2017年中考数学专题复习与函数相关问题

与函数相关问题

【专题点拨】

函数问题是指一次函数、反比例函数与二次函数之间的综合运用问题及其与三角形、四边形等几何图形之间的综合运用问题的研究。

【解题策略】

从函数性质入手→探索函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论

【典例解析】

类型一：一次函数为主的问题

例题1：（2016·黑龙江齐齐哈尔·12分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：

（1）A、B两点之间的距离是70 米，甲机器人前2分钟的速度为95 米/分；

（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；

（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为60 米/分；

（4）求A、C两点之间的距离；

（5）直接写出两机器人出发多长时间相距28米．

【考点】一次函数的应用．

【解析】（1）结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度；

（2）根据题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式；

（3）根据一次函数的图象和性质解答；

（4）根据速度和时间的关系计算即可；

（5）分前2分钟、2分钟﹣3分钟、4分钟﹣7分钟三个时间段解答．

【解答】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，

甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；

（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，

∵1×（95﹣60）=35，

∴点F的坐标为（3，35），

则，

解得，，

∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；

（3）∵线段FG∥x轴，

∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；

（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；

（5）设前2分钟，两机器人出发xs相距28米，

由题意得，60x+70﹣95x=28，

解得，x=1.2，

前2分钟﹣3分钟，两机器人相距28米时，

35x﹣70=28，

解得，x=2.8，

4分钟﹣7分钟，两机器人相距28米时，

（95﹣60）x=28，

解得，x=0.8，

0.8+4=4.8，

答：两机器人出发1.2s或2.8s或4.8s相距28米．

变式训练1：

（2016·湖北荆州·8分）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

类型二：以反比例函数为主的问题

例题2：（2016·四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边

AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，

（1）求反比例函数y=的解析式；

（2）求cos∠OAB的值；

（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．

【解析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A 的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；

（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；

（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．

【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），∵点C为线段AO的中点，

∴点C的坐标为（2，）．

∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，

∴，解得：．

∴反比例函数的解析式为y=．

（2）∵m=1，

∴点A的坐标为（4，4），

∴OB=4，AB=4．

在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，

∴OA==4，cos∠OAB===．

（3））∵m=1，

∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．

设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，

则有，解得：．

∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）由反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k、m的二元一次方程组；（2）求出点A的坐标；（2）求出点C、D 的坐标．本题属于基础题，难度不大，但考查的知识点较多，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组，通过解方程组得出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可．

变式训练2：

（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．

（1）求m及k的值；

（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．

类型三：以二次函数为主的问题

例题3：（2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．

（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）

（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

【考点】二次函数的应用．

【解析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；

（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，

由50x﹣1100＞0，

解得x＞22，

又∵x是5的倍数，

∴每辆车的日租金至少应为25元；

（2）设每辆车的净收入为y元，

当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，

∵y1随x的增大而增大，

∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；

当x＞100时，

y2=（50﹣）x﹣1100

=﹣x2+70x﹣1100

=﹣（x﹣175）2+5025，

当x=175时，y2的最大值为5025，

5025＞3900，

故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．

变式训练3：

（2016·湖北黄石·8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．

如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y 表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．

（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；

（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？

类型四：锐角三角函数相关的问题

例题4：（2016·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则∠ABC的正切值是（）

A．2B． C． D．

【解析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．

【解答】解：如图：，

由勾股定理，得

AC=，AB=2，BC=，

∴△ABC为直角三角形，

∴tan∠B==，

故选：D．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．

变式训练4：

（2016·湖北荆州·3分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）

A．2 B． C． D．

类型五：函数综合性问题

例题5：（2016广西南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求证：△ABC是直角三角形；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【解析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；

（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；

（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC

相似时，利用三角形相似的性质可得=或=，可求得N点的坐标．【解答】解：

（1）∵顶点坐标为（1，1），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，

又抛物线过原点，

∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，

即y=﹣x2+2x，

联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，

则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，

∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，

由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，

∵MN⊥x轴于点N

∴∠ABC=∠MNO=90°，

∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，

①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，

∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，

∴x≠0，

∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，

此时N点坐标为（，0）或（，0）；

②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，

此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

变式训练5：

（2016贵州毕节）如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C

和点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C为AB中点，求PC的长；

（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．

【能力检测】

1. （2016·陕西）昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y（千米）与他离家的时间x（时）之间的函数图象．

根据下面图象，回答下列问题：

（1）求线段AB所表示的函数关系式；

（2）已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？

2.（2016·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）

m（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为的图象与反比例函数y=

x

（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标．

3. （2016·四川攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD

是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）

A． B． C． D．

4.（2016·福建龙岩·12分）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x 天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？

（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；

（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

5.（2016海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．

①若∠APE=∠CPE，求证：；

②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．