：）在ａ的去心领域：０＜Ｉ（：一口）（ｋ）Ｉ＜Ｒ内可展成双边幂级数以＝）＝芝：ｒ－ｃ．（：一口）（ｋ）“，此时收敛Ｋ一半径Ｒ＝ｍｉｎ｛Ｉ（ｂ—ａ）（ｋ）１１．其中ｂ为以：）的异于ａ的奇点．
注（ｉ）Ｋ一幂级数与双边Ｋ一幂级数的关系：当八ｚ）在口处置一解析时，曰（Ｊ｜｝）：Ｉ（ｚ一口）（ｋ）Ｉ＜Ｒ为Ｊｊｒ（１｜｝）的特殊情况，由（５）式ｃ．。＝０（ｎ＝ｌ，２…），此时以：）在点ａ的双边幂级数展开式就转化八：）在点ａ的幂级数展开式；（ｉｉ）当后＝±１时，（４）式分别为解析函数与共轭解析函数以＝）在点ａ的罗朗展开式卜冉Ｊ．
２鬣一解析函数的孤立奇点分类及其性质
２．１有限奇点（孤立）的性质
定义２．１设口为人ｚ）的孤立奇点，展开式以石）＝∑＋：ｃ。（ｚ一口）（七）“（ｚ∈Ｂ（ｋ）一｛口｝）中，称∑：。ｃ－（＝一口）（Ｉ｜｝）。为八ｚ）在口点的正则部分，∑：：Ｉｃ．（二一口）（矗）“为以：）在口点的主要部分．定义２．２设ａ为八：）的孤立奇点，（ｉ）若爪ｚ）在口的主要部分为零，则称ａ为ｆ（ｚ）的可去奇点；（ｉｉ）若以：）在点口的主要部分为有限多项，设为ｃ一。（ｚ一口）（ｋ）“＋ｃ山－１）（石一口）（ｋ）‘‘””４－…＋ｃ一。（：一口）（后）。１（ｃ一。≠０，ｍＥＮ），则称ａ为火石）的ｍ阶极点；（ｉｉｉ）若ｆＣｚ）在点口的主要部分有无限多项，则称口为八ｚ）的本性奇点．２．１．１可去奇点
定理２．１若ａ为厂（：）的孤立奇点，下列三个条件（可去奇点的特征）等价：（ｉ小ｚ）在点ａ的主要部分为零；（ｉｉ）ｌｉｒａｆ（ｚ）＝ｂ（≠∞）；（ｉｉｉ抓：）在点口的某后邻域内有界．
事实上：显然（ｉ）爿（ｉｉ），（ｉｉ）昔（ｉｉｉ）．下只需证（ｉｉｉ）ｊ（ｉ）．设八ｚ）在Ｂ（后）一｛ａｌ内以肘（Ｍ＞０）为界，ｃ一一２赤Ｌ匹＿二静ｄｅ（矗）（ｎ＝１，２，…），而对Ｖｐ＞ｏ，使厂：Ｉ（ｆ一口）（后）。２ＰｃＢ（后）时，有：以ｚ）的主要部分：ｃ—ｌ（ｚ—ａ）（ｋ）‘１＋ｃ一２（ｚ一口）（后）ｑ＋…＋ｃ一。（名一ａ）（．｜｝）”＋…，其中
ｃ一．Ｉ＝ｌ南Ｌ匹＿＝特喈（ｋ）Ｉ≤磊芋尊叩＝Ｍｐ“能充分地小（ｐ充分小时）即ｃ一．＝ｏ（ｎ＝ｌ，
２，…），亦即八ｚ）的主要部分为零．
２．１．２极点
定理２．２若八＝）以口为孤立奇点，则下列三条件（ｍ阶极点的特征）等价：（ｉ）八：）在点口的主要部分为Ｃ＿ｍ（ｚ—ａ）（后）１＋ｃ一（。Ⅲ（：一ａ）（ｋ）。‘””＋…＋ｃ．Ｉ（彳一ａ）（ｋ）‘１（ｃ一．≠０）；（ｉｉ）ｆ（ｚ）在点口的某去心ｋ邻域内能表为以：）＝Ａ（：）／（ｚ一口）（．｜｝）。，其中Ａｚ）在口的某邻域内Ｋ一解析且Ａ（口）≠０；（ｉｉｉ）ｇ（ｚ）＝ｌ／八石）以ａ为ｍ级零点（ａ为ｌ／八二）的可去奇点时要视为Ｋ一解析点，且ｌ／以口）＝０）．显然（ｉ）等（ｉｉ），（ｉｉ）号（ｉｉｉ）．下只需证（ｉｉｉ）号（ｉ）．因ｇ（ｚ）＝１／八：）以ａ为ｍ级零点，则ｇ（ｚ）＝（Ｚ—ａ）（ｋ）“妒（ｚ），其中妒（ｚ）在点口的某邻域内Ｋ一解析且妒（口）≠０即八ｚ）＝［（ｚ—ａ）（ｋ）“妒（石）］～．因［９（：）］。１在ａ的某邻域内Ｋ一解析，令其展开式心】：［ｐ（：）］～＝ｃ一．＋ｃ一…ｌ，（：一口）（Ｊ｜｝）＋…，其中：ｃ一。＝［９（口）］。１≠０，则以ｚ）在点ａ的主要部分为：
ｃ＿ｍ（二一ａ）（后）。－＋ｃ一（啊一１）（＝一ａ）（七）“＿．１’＋…＋ｃ—ｌ（ｚ—ａ）（ｋ）一．
定理２．３以ｚ）的孤立奇点ｎ为极点甘ｌｉｒａ以ｚ）＝∞．由定理２．２（３）可证其真实性．
２．１．３本性奇点
定理２．４八：）的孤立奇点ｎ为本性奇点甘“ｍ以ｚ）≠Ｐ；（有限）ｌｌｐｌｉｍｆ（：）不存在．由定理２．２与定２００
第３期张建元：置一解析函数的双边幂级数与孤立奇点
理２．３可证其真实性．
２．２眉一解析函数在无穷远点的性质．
定义２．３设函数厂（ｚ）在无穷远点（去心）．｜｝邻域Ｊ７＼，（．ｊ｝）一ｌ∞｝：Ｏｓｒ＜Ｉ：（后）Ｉ＜＋∞内Ｋ一解析，则称∞为以：）的一个孤立奇点．
设∞为人：）的孤立奇点，令：’（屉）＝＝。１（Ｉ｜｝）．于是９（＝’）＝九（ｚ７（ＪＩ））一（一）］＝八：）在去心Ｉ｜｝邻域Ⅳ’（七）一｛０｝：Ｏ＜ｌ：’（后）Ｉ＜１／ｒ（ｒ＝０时，规定１／ｒ＝４－∞）内Ｋ一解析，２．ｔ（Ｉ｜｝）＝０即：７＝０为ｐ（：’）之一孤立奇点．于是有性质：（ｉ）对应于扩充平面上无穷远点的去心后邻域Ｎ（ｋ）一｛∞｝，有扩充ｚ平面上原点的去心Ｊ｜｝邻域Ⅳ７（．｜｝）一｛Ｏ｝；（ｉｉ）在对应点：（矗）与：’（．｜｝）上“：）与９（：’）的值相等；（ｉｉｉ），艇ｍ八：）＝．１ｉｍ妒（彳’）或两个极限都不存在．
定义２．４若ｚ’（后）＝０为９（ｚ’）的可去奇点（Ｋ一解析点），ｍ阶极点或本性奇点，则称ｚ（蠡）＝∞为八：）的可去奇点（尺一解析点），ｍ阶极点或本性奇点．
在去心后邻域Ｎ’（ｋ）一ｔ０｝：ｏ＜ｌ＝’（．｜｝）Ｉ＜１／ｒ内将妒（名’）展开成双边幂级数：９（彳’）＝芝：。。ｃ，’（ｋ）“，设ｚ’（Ｉ｜｝）＝ｌ办（Ｊ｝），有以：）＝芝：。。ｂ．ｚ（七）‘，其中ｂ．＝ｃ一．（ｎ＝ｏ，±ｌ，±２，…）．（７）称级数（７）为八ｚ）在无穷远点去心Ｊ｝邻域ＪＩ＼『（｜｜｝）一｛∞｝：Ｏｓｒ＜Ｉ：（ｋ）ｌ＜＋∞的双边幂级数展式．在级数（７）中把对应于ｐ（ｚ’）在石’（屉）＝０的主要部分：∑＝．６乒（Ｊ｝）“称为八ｚ）在ｚ（后）＝∞的主要部分．定理２．５函数人ｚ）的孤立奇点＝（后）＝∞为可去奇点的充要条件是下列３条中的任何一条成立：（ｉ）在：（｜｜｝）＝∞的主要部分为零；（ｉｉ），ｌｉｍ八：）＝ｂ≠∞；（ｉｉｉ抓＝）在ｚ（ｋ）＝∞的去心后邻域Ｎ（ｋ）一｛∞｝有界定理２．６函数八：）的孤立奇点ｚ（Ｊ｝）＝∞为ｍ阶极点的充要条件是下列３条中任何一条成立：（ｉ）以ｚ）在ｚ（ｋ）＝∞的主要部分为６。ｚ（ｋ）＋ｂ２，（后）＋…＋６。ｚ“（后）（ｂ。≠Ｏ）；（ｉｉ）贝ｚ）在ｚ（后）＝∞的某去心Ｉ｜Ｉ邻域Ｊ７＼ｒ（后）一｛∞Ｉ内有表达式以２－）：ｊ“（后）ｐ（ｚ），其中ｐ（ｚ）在彳（ｋ）＝∞的某邻域内Ｋ一解析且ｐ（∞）≠０；（ｉｉｉ）ｇ（ｚ）＝１／厂（ｚ）以彳（Ｉ｜｝）＝∞为ｍ阶零点（ｇ（∞）＝０）．：定理２．７函数八：）的孤立奇点∞为极点的充要条件是，｛ｉｍ以ｚ）＝∞．
定理２．８函数以ｚ）的孤立奇点∞为本性奇点的充要条件是下列２条件中任一条成立，（ｉ）Ａｚ）在ｚ（ｋ）＝∞的主要部分有无穷多项正幂不等于零；（ｉｉ），ｌｉｍ以ｚ）＝∞不存在抓＝）不趋近于任何有限或无限的极限（ｚ（＿｜｝）－＋∞））．
３结语
本文对足一解析函数的双边Ｋ一幂级数展开式、Ｋ一解析函数的孤立奇点的分类及其在无穷远点的性质进行了研究，因后＝±ｌ时，Ｋ一解析函数分别为解析函数与共轭解析函数‘３。。１，即解析与共轭解析函数都是Ｋ一解析函数的特殊情况．因此以上所得结论包含了解析函数与共轭解析函数中的相应结论．
参考文献：
［１］张建元．足一解析函数及其存在的条件［Ｊ】．云南民族大学学报：自然科学版，２００７，１６（４）：：２９８—３０２．
［２】张建元．足一解析函数的幂级数展开式［Ｊ］．云南大理学院学报：自然科学版，２００９，８（４）：１４—１８．
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［４］钟玉泉．复变函数论［Ｍ】．３版．北京：高等教育出版社，２００４．
［５】郑建华．复分析［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０００．
［６］王见定．半解析函数、共轭解析函数［Ｍ］．北京：北京工业大学出版社，１９８８．
［７］张建元．复变函数的Ｋ一积分［Ｊ】．云南师范大学学报：自然科学版，２００９，２９（１）：２８－３２．
［８】张建元．共轭解析函数的碰ｅ咖边值问题［Ｊ】．北京工业大学学报，１９９６，２２（３）：９９一１０６．
（责任编辑万志蓐）
２０ｌ
K-解析函数的双边幂级数与孤立奇点
作者：张建元， 张毅敏， 熊绍武， Zhang Jianyuan， Zhang Yimin， Xiong Shaowu
作者单位：昭通师范高等专科学校,数学系,云南,昭通,657000
刊名：
云南民族大学学报（自然科学版）
英文刊名：JOURNAL OF YUNNAN UNIVERSITY NATIONALITIES(NATURAL SCIENCES EDITION)
年，卷(期)：2009，18(3)
引用次数：0次
参考文献(8条)
1.张建元K-解析函数及其存在的条件[期刊论文]-云南民族大学学报（自然科学版） 2007(4)
2.张建元K-解析函数的幂级数展开式 2009(4)
3.马库雪维奇.阎昌龄解析函数论教程 1992
4.钟玉泉复变函数论 2004
5.郑建华复分析 2000
6.王见定半解析函数、共轭解析函数 1988
7.张建元.张毅敏.姜锐武.刘承萍复变函数的K-积分[期刊论文]-云南师范大学学报（自然科学版） 2009(1)
8.张建元共轭解析函数的Riemann边值问题 1996(3)
相似文献(0条)
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