微积分思想在高中数学中的应用大学论文

微积分思想在高中数学中的应用

摘要

如今，微积分这一部分已经成为了高中数学教材中较为重要的一知识部分。教学大纲中已经将微积分的部分知识正式提出，相应的教材也出版了多次。微积分是理工科大学生的必修课程，而高中开设的微积分，对大学微积分教学产生了很多很重要的影响。同时，利用微积分可以解决许多初等数学中的问题，如在函数；方程；数列；曲线等都有很多应用。微积分有助于初等数学的深入学习。目前高考中的一个热门就是利用微积分来处理初等数学中的值域问题及不等式问题。所以，如何开设高中微积分课程，如何完成从初等数学到高等数学上的一个基本过渡，这是一个很值得研究的问题。本文就在此背景下研究这个问题，力求在教育思想、教育理念上达到一个升华。

关键词：微积分；新课标；高中数学；函数；方程；数列；曲线；不等式

微积分思想在高中数学中的应用

The application of calculus in high-level mathematics

Abstract

Now infinitesimal calculus has become a pretty important part in high school textbook．In teaching program，infinitesimal calculus is raised and be published in textbook three times．Especially in the new standard for course，infinitesimal calculus has been a key point．And，infinitesimal calculus is a obligatory course for science students in university。The set up of infinitesimal calculus in high school took affect for university study a lot．Infinitesimal calculus could solve basic mathematics problem in a convenient method．Learning infinitesimal calculus is an efficient tool for basic mathematics learning．How to set up infinitesimal calculus lesson in high school，how to solve the transition from junior middle school to senior middle school ? It’s a question that valuable to study．At this background，we do some research for this question，to get a sublimation of teaching thinking．

Key words：infinitesimal ；calculus ；new standard of course ；function ；function ；equation ；progression ；curve

目录

中文摘要.................................. .. (Ⅰ)

英文摘要................................. (Ⅱ)

引言................................... (1)

1.问题的提出与研究综述................... . (1)

1.1研究背景 (1)

1.2微积分在高中的教学与研究综 (2)

1.2.1中学微积分课程的教学现状. (2)

1.2.2 我国中学微积分的教学研究现状.. (2)

1.2.3 中学微积分的学习现状........... .. (3)

2.导数在高中数学的应用................ . (3)

2.1导数在函数单调性问题上的应用 (4)

2.2利用导数求函数的极值问题 (4)

2.3导数关于方程解的应用 (6)

2.4导数在曲线的切线问题上的应用 (7)

2.5导数在数列问题上的应用 (8)

2.6导数在不等式问题上的应用 (10)

3.积分在高中数学的应用..... .. (10)

3.1定积分在几何中的应用 (11)

3.2定积分在物理中的应用 (11)

4.结论与展望............ .. (13)

参考文献. (14)

巢湖学院2013届毕业论文（设计）

引言

微积分的建立是离不开实数、函数和极限的。在古代的时候就有极限和微积分的概念，从十七世纪后半叶起，经过长期的发展演变，才得以严密化。微积分的发展与实际应用有着密不可分的联系，随着社会的进步发展，微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学学等自然科学都有广泛的应用。微积分不仅在自然科学、社会科学及应用科学各个分支等也起到很大的作用，在数学方面的发展更是提供了极大的推动。计算机的出现，更有助于这些应用的不断发展，在研究这些变化着的量时数学也就进入了“变量数学”时代。一门渐渐完善的学科——微积分，越来越受到人们的关注，也就有了越来越多的人不断研究、应用微积分思想。

1.问题的提出与研究综述

1.1 研究背景

微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学学等自然科学都有广泛的应用。它推动了人类科学的进步，使人类经济、社会生活都取得较快的发展。在当今竞争激烈的高考中，微积分成为高考考查的一个重点、难点。微积分所具有的教育价值是需要我们重视的，它使得我们能够更全面的认识数学价值。新中国成立以后，随着课程改革微积分经过多次修改才被正式列入中学教材内容。在2003的课程改革中，微积分内容又进行了修改，并且改名为导数及其应用[]1。

在2006年可以看到不少关于学生在学习微积分的认知心理过程的文章。专门研究中学微积分教学方面的论文在2009年之后也出现不少。当前已经有不少专家对微积分的教学现状进行了调查研究,并提出了一些中可供参考的教学策略。通过对以上内容的分析研究，我决定从微积分思想在高中数学的应用这一方面做深入的探讨。

微积分思想在高中数学中的应用

1．2 微积分在高中的教学与研究

1.2.1微积分在中学课程的教学现状

微积分出现在很多国家的高中课程中。德、英、法都把微积分设为必修课，并且在内容安排上都是比较深奥的[]2。美国和日本虽然把它设为选修课，但高考的范围里面也包含微积分。别的许多国家也把微积分写入了高中教材中。

在我国，微积分在高中课程的教学并不是一帆风顺的。我国的高中数学课程水平也是起起落落，微积分在其中也扮演着不同的角色。经过多次改革，很多高等数学知识在高中教材中出现了，微积分成为高中了教学的内容之一。受我国国情和中学数学教学情况的影响，微积分又在教学教材中消失了一段时间。在文化大革命结束后，新的教学大纲即“试行草案”新鲜出炉了，微积分再一次被编入高中教材。经过几年的试验之后，又发现了一个问题，即老师和学生都不能适应新的教学内容。微积分在1983年底又改成了选学内容，尽由各个学校自由选择，只是保留了要求比较低的极限这一内容[]3。

近年来受到高考的影响，微积分被很多高中作为在高中课程必须学习的功课，微积分的教学也被真正被重视起来。

1.2.2 微积分在我国中学教学研究现状

通过对我国中学教学研究，很多专家认为，微积分的课程在高中时期应包含实数连续统、极限和函数、导数及其意义、导数的运算及其运用、通过微积分认识中学数学、微积分所具含的文化价值。

在对教师如何给高中生讲授微积分这一问题，其中匡继昌老师在他的论文中进行了讨论，匡继昌是湖南师范大学的一名教授。他提出了一些新的思路[]4：第一、在给高中生讲授微积分课程时，要做到在学生的接受、理解的基础上讲授与大学课程相衔接的内容；第二、高中微积分课程应该以基础课程为主，这样可以降低学生学习的难度，教师也能有更多的时间讲授微积分的应用方面的知识；第三、教师在教授微积分概念和微积分思想的时候不能只是单单按照课本念，应该做充分准备性说明，更好的让学生理解接受；第四、微积分应该作为高中的必修课来学习。

张晓波的硕士学位论文在教学方面作了研究，在他的论文中讲述了我国与西方国家的微积分教学的不同之处，研究了新的教学大纲和微积分在高考要求之后，对

如何在高中进行微积分的教学作了探讨。他提出的教学策略有[]5：(1)首先要给学生贯入变量思维的数学观，深化对概念的理解记忆；(2)防止学生在学习微积分时只是记住一些公式和结论；(3)让学生理解微积分在高中数学的重要性；（4)加强对数学的文化的渗透.在对微积分教学设计上面可以多采用问题教学法进入到对微积分的学习。

我国有好多专业人士在微积分这一知识做了大量的探索研究，但是对微积分思想在高中数学的应用这一方面的研究却不多，该论文主要对其应用进行研究。

1.2.3 中学微积分的学习现状

在高中数学的教学中，微积分是在学完必修课本以后，在选修内容中进行学习的。微积分近些年来已经成为高考必考点，老师和学生在平时学习中也对它足够重视。在客观上讲，学生已经能够理解极限的思想、运动变化的思想，这就使得学生在理解导数、积分等重要概念的可能性大大提高了。经过对必修内容的学习学生已经具备了函数知识的基础。用极限的思想来研究函数是微积分的表现形式，而构建一种运动变化模型则是函数。但由于学生对运动变化的认识层面不高，而函数突出表现了函数关系和函数性质，因此对客观事物数学形式的认识是不够全面的。在高中教材中微积分主要突出了对变化率的研究，用导数的大小来表示一些生活事物的变化快慢。微积分内容在高中教材中有一专题，即利用微积分中的导数这个知识点来探究函数的基本性质，学生通过观察函数图像的切线斜率的大小来判断函数的单调性和极值等性质。很多学者经过对全国各地的高中生进行了大量的问卷调查研究，发现绝大部分的学生微积分的掌握还是很好的，对微积分的思想理解的很好，能够很好的利用微积分解决一些比较复杂的难题。

2.导数在高中数学的应用

导数是高中教学的一个重点、难点内容。在关于函数单调性问题上的应用、关于函数的极值问题的应用、关于方程解的应用、在曲线的切线问题上的应用、在数列问题上的应用、在不等式问题上的应用等都可以很好的利用导数这个重要工具来解决。近几年来不断加强了导数在高考中的考查，在题目所占的比重和难度上都有

微积分思想在高中数学中的应用

很大的提高，我国各个地区的高考题中都有关于导数的试题。导数是微积分的核心概念之一，导数在实际生活中也有着非常广泛的应用。学生要能够正确理解导数的概念，确切把握导数的思想；能够很好的运用导数解决一些数学问题。高中生应该熟记一些基本初等函数的导数[]6

，如：（1）'0c =（c 是常数）； （2）1()'()a a x ax a -=是实数； （3）(sin )'cos x x =； （4）(cos )'sin x x =-； （5）()'x x e e =；

（6）()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠； （7）1(ln )'x x =

； （8）1(log )'(0,1)ln x a a x a

=>≠

2．1 导数在函数单调性问题上的应用

在研究一个函数时，我们首先要研究的应该是它的单调性，单调性在中学数学中有着非常广泛的应用。判定一个函数的单调性通常有两种方法：一、可以直接根据函数的定义判断其单调性；二、导数法，在某一区间内对可导函数进行求导，然后判断在导数的大小。导数大于零，函数为增函数，函数小于零则函数为减函数。其中方法一在化简过程中比较为繁琐，容易出错，在解决一些抽象函数的单调性问题时较为常用。而用导数知识进行判断函数的单调性时，则比较简单快捷，尤其是在对于一些具体函数时更加适用。

例1、函数()(3)x f x x e =-的单调递增区问是 ( )

A ．(-∞，2)；

B ．(0，3)；

C ．(1，4)；

D ．(2，+∞)

分析：在求函数单调区间时，首先对函数进行求导，这样就把求函数单调区间的问题转变成解不等式的问题。

解：()(3)x f x x e =-

'''()(3)(3)()(2)x

x x f x x e x e x e ∴=-+-=- 令()'0f x >，得2x >

所以()f x 的单调增区间为(2，+∞）故选D 。

例2、有一函数为3()3f x x x =- ，试判断该函数的单调区间。

解：3()3f x x x =-

'2()33f x x ∴=- 令'()0f x >，即，2330x ->解得11x x ><-或；

又令'()0f x <即，2330x -<解得11x -<<

故该函数的单调增区间为(1,)+∞和(,1)-∞-

单调减区间为（-1,1）

小结：对一些比较复杂的函数单调性问题，可以配合数轴进行观察。

2．2利用导数求函数的极值问题

在包含0x 的一个区间(,)a b 内，函数()y f x =在任何一点的函数值都不大于0x 点的函数值，称点0x 为函数()y f x =的极大值点，其函数值0()f x 为函数的极大值。同理也可以得到极小值的概念，极大值与极小值统称为极值[]7

。如何利用导数，来求极值的问题，解题时可分为三步：

（1）对原函数()f x 求导数()'f x ；

（2）求方程()'0f x =的根；

（3）解得方程()'f x =0的每一个解0x ，判断()'f x 在0x 左、右两侧的符号，来确定

极值点，进而求得函数的极值。

A.如果()'f x 在0x 左侧的符号为正，右侧符号为负，那么0x 为极大值点，0()f x 为极大值。

B.如果()'f x 在0x 左侧的符号为负，右侧符号为正，那么0x 为极小值点，0()f x 为极小值。

C.如果()'f x 在0x 左右两侧的符号是相同的，那么0x 不是极值点，该函数也没有极

值。

例3、已知函数()ln f x x x =，x ∈(0，e]，分别求出该函数的极值与最值。

解：因为'()ln 1f x x =+令ln 10x +=，得1x e

= ，又因为 1(0,)e 1e 1(,)e e

e '()

f x -

0 + ()f x

1

e - e

微积分思想在高中数学中的应用

从列表中可以知道，1x e

=为函数()f x 的极小值点，1=-y e 极小 当10x e

<<时，()f x <0，所以在区问(0，e]上最大值为e ，最小值为 1e

-

例4、 因为3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点，那么实数a 的值是多少？ 解：因为'()2101a f x x x =+-+，所以'(3)61004

a f =+-=因此a =16． 例5、有一可导函数4225y x x =-+，其定义域为[2,2]，求该函数的最值。 解：4225y x x =-+

3'()44f x x x ∴=-

令3'()44f x x x ∴=-=0解得0,1,1x =- 列表

x

-2 -1 0 1 2 '()f x

— 0 + 0 — 0 + ()f x 13 4 5 4 13 min 114x y ∴=-=当或时，

max 2213x y =-=当或时，

因此，在求一个闭区间[a ，b]内可导函数的最值问题时，可用下面的方法。先求出函数在开区间内的极值，再判断函数的各极值与区间端点的函数值大小，这样就很容易得到函数的最值。

2．3利用导数解决方程解问题

(1)在方程根的个数问题上，可以把方程看作一个函数，再对其进行求导，判定其单调性，然后判断该函数在区间端点与零的大小，进而求出其根的个数。 例6、已知3m >，方程32()310f x x mx =-+=，求该方程在[0，2]上有几个根?

解；设()f x =3231x mx -+，则

'2()32f x x mx =-

当3m >且[0,2]m ∈时，'()0f x <

故在区间(0,2)上()f x 为减函数，

因为()f x 在02x x ==与处都连续，

且()10f x =>，(2)940f m =-< ，

所以()f x 在[0，2]上只有一个根。

(2)在求出方程实根的近似值的问题时，可以利用切线法(牛顿法)进行解决。把方程看作是一个曲线函数，曲线弧可以用曲线弧一端的切线来代替，进而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法(牛顿法)[]8

。 例7、求方程ln 10x x -=的近似解．

解：假设()ln 1f x x x =-，'()f x ln 1x =+可以知道方程()f x =0，的唯一根在开区间

(1,2)之中，取02x =，牛顿法的迭代公式为1'()()ln 11ln 1ln 1n n n n n n n n x n n f x x x x x x x f nx x +-+=-

=-=++，则 13 1.77185ln 21x ==+

2 2.77185 1.76324ln1.771851x ==+

3 2.7632

4 1.76323ln1.763241x ==+

2. 4导数在曲线的切线问题上的应用

导数的几何意义主要是指曲线某一点的切线斜率即这一点的导数。对于一个导数的几何意义就是点00(,)p x y 在曲线y =()f x 处的切线的斜率，且过点00(,)p x y 的切线方程为000'()()y y f x x x -=-。导数用某一点的切线把函数知识和几何知识建立了联系。已知有一曲线C:()y f x =,求过一点00(,)p x y 的曲线的切线方程。其步骤为： 第一步：把点00(,)p x y 代入曲线方程，看该点是否在曲线C 上；

第二步：求导数''()y f x =；

第三步：如果点00(,)p x y 满足函数()y f x =，即点在曲线上，则所求切线方程为000'()()y y f x x x -=-；若点00(,)p x y 不在曲线上，可设切点为11(,)x y ，由{

110110()'()()y f x y y f x x x =-=-，解出1x ，进而确定过00(,)p x y 的曲线的切线方程为010'()()y y f x x x -=-[]9。

微积分思想在高中数学中的应用

例8、已知曲线

21x y xe x =++，点(0，1)在该曲线上，求该点处的切线方程。 解：先对曲线函数求导得：'2x x y xe e =++

把点(0，1)代入求导函数'2x x y xe e =++，得到该点处的斜率为0023k e =++=，

则该点处切线方程为13y x -=，即31y x =+．

例9、若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，那么实数a 的取值范围是（ ）

分析：本题主要考查如何利用导数求曲线的切线的逆向思维。 解：通过对曲线函数求导可得21'()2f x ax x

=+，因为垂直于y 轴的切线存在。所以 2120ax x +=得出31(0)2a x x

=->得出(,0)a ∈-∞ 例10、求曲线C ：2(1,1)y x x p =+过的切线方程。

解：把点(1,1)p 代入曲线的函数式中发现点(1,1)p 不在曲线C 上，可设切点为11(,)x y ， 因为'21y x =+， 所以切线斜率1'21x x k y x ===+，

故切线方程为111(21)()y y x x x -=+-，

则211111()(21)(1)x x x x -+=+-，解得：110,2x x ==或

所以切线方程为y x = 和54y x =-

这三个例题都是考导数的几何意义，题型虽然较为简单，但是考查内容却不简单，这种题型在填空题中也经常出现，比较典型不容忽视。

2．5导数在数列问题中的应用

数列本身是一种特殊的函数,所以我们可以应用导数在解函数问题的思路解决一些较为麻烦的数列问题。在一些数列问题中无论用什么传统方法去解题，计算量都比较大，如果改用导数去解，就会变的容易很多。

例11、在一个数列{}n a 中，其中111(),()2

n n a m m R a a n n N *+=∈=-+∈,那么数列{}n a 的通项公式n a 是什么？

分析：如果此题用传统方法解决，就会比较慢。我们可以试着用导数法来求解。 解：先对公式112

n n a a n +=-+的两边分别求关于n 的导数得；11''12n n a a +=-+。令'n n b a =，则有1112

n n b b +=-+，两边再对n 求导得：1

111111'',{b'}b'''()222

n n n n n b b b b -+=-∴∴=?-数列是以为首项，-为公比的等比数列。两边对n 积分得：11111,12

''11'()'()1122ln()(ln )22

n n n n b b b C a C --=?-=∴=?-+.再对n 积分得11121123'11113(),,1,122242ln 2

n n n n b a C n C a m a a n a m a m -+=?-++==-+=-+=+由得：把123,,a a a 分别代入n a 的公式并令

11122

'2242124,,,()()19399239(ln )2

n n b C C m C C a m n -==-==-∴=-?-+-得：

例12、求数列1，2x ，23x ，······ ，1n nx -的和(其中0,1x x ≠≠)．

分析：可以用传统的错位相减法求和，但会比较麻烦。若是用导数方法运算，会使问题得到更好的解决。

解：把1n nx -和n x 看作是两个函数，则1()'n n x nx -=，即1n nx -是n x 的导数，可先求数列}{

n x 的前n 项和．当0,1x ≠ 时，

1

2(1)11n n n x x x x x x x x x +--++???+==-- 然后等式两边同时对x 求导，有

1121221(1)(1)(1)1123(1)(1)n n n n n n x x x x nx n x x x nx x x ++-??-+-+--++??+++==--

例13、有一等差数列{}n a ，首项1a 与公差d 都是正整数，且满足对任意n N ∈，

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都有4n a n =+，(1)求数列{}n a 的前n 项的和n s ；(2)求数列2(10)5n n n s s ??++????

的最小项．

分析：第一小问比较简单，在解最后一问时，可以先把数列看成是一个函数，然后求出该函数的极小值，所得极小值即是所求的项。

解：（1）注意到

21111,,(1),(1)()(1)4n n a n a d N a a n d n N a a a d d n a d d n ++∈=+-∈∴=+-=+-+=+ 对任意n N +∈恒成立则13a =，∴

{211()(1)4d a d d =-+=，解得d=1 ∴(1)13(5)22

n n n s n n n +=+=+ （2）设23

(10)5(10)()n n n s n f n s n

+++==，232

'

223(10)(10)2(10)()(5)n n n n f n n n n +-++==- 当15n ≤<时，'()0f n <当n >5时'()0f n >

故min ()(5)675f n f ==

在利用导数解答数列问题时，一定要仔细观察数列的结构特征，联想求导公式建立对应的函数式，再对函数式的不同的表达式求导来解决问题。利用导数法解决有关较难的数列问题更方便简单。

2.6导数在不等式问题上的应用

在碰到一些不等式证明的题目，可以转换成函数的证明。然后对函数求导，利用函数相关的性质来证明一些不等式或者是解决一些不等式恒成立的问题等。

例14、求证：,3n N n +∈≥时，221n n >+

证明：要证221n n >+，则证2210n n -->成立即可，

设()221(3)x f x x x =--≥，'()2ln 22x f x =-

由33'()2ln 222x f x ≥≥->得

所以()f x 在[)3,+∞上为增函数

所以()f x 的最小值为(3)10f =>

所以3()(3)0x f x f ≥≥>时，

即32210n n n ≥-->时，

成立。故,3n N n +∈≥时不等式221n n >+成立

3.积分在高中数学中的应用

在高中阶段定积分是微积分的一部分，定积分的主要应用如下：(1)求曲边形的面积、不同时间的变力做功等；(2)通过实例，更加真实的体会微积分基本定理的含义[]11

；(3)了解微积分所具有的文化价值。由此我们看到，在高中时期学习定积分，主要是粗浅地了解它的主要思想和一些基本用法，定积分在解决问题所起的工具作用在通过一些实例可以体现出来。近几年全国地区的高考试题，主要考查利用定积分求曲边形的面积。计算定积分的方法有三种：第一种方法是应用定积分的定义，通过分割、求和、取极限来达到目的；第二种方法是通过计算被积函数的原函数在积分区间上函数值的增量来得到积分值；第三种方法是利用定积分的几何意义，通过数形结合的思想，计算定积分[]12

。

3.1定积分在几何中的应用

假设被积函数为()y f x =，曲线()y f x =与直线,()x a x b a b ==<和y 轴所围成的曲边形的面积为s []13。

（1）如果()0f x >，则()b

a s f x dx =?

（2）如果()0f x <，则()b

a s f x dx =-? （3）如果[],x a c ∈，()0f x >，[],x c d ∈，()0f x <，则()()c b

a c s f x dx f x dx =-?? 例15、有一曲边形是由抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的，求该曲边形的面积是多少？

解：把两曲线的函数式连立成方程组，即

{224y x y x ==- 解得124,2y y =-= 故所求围成的平面图形面积为

高中数学导数及微积分练习题

1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，

底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

数学中的极限思想及其应用

摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 ：极限思想，应用关键词Abstract: In this paper, the application of in solving problems is the limit idea explained. What's more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.

高中数学微积分公式大全

微積分公式

tan -1 x = x-33x +55x -77x +…+) 12()1(1 2+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+ !2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1

极限思想的产生及发展

毕业论文 题目极限思想的产生与发展 专业数学教育 院系数学系 学号 131002145 姓名 指导教师 二○一三年五月

定西师范高等专科学校 2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：

目录 内容摘要： ............................................................................................................... (4) 关键词： (4) 引言： (5) 一、极限思想的产生 (6) 二、极限思想发展的分期 (6) （一）极限思想的萌芽时期 (6) （二）极限思想的发展时期 (8) （三）极限思想的完善时期 (8) 三、极限思想与微积分 (9) （一）微积分的孕育 (10) （二）牛顿与微积分 (11) （三）莱布尼茨与微积分 (12) （四）微积分的进一步发展 (13) 结束语 (14) 参考文献 (15) 致谢 (15)

内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。 关键词极限；无穷；微积分

引言 极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。 极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。

微积分、极限思想推导圆周长、面积公式

圆周长公式推导 1.积分法 在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2 这可以写成参数方程 x = r * Cos t y = r * Sin t t∈[0, 2π] 于是圆周长就是 C = ∫(0到2π)√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt （Q:此处x,y对t为什么都要导？ A: 将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1), y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ).所以C就是√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.） =∫(0到2π)√( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt =∫(0到2π) r dt = 2πr 2.极限法 在圆内做内接等n边形， 求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形， 其底边长为 2*r*sin(π/n) ，所以等n边形周长为 n*2*r*sin(π/n) 这个周长对n→∞求极限 lim[n*2*r*sin(π/n)] 运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x 所以lim[n*2*r*sin(π/n)] =lim[n*2*r*π/n]=2πr. 圆面积公式推导 应用圆周长C = 2π r

1.可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形 并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。 2.积分法 可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S = ∫ 2πr dr,从0积到R. 所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]= πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法 Shell Method”与此法是类似的.) 不应用圆周长C = 2π r 1. 积分法 (1)圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述. (2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A. C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以C/n为底、r为高的等边三角形，每个面积就是r* C/n*1/2=1/2*r*√(△x^2+△y^2)= 1/2*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ). 于是圆的面积就是 S=∫(0到2π) 1/2*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt =1/2*r*∫(0到2π) √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt =1/2*r*C =1/2*r*2πr =πr^2. 2.极限法 类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n边形， 求等n边形面积：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，

(完整版)新课标高中数学微积分精选习题

高二数学微积分练习题 一、选择题： 1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的 路程为 （ ） A ．32 0gt B ．20gt C ．22 0gt D ．6 2 0gt [解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是 A ．32 B ．329- C ． 332 D ．3 35 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若 1 1 (2)3ln 2a x dx x +=+? ，且a ＞1，则a 的值为 （ ） A ．6 B 。4 C 。3 D 。2 [解析] 4、用 S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A ．??a c f (x ) d x B ．|??a c f (x ) d x | C ．?? a b f (x )d x ＋?? b c f (x ) d x D ．??b c f (x ) d x －??a b f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且??0 6 f (x )d x ＝8，则??-6 6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 6、函数y ＝??-x x (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝? ??? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图 形的面积为( ) A.32 B ．1 C ．2 D.12 8、???0 3|x 2 －4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.253 二、填空题： 9．曲线1,0,2 ===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应 表达为 ． 11、若等比数列{a n }的首项为2 3，且a 4＝??1 4 (1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若??-1 1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________

接触极限思想与微积分

热等效原理：在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所消耗的电能相等的话，则把该直流电流（电压）的大小作为交流电流（电压）的有效值 接触极限思想与微积分 初步接触 早在小学数学课上，大家就开始接触极限与微积分的思想了：圆的面积。教材上推导圆的面积使用的方法是把圆均分成2n 个扇形，将n 个扇形按平移变换一字排开，扇尖朝下，形成向下锯齿形；类似地，再将另外n 个扇形一字排开，扇尖朝上。然后将两排扇形齿齿相合，形成一个“近似长方形”。圆的面积与该“近似长方形”的面积相等，若n 无限增大，则该“近似长方形”无限接近于长方形，此时该长方形的宽是圆的半径r ，长是圆的半周长πr ，所以该长方形面积（圆的面积）为πr 2。那时候，我对这种思想无限细分的思想产生了浓厚的兴趣，为以后的探索埋下了思想的根源。 激起兴趣 在初中阶段，我从书本上了解到我国家庭 电路的电压是220V ，并且是交流电（即大小随 时间作周期性变化的电压或电流）。这时候，我 看出了我国家庭电路的“矛盾”：电压是恒定的 （220V ），电压是变化的（交流电）。这种“矛 盾”激起了我刨根究底的好奇心，于是我翻阅 了大量资料，从中获知：我国家庭电路的交流 电是正余弦交流电，其有效值（根据热等效原 理*）是220V ，其峰值是220√2 V ，但为何峰 值与有效值相差√2倍呢？我暂不得而知。 到了初中阶段的尾声，我有意无意地阅读 到了人教版的物理教材中的某一版块（如图）， 我突然有种莫名的熟悉感。噢！这不正与小学 计算圆面积的方法有着异曲同工之妙！这种极 限与微积分的思想迫使我深究，于是乎，我类 比出：速度恰好等于“加速度-时间”曲线下方 的面积；冲量恰好等于“力-时间”曲线下方的 面积；功恰好等于“力-距离”曲线下方的面积， 电功恰好等于“功率-时间”曲线下方的面 积…… 深入学习 我把交流电的表达式功率表达式求出来了，并作出它的“功率-时间”曲线，却愁于求曲线下方的面积。于是我决心自学“微积分”。 学习微积分的过程并不容易，微积分的世界里处处都是抽象的概念，有时还会有有悖常理的思想。 例如：函数f(x)=1/x (x ≥1)，这个函数图像是我们熟悉的反比例函数图像的一部分。将该支曲线下方的面积绕x 轴旋转，形成一个旋转体。通过推论及计算，我们发现其体积是有限的，而其表面积是无限的。具体一点来讲：若这个旋转体是一个容器，那么它能装有限油漆，但表面需要刷无限的油漆。这样的例子有非常多，如：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”、“阿基里斯”悖论、“二分法”悖论……

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据

极限思想和在数学中的应用

极限思想及其在数学中的应用 摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。 关键词：极限；求解方法；应用状况 Limit thought and its application in mathematics Abstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit. Key words:limit; Solution method; Application status

高中数学导数及微积分练习题

1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．

微积分与极限思想

有没有听说过“曹冲称象”地故事？想知道大象地体重，但无法直接去称它，怎么办呢？聪明地曹冲就想出一个办法：用石头地重量代替大象地体重.这个故事给我们一个思想方法地启发先“化整为零”（把大象地体重用石头质量来替代），再“积零为整”（石头质量地累积就是大象体重）. “微积分”就是“微分”“积分”.“微”是“细微”，“微分”就是“无限细分”；“积”是“累积”即求和，而非“乘积”，“积分”就是“无限求和”.资料个人收集整理，勿做商业用途 我问你如何求圆地面积，你一定可以马上回答出它地计算公式.但如果是在没有发现圆周率以前地时候呢？古人只能把整个圆面等分成许多全等地小扇形（就象我们过生日分蛋糕那样）.虽然扇形很象三角形，但他毕竟不是三角形.二者差异就在于弧与弦地“曲”“直”有别，无法直接替代.因为我们会求三角形地面积，所以又很想实现这种替代.怎么办？唯一地可能就是“无限细分”.因为分得越细，二者地差异就越小.当细到“相当细”时，我们有理由用弦换弧来实现“以直代曲”地跳跃思维.资料个人收集整理，勿做商业用途 什么是“相当细”呢？“相当细”就是前面提到地“无限细分”.一千不算“相当细”，一万不算“相当细”，一万万不算“相当细”......资料个人收集整理，勿做商业用途 任何具体地数目，无论多大，都不算“相当细”！ 微积分地产生一般分为三个阶段：极限概念；求积地无限小方法；积分与微分地互逆关系.最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成地.前两阶段地工作，欧洲地大批数学家，古希腊地阿基米德都作出了各自地贡献.阿基米德借助于“穷竭法”解决了一系列几何图形地面积、体积计算问题.这种方法体现了近代积分法地基本思想，是定积分概念地雏形.对于这方面地工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟地如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树地根，名目繁多地数学分支是树枝，而树干地主要部分就是微积分.微积分堪称是人类智慧最伟大地成就之一.资料个人收集整理，勿做商业用途 与积分学相比，微分学研究地例子相对少多了.刺激微分学发展地主要科学问题是求曲线地切线、求瞬时变化率以及求函数地极大值极小值等问题.阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态地观点.古代与中世纪地中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动地不均匀性及有关地极大、极小值问题，但多以惯用地数值手段来处理，从而回避了连续变化率微积分地形成与发展地历史无疑是数学界地重要话题.翻开有关微积分地教材和介绍其发展历史地著述，无论是外国人编写地，还是我国地作者；无论是过去，还是现在；大多数定理地前面都冠之以某某外国人地大名，却很少甚至根本没有反映中华民族对于微积分地形成与发展所作出地贡献.大量历史事实无可辩驳地说明，我国是人类数学地故乡之一.中华民族有着光辉灿烂地数学史，对世界数学地形成与发展作出了巨大贡献.中华民族功不可磨，理应受到世人地承认与尊重由于“变量”作为新地问题进入了数学，对数学地研究方法也就提出了新地要求．在十七世纪前半叶，解析几何地观念已经有一系列优秀地数学家接近了．但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔和费尔马创立在十六世纪末、十七世纪初地欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式地改变．资本主义制度地产生，使社会生产力大大得到解放．资本主义工厂手工业地繁荣和向机器生产地过渡，促使技术科学和数学急速向前发展．资料个人收集整理，勿做商业用途 在科学史上，这一时期出现了许多重大地事件，向数学提出了新地课题．公元年，哥伦布发现了新大陆，证实了大地是球形地观念；年，哥白尼发表了《天体运行论》，使神学地重要理论支柱地地心说发生了根本地动摇；开普勒在～年，总结出行星运动地三大定律，导致后来牛顿万有引力地发现；年伽里略用自制地望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们地视野引向新地境界．这些科学实践拓展了人们对世界地认识，引起了人类思想上地质变．十六世纪，随着资本主义地出现，产生了新地生产关系，社会生产力有了很大地发展．社会实

高中数学微积分公式大全

微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C . cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-2 1x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C ) csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C # d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C # a b c α β γ R

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：

规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。

浅论高等数学中的极限思想

浅论高等数学中的极限思想 谷亮 （辽宁铁道职业技术学院 辽宁 锦州 121000 中国） 摘要： 极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。 关键词：高等数学，极限，极限思想、教学 一、极限的概念 1、数列极限：设 {x }n 为一个数列，a 为一常数，若0ε?>，总存在一个正整数N ，使得 当n N >时，有n x a ε-<，称a 是数列{x }n 的极限。记作lim n n x a →∞= 2、函数极限：设函数(x)f 在点a 的某去心邻域内有定义，A 为一常数，若0ε?>，总存在一个正数δ，使得当0x a δ <-<时，有 (x)f A ε -<，称A 是当x 趋向于a 时函数(x) f 的极限。记作lim (x)x a f A →=。 自变量变化过程还包括： ,,,x a x a x x +- →→→+∞→-∞，极限的定义类似。 在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引 进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。 二、极限思想的价值 极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。 生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。 极限思想不仅非常重要，它也是学生难以理解掌握的重要概念，它贯穿整个数学体系，是一种非常重要的数学思想，它是人类发现并解决数学问题的非常重要手段，它能很好地展现出数学的思维之美，在高等数学的教学过程中起着相当重要的作用，恰当的应用极限思想

微积分极限思想推导圆周长面积公式

微积分极限思想推导圆 周长面积公式 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

圆周长公式推导 1.积分法 在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2 这可以写成参数方程 x = r * Cos t y = r * Sin t t∈[0, 2π] 于是圆周长就是 C = ∫(0到2π)√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt （Q:此处x,y对t为什么都要导 A: 将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1), y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ).所以C就是√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.） =∫(0到2π)√( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt =∫(0到2π) r dt = 2πr 2.极限法 在圆内做内接等n边形， 求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形， 其底边长为 2*r*sin(π/n) ，所以等n边形周长为

n*2*r*sin(π/n) 这个周长对n→∞求极限 lim[n*2*r*sin(π/n)] 运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x 所以lim[n*2*r*sin(π/n)] =lim[n*2*r*π/n]=2πr. 圆面积公式推导 应用圆周长C = 2π r 1.可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形 并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。 2.积分法 可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S = ∫ 2πr dr,从0积到R. 所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]= πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法 Shell Method”与此法是类似的.) 不应用圆周长C = 2π r 1. 积分法

微积分与数学思想方法

数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法： 5.1函数思想 函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。例如： 一条长为l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A 版选修2–2课本37页习题） 解：设其中一段铁丝的长度为x ，则另一段为x l -，面积为s 根据题意得： 整理得： 求导数，并令导数等于零，解得： 分析：这类题型在新版教材中为常见的一种题型，根据题意得到函数表达式， 借助“微积分”这个工具，结合函数的性质来解决问题。当 时导函数的函 数值为零，这时函数取得最小值（函数的性质）。 例如：有一家宾馆有50个房间共旅客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果旅客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？ 分析：这是一个生活中实际的问题，解决方法，根据题意列出函数表达式，我们4444x l x l x x s -?-+?=162222l lx x s +-=2l x =2l x =

高中数学16微积分基本定理(教案)

三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。