2020版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节排列与组合教学案理含解析新人教A版

第一节排列与组合

[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．

1．两个计数原理

分类加法计数原理分步乘法计数原理

条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方

案中有m种不同的方法，在第2类方案中

有n种不同的方法

完成一件事需要两个步骤，做第1步

有m种不同的方法，做第2步有n种

不同的方法

结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝mn种不同的方法

排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元

素按照一定的顺序排成一列

组合的定义合成一组

排列数组合数

定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元

素的所有不同排列的个数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所

有不同组合的个数

公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝

n！

n－m！

C m n＝

A m n

A m m

＝

n n－1n－2…n－m＋1

m！

性质A n n＝n！，0！＝1 C m n＝C n－m n，C m n＋C m－1n＝C m n＋1

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )

(4)k C k n＝n C k－1n－1.( )

[答案](1)×(2)√(3)√(4)√

2．(教材改编)图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有( )

A．12 B．16

C．64 D．120

B[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B.]

3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )

A．8 B．24

C．48 D．120

C[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有A34C12＝4×3×2×2＝48个．故选C.]

4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )

A．85 B．56

C．49 D．28

C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，

甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，

由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．

法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，

其中甲、乙均不入选有C37种方法，

∴满足条件的选排方法有C39－C37＝84－35＝49种．]

5．将6名教师分到三所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．

360[将6名教师分组，分3步完成：

第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；

第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；

第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．

根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60(种)取法．

将这三组教师分配到三所中学，有A33＝6(种)分法，

故共有60×6＝360(种)不同的分法．]

两个计数原理的综合应用

【例1】(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班，从甲到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有( )

A．12种B．19种

C．32种D．60种

(2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻

区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )

A．400种B．460种

C．480种D．496种

(1)B (2)C [(1)分两类：一类是直接从甲到乙，有n1＝4种方法；

另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n2＝5×3＝15种方法．

由分类计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故选B.

(2)完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时，A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．] [规律方法]与两个计数原理有关问题的解题策略

1在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.

2对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.

为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．

(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答) (1)4554(2)420[(1)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．

图(1)

(2)①当末位数字是0时，如图(1)所示，共有A36个不同的四位偶数；

图(2)

②当末位数字是2或4或6时，如图(2)所示，共有A15A25C13个不同的四位偶数；即共有A36＋A15A25 C13＝120＋5×5×4×3＝420个无重复数字的四位偶数．]

排列问题

【例2】3名女生和5名男生排成一排．

(1)若女生全排在一起，有多少种排法？

(2)若女生都不相邻，有多少种排法？

(3)若女生不站两端，有多少种排法？

(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？

(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？

[解](1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有

6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A 3

3种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320种不同排法．

(2)(插空法)先排5名男生，有A 55种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400种不同排法．

(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400种不同排法．

法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400种不同排法.

(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12

，因此符合要求的排法种数为12

A 88＝20 160. (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．

法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种不同排法．

由分类加法计数原理知，共有A 77＋A 16·A 16·A 66＝30 960种不同排法．

法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A 17种排法，余下7个位置全排，有A 77种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A 16·A 66种，因此共有A 17·A 77－A 16·A 66＝30 960种排法． 法三(间接法)：8名学生全排列，共A 88种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A 77种排法，乙在最右边时，有A 77种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A 66种排法．因此共有A 88－2A 77＋A 66＝30 960种排法．

[规律方法] 求解排列应用问题的六种常用方法

直接法

把符合条件的排列数直接列式计算 优先法

优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法

相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素

插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的

全排列

间接法 正难则反、等价转化的方法

A ．144

B ．120

C ．72

D ．24

(2)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )

A ．24

B ．18

C．16 D．10

(1)D (2)D [(1)先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A34＝24(种)方法．故选D.

(2)分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.故选D.]

组合问题

【例3】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)只有一名女生当选；

(2)两队长当选；

(3)至少有一名队长当选；

(4)至多有两名女生当选．

[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．

(2)两队长当选，共有C22·C311＝165种．

(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．(或采用排除法：C513－C511＝825(种))．

(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．

[规律方法]组合问题的常见类型与处理方法

1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.

2“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.

班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有( )

A．30种B．36种

C．42种D．48种

(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )

A．232 B．252

C．472 D．484

(1)C (2)C [(1)若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；

若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22种安排方法，共有12种安排方法；

若甲、乙都在10日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．

所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．

(2)分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；

第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C 312－3C 3

4＝220－12＝208(种)．

由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．]

排列、组合的综合应用

【例4】 (1)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲小组至少2人，乙、丙组至少1人，则不同的分配方案种数为( )

A ．80

B ．120

C ．140

D ．50 (2)如果一个三位正整数“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2，且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )

A ．240

B ．204

C ．729

D ．920 (1)A (2)A [(1)先将5名同学分成3组，有两种分配方案，一是三组人数分别为2,2,1，分组方法有C 25C 23C 11A 22

＝15(种)，然后将有2人的两组分给甲、乙或甲、丙，分配方法是15×(A 22＋A 22)＝60(种)；二是三组人数分别为3,1,1，分组方法有C 35C 12C 1

1A 22

＝10(种)，然后将1人的两组分给乙、丙两组，分配方法是10×A 22＝20(种)．故共有60＋20＝80(种)．

(2)如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C 29个；如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有C 39A 22＋C 29个．即共有2C 29＋C 39A 22＝240个．]

[规律方法] 1.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.

当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数.

2.1不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法. 2对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.

要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为( )

A ．6

B ．12

C ．24

D ．36 (2)(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)

(1)B (2)660 [(1)甲和另一个人一起分到A 班有C 13A 2

2＝6种分法，甲一个人分到A 班的方法有：C 23A 22＝6种分法，共有12种分法．故选B.

(2)法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C 12种方法；再选3名男生，有C 36种方法；然后排队长、副队长位置，有A 24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C 12C 36A 24＝480(种)选法． 有2名女生时，再选2名男生，有C 26种方法；然后排队长、副队长位置，有A 24种方法．由分

步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．

法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，

而没有女生的选法有A26C24种，

故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．]

1.(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )

A．12种B．18种

C．24种D．36种

D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安

排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝3×4×3

2

×2＝36(种)．

故选D.]

2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A．24 B．18

C．12 D．9

B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F

到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，

一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到

G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路

径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]

3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)

16[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12C24＝

12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C14＝4(种)．

根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．

法二：从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．]

【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y |1/2|Y>0}(2) f Y|X (y|x ), f X|Y (x|y )10. 设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求 {12x 2y 0 1x ≤y ≤x,x ≥1 其它 f X|Y (x|y )11. 设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求的联合分布 {4xy 0 0≤x ≤1,0≤y ≤1 其它 （X,Y ）

计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例

计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③

高考数学 计数原理 知识汇总

计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去

高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含解析

数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C.

高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点 一、选择题 1．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144 【答案】D 【解析】 【分析】 按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生 的情况去掉，录取方案数为22 63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为 24C 、2 2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。 【详解】 根据题意，分3步进行分析： ①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况， ③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1 2 2C =种情况， 则有1262144??=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】 本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。 2．已知函数，在区间 内任取一点，使 的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由 得，故 或 ，由 ，故 或 ，故使 的概率为 . 【点睛】 本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.

3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】 本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4．下列等式不正确的是（ ） A ．111 m m n n m C C n ++=+ B ．121 11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1 1m m n n A nA --= D ．1(1)k k k n n n nC k C kC +=++ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据排列和组合公式求解即可. 【详解】 根据组合公式得1 1!1(1)!1!()!1(1)!()!1 m m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==?=-++-+，则A 错误； 根据排列公式得 1221 11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()! m m m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--= -=+-=?=----，则B 正 确； 根据排列公式得1 1!(1)!()!()! m m n n n n A n nA n m n m ---= =?=--，则C 正确；

高中数学教案：计数原理

高中数学教案：计数原理 教学目标： 对差不多概念，差不多知识和差不多运算的把握 注重对分析咨询题和解决咨询题的能力的培养 对综合咨询题要注意数学思想的培养 教学重难点： 对两个差不多计数原理的把握和运用 排列组合以及二项式定理典型题解题技巧 教学设计： 知识网络： 一、两个差不多计数原理： 1、分类计数原理：完成一件事，有n 类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n 类方法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。〔加法原理〕 2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。〔乘法原理〕 二、排列 排列：一样地，从n 个不同的元素中取出m 〔m ﹤n 〕个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 注意：1、排列的定义中包含两个差不多内容：①〝取出元素〞；②〝按照一定顺序排列〞，〝一定顺序〞确实是与位置有关，这也是判定一个咨询题是不是排列咨询题的重要标志。 2、依照排列的定义，两个排列相同，是指当且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同 排列数公式： )!(!)1()2()1(m n n m n n n n A m n -=+-???-?-?= !12)2()1(n n n n A n n =????-?-?= 三、组合 组合：一样地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。 组合数公式： 〔组合数公式1—适用于运算〕 〔组合数公式2—适用于化简证明〕 组合数公式性质：性质1: m n n m n C C -= ! )1()2)(1(m m n n n n m m m n m n C +---=A =A ! )(! ! m n m n C m n -=

2.1随机变量及其概率分布(1)

随机变量及其概率分布(1) 【教学目标】 1、在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散性随机变量及其概率分布的概念。 2、会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 3、提高学生的抽象概括能力，提高数学建模的能力，提高学生应用数学的意识。 4、随机变量是客观世界中极为普遍的，通过对各种现象及事件a 的分析，培养严谨的逻辑思维能力，激发学生学习兴趣，初步认识数学的应用价值、科学价值，并深刻体会数学是服务于实践的一门学科。 【教学过程】 1、相关知识回顾： （1）随机现象： 在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先也不能断定出现哪种结果的现象 （2）基本事件： 在一次试验中可能出现的每一个基本结果 （3）古典概型： 我们将具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件发生的概率相等. 满足这两个特点的概率模型称为古典概率模型 2、新课引入： （1）在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数X 是0，1，…，10中的某个数； （2）抛掷一颗骰子，向上的点数Y 是1，2，3，4，5，6中的某一个数； （3）新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女。如果将男婴用0表示， 女婴用1表示，那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数； 上述问题有哪些共同特点？ 上述问题中的X ，Y ，Z ，ε实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射。 例如：上面的植树问题中成活的树苗棵数X ： X=0，表示成活0棵； X=1，表示成活1棵；…… 思考：“X>7”表示什么意思？ 3、新授： 知识点1：随机变量： 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量。 通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z （或小写希腊字母ζηε,,）等表示，而用小写拉丁字母z y x ,,（加上适当下标）等表示随机变量取得可能值。 引入随机变量后，随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来。 注：（1）随机试验中，可能出现的恶结果都可以用一个数来表示。如掷一枚硬币，“正

2019年高考真题理科数学分类汇编专题10 概率与统计和计数原理(解析版)

专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为1234 89x x x x x x <<<<<． 则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ， A 正确； ②原始平均数1234891 ()9x x x x x x x = <<<<<，后来平均数234 81 ()7 x x x x x '=<<<，平均数 受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2 222111 [()()()]9q S x x x x x x = -+-++-，22222381 [()()()]7 s x x x x x x '=-'+-'+ +-'，由② 易知，C 不正确； ④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

2017年高考概率与统计、计数原理专题分析

概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分.

高中数学之计数原理

计数原理（讲义） ? 知识点睛 一、两个计数原理 1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！ 即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示． A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-， 规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -+=+． ? 精讲精练 1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地 到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．

A ．3+2+4=9 B ．1 C ．3×2×4=24 D ．1+1+1=3 2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争 夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ） A ．(34，34) B ．(43，34) C ．(34，43) D ．3344(A A )， 3. 填空： （1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种． （2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种． （3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种． （4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）． 4. 填空： （1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数． （2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． （3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．

(完整word)高中数学《计数原理》练习题

《计数原理》练习 一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（ ） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（ ） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（ ） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（ ） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（ ） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有 种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为

二维随机变量及其分布题目

一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0

二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7

=? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下：

高三数学选修2-3 概率统计计数原理

(十三) 计数原理、概率统计(理科)(样稿) 华南师范大学附中罗华张琪 A 组 (1) C22+C23+C24+…+C210= (A) 990 (B) 165 (C) 120 (D) 55 B (2)把3 个不同的小球随意地放入4 个不同的盒子内，则3 个小球恰在三个不同的盒子内的概率为 (A) 3 4(B) 4 5(C) 3 8(D) 7 16 C (3)某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A．7种 B．8种C．9种 D．10种 C (4)将3 种农作物都种植在如图的4 块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有几种 (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 C C13C12(1+2) (5)四人报名参加跑步、跳高、和游泳比赛，每人限报一项，不同的报名结果有种？ 34 (6) (1 + x) 30的展开式中，系数最大的项是第__________项。 16； (7) 平面内有10个点，其中每3点不共线，以其中任意2个点为端点的线段有_________条，有向线段有_________条. C210=45 ; A210=90 (8) 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14 其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）． ①③ (9) 这是高考第一批录取的一份志愿表。有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满 意的选择。若表格须填满且规定学校没有重复、同一学校的专业也没有重复的话。你将有种不同的填写方案？

高考数学-计数原理-3-排列组合

专项-排列组合 知识点 一、排列 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中 取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示 对排列定义的理解： 定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列” 相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc 与acb 是两个不同的排列 描述排列的基本方法：树状图 排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-???--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!??????-?-?=n n n n ，并规定1!0=。 全排列数公式可写成!n A n n =. 由此，排列数公式可以写成阶乘式： )!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -= +-???--=（主要用于化简、证明等） 二、组合 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示 对组合定义的理解： 取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点. 只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。 组合数公式： ),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n ≤∈-=+-???--==*，且 变式：),,()! ()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+???--=-= *-且

【高中数学】计数原理总结

【高中数学】计数原理总结 知识梳理： 1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理 (1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。 2. 排列与组合 (1)排列 (1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321 !()! m n n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---??=---+= ---??=- (1)(2)(!()!m n A n n n n n n m =--=- (2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!! m n n n n n m n C n m n m n m m ---+==---??- ①组合数的两个性质_______ _ ____、 。 ③区别排列与组合 3. 常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略 (6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略 (8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略。 4. 二项式定理 (1)二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n (2)通项：展开式的第1+r 项，即) ,,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ (3)二项式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。即 ①增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C ③二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210 =+???++???+++∴ 0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2

18计数原理、概率与统计(陈选明)

— 高三数学(理十五)第1页 共6页— 2017-2018学年度南昌市高三第一轮复习训练题 数学（理十五）计数原理、概率与统计 命题人：新建二中 陈选明 审题人：新建二中 朱优奇 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能 手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛 的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的 学生中获得“诗词能手”称号的人数为( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 2．已知两组数12345671234567:,,,,,,,:,,,,,,A x x x x x x x B y y y y y y y ，其中 ()23,1,2,3,4,5,6,7i i y x i =+=，A 组数的平均数与方差分别记为2,,A x S B 组数的平均数与方差分别记为2,B y S ，则下面关系式正确的是( ) A. 2223,23B A y x s s =+=+ B. 2223,4B A y x s s =+= C. 222,4B A y x s s == D. 222,43B A y x s s ==+ 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位： 小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其 中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为 [)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5， []27.5,30. 根据直方图，若这200名学生中每周的 自习时间不超过m 小时的人数为164，则m 的值约为( ) A. 26.25 B. 26.5 C. 26.75 D. 27 4．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多 年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则511a a +的值为( ) A.528 B.1020 C.1038 D. 1040 5．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有( )条 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习有解析

新数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ> 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】 1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1， ()1409P ξ== ，()1129P ξ==，()141411999 P ξ==--=， 故123E ξ= ，22 214144402199999 D ξ=?+?+?-=. ()22110323P ξ?== =?，()22122 1323 P ξ??===?， 故223E ξ= ，2 221242013399 D ξ=?+?-=, 故12 E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】 离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ． 85 B ． 65 C ． 45 D ． 25 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知，3~(5, )3X B m +，由3 533EX m =? =+，知3~(5,)5 X B ，由此能求出()D X ．

复习试卷八：概率统计与计数原理.doc

复习试卷八：概率统计、计数原理 1.如图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶 图计算数据的中位数为? 2.右上图是一样本的频率分布直方图，其中（4,7）内的频数为4,数据在[1,4）U [7,15）内 的频率为样本容量为. 3.某公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一 个容量为50的样本，已知某部门寺* 200名员工，那么从该部门抽取的工人数是. 4.某射击运动员在四次射击中分别打出了10, x, 10, 8环的成绩，已知这组数据的平均数为9,则这组数据的标准差是. 5.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：（已知学生的数学和物理成绩具 有线性相关关系） 学生的编号i12345 数学成绩X8075706560 物理成绩y7066686462 现已知其线性回归方程为y=0.36* +。，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为.（四舍五入到整数） 6.（V7-二沪°展开式中的常数项是（用数字作答） 7.若（ax-\）5的展开式中/的系数是80,贝U实数a的值是 8 . 若(1 — 2x)2”。=。()+ □/+ + , , ? +。2()10工~°"(X ￡ R) ,则(% +。］ ) + (% + % ) + (。()+。3 ) (% +。2()1() ) = 9.将右图中编有号的五个区域染色，有五种颜色M供选择，要求有 公共边的两个区域不能同色，则不同的涂色方法总数为（用数字作 答）. 10.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种. 11.若用1,2, 3, 4, 5, 6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个 数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有个（用数字作答）. 12.某同学参加北大、清华、科大三所学校的白主命题招生考试，其被录取的概率分别为1,[1 （各学校是否录取他相互.独立，允许他可以被多个学校同时录取）.则此同学 （用数字作