折纸基础——等分纸张

1 折纸基础——等分纸张：

三等分:

五等分:

七等分:

论创客教育和折纸

浅谈学校创客教育和现代折纸 常州市西夏墅中学 213135 赵燕杰 摘要：创客教育的盛行，是当今社会和国家对创新型人才和工匠型人才需求的体现。然而，创客教育并不仅仅指以信息技术为核心的开源硬件的学习和教育，我们应当关注创客精神的本质，因地制宜的，开创性的开发和实施多领域的多种形式的创客教育。现代折纸就是这样一种具备创客精神的，又极具特色的创客教育新领域。 关键词：创客教育创客精神现代折纸工匠精神 几年前，“创客教育”还只是一个属于极少数老师讨论的话题，但现在，创客教育已经成为众多学术专家和教育人士研究的课题。 创客教育是从国外创客运动引入的，最先由从事信息技术教学的一批热心教师尝试并推动的，国内各类媒体上面的介绍往往是从机器人大赛、三维打印、Scratch编程等话题进入读者的视野，这就给普通读者形成了第一印象，觉得创客就是运用信息技术制造有创意的实物电子作品。目前许多学校考虑建设“创客空间”，首先想到的就是需要配置多少台三维打印机、多少套机器人设备等问题。 江苏师范大学教育科学学院副教授杨现民在一篇学术论文中写到，创客教育在我国已经悄然兴起，并在大踏步地摸索前进。杨现民在归纳总结创客教育的定义时写到：创客教育是一种融合信息技术，秉承“开放创新、探究体验”教育理念，以“创造中学”为主要学习方式和培养各类创新人才为目的的新型教育模式。 但这仅仅是“创客教育”的其中一个定义，创客也不应该仅仅指那些运用信息技术、工程技术的人。事实上，创客和创客教育的定义都有狭义和广义之分。 关于创客的概念，狭义的说法是那些对计算机、机械、技术、科

学、数字艺术、电子技术等有着共同兴趣而在一起社会化协作的人群。广义的说法是指那些出于兴趣与爱好，努力把各种创意转变为现实的人。因此，对创客成果往往也有着狭义和广义的不同理解，狭义的创客成果大多指利用电子技术、计算机、机器人、3D打印、数控设备，以及传统的金属加工、木材加工、传统手工艺等加工制作的产品。广义的创客成果包括一切创新的物质文明产品和非物质文明产品。 创客在美国和欧洲，包括了社会维度和文化维度。在社会维度，比如具有创新精神的社会活动家组织新型的社会团体或活动，高效地解决社会问题，他就是创客。再比如具有创新精神的政治家，提出新的社会制度，促成新型的社会生产关系以更好地推动社会发展，他也是创客。在文化维度，艺术家就是创客，文化创意同样体现着创客精神。 关于创客教育，国内教育界的祝智庭教授及其团队有着深入系统的研究。祝智庭教授指出：“创客有广义和狭义两层概念，创客教育也应有广义和狭义两层理解。广义上创客教育应是一种以培育大众创客精神为导向的教育形态。狭义上的创客教育则应是一种以培养学习者，特别是青少年学习者的创客素养为导向的教育模式。” 作为一名中学教师，本文讨论的创客教育主要是指学校为提升学生创客素养的一种教育模式，是狭义概念上的创客教育，然而其内含的创客概念可以是广义的。学校创客教育除了机器人、3D打印、Scratch编程之外，完全可以因地制宜的、创新性的开发多种领域的内容和形式。

利用渐开线三等分任意角的方法和证明

利用渐开线三等分任意角的方法和证明 要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。 操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤： 1、以B点做切线，和渐开线相交于E； 2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3； 3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G； 4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D； 5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。

证明： 1、先证明△BAF与△DAG全等 根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所 以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所 以BF=DG，△BAF与△DAG全等。 2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因 此，∠CAD即为∠CAB的三等分角 总结： 伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。 实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。

北师大版初三数学中考模拟试题及答案

初三数学综合测试题（1） （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共30分） 每小题给出四个答案，其中只有一个符合题目的要求，请把选出的答案编号填在下面的答题表一内，否则不给分. 答题表一 1、下列计算正确的是 A. 236333=? B. -(-a +1)= a -1 C. 3m 2-m 2=3 D. (-3)2= -3 2、由几个小正方体所搭成的几何体的俯视图如下面左侧图形所示.(正方形中的数字表 示该位置叠放的小正方体的个数)，那么这个几何体的正视图是 3、根据右图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是 A ．7元 B ．35元 C ．45元 D ．50元 4、如果分式 1 x 1x +-的值为零，那么x 的值为 A. -1或1 B. 1 C. -1 D. 1或0 第3题 共52元

5、已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于 A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．33 6、若一个正多边形的外角等于30°，则这个多边形的边数是 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7、四张完全相同的卡片上，分别画有：线段、等边三角形、平行四边形、圆，现从中随 机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是 A ． 43 B ．21 C ．4 1 D ．1 8、已知二次函数y = x 2的图象向右平移3个单位后，得到的二次函数解析式是 A.2)3x (y -= B. 2)3x (y += C. 3x y 2-= D. 3x y 2+= 9、如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可以是 A ．1.5 B ．2.5 C ．4.5 D ．5.5 第9题 10、如图，圆锥底面直径为6cm ，母线长为12cm ，则其侧面展开为扇形的圆心角为 A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填入答题表二内，否则 不给分） 答题表二 第10题

教你叠各种折纸

教你叠各种折纸 玫瑰、莲花灯、雪花、樱花、青苹果……！（推荐转载收藏）建议先转到自己空间以后慢慢学习. 下面就教你简单玫瑰花的折法图解大家动手吧~ 莲花灯的制作方法工具/原料2：1的长方形彩纸粉色12张，绿色4张。尺寸相同，大小自定 步骤/方法 把长方形彩纸对折起来 四个角向内折 将上下两端沿中线折 .再向后折叠起来 将另外三张纸也折成同样的形状 绿色折纸要求按照相同折法做到第4步 不同的是绿色折纸需要往反方向中间对折 3片花瓣和一片叶子为一组 将这一组如图所示重叠起来中间用回形针暂时固定

按照以上方法做好3组 将固定用的回形针拿掉，用细线把这四组紧紧的拴在一起 整理开来 将最上面一层向中间折起来 陆续把其余的三层也向中间折起来 叶子部分不用折起来，展开即可 一朵漂亮的祈福莲花就完成了 中间放上蜡烛即可成为中秋节的莲花灯哦雪花的折法纸折的雪花，是不是很漂亮纸雪花的折法下面是具体的步骤：教你如何折樱花十步教你折出漂亮的樱花。 材料：纸一张，浆糊 步骤： 折叠一次 看图，不废话 这里也很简单 这里考验你的眼力了 怎么样有点成就感了吧 抹上胶水，定型即可。 用花色纸叠出的更好看(⊙o⊙)哦 成品图，用多种颜色，不同的花色的纸张折叠

出的樱花更多彩： 卷卷花球的折法今天要做的卷卷花球。 步骤1: 正方形纸，需要30张，我选了五种颜色每样6张步骤2: 如图对折，后打开，另一面也对折 步骤3: 三角形打开后，如图向底边对折 步骤4: 折成图上的大三角 步骤5: 用牙签卷起一边，向中线卷，卷数越多越好 步骤6: 其余几边同样卷法 步骤7: 提起一边，把五种不同颜色的纸卷在一起 步骤8: 依照三角五角的组合方式，把30个组合在一起，就完成了 折法图解如下：

蝎子折叠方法等各种折纸方法图解大全 绝对经典

蝎子折叠方法等各种折纸方法图解大全 黄色的小蝎子 原本很可怕的毒蝎子，通过折纸的转换，好像也没有那么的让人害怕了。做法有一点点复杂，不过慢慢的跟着折，多做几次，应该也能顺利的完成。

竖起耳朵的小白兔 兔子眼睛的颜色与它们的皮毛颜色有关系，黑兔子的眼睛是黑色的，灰兔子的眼睛是灰色的，白兔子的眼睛是透明的。那为什么我们看到小白兔的眼睛是红色的呢？ 兔子的眼睛有红色,蓝色,茶色等各种颜色,也有的兔子左右两只眼睛的颜色不一样.或许因为兔子是夜行动物,所以它的眼睛能聚很多光,即使在微暗处也能看到东西.另外,由于兔子的眼睛长在脸的两侧,因此它的视野宽阔,对自己周围的东西看得很清楚,有人说兔子连自己的脊梁都能看到.不过,它不能辨别立体的东西,对近在眼前的东西也看不清楚。小白兔身体里不含色素，它的眼睛是无色的，我们看到的红色是血液的颜色，并不是眼球的颜色，所以它的眼睛自然就是红色的了。

鹈鹕-Pelican 鹈鹕是一种大型的游禽，属鹈形目鹈鹕科，又叫塘鹅。在世界上共有8种，大多分布在欧洲、亚洲、非洲等地。我国的鹈鹕共有2种，分别为：斑嘴鹈鹕和白鹈鹕。斑嘴鹈鹕，鸟如其名，在它的嘴上布满了蓝色的斑点，头上被覆粉红色的羽冠，上身为灰褐色，下身为白色。而白鹈鹕主要分布在我国新疆、福建一带，它们通体为雪白色。二者均为我国的二级保护动物。 鹈鹕，让人一眼就能认出它们的是嘴下面的那个大皮囊。鹈鹕的嘴长30多厘米，大皮囊是下嘴壳与皮肤相连接形成的，可以自由伸缩，是它们存储食物的地方。鹈鹕和鸬鹚一样也是也是捕鱼能手。它的身长150厘米左右，全身长有密而短的羽毛，羽毛为桃红色褐鹈鹕(Pelecanus occidentalis)或浅灰褐色。在它那短小的尾羽跟部有个黄色的油脂腺，能够分泌大量的油脂，闲暇时它们经常用嘴在全身的羽毛上涂抹这种特殊的“化妆品”，使羽毛变得光滑柔软，游泳时滴水不沾。

任意锐角的三等分

任意锐角的三等分 【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和 钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究. 【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）. 为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）. 实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只 能以近似的方式来解决?比如，以a为直径作一个圆，会容易

做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且 S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道. 本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是 指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角 有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究. 下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角. 题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）. 求解：三等分a . 一、作图（参照图2） （1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取 OA=AA2=A2A3. （2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB

蝎子折叠方法等各种折纸方法图解大全绝对经典

蝎子折叠方法等各种折纸方法图解大全

竖起耳朵的小白兔 兔子眼睛的颜色与它们的皮毛颜色有关系，黑兔子的眼睛是黑色的，灰兔子的眼睛是灰色的，白兔子的眼睛是透明的。那为什么我们看到小白兔的眼睛是红色的呢？ 兔子的眼睛有红色,蓝色,茶色等各种颜色,也有的兔子左右两只眼睛的颜色不一样.或许因为兔子是夜行动物,所以它的眼睛能聚很多光,即使在微暗处也能看到东西.另外,由于兔子的眼睛长在脸的两侧,因此它的视野宽阔,对自己周围的东西看得很清楚,有人说兔子连自己的脊梁都能看到.不过,它不能辨别立体的东西,对近在眼前的东西也看不清楚。小白兔身体里不含色素，它的眼睛是无色的，我们看到的红色是血液的颜色，并不是眼球的颜色，所以它的眼睛自然就是红色的了。

鹈鹕-Pelican 鹈鹕是一种大型的游禽，属鹈形目鹈鹕科，又叫塘鹅。在世界上共有8种，大多分布在欧洲、亚洲、非洲等地。我国的鹈鹕共有2种，分别为：斑嘴鹈鹕和白鹈鹕。斑嘴鹈鹕，鸟如其名，在它的嘴上布满了蓝色的斑点，头上被覆粉红色的羽冠，上身为灰褐色，下身为白色。而白鹈鹕主要分布在我国新疆、福建一带，它们通体为雪白色。二者均为我国的二级保护动物。 鹈鹕，让人一眼就能认出它们的是嘴下面的那个大皮囊。鹈鹕的嘴长30多厘米，大皮囊是下嘴壳与皮肤相连接形成的，可以自由伸缩，是它们存储食物的地方。鹈鹕和鸬鹚一样也是也是捕鱼能手。它的身长150厘米左右，全身长有密而短的羽毛，羽毛为桃红色褐鹈鹕(Pelecanus occidentalis)或浅灰褐色。在它那短小的尾羽跟部有个黄色的油脂腺，能够分泌大量的油脂，闲暇时它们经常用嘴在全身的羽毛上涂抹这种特殊的“化妆品”，使羽毛变得光滑柔软，游泳时滴水不沾。

尺规法三等分任意角到底可行吗

尺规法三等分任意角到底可行吗？ 1965年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年——用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力。近日在2013年出版的文集中见到《尺规作图破解世界千古三大几何难题》一文，该文是作者（简称黄先生）历时七年的研究成果。该文所说难题之一就是用尺规三等分任意角（另两道难题是倍立方和画圆为方）。为了证明他的方法是近似的，我用他的方法三等分100°角，看看误差有多大。 如图，DG长度为AD的二分之一，G点到E点的直线距离为AG的二分之一，穿过A、E两点的直线与圆弧相交于F点，黄先生认为D、F两点连线所对圆心角θ一定等于图中100°角的六分之一。我们来计算一下θ角的度数（计算过程保留8个有效数）。 设圆半径为1，借助三角函数和勾股定理可算出A、G、E三点坐标。 A点坐标（?0.76604444，?0.64278761） G点坐标（0.38302222，1.8213938） E点坐标（0 ，0.51700505）

设连接A、E两点的直线方程为 y = ax + b，根据A、E两点坐标可求出该直线方程为 y = 1.5140018x + 0.51700505 根据该直线方程与圆方程x2 + y2 =1，可求出F点横坐标x = 0.29052884 所以sinθ= 0.29052884，θ角不小于16.8896°，误差大于 0.2229° 用该方法三等分100°角，误差大于0.4458° 令CE = AE可算出C点坐标。黄先生认为C、B两点连线与圆弧的交点就是F点，其实不然。根据C、B两点坐标可算出C、B两点连线与圆弧的交点坐标。该交点横坐标x = 0.2849388，将该交点视为F点，可算出θ角为16.5552°，少了0.1115°，用该方法三等分100°角，误差大于0.2229°

三等分角器

“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的。如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC. 求证：∠APB=13∠AOB. 考点： 等腰三角形的性质 已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC. 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于D 在△ABO和△ACO中?????AB=AC()OB=OC()AO=AO() ∴△ABO≌△ACO(___) ∴∠BAO=∠CAO 即∠BAD=∠CAD(___) ∴AD⊥BC,即AO⊥BC(___)

考点： 全等三角形的判定 如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是() A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 考点： [角平分线的性质] 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC. (1)求证：AD⊥BC.

(2)若∠BAC=75°，求∠B的度数。 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图,在△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC 的延长线上，且CE=CA. (1)试求∠DAE的度数。 (2)如果把题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗? (3)若∠BAC=α°,其它条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少? 考点： [等腰三角形的性质, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质]

书法的折纸方法自制作图解

书法的折纸方法自制作图 解 Prepared on 21 November 2021

书法的折纸方法（自制作图解）五言绝句折纸法： 四尺宣先裁掉一尺 剩下三尺对裁 对折 再对折 再对折 留一方格位折 再折留边框 再折中线和对角线成米字格 七言诗折纸法: 四尺整纸对裁 留出一字格 对折为所留一格的一倍 按所留一格的尺寸折 再折 留出一方格折 再折 再折留出边框 折后为3乘11格 一．四尺开四(66㎝×33㎝) 1．以10字诗句为例 先竖折三等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折五等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各5个字，第三行落款。 2．以14字诗句为例 先竖折三等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折六等分(先対折，再三等分折，上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各6个字，第三行2个字，接下的空格落款。 3．以20字的“五绝”为例

先竖折四行，但第四行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折七等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各7个字，第三行6个字，第四行落款。 二．四尺开三(66㎝×45㎝) 1．以20字的“五绝”为例 先竖折五行，但第五行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折六等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至三行各6个字，第四行2个字，第五行落款。 2．以28字的“七绝”为例 先竖折五行，但第五行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折七等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至四行各7个字，第五行落款。 3．以33字的“长短句”为例 先竖折五等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折八等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至四行各8个字，第五行1个字，接下的空格落款。

各种折纸方法图解大全-幼儿园大班教学用

各种折纸方法图解大全（绝对经典）竖起耳朵的小白兔

鹈鹕-Pelican 鹈鹕是一种大型的游禽，属鹈形目鹈鹕科，又叫塘鹅。在世界上共有8种，大多分布在欧洲、亚洲、非洲等地。我国的鹈鹕共有2种，分别为：斑嘴鹈鹕和白鹈鹕。斑嘴鹈鹕，鸟

如其名，在它的嘴上布满了蓝色的斑点，头上被覆粉红色的羽冠，上身为灰褐色，下身为白色。而白鹈鹕主要分布在我国新疆、福建一带，它们通体为雪白色。二者均为我国的二级保护动物。 鹈鹕，让人一眼就能认出它们的是嘴下面的那个大皮囊。鹈鹕的嘴长30多厘米，大皮囊是下嘴壳与皮肤相连接形成的，可以自由伸缩，是它们存储食物的地方。鹈鹕和鸬鹚一样也是也是捕鱼能手。它的身长150厘米左右，全身长有密而短的羽毛，羽毛为桃红色褐鹈鹕(Pelecanus occidentalis)或浅灰褐色。在它那短小的尾羽跟部有个黄色的油脂腺，能够分泌大量的油脂，闲暇时它们经常用嘴在全身的羽毛上涂抹这种特殊的“化妆品”，使羽毛变得光滑柔软，游泳时滴水不沾。

鼹鼠 鼹鼠的拉丁文学名就是“掘土”的意思。它的身体完全适应地下的生活方式，前脚大而向外翻，并配备有力的爪子，像两只铲子；他的头紧接肩膀，看起来像没有脖子，整个骨架矮而扁，跟掘土机很相似。它的尾小而有力，耳朵没有外廓，身上生有密短柔滑的黑褐色绒毛，

毛尖不固定朝某个方向。这些特点都非常适合它在狭长的隧道自由地奔来奔去。隧道四通八达，里面潮湿，很容易孳生蚯蚓、蜗牛等虫类，便于它经常在地下“餐厅”进餐。鼹鼠成年后，眼睛深陷在皮肤下面，视力完全退化，再加上经常不见天日，很不习惯阳光照射，一旦长时间接触阳光，中枢神经就会混乱，各器官失调，以致于死亡。 “鼹鼠”一词在捷克文里拼作"krtek"，在英文中是"mole"。由于鼹鼠善于打洞，现在这个词在媒体报道中已经成了“间谍”的代名词，所以如果你听到说某某国家情报局安全部抓到一只"鼹鼠"可不要真以为他们是抓到了一只打洞的小老鼠。

关于三等分任意角的方法探究

三等分任意角的方法探究 西工大附中 孙开锋 三等分任意角的方法探究 摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文 关键词： 只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。 纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB 平分成了两部分。 用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。 但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？ 早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。 但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。 一、利用工具三等分任意角

如图1所示，叫做“三等分仪” 吧 ， CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E. 具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。 数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。 二、中考中的三等分角 题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数y x =1的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交函数y x =1的图象于点R ，分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线交于点M ，连结OM 得到∠MOB ，则∠=∠MOB AOB 13 。要明白帕普斯的方法，请研究以下问题。 （1）设P （a a ,1），R （b b ,1）求直线OM 对应的函数表达式（用含a b 、的代表式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴与x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请证明点Q 在直线OM 上，并据此证明∠=∠MOB AOB 1 3 ；

九年级数学三等分角问题

“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” .下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角“的方法（如图），将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1y x = 的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到得到∠MOB ，则13MOB AOB ∠=∠. 要明白帕普斯的方法，请你研究以下问题： （1）设1(,)P a a 、1(,)R b b ，求直线OM 相对应 的函数解析式（用含a,b 的代数式表示）. （2）分别过P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直 线相交于点Q ，请说明Q 点在直线OM 上，据此证明13 MOB AOB ∠=∠. （3）应用上述方法得到结论，你如何三等分一个 钝角（用文字简要说明）. 解：（1）设直线OM 的函数关系式为 )1,(),1,(,b b R a a P kx y =． 则),1,(a b M ∴ab b a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x ab y 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab y 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页） ∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=2 1PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=2 1PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠SOB=3 1∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角 利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角

手工折纸图解大全——动物篇

竖起耳朵的小白兔 兔子眼睛的颜色与它们的皮毛颜色有关系，黑兔子的眼睛是黑色的，灰兔子的眼睛是灰色的，白兔子的眼睛是透明的。那为什么我们看到小白兔的眼睛是红色的呢？这是因为白兔眼睛里的血丝（毛细血管）反射了外界光线，透明的眼睛就显出红色。 兔子的眼睛有红色,蓝色,茶色等各种颜色,也有的兔子左右两只眼睛的颜色不一样.或许因为兔子是夜行动物,所以它的眼睛能聚很多光,即使在微暗处也能看到东西.另外,由于兔子的眼睛长在脸的两侧,因此它的视野宽阔,对自己周围的东西看得很清楚,有人说兔子连自己的脊梁都能看到.不过,它不能辨别立体的东西,对近在眼前的东西也看不清楚。灰兔子的眼睛是灰色的。小兔是有各种颜色的，它们的眼睛也是有不一样颜色的。那是因为它们身体里有一种叫色素的东西。含有灰色素的小兔，毛和眼睛就是灰色的；含黑色素的小兔，毛和眼睛是黑的。小白兔身体里不含色素，它的眼睛是无色的，我们看到的红色是血液的颜色，并不是眼球的颜色，所以它的眼睛自然就是红色的了。兔子的牙齿有28颗。 一些人还会根据人的长相或者习惯或其它原因给人起外号叫兔子。你的身边有没有叫“兔子”的朋友啊？呵呵 例如： 1.家庭教师hitman reborn的男主角泽田纲吉（性格方面） 2.中国女排队员薛明 3.SuperJunior成员李晟敏

鹈鹕-Pelican 鹈鹕是一种大型的游禽，属鹈形目鹈鹕科，又叫塘鹅。在世界上共有8种，大多分布在欧洲、亚洲、非洲等地。我国的鹈鹕共有2种，分别为：斑嘴鹈鹕和白鹈鹕。斑嘴鹈鹕，鸟如其名，在它的嘴上布满了蓝色的斑点，头上被覆粉红色的羽冠，上身为灰褐色，下身为白色。而白鹈鹕主要分布在我国新疆、福建一带，它们通体为雪白色。二者均为我国的二级保护动物。 鹈鹕，让人一眼就能认出它们的是嘴下面的那个大皮囊。鹈鹕的嘴长30多厘米，大皮囊是下嘴壳与皮肤相连接形成的，可以自由伸缩，是它们存储食物的地方。鹈鹕和鸬鹚一样也是也是捕鱼能手。它的身长150厘米左右，全身长有密而短的羽毛，羽毛为桃红色褐鹈鹕(Pelecanus occidentalis)或浅灰褐色。在它那短小的尾羽跟部有个黄色的油脂腺，能够分泌大 量的油脂，闲暇时它们经常用嘴在全身的羽毛上涂抹这种特殊的“化妆品”，使羽毛变得光滑柔软，游泳时滴水不沾。

三等分角帕普斯函数( 答案)

数学家帕普斯“三等分角” “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）： 将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R 作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB= ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： （1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）． （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q 点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB． （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）． 解：（1）设直线OM的函数关系式为．……………1分则∴．……………2分 ∴直线OM的函数关系式为．……………3分

（2）∵ 的坐标满足，∴点在直线OM上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）……………4分∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR． ∴∠SQR=∠SRQ．……………5分 ∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．……………6分 ∵∠PSQ是△SQ R的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．……………7分 ∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．……………8分 ∴∠POS=2∠SOB．……………9分 ∴∠SOB= ∠AOB．……………10分 （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．……………

葫芦岛市2020年中考数学试卷(I)卷

葫芦岛市2020年中考数学试卷（I）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分）(2017·三门峡模拟) 的倒数是（） A . ﹣ B . C . D . 2. （2分） (2020七下·太原月考) 下列运算正确的是（） A . a2÷a﹣5＝a7 B . （-3a2）3＝-9a5 C . （1-x）（1+x）＝x2﹣1 D . （a-b）2＝a2-b2 3. （2分）如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD=（） A . 6 B . 4 C . 3 D . 2 4. （2分） (2015八上·海淀期末) 使分式有意义的x的取值范围是（） A . x≠3 B . x＞3 C . x＜3 D . x=3 5. （2分） (2018八上·下城期末) 已知3a＞﹣6b ，则下列不等式一定成立的是（） A . a+1＞﹣2b﹣1 B . ﹣a＜b C . 3a+6b＜0

D . ＞﹣2 6. （2分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为M，N．下面四个结论： ①如果AD⊥BC，那么EM=EN；②如果EM=EN，那么∠BAD=∠CAD； ③如果EM=EN，那么AM=AN；④如果EM=EN，那么∠AEM=∠AEN． 其中正确有（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 7. （2分） (2017八下·东城期中) 已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（）． A . B . C . D . 或 8. （2分） (2020八上·张店期末) 已知一次函数的图象过点（0,3），且与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（） A . y=1.5x+3 B . y=1.5x-3 C . y=-1.5x+3 D . y=-1.5x-3 二、填空题 (共10题；共11分) 9. （1分）(2017·建昌模拟) 某地连续九天的最高气温统计如下表： 最高气温（℃）22232425 天数1224 则这组数据的中位数与众数分别________． 10. （1分）(2020·连云港) “我的连云港” 是全市统一的城市综合移动应用服务端.一年来，实名注册用户超过1600000人.数据“1600000”用科学记数法表示为________.

尺规三等分任意角画法和证明

〈〈用直尺和圆规把一个任意角分成三个相等的小角的画法和证明〉〉 （1）在图[1]中，圆心角AOB，圆心是O，边OA=OB是半径，弧AB。 （2）在AB弧上任意截取一段AC弧，再任意截取一段BD弧，令BD弧=2AC 弧，剩余一段CD弧；剩余CD弧=AB弧-AC弧-BD弧=AB弧-3AC弧，（BD弧=2AC弧），请看图[1]。 （3）连C点和D点，CD线段为剩余弧CD的弦；因为剩余弧CD很短与CD 弦重合成一段线段，所以，我们只要把CD弦三等分，剩余弧CD也就被三等分了，请看图[1]。 （4）大家知道CD弦是一段线段，我们用“平行线等分线段定理”把CD弦等分成三段：CH=HK=KD，因为，剩余弧CD很短与CD弦重合成一段线段，所以，CD弧也被同时三等分为：CH弧=HK弧=KD弧，请看图[1]，H点和K点便是CD 弦上的两个三等分点同时也是剩余弧CD上的两个三等分点，所以，剩余弧CD=3CH 弧（CH弧=HK弧=KD弧），请看图[1]。 （5）因为，AB弧=AC弧+BD弧+CD弧=3AC弧+3CH弧（BD弧=2AC弧，剩余弧CD=3CH弧），所以，AB弧=3（AC弧+CH弧）=3AH弧，请看图[1]。所以，1/3AB弧=AH弧，请看图[1]，所以，H点是AB弧上的一个三等分点，请看图[1]。

（6）以H点为原点、以HA弧长为标准长在BH弧上截取一段弧HM，截点为M，则M点和H点便是AB弧上的两个三等分点，所以，AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧，请看图[1]。 （7）连OH和OM，OH和OM把圆心角AOB分成三个小圆心角：小圆心角AOH、小圆心角HOM和小圆心角MOB，请看图[1]。 （8）在圆心角AOB中，依据圆心角、弧、弦的关系定理： 因为：小圆心角AOH对应AH弧， 小圆心角HOM对应HM弧， 小圆心角MOB对应MB弧， AH弧=HM弧=MB弧=1/3AB弧， 所以：小圆心角AOH=小圆心角HOM=小圆心角MOB=1/3圆心角AOB（依据圆心角、弧、弦的关系定理，等弧对等角），请看图[1]， 所以，任意角AOB被尺规三等分了。 博客地址：Htttp://https://www.wendangku.net/doc/418787461.html,/u/2530018671,我解开了《尺规三等分任意角》这道难题，我把画法和证明发在我的微博上，敬请广大《尺规三等分任意角》的爱好者批评指正，我的,邮箱：xbm66828@https://www.wendangku.net/doc/418787461.html,。关注我的微薄！ .

部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图

部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图 上次我用尺规作图已将120°角三等分了，下面我用一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的部分特殊角和任意角三等分尺规作图来验证角三等分确实有解。 一. 用尺规作图将30°角三等分（一） 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为D,连接OD,在弧上作OD=DE,连接OE,∠EOD=60°,作∠COE=∠EOA=∠AOH=∠HOB=∠BOD=∠DOK=15°,∠AOB=∠α=30°,将∠α=30°角三等分。连接CK交OA线上G点，连接BG並延长交OC线上P点，连接AP交CK线上F点，连接BC交OH线上H1点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、AH1、 AB、AC,ABGC为菱形，H1G=AH1=H1B,则∠H1BG=∠H1GB=1/2∠α=15°,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2∠α=5°，证明省略，∠AOm=∠mON=∠NOB=1/3∠α=1/3∠AOB=∠a1Ga3=10°,即将30°角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-1-15 , 15。应该注意的是如果∠α大于或等于60°时，必须将大于或等于60°的角缩小偶数倍的角小于60°后才能进行角三等分。如果60°≤∠α＜120°时，∠α缩小两倍，如果120°≤∠α＜240°时，∠α缩小四倍。值得注意的是角的所在区域相同，角的尺规作图方式也应相同。∠α缩小偶数倍的角已被分成三等分的角扩大同样偶数倍后的角才是∠α被分成三等分的角，∠α是否需要缩小和缩小多少偶数倍可用圆的半径来确定。 一. 用尺规作图将60°角三等分（二） 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为A,连接OA ,在弧上作AB=OA,连接OB, ∠AOB=∠A1OA4=60°=∠α,∠α应该缩小两倍方可以进行角三等分。作∠CO A=∠AOE=∠EOH=∠HOD=∠DOB=∠BOK=15°=1/4∠α,将∠AOB=∠α=60°角三等分。连接CK交OE线上G点，连接DG並延长交OC线上P点，连接EP交CK 线上F点，连接CD交OH线上H1点，连接DF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、EH1、 ED、EC, CEDG为菱形，H1G=H1E=H1D, ∠H1DG=∠H1GD=1/4∠α=15°,则∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=∠a4Ga6=1/3×1/2×1/2∠α=5°,证明省略，∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=1/3∠A1OA4=1/3∠AOB=∠a1Ga6=1/3∠α=20°.即把∠α=60°角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-2-1 ，61。 一. 用尺规作图将120°角三等分（三） 用尺规作图将120°角三等分上次已作过了，这里就不重复了。 二. 用尺规作图将任意角三等分（一） ∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α角三等分，以∠α角顶点O为圆心，以任意长为半径画弧交∠α两边分别是A点和B点，即∠α=∠AOB=∠A1OA4。用半径OA来确定∠α是否需要缩小和应该缩小多少偶数倍，而120°＜∠α＜240°，∠α应该缩小四倍。所以该角三等分尺规作图方式与120°角三等分尺规作图方式相同，只是角的大小之别。作∠AOE=∠EOC=∠Com=∠moH=∠HON=∠NOD=∠DOK=∠KOB=1/8∠α=1/8∠AOB，将∠AOB=∠α角三等分。连接EK交Om线上G点，连接NG並延长交OE线上P点，连接Pm交EK线上F点，连接NE交OH线上H1点，连接NF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、mH1、 mE、mN, mNGE为菱形，H1G=H1m=H1N,∠H1NG= ∠H1GN=1/8∠α,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2×1/4∠α，证明省略，则∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=∠a2Ga5=1/3∠AOB=1/3∠A1OA4 =1/3∠α,即将∠α角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-4-51 ，171。

三等分角

题目：三等分任意角 地点：北京师大二附中 主讲人：徐超 主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。下面我们就有请徐超先生。 徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。那么我从历史讲起。三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。（注意这两个圆的半径是一样的） 21 这就叫圆规直尺作图，现在教科书中关于作图题极少，关于作图题几乎是没有的，我念中学的时候作图是重要的，最后讲的一个作图题和一个轨迹题，平面几何的。尺规作图就是用不 带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，有限次作图，在给出基础点以后画图做出来。 尺规作图有多少年历史呢？有四千年历史，提出三个问题，这三个问题在历史上是可以查出来的。中国是发明造纸的，希腊是把草压扁了在上面写，就叫做草书。两千五百年前草书上，记载的三大问题，尺轨作图的三大问题。刚才我已经把尺规作图的定义讲清楚了。