线性映射
一． 线性映射
上一节课研究了数域P 上线性空间的结构。在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即保持加法和数量乘法两种运算，我们称这样的映射为线性映射。
1.1线性映射的定义及其性质
1.1.1 【定义】 设1V 、2V 是数域P 的两个线性空间，σ是1V 到2V 的一个映射，如果对1V 中任意两个向量α，β和任意数k P ∈，都有
()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=
即能向量线性关系的不变性，则称σ是1V 到2V 的线性映射或线性算子。
上面两式所涉及到的加法和数量乘法是线性空间里边定义的加法和数量乘法。
与上一节说到的线性空间1V 到2V 的同构映射相比，线性映射比同构映射少了单映射和满映射这两条要求。因此线性映射比同构映射更广泛。线性空间1V 到2V 的线性映射也称为同态映射。
例1 将线性空间1V 中每一个向量映射成线性空间2V 中零向量的映射
是一个线性映射，称为零映射，记为O ，即
1(),V ααO =O ?∈
例2 线性空间V 到自身的恒等映射是一个线性映射，记为V ?，即
(),V V
?ααα=?∈
例3 任意给定数k P ∈，数域P 上线性空间V 到自身的一个映射
K (),k V ααα=?∈
是一个线性映射，称为V 上的由数决定的数乘映射。
例4 设σ是线性空间1V 到2V 的一个线性映射，定义1V 到2V 的映射
1()()(),V σασαα-=-?∈
则σ-是线性空间1V 到2V 的线性映射，称为σ的负映射。 1.1.2【性质】 设σ是线性空间1V 到2V 的线性映射，则 （1）()σO =O ；
（2）1()()(),V σασαα-=-?∈；
（3）线性映射保持线性组合与线性关系式不变，即若β是12,,,m
αααL 的线性组合，且存在12,,,m k k k P
∈L
，有
1122m m k k k βααα=+++L
则经过线性映射σ之后，()σβ是12(),(),()m σασασαL 同样的线性组合：
11221122()()()()m m m m k k k k k k σααασασασα+++=++L L
（4）如果12,,,m
αααL
是1V 的一组线性相关向量，则12(),(),()
m σασασαL
是2V 中的一组线性相关的向量；并且当且仅当σ是一一映射时，1V 中线性无关向量组的像是2V 中的线性无关向量组。 证明：
（1）()(0*)0*()σσασαO ===O （2）()((1)*)(1)*()()σασασασα-=-=-=- （3）可由线性映射的定义可证明
（4）第一部分可通过性质（1）（3）得证。
第二部分可分别假设σ是否为一一映射来讨论。 若12,,,m
αααL
线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k P
∈L
使得
1122m m k k k ααα+++=O
L
由性质（1）和（3）有
11221122()()()()()m m m m k k k k k k σασασασααασ++=+++=O =O
L L
故12(),(),()m σασασαL 线性相关。
若线性映射σ是一一映射，并且12,,,m ααα 是1V 中线性无关向量组，则对任一组不全为零的数12,,,m k k k P
∈L ，有1122
m m k k k α
αα+++≠O L 。
从而
11221122()()()()m m m m k k k k k k σασασασααα++=+++≠O
L L
上式说明12(),(),()m σασασαL 线性无关。
反过来，加入线性映射σ不是一一映射，则存在1,V αβ∈，且αβ
≠，
但()()σασβ=，即αβ
-≠O
而()()0σασβ-=。这说明1V 中线性无关向量
αβ
-的像()()σασβ-是2V 中线性相关的向量，这与条件矛盾，因此σ是
一一映射。
由性质（3）（4），若1V 是n 维线性空间，12,,,m
εεεL 是1V 的一组基，
则对任意1V α?∈有
1122m m x x x αεεε=+++L
α
在线性映射σ下的像为
1122()()()()m m x x x σασεσεσε=+++L
这说明如果知道1V 的一组基在线性映射σ下的像，则1V 中每一个向量在σ下的像也就确定了。
现在考虑线性映射的存在性，给出两个定理 1.1.3【定理】
【定理1】设σ，τ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的两个线性映射，若12,,,n εεεL
是1V 的一组基，并且()()(1,2,,)i i i n σετε==L ，则στ
=。即
若1V 中的基向量在σ，τ下的像相等，则有στ
=。
证明 对任意1V α∈，有
1
n
i i
i x αε==
∑
因为
1
1
1
1
()()()()()()n
n
n n
i i i
i
i i i i i i i i x x x x σασεσε
τετετα======
===∑∑∑∑
故σ
τ
=。
该定理表明1V 到2V 的一个线性映射σ完全被它对1V 的一个基的作用所决定。现在要问：给了数域P 上的任意两个线性空间1V 和2V ，是否存在1V 到2V 的线性映射？此回答是肯定的，特别是当1V 是有限维时，则有
【定理2】设12,,,n εεεL
是
n 维线性空间1V 的一组基，12,,,m
αααL
是线
性空间2V 的任意n 个向量，则存在1V 到2V 得惟一线性映射σ，使得
(),1,2,,i i i n
σεα==L
证明 先定义一个映射σ，使得(),1,2,,i i i n
σεα==L 成立，而后说明σ
为线性映射。最后通过定理1得出这样的线性映射是惟一的。 对任意1V α∈，有
1
n
i i
i x αε==
∑
令
1
()n
i
i
i x σαα==
∑
因为12,,,n εεεL 是1V 的一组基，所以上式定义了1V 到2V 的一个映射σ
。
下面来证明σ是线性映射。 在1V 中任取两个向量，
1
n
i i
i b βε==
∑，1
n
i i
i c γ
ε==
∑
于是有
1
()n
i
i i
i b
c βγε=+=
+∑，1
,n
i
i
i k kb k P
β
ε
==
∈∑
按照所定义的σ的表达式，有
1
1
1
()()()()
n
n
n
i
i i i
i
i
i
i i i b
c b c σβγαα
α
σβσγ===+=
+=
+
=+∑∑∑
1
1
()()
n n
i
i
i i i i k kb k b k σβα
ασβ===
==∑∑
因此，σ是线性映射。又
110*0*1*0*,1,2,,i i i n i n εεεεε-=+++++=L L L
故
11()0*0*1*0*,1,2,,i i i n i n σεαααα-=+++++=L L L
又由定理1知，线性映射σ是惟一的。
1.2线性映射的运算 1.
2.1 线性映射的乘法
因为映射有乘法运算，而线性映射是映射的一种，故线性映射也有乘法运算。
【定义】σ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的一个线性映射，τ是n 维线性空间2V 到线性空间3V 的一个线性映射，且1V α∈，定义它们的乘积为：
()()(())σταστα=
【性质】（1）线性映射的乘积也是线性映射； （2）线性映射的乘积满足结合律；
（3）线性映射的乘积一般是不可变换的，但对于恒等映射，则是可变换的。
证明 （1）对任意1V P αβ∈∈，，k ，有
()()(())(()())()()()()
σταβσταβστατβστσστβ+=+=+=+ ()()(())((()))(())()()
k k k k k στασταστασταστα====
故线性映射的乘积στ是1V 到3V 线性映射
（2）
σ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的一个线性映射，τ是n 维线性空间2V 到线性空间3V 的一个线性映射，χ是n 维线性空间3V 到线性空间4V 的一个线性映射。对任意1V α∈，有
()()((()))(())()()στχαστχαστχαστχα===
（3）对于恒等映射V ?，有：
V ?σ
=σ
V
?=σ
1.2.2线性映射的加法
由于线性空间有加法运算，因此可以定义线性映射的加法运算。 【定义】σ，τ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的两个线性映射，且1V α∈，定义它们的加法为：
()()()()στασατα+=+
【性质】（1）线性映射的加法还是线性映射； （2）线性映射的加法满足交换律； （3）线性映射的加法满足结合律。
（4）线性映射的乘法对加法有左右分配律，即：
()στχστσχ
+=+，()τ
χστσχσ
+=+
证明 （1）对任意1V P αβ∈∈，，k ，有
()()()()()()()()()()()()
σταβσαβταβσασβτατβσταστβ++=+++=+++=+++
()()()()()()()()
k k k k k k στβσβτβσβτβστβ+=+=+=+
从而线性映射的加法στ
+是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的一个
线性映射
（2）对任意1V α∈，有
()()()()()()()()
στασατατασατσα+=+=+=+
从而线性映射满足交换律
（3）σ，τ和χ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的三个线性映射，对任意1V α∈，有
(())()()()()()()()()()()(())()
στχασταχασαταχασατχαστχα++=++=++=++=++ 从而线性映射满足结合律
对于加法，零映射O 具有性质：
σσσ
+O =O +=
1.2.3线性映射的负映射
【定义】σ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的一个线性映射，对任意1V α∈，定义σ的负映射为：
()()()σασα-=-
【性质】 （1）可验证线性映射的负映射也是线性映射。
（2）对于每一个线性映射σ，它的负映射σ-满足
()σσ+-=O
由线性映射的负映射，可定义线性映射的减法。设σ，τ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的两个线性映射，且1V α∈，定义它们的减法为：
()στστ
+-=-
1.2.4线性映射的数量乘法
利用线性映射的乘法和数乘映射可以定义线性映射的数量乘法 【定义】σ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的一个线性映射，对任意1V ,k P α∈∈，定义σ的数乘映射K 为：
K σ=k σ
数域P 中每个数k 都能决定一个数乘映射K 。 可验证线性映射的数乘映射也是线性映射 【性质】线性映射的数量乘法满足： （1）1*σ
σ
=
（2）()()k m km σσ= （3）()k m k m σσσ
+=+
（4）()k k k σ
τστ
+=+
对于线性映射，我们已经定义乘法，加法和数量乘法3种运算。由加法和数量乘法的性质可知，线性空间上的线性映射对于如上定义
的加法和数量乘法，也构成数域P 上的一个线性空间。
1.2.5线性映射的逆映射
【定义】设σ是n 维线性空间1V 到线性空间2V 的一个线性映射，若有1V 到2V 的另一个映射τ存在，使得
==σττσV
?
此时
τ
成为σ的逆映射，记为-1
σ。
若线性映射σ是可逆的，那么可验证它的逆映射-1
σ也是线性映射。
σ
是1V 到2V 的可逆线性映射，当且仅当σ是1V 到2V 的同构映射，
即σ是双射，且满足线性关系的不变性。因此，有限维线性空间1V 到
2V 的可逆线性映射存在的充要条件是12dim ()dim ()V V =。
1.3线性映射的矩阵表示
为了利用矩阵来研究线性映射，我们来建立线性映射与矩阵的关系。
1.3.1【定义】设1V 是数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεεL
是1V 的
一组基，
2V 是数域P 上的m 维线性空间，12,,,m
ηηηL 为2V 的一组基，σ
是1V 到2V 的一个线性映射。
由1.1.3中的定理1知，线性映射σ完全被它在1V 的基12,,,n
εεεL 上
的作用所决定，即被2V 中的向量组12(),(),,()
n σεσεσεL
所决定，而
12(),(),,()n σεσεσεL 完全被它们在基12,,,m ηηηL 下的坐标所决定。设
11112121212122221122()()()m m m m n n n m n m a a a a a a a a a σεηηησεηηησεηηη=+++??
=+++??
?
?=+++?
L L L L （式1）
上式可形式地记为
121212(,,,)((),(),,())(,,,)n n m A σεεεσεσεσεηηη==L L L （式
2）
其中
11
11
n m m n a a A a a ??
?= ? ???
K M
O M L
矩阵A 称为线性映射σ在1V 的基12,,,n εεεL 和2V 的基12,,,m
ηηηL 下
的矩阵。
显然矩阵A 由线性映射σ惟一确定；反过来，若给定m*n 矩阵，则由式1可确定基像组12(),(),,()n σεσεσεL
，由
1.1.3的定理2知线性
映射σ就完全确定。这就是说，在给定基的情况下，线性空间1V 到2V 的线性映射σ与m*n 矩阵A 一一对应，这个对应的重要性表现在它保持运算。
1.3.2【定理】
【定理1】设1V 是数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεεL 是1V 的一
组基，2V 是数域P 上的m 维线性空间，12,,,m
ηηηL 为2V 的一组基，则1
V 到2V 的每一个线性映射与它在基12,,,n εεεL 和基12,,,m
ηηηL 下的矩阵之
间的对应具有以下的性质：
（1） 线性映射的和对应于矩阵的和； （2） 线性映射的乘积对应于矩阵的乘积； （3） 线性映射的数量乘积对应于矩阵的数量乘积。
证明
（1）任取12,(,)L V V στ∈，即
121212(,,,)((),(),,())(,,,)n n m A σεεεσεσεσεηηη==L L L
121212(,,,)((),(),,())(,,,)n n m B
τεεετετετεηηη==L L L
由
12121212121212()(,,,)
(()(),()(),,()())
((),(),,())((),(),,())(,,,)(,,,)(,,,)()
n n n n m m m A B A B στεεεστεστεστεσεσεσετετετεηηηηηηηηη+=+++=+=+=+L L L L L L L
即σ
τ
+在基12,,,n εεεL 和基12,,,m ηηηL 下的矩阵是
A+B （2）任取12(,)
L V V σ
∈，23(,)L V V τ∈，12,,,n
εεεL
，12,,,m
ηηηL
和
12,,,p μμμL 分别是1V ，2V 和3V 的一组基，有
121212(,,,)((),(),,())(,,,)n n m A σεεεσεσεσεηηη==L L L 121212(,,,)((),(),,())(,,,)m m p B
τηηητητητημμμ==L L L
其中A 为m*n 矩阵，B 为p*m 矩阵 则
12121212()(,,,)((,,,))(,,,)(,,,)n n m p A BA
τσεεετσεεετηηημμμ===L L L L
即τσ在基12,,,n εεεL
，12,,,m ηηηL 和12,,,p μμμL 下的矩阵式BA
（3）任取12(,)L V V σ
∈，即
121212(,,,)((),(),,())(,,,)n n m A σεεεσεσεσεηηη==L L L
对任意k P ∈，有
12121212()(,,,)
(()(),()(),,()())((),(),,())(,,,)()
n n n m k k k k k k k kA σεεεσεσεσεσεσεσεηηη===L L L L
即k σ在基12,,,n εεεL 和基12,,,m ηηηL 下的矩阵是
kA ，从而
()()k kA k σασα==
定理1说明数域P 上n 维线性空间1V 到m 维线性空间2V 的所有线性映射构成数域P 上的一个线性空间，且每一个线性映射与它在基
12,,,n
εεεL 和基12,,,m
ηηηL
下的矩阵之间的对应是线性空间12(,)L V V 到
*m n
P
的同构映射，从而12(,)L V V 与*m n
P
同构。
下面来说明怎么利用线性映射的矩阵计算1V 中向量的像。 【定理2】设σ是n 维线性空间1V 到m 维线性空间2V 的一个线性映射，并且σ在基12,,,n
εεεL
和基12,,,m
ηηηL 下的矩阵是A 。对任意
1V α∈，若1
1
,()n
m
i
i
i i
i i x y αε
σαη===
=
∑∑
，则
11m n y x A y x ???? ? ?= ? ? ? ?????
M M 证明 对任意1V α∈，若
1
n
i i
i x αε==
∑
则
1
112112()((),(),,())(,,,)n
i
i
i n n m n x x x x A x σαε
σεσεσεηηη==
?? ?
= ?
????? ?
= ? ???
∑L M L M
即1n x A x ??
?
? ???M 是()σα在基12,,,m ηηηL 下的坐标，由于向量在同一组基下的坐标是惟一的，从而得证11m n y x A y x ????
? ?= ? ? ? ?????
M M 。 线性映射的矩阵是与空间中的一组基联系在一起的。一般说来，随着基的改变，同一个线性映射就有不用的矩阵。为了利用矩阵来研究线性映射，我们有必要弄清楚线性映射的矩阵是如何随着基的改变而改变的。
【定理3】设σ是n 维线性空间1V 到m 维线性空间2V 的一个线性映射， 12,,,n εεεL
和'
'
'
12,,,n εεεL 是1V 的两组基，由12,,,n εεεL 到'
'
'
12,,,n
εεεL 的过渡矩阵为Q ，12,,,m ηηηL
和'
'
'
12,,,m ηηηL 是2V 的两组基，由12,,,m
ηηηL 到
'
'
'
12,,,m ηηηL 的过渡矩阵为P ，σ在基12,,,n εεεL
与基12,,,m
ηηηL 下的矩阵
为A ，而在基'
'
'1
2,,,n ε
εε 和基'
'
'
12,,,m ηηη 下的矩阵为
B ，则
1
B P
AQ
-=
证明 由于
1212'
'
'
'
'
'
1212'''1
2
12'
'
'
1212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n m n m n
n m m A B
Q P
σεεεηηησεεεηηηεεεεεεηηηηηη====L L L L L L L L
并且P 非奇异，则
'
'
'
1212121'''
12(,,,)
(,,,)(,,,)(,,,)n n m m Q AQ P
AQ
σεεεσεεεηηηηηη-===L L L L
因为线性映射σ的矩阵由基惟一确定，所以
1
B P
AQ
-=
1.4矩阵相抵的定义 【定义】设*,m n
A B P
∈，若存在数域P 上的m 阶非奇异矩阵P 和n
阶非奇异矩阵Q 使得
1
B P
AQ
-=
则称A 与B 相抵（等价）。
二． 线性映射的值域与核
2.1【定义】设σ是数域P 上线性空间1V 到2V 的线性映射，令
{}{}
11R ()()()|()()|()m I V K er N V σσσαασσασα==∈==∈=O
即R ()σ是1V 中的向量在线性映射σ下的像的集合；()Ker σ是1V 中被线性映射σ变为零向量的向量组成的集合。称R ()σ是线性映射σ的值域；而称()Ker σ是线性映射σ的核。 2.2【定理】
【定理1】设σ是线性空间1V 到2V 的一个线性映射，则 （1）R ()σ是2V 的一个子空间；
（2）()Ker σ是1V 的一个子空间。 证明
（子空间的条件：①非空子集；②满足加法和数量乘法的封闭性） （1）显然R ()σ是2V 的非空子集。对任意(),()(),R k P σασβσ∈∈，有
()()()()
()()()
R k k R σαβσασβσσασασ+=+∈=∈
故可知R ()σ是2V 的一个字空间；
（2）因为()σO =O ，所以()Ker σ是1V 的非空子集。对任意
,(),Ker k P αβσ∈∈，有
()()()()()k k k σαβσασβσασα+=+=O ==O =O
则,()k Ker αβασ+∈。因此()Ker σ是1V 的一个子空间。
【定理2】设σ是n 维线性空间1V 到m 维线性空间2V 的一个线性映射，
12,,,n εεεL 和12,,,m ηηηL 分别是1V 与2V 的基，σ
在这对基下的矩阵是A ，
则
（1）12()((),(),,())n R span σσεσεσε=L ；
（2）()()rank rank A σ=； （3）dim(())dim(())R Ker n σσ+=.
证明 （1）因为R ()σ是2V 的一个字空间，故需证明R ()σ中的每个向量都可用2V 的基表示。
对任意1V α∈，有
1
n
i i
i x αε==
∑
则
1
()()n
i
i
i x βσασε===
∑
故12()((),(),,())n R span σσεσεσε=L
（2）先证明σ的秩与基像组12(),(),,()n σεσεσεL 的秩相等，
再证明基像组12(),(),,()n σεσεσεL 的秩与矩阵
A 的秩相等。
显然有
12()((),(),,())n rank rank σσεσεσε=L
另一反面，矩阵A 是由12(),(),,()n σεσεσεL 的坐标按列排成的。
如果在2V 中取定基12,,,m ηηηL ，
把2V 的每一个向量与它的坐标对应起来，则2V 与m
P 同构。从而，基像组12(),(),,()n σεσεσεL
与它们的坐标组（即矩阵
A 的列向量组）有相同的秩。 （3）设dim(())Ker r
σ=。在()Ker σ中任取一组基12,,,r
αααL
，且
有()0(1,2,,)i i r σα==L
。把它扩充成1V 的基121,,,,,,r r n ααααα+L L ，则 121()((),(),,())((),,())
n r n R span span σσασασασασα+==L L
现证明1(),,()r n σασα+L 线性无关。
事实上，设
1
()n
j j j r k σα=+=O
∑
则1
(())n
j j j r k σα=+=O
∑
，从而1
()()n
j j j r k K er ασ=+∈∑
。因此
1
1
n
r
j j j
j
j r j k k αα=+==
∑
∑
因为12,,,n αααL 线性无关，所以0(1,2,,)i k i n == 。因此1(),,()
r n σασα+L
线
性无关。于是
dim(())R n r σ=-
即
dim(())dim(())R Ker n σσ+=。
三．线性变换
3.1线性变换的定义和性质
【定义】设V 是数域P 上的线性空间，V 到自身的线性映射称为V 上的线性变换。
线性空间V 到自身的数乘映射K 称为数k 决定的数乘变换。当k=1时，得恒等变换；当k=0时，得零变换。
例1 在线性空间P[x]或者[]n P x 中，求微商是一个线性变换。
这个变换通常用D 代表，即
D (f(x))=
'
()
f x
例2 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成实数域上一线性
空间，以C(a,b)代表。在这个空间中，变换
(())()x a
f x f x φ=
?
是一线性变换。
【性质】因为线性变换是一类特殊的线性映射，所以有关线性映射的性质，对线性变换完全适用。 （1）()σO =O ；
（2）()()(),V σασαα-=-?∈；
（3）线性变换保持线性组合与线性关系式不变，即若β是12,,,m
αααL 的线性组合，且存在12,,,m k k k P
∈L
，有
1122m m k k k βααα=+++L
则经过线性变换σ之后，()σβ是12(),(),()m σασασαL 同样的线性组合：
11221122()()()()m m m m k k k k k k σααασασασα+++=++L L
（4）如果12,,,m
αααL
是1V 的一组线性相关向量，则12(),(),()
m σασασαL
是2V 中的一组线性相关的向量；并且当且仅当σ是一一映射时，1V 中线性无关向量组的像是2V 中的线性无关向量组。 3.2线性变换的运算
对线性空间V 上所有线性变换组成的集合L(V ,V)，可在L(V ,V)上定义线性变换的加法，乘法和数量乘法，并且加法和乘法满足如下的运算规律：
（１） 加法适合交换律和结合律； （２） 乘法适合结合律；
（３） 乘法对加法有左，右分配律。
从而L(V ,V)关于线性变换的加法和数量乘法构成数域P 上的线性空间。
设σ是线性空间V 上的线性变换，若存在V 的变换τ使得
σττσ==V
?
其中V ?是V 上的恒等变换，则称σ是可逆的，并称τ为σ的逆变换，记做1
σ-。
类似线性映射里边的证明，可得：如果线性变换σ是可逆的，1
σ
-
也是线性变换。
因为线性变换的乘法满足结合律，所以可定义线性变换的幂：
,*m
V σ
?σ
σσ
==L
并且容易推出指数法则：
**,()m
n
m n
m
n m n
σ
σ
σ
σ
σ
+==，m ，n 为非负数
若σ是可逆的，可定义σ的负整数幂：
1
()
m
m
σ
σ
--=，m 是整数
因为映射的乘法不适合交换律，所以对线性变换σ和τ，一般来说
()
m
m m
στστ
≠，m 是正整数
3.3线性变换的多项式 设1
10()[]m
m m
m f x a
x
a x
a P x --=+++∈L ，σ
是V 上的一个线性变换。令
1
10()m
m m m V
f a a a σσσ
?--=+++L
则()f σ是V 上的一个线性变换，称为线性变换σ的多项式。
例 在线性空间[]n P λ中，求微商是一个线性变换，用D 表示，显然有
D n =O
变数的平移
()(),f f a a P λλ→+∈
也是一个线性变换，用a ?表示。根据泰勒展开式
2
1
'
2
1
()()()()()2!
(1)!
n n a
a
f a f af f f
n λλλλλ--+=++
++
-L
故a ?为D 的多项式：
a ?=V
?+a D +
2
2!
a
D 2
+…+
1
(1)!
n a
n -- D n-1
3.4线性变换的矩阵表示
现在我们来讨论n 为线性空间V 上的线性变换与矩阵的关系。设
σ
是线性空间V 上的一个线性变换，我们把上一节关于线性映射与矩
阵的关系应用到V 上的线性变换σ。这时，只需在V 中取一组基
12,,,n εεεL ，基向量的像12(),(),,()n σεσεσεL 仍可用基线性表示
11112121212122221122()()()n n
n n n n n nn n a a a a a a a a a σεεεεσεεεεσεεεε=+++??
=+++??
?
?=+++?
L L L L
或形式地表示为
121212(,,,)(),(),,()(,,,)n n n A σεεεσεσεσεεεε==L L L
其中
11
11
n n nn a a A a a ??
?= ? ???
K M
O M L
矩阵A 称为线性变换σ在基12,,,n εεεL 下的矩阵。
3.5【定理】
【定理1】设V 是数域P 上的n 维线性空间，12,,,n εεεL 是
V 下的
一组基，则V 上的每一个线性变换与它在基12,,,n εεεL 下的矩阵之间
的对应σ是线性空间L(V ,V)到*n n
P 的同构映射，从而L(V ,V)与*n n
P 同
构，并且
（1）线性变换的和对应于矩阵的和； （2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；