两函数图像有4个交点，故m 的取值范围是(0，1)。
例2:确定函数x x x y 2-=的单调
区间。
分析：题中方程有绝对值，所以我们
先判断x 的大小，判断完x 的大小后我
们发现它是一个分段函数，所以列出
关于x 的分布函数，画出图像，结合
图像就知道它的单调区间，这道题主要考察我们分析函数在不同范围
的函数及图像间的关系。
???<+≥==02-02-|x |-2|x |22x x x x x x x y 解：，作出函数 的图像如左图所示 ：
由图像可知，函数的单调递增区间为(-∞，0]和『1，+∞)；
函数的单调递减区间为[0，1]。
例3：若关于x 的方程0322=++k kx x 的两根都在-1和3之间, 求k 的取值
范围。
分析 :
令()k kx x x f 322++= 其图象与x 轴交点的横坐标就是方程()0
=x f 的解。 由()x f y =的图象可知, 要使二根都在(-1,3)之间, 只需
()011>+=-k f
()0993>+=k f 又因为k a
b -=-2介于-1与3之间, 即31<-<-k ,且()032<+-=-k k k f 同时成立, 解得01<<-k ,故k ∈
(-1,0)。
四“数形结合”在二次函数中的综合应用
例1：市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以
30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销
售量v(千克)与销售单价x(元)(x ≥30)存在如下图所示的一次函数关
系式。
(1)试求出v 与x 的函数关系式；
(2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为
何值时，每天可获得最大利润?最大利润是多少?
(3)根据市场调查，该绿色食品每天可获利润
不超过4480元．现该超市经理要求每天利润
不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色
食品销售单价x 的范围。
解：(1)设b kx y +=由图像可知,
???==???=+=+100020-,2004040030b k b k b k 解得 所以一次函数的表达式为：
100020+-=x y , 5030≤≤x
(2) ()()()1000202020+--=-=x x y x p 20001400202-+-=x x
又因为020<-=a ，所以p 有最大值。
元时，）（当45003520-21400max ==?=p x
答：当销售单价为35元／千克时，每天可获得最大利润4500元。
(3)因为4180≤-20(x -35)+4500≤4480，1≤(x 一35) ≤ 16，
所以31≤x ≤34或36≤x ≤39。
注：在解决二次函数问题时，要注意“由数想形，以形助数”的
方法，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题。
五、结语
在学习二次函数中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”。
见“形”不忘“数”。在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：
转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在在用数形结合
的思想解决“二次函数”中的问题时，还应掌握以下几点： 0200
400304050y x
1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。
2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。
3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。
总之，二次函数的问题，在数形结合中来解决就显得不是那么的难，都是“二次方程、不等式”的“数”与二次函数的“形”之间相互转化的。数与形的结合就是解决二次函数，以及所有函数问题得一双慧眼。
参考文献：高考完全解读，高中数理化公式大全，百度查阅资料
二次函数数形结合问题
二次函数与图形专题 姓名： 图象型 经典例题 例1.如图，已知?ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交 AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则?DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ ） D O 4 2 4O 424 O 4 24 O 4 24 A y x B C C A E F B D 例2.(2013年南京建邺区一模)矩形ABCD 中，AD =8 cm ，AB =6 cm ．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：cm 2 )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的 （ ） 变式训练*举一反三 1.如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点， 且∠ACD =45°，DF ⊥AB 于点F ,EG ⊥AB 于点G ,当点C 在AB 上运动时，设AF =x ，DE =y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的 图象大致是（ ） 2.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ． 2 425 y x = B ．225y x = C ．2225y x = D ．2 45 y x = 3．（赵州二中九年七班模拟）点E 为正方形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF 、 EF ．设AF ＝x ，△BEF 的周长为y ，那么能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） 第3题 A B C D
数形结合思想论文(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 渗透数形结合思想，提高学生的数形结合能力 初教数学1112班范杰凯0407311081 内容提要：数形结合思想是一种重要的数学思想之一，可以通过“以形助数”、“以数赋形”使某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，体现了转化的思想，化归的思想，有助于把握数学问题的本质。因此，在高中数学教学中应注重运用数形结合思想，提高学生的思维能力和数学素养。本文结合自己的教学实践，阐述了如何使用教材对数形结合思想进行有效渗透，使学生逐步提高数形结合的能力。 关键词：数形结合思想转化化归 正文： 新课标指出“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能”是高中数学课程的目标之一。我国著名的数学家华罗庚先生曾用“数缺形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”形象生动的阐述了数形结合的意义。以下结合自己的教学实践，分别从引导学生直观感受基本的数学概念，亲身探究定理、结论产生的背景及应用等方面渗透数形结合思想，逐步提高学生的数形结合的能力。 在解决数学问题时，根据问题的条件和结论，使数的问题借助形去观察，而形的问题借助数去思考，采用这种“数形结合”来解决问题的策略，我们称之为“数形结合的思想方法”。它的主要特点：数形问题解决；或形数问题解决。也就是说：“以形助数”、“以数赋形”两种处理问题的途径，这本身体现了转化的思想，化归的思想。数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合
起来，并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。一、借助直观图示，理解抽象概念，研究函数的性质，直观体会数形结合思想 在初中学生对函数已有了初步的认识，但对用集合语言描述函数的概念，用代数方法研究函数的单调性、奇偶性等性质还是感到困难，因此在教学中采取用数形结合思想让学生借助直观图示理解抽象概念，自己动手画函数的图象，研究函数的性质。 在讲完函数的概念以后，出了一道这样的练习题：下列图象中不能作为函数的图象的是（） 让学生从形的角度进一步理解函数的概念。 在研究一次函数和二次函数的性质与图象时，由于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的图象，因此我先从学生已有知识出发，让学生列表、描点、连线，作出一次函数和二次函数的图象，引导他们先从数的角度认识单调性、奇偶性，对称性，然后再通过图象直观感觉单调性、奇偶性，对称性，让学生深刻体会“数缺形时少直观，形离数时难入微”。 二、借助实验活动，探究直线与平面垂直的判定定理，形象感受数形结合思想
数形结合在二次函数中的应用 理论
初中《二次函数》教学中 如何运用和培养“数形结合”的思想 摘要：二次函数是初中数学的重要内容，也是学习的难点。要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，借助数形结合的思想方法，加深学生对函数概念的理解；让学生直观地理解二次函数性质；加强知识间的横向联系。运用数形结合的思想方法可以使复杂问题直观化。使学生的抽象思维能力得到发展。也为学生提供了一种简单解决问题的方法，培养学生自觉运用“数形结合”的数学思想和意识。 关键词：二次函数教学运用培养数形结合思想函数是初中数学的重要内容之一，初中数学主要学习三种简单函数：一次函数、反比例函数、二次函数。二次函数是学习了一次函数和反比例函数之后所认识的另一种函数，相对前两种函数来说，二次函数反应出来的关系和性质更复杂抽象一些，是学生学习的一个难点。学生主要存在的困难是对函数概念难以理解，对各类函数中两个变量的变化关系感觉比较抽象，对函数关系的表示方法不能灵活转化。要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；下面就二次函数谈谈函数教学中如何渗透和应用数形结合思想。 一、数形结合思想的概论。 数形结合是初中数学的重要思想之一，包含“以形助数，以数辅形”
两个方面。著名数学家华罗庚教授曾精辟的概述：“数以形而直观,形以数而入微”，其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。借助数的规范严密和精确来阐明形的属性。通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想。 二、借助数形结合加深学生对函数概念的理解。 初中数学课程标准中对函数概念的要求是“了解常量、变量、函数的意义，会举出函数的实例以及分辨出常量与变量以及两者之间的关系。”课本通过大量实例，如一天的气温随时间的变化而变化，邮资随邮件重量的变化而变化，园的面积随半径的变化而变化，路程、速度和时间的关系等，得出“一个量随另一个量的变化而变化”的结论，使学生感知函数问题在客观世界中是大量存在的，充分认识到建立函数概念的必要性。 初中数学对函数的定义是：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 学生对于这一概念的理解比较抽象而机械的，比如学生认识一次函数和反比例函数的概念后，学生从函数表达式（关系式）可以判断两个变量间属于哪一种函数关系，但并不能透过表达式看到其中隐含的两数量间的变化关系的区别，面对新的问题是不会建立相应的函数模型
数形结合毕业论文
数形结合思想在解题中的应用 摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。 关键词：数形结合解题应用 数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。下面，我将从3个方面来说明数形结合思想在解题中的应用 (一)、解决集合问题 在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。 分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。 图1 例2：某校高二年级参加市级数学竞赛， 已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题）， 参赛情况如下： ① 40个学生每人都至少解出一道题 ②在没有解出第一道题的学生中， 解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍 ③仅解出第一道题的人数比余下的
学生中解出第一道题的人数多1个 ④ 仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题 试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？ （2）解出第一道题的学生有几个？ 分析 本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、 “解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩 图直观求解. 解答 设集合A ={解出第一道题的学生数}，集合B ={解出第二道题的学生 数}，集合C ={解出第三道题的学生数}，如图2，可得 ???????+=+++=+=+=++++++c b a g e d a f c f b g f e d c b a 1)(240 解之得a =11，b =10，c =1，d+e+g =10 所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个. (二)、解决函数问题 利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用 数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。 例 3: 对于 x ∈R, y 取 4 - x, x + 1，2 1(5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数关系及最大值。 分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先 分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = 2 1(5 - x)的图像，如图3。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y 与x 的函数关系式是: y=??? ????--+x x x 4)5(211 3) >(x 3)1<(1)1(≤≤x
巧用数形结合思想解二次函数中的问题
巧用数形结合思想解二次函数中的问题 摘要：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来。通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”两个方面，已经成为当今数学的特色之一，它使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。它兼有数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。本文通过例题分析了解“数形结合思想”来解决二次函数中的问题，因为此类问题的特点是若仅进行代数推理,亦能解决, 但运算繁、技巧强、难度大若以形助数, 则运算简、技巧弱、难度小。 关键词：数形结合思想二次方程和不等式二次函数 由于初中的“二次函数”的问题，历年来都是中考的热点，因此，我从用“数形结合”思维思想来谈一谈这些问题。 一、数形结合思想概述 法国著名的自然辨证哲学家恩格斯曾经说过“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学”。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面。借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓
我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径．因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法．而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂教学中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法。有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，营造愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学． “数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面．一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样．有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体。永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．“数形结合”作为数学中的一种重要思想，它在初、高中都是解决许多问题得重要思想，特别是在高中数学中占有极其重要的地位，关于这一点，我们只要翻阅近年高考试卷就可以一目了然。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛．大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，与此同时“数形结合”思想在二次函数中的应用在中、高考命题中解决问题也成了必不可少的部分，也是平时学习二次函数解决应用问题的一个重点。巧妙运用“数形结合”思想解题．可以化抽象为具体，达到事半功倍的效果。 二、二次函数与系数之间的关系
数形结合论文完整版
数形结合论文 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
数形结合思想在中学数学解题中应用摘要：数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。本文就数形结合思想在数学问题解析中的应用加以整理、总结，并给出部分例题，以便得到更好的推广。 关键词：数形结合代数问题几何问题相互转化For combining the application in mathematics （YANG zhongxiang） Abstract : Several combining in mathematics teaching is widely used in combination, a new mathematical thought to write with. Several combining ideas in mathematics got full attention. Based on several combining analytical mathematical thoughts in the application are summarized, and gives some examples, in order to get better. Key words：Combining the number Algebra problem Geometry problems Mutual transformation 前言 数形结合思想在实际的应用中显得十分重要和广泛，数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何，可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统
数形结合在二次函数中的应用
课题：数形结合在二次函数中的应用 公主岭四中 曹立华 教学目标： 1． 知识目标：理解二次函数解析式与二次函数图像间的关系。通过解析式本身蕴含的信息以及函数图像的直观表示，解决有关的问题。 2． 能力目标：通过本节课的学习，进一步掌握数形结合的数学思想以及数形互检的方法。 3． 情感目标：通过小组讨论活动，培养学生的团队协作精神。 教学过程： 数形结合思想就是将几何与代数有机地结合，用数的观念来解决形的问题；或者用形的方法解决数的问题，是中考数学中的一个重要的思想方法。今天我们着重研究数形结合在二次函数中的应用。 一、数促形，让感性的形多一分理性 思考：从图中获取信息：学生可能从以下几方面考虑： （1）a 、b 、c 的符号 （2）2 4b ac -的符号 （3）顶点位置 例1 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示， 下列结论 ①0<++c b a ②0>+-c b a ③0>abc ④3c a >- 中正确的个数是( ) (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 分析：仔细观察抛物线的位置走向，关键点的位置坐标，以及解析式中 各系数与图形性质的对应关系，再做出判断。 归纳：我们解题时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，我们就可以寻找出处理“形”的方法，来达到“数促形”的目的。 图形问题可以转化为数量问题。同样有时数量问题也可以转化为图形问题。 二、形帮数，让理性的数多一些感性。 x … -3 -2 -1 0 1 2 … y … 12 5 0 -3 -4 -3 … （1）该抛物线对称轴的直线方程是 。 （2）若抛物线与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，求S △ABC 分析：此题若先求解析式，后求对称轴，计算较繁，通过“形”利用对称性简单明了。
数形结合思想论文
渗透数形结合思想，提高学生的数形结合能力 初教数学 1112班范杰凯 0407311081 内容提要：数形结合思想是一种重要的数学思想之一，可以通过“以形助数”、“以数赋形”使某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，体现了转化的思想，化归的思想，有助于把握数学问题的本质。因此，在高中数学教学中应注重运用数形结合思想，提高学生的思维能力和数学素养。本文结合自己的教学实践，阐述了如何使用教材对数形结合思想进行有效渗透，使学生逐步提高数形结合的能力。 关键词：数形结合思想转化化归 正文： 新课标指出“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能”是高中数学课程的目标之一。我国著名的数学家华罗庚先生曾用“数缺形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”形象生动的阐述了数形结合的意义。以下结合自己的教学实践，分别从引导学生直观感受基本的数学概念，亲身探究定理、结论产生的背景及应用等方面渗透数形结合思想，逐步提高学生的数形结合的能力。 在解决数学问题时，根据问题的条件和结论，使数的问题借助形去观察，而形的问题借助数去思考，采用这种“数形结合”来解决问题的策略，我们称之为“数形结合的思想方法”。它的主要特点：数形问题解决；或形数问题解决。也就是说：“以形助数”、“以数赋形”两种处理问题的途径，这本身体现了转化的思想，化归的思想。数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。 一、借助直观图示，理解抽象概念，研究函数的性质，直观体会数形结合思想 在初中学生对函数已有了初步的认识，但对用集合语言描述函数的概念，用代数方法研究函数的单调性、奇偶性等性质还是感到困难，因此在教学中采取用数形结合思想让学生借助直观图示理解抽象概念，自己动手画函数的图象，研究函数的性质。
中考数学二次函数考点分析
中考数学二次函数考点分析 二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年河北中考热点之一。学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。 二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，如2010年河北中考11题，2009河北中考22题，2007河北中考22题；一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，如2010年河北中考26题，2008河北中考25题，2006河北中考24题。 考点1：二次函数的有关概念 一般的，形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 例m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？考点2：二次函数的图象性质 （1）抛物线的形状 二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 （2）抛物线的平移 二次函数y=ax?向右平移h个单位，向上平移k个单位后得到新的二次函数y=a(x-h)2+k,进一步化简计算得到二次函数y=ax?+bx+c。新函数与原来函数形状相同，只是位置不同。 （3）抛物线与坐标轴的交点 抛物线与x轴相交时y＝0，抛物线与y轴相交时x＝0。 （4）抛物线y=ax2+bx+C中a、b、c的作用 a决定当开囗方向，a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 a和b共同决定对称轴。 C决定与y轴交点。 （5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值 顶点式：y=a(x-h)2+k顶点坐标（h，k），对称轴x=h, 最大（小）值k。 一般式：y=ax?+bx+c顶点坐标，对称轴，最大（小）值为。 例1.(2008河北中考9题)如图4，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的 对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂
二次函数中的数形结合
二次函数中得数形结合 一、选择题 １．对于二次函数y=(ｘ﹣1)2+２得图象,下列说法正确得就是( ) A.开口向下B．对称轴就是x=﹣1 C.顶点坐标就是（1，2） D.与x轴有两个交点 ２．已知二次函数y=aｘ2＋bｘ＋c(ａ，ｂ,c就是常数,且ａ≠0)得图象如图所示,则一次函数y=ｃｘ+与反比例函数y=在同一坐标系内得大致图象就是（) A. B. Ｃ. Ｄ． ３.已知二次函数y=ax2+bｘ＋ｃ(a≠0)得图象如图,且关于x得一元二次方程aｘ2＋bx+ｃ﹣m=0 没有实数根，有下列结论:①b2﹣４ac>０;②aｂc<０；③m>2. 其中，正确结论得个数就是（ ) ?A． 0 B. 1? C． 2 Ｄ.3 ４.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)得图象如图,给出下列四个结论:①4aｃ﹣ｂ２＜0;②４a+ｃ<2b;③3ｂ+2c<0;④m(aｍ+b)+ｂ＜a(m≠﹣1), 其中正确结论得个数就是( ) ?A.４个?Ｂ. 3个? C. ２个 D. １个 5.已知开口向下得抛物线y＝ａx2+bx+c得顶点为D(﹣1,2)，与x轴得一个交点A在点 （﹣3,０)与(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①ｂ2﹣４ac＜０;②a+b＋c<0；③c﹣a=2;④方程ａx2＋bx+c﹣2=0有两个相等得实数根. 其中正确结论得个数为( ） A．1个Ｂ.2个C.３个D.4个 6.已知a、h、k为三数,且二次函数ｙ=ａ(x﹣h)2＋k在坐标平面上得图形通过(0,5)、（１0, 8)两点.若a<0,０＜h<10,则h可能为 ( ) A．1 B.３Ｃ．5 D.７
７.已知点A(a﹣2b，2﹣4ａb)在抛物线ｙ=ｘ２＋4ｘ+1０上,则点A关于抛物线对称轴得对称点坐标为( ) 8.当﹣2≤ｘ≤１时,二次函数ｙ=﹣(x﹣m)2＋ｍ2+1有最大值4,则实数m得值为( ） A．B. 或Ｃ. 2或D. ２或﹣或 ９.“如果二次函数y＝ax2+ｂx+ｃ得图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ａｘ2+ｂx+c=０有两个不相等得实数根.”请根据您对这句话得理解,解决下面问题:若m、n（m０)得对称轴就是过点(1,0)且平行于y轴得直线,若点P （4,０)在该抛物线上，则４ａ﹣2ｂ+c得值为. 13.已知二次函数y=ax２+bx+c中,函数y与自变量x得部分对应值如表: x…﹣1 ０ 1 2 ３… y…10 5 2 1 2 … 则当ｙ<5时,ｘ得取值范围就是 . 1４.如果函数y=(a﹣1)x2+3ｘ+得图象经过平面直角坐标系得四个象限,那么ａ得取
论文数形结合的功能
数形结合的功能 数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜 明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象 的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。 赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。 常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具 有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成 数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。 一、数形结合的功能 1、有利于记忆 由于数学语言比较抽象，而图形语言则比较形象。利用图形语言进 行记忆速度快，记得牢。笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形 更容易印入脑际了。因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”同时，由于图象是“形象”的，语言是“抽象”的，因此对图形的 记忆往往保持得比较牢固。 2、有助于思考 用图进行思维可以说是数学家的思维特色。往往一个简单的图象就 能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。在数学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拔，学生往往思路大开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。 二、培养学生数形结合思想方法的措施 1、强化意识，体会作用 我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地 实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思 想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐
“数形结合”在二次函数中的应用
“数形结合”在二次函数中的应用 数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。 1、“以形解数” 例1：已知：点（-1 ，1y ） （-3 ，2y ） （2，3y ）在y=3x 2+6x+2 的图象上， 则：1y 、2y 、3y 的大小关系为（ A. 1y ＞2y ＞3y B. 2y ＞1y ＞3y C. 2y ＞3y ＞1y D. 3y ＞2y ＞1y 分析：由y=3x 2+6x+2 =3（x+1）2- 1画出图象1抛物线的对称轴为直线x=-1 图1 即：x=-1 时,y 有最小值, 故排除A 、B ，由图象可以看出：x=2时 y 3的值,比x=-3时y 2的值大,故选c. 例2: 已知抛物线y=2x 2+x-2m+1与x 轴的两个交点，在原点的两 侧，则m 的取值范围是（ ） A m ＞1 2 B m ＜12 C m ＞-12 D m ＞7 16
分析：按常规,此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法， 先画出抛物线y=2x 2+x-2m+1 的草图，易知当x=0时，y ＜0, 因此，只要解不等式-2m+1＜0即 可，即m ＞12 ，故选A 例3：二次函数 y=ax 2+bx+c 象限,则此抛物线开口向 ，c 的取值范围 ，b 的取值范围 ，b 2-4ac 的取值范围 。 解：由题意画出图象，如图： 从而判断：a ＞0, c ≥0 ∴对称轴：x=-2b a ＜0 ∴b ＞0 图象与x 轴有两个交点：∴ ?＞0 即b 2 -4ac ＞0 注：以上各题是“以形助数”即 将数量关系借于图形及其性质，使其直观化，形象化，从而使问题得以解决。 2、“以数助形” 例4:已知：二次函数m x m x y ----=1)1(22的图像与x 轴交于 A （1x ，0）、 B （2x ，0），210x x <<，与y 轴交于点 C ，且满足 CO BO AO 211=- 求：这个二次函数的解析式； 解: ∵210x x <<
数形结合参考论文
浅谈数形结合思想在解题中的应用 摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。 关键词：数形结合思想以形助数以数解形 “数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。 一、解决实数问题 数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明，因为数轴上的点与实数是一一对应关系。因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断，相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。 例1：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。 解：∵b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a| ∴a-b>0,b-c>0,a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c) =-a-2b-c。
数形结合论文
数形结合论文
数形结合思想在中学数学解题中应用 摘要：数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。本文就数形结合思想在数学问题解析中的应用加以整理、总结，并给出部分例题，以便得到更好的推广。 关键词：数形结合代数问题几何问题相互转化
For combining the application in mathematics （YANG zhongxiang） Abstract :Several combining in mathematics teaching is widely used in combination, a new mathematical thought to write with. Several combining ideas in mathematics got full attention. Based on several combining analytical mathematical thoughts in the application are summarized, and gives some examples, in order to get better. Key words：Combining the number Algebra problem Geometry problems Mutual transformation
前言 数形结合思想在实际的应用中显得十分重要和广泛，数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何，可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。而数形结合思想又显得格外重要和实用。但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等特性。
专题七“数形结合”在初中数学中的运用
专题七“数形结合”在初中数学中的运用 一、以数助形 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =计算．利用这个公式计算原点到直线210y x =+的距离． 解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是 当4x =-时，OP =最小 所以原点到直线210y x =+的距离为 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 例2．已知ABC ?的三边长分别为22m n -、2mn 和22 m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ?的面积（用含m 、n 的代数式表示）． 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：2 22 2 22 2 2 2 ()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说， ABC ?的三边满足勾股定理，即ABC ?是一个直角三角形． “海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为： S 解：由三边的关系：2 22 2 2 22 ()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ?是直角三角形． 所以ABC ?的面积22221 ()(2)()2 m n mn mn m n = ?-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．
九年级二次函数与数形结合重点题---附答案
第十四讲 数形结合问题 【典型例题1】 如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的表达式； （2）点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到 顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?； （3）是否存在一点P ，使S △PAB =8 9 S △CAB ，若存在，求 出P 点的坐标；若不存在， 请说明理由. 解：(1)设抛物线的表达式为 4)1(21+-=x a y 。 把A （3,0）代入表达式，求得1-=a 。 所以324)1(2 2 1++-=+--=x x x y 。 设直线AB 的表达式为 b kx y +=2。 由322 1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 。 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中，解得 3,1=-=b k 。 所以32+-=x y 。 (2)因为C 点坐标为(１,4)，所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2。 所以CD ＝4-2＝2。 3232 1 =??= ?CAB S (平方单位)。 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ， 则x x x x x y y h 3)3()32(2 2 21+-=+--++-=-=。 由S △PAB = 89S △CAB ，得 38 9)3(3212 ?=+-??x x 。 化简得 091242 =+-x x 。 解得 2 3=x 。 将2 3= x 代入322 1++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)4 15 ,23(。 【知识点】 抛物线、直线表达式的求法，在直角坐标系中三角形面积的求法，点的坐标的求法。 【基本习题限时训练】 1. 已知点A 的坐标为（0，3），点B 与点A 关于原点对称，点P 的坐标为（4，3），那么△PAB 的面积等于（ ） （A ）6；（B ）9；（C ）12；（D ）24。 答案：C 。 2. 已知抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为（-1，2），那么这条抛物线的表达式为（ ） x C O y A B D 1 1
“数形结合”在重点初中数学中的运用
“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式 AB =210y x =+的距离． 解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是 当4x =-时，OP =最小 所以原点到直线210y x =+的距离为 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．
数形结合思想论文直觉思维论文
数形结合思想论文直觉思维论文： 数形结合思想探析 摘要：试就数形结合思想在数学中的应用做一综述,对于如何培养学生的数形结合意识,加强数形结合思想训练的方法做一总结和建议,体现数形结合思想在数学中的基础性和重要性。 关键词：数形结合;直觉思维;性别差异;数学思想;意识培养 1 数形结合思想在中学数学中的重要性 数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想。所谓数形结合是将数学中抽象的数学语言,数量关系与具体直观的图像结合起来,利用抽象思维与形象思维的有机结合,借助形的具体明确来反应数量之间的关系,借助数来具体描述形的本质内涵。用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化,抽象问题具体化。数形结合思想既能发挥代数的优势,又可以充分利用图形的直观性,从多个角度探索问题,对思维能力的发展大有稗益。 我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗,形象生动的阐述了数形结合的意义。“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形缺数时难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离。”可见,数与形二者相辅相成,缺一不可。数的抽象,形的具体,两者珠联璧合,对于数学解题将有出其不意的效果。 2 直觉思维对学习数形结合思想的影响
在心理学的意义上对于直觉思维是这样定义的：所谓直觉思维就是人脑对于突然出现在面前的事物、现象、问题及其关系的一种迅速识别,敏锐而深入的洞察,直接的本质理解和综合的整体判断。直觉思维是贯穿于日常生活学习中,具有迅捷性、直接性、本能意识等特点。 伊恩?斯图加特曾经说过这样两句话：“数学的全部力量就在于直觉和严格性的巧妙的结合在一起,受控制的精神和富有灵感的逻辑”,“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。”而事实也证明了直觉思维对数学学习具有巨大的影响：欧几里德的欧式几何中的五个公设均基于直觉思维。可见,直觉思维是学生学习数学的必要条件。 利用数形结合思想方法解题时,能够充分调动了学生的直觉思维和逻辑思维。学生审题结束后,要根据题目中的已知条件对问题的大致方向,所牵涉的知识要点,相关知识结构,利用直觉思维进行最直接的判断,即判断是否可以利用数形结合思想解题。简而言之,直觉思维是能否利用数形结合思想解题的最初判断。而我国的数学教育一直侧重于学生逻辑思维能力的培养,强调的是对数学概念的明晰度,逻辑推理的严密度,而对学生直觉思维的培养甚少。因而,直觉思维对于数形结合思想的运用在一定程度上存在影响。直觉思维越活跃往往可以将数形结合思想掌握的更牢固运用的更灵活。 3 性别差异对学习数形结合思想的影响 在数学的学习上,男性善于辨别和判断事物的种类,他们习惯着眼于全局,从整体考虑处理问题,并且具有较强的空间想象能力,对于形
