寻找数列的规律

好爸爸文化教育四年级数学思维与拓展资料

第二讲：寻找数列的规律

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这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，

(1) 1，2，3，4，5，6，…

(2) 1，2，4，8，16，32；

(3) 1，0，0，1，0，0，1，…

(4) 1，1，2，3，5，8，13。

一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是___________，数列(2)的第3项是________。一般地，我们将数列的第n项记作a n。

数列中的数可以是有限多个，如数列__________，也可以是无限多个，如数列____________。

许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。

数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+______。

数列(2)的规律是：后项=前项○________。

数列(3)的规律是：“________,_________,__________”周而复始地出现。

数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即

a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，

a6=3+5=8，a7=5+8=13。

常见的较简单的数列规律有这样几类：

第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。

第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。

第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。

例1找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1)4，7，10，13，( )，…

(2)84，72，60，( )，( )；

(3)2，6，18，( )，( )，…

(4)625，125，25，( )，( )；

(5)1，4，9，16，( )，…

(6)2，6，12，20，( )，( )，…

解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现

(1)的规律是：前项+_________=后项。所以应填__________。

(2)的规律是：前项-__________=后项。所以应填________，__________。

(3)的规律是：前项×_________=后项。所以应填_________，___________。

(4)的规律是：前项÷_________=后项。所以应填_________，__________。

(5)的规律是：数列各项依次为

1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=________×__________，所以应填________×________=________。

(6)的规律是：数列各项依次为

2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=_______×________，所以，应填 _______×________=30， _______×_______=42。说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此a n可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为(1)a n＝3n+1；(2)a n＝96-12n；(3)a n＝2×3n-1；(4)a n＝55-n；(5)a n＝n2；(6)a n＝n(n+1)。

这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3×100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。

例2找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；

(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；

(3) 3，7，10，17，27，( )；

(4) 1，2，2，4，8，32，( )。

解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。

(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加______得到后一组数，所以应填________，____________。

(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是_______，且由5，6，7的次序知，应填_________，___________。

(3)这个数列的规律是：前面两项的________等于后面一项，故应填 _____+______=_______。

(4)这个数列的规律是：前面两项的_________等于后面一项，故应填_____×_____=_______。

例3找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1)18，20，24，30，( )；

(2)11，12，14，18，26，( )；

(3)2，5，11，23，47，( )，( )。

解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故

a5=______+______=______。

(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为______。因此，a6-a5＝a6-26=_____，故a6＝______+______=_______。

(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×_______+_______，所以

a6=2a5+1＝_______×_______+_______＝________，

a7＝2a6+1＝______×_______+1=_________。

例4找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：

(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；

(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。

解：(1)数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17， 22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。

(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，…中，4后面的数应为2。故应填11，2。

练习5

按其规律在下列各数列的( )内填数。

1.56，49，42，35，( )。

2.11， 15， 19， 23，( )，…

3.3，6，12，24，( )。

4.2，3，5，9，17，( )，…

5.1，3，4，7，11，( )。

6.1，3，7，13，21，( )。

7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。

8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。

9.2，5，10，17，26，( )。

10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。

11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。

(1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？

(2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？

答案与提示练习5

1.28。

2.27。

3.48。

4.33。提示：“后项-前项”依次为1，2， 4，8，16，…

5.18。提示：后项等于前两项之和。

6.31。提示：“后项-前项”依次为2，4，6，8，10。

7.3，20。

8.11，6。

9.37。提示：a n=n2+1。

10. 24，15。提示：奇数项为15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15。

11.(1)缺9，在7与11之间；(2)多15，因为除15以外都不是合数。

万能公式和数列证明答题模板

万能公式答题模板（亦称为S n法） 必备理论：（整体代换） 数列{a n}中，S n＝3n2－2n，则S1=3－2=1，S n-1＝3（n－1）2－2（n－1）=3n2－8n+5 【题头】数列{a n}中，S n与a n（或S n与n）的关系式形式，求a n的表达式（通项公式）【模板】 当n=1时，a1=S1= ∴a1= 当n≥2时，a n=S n－S n-1 ∴a n= －（代题头，自身变换成S n-1）= 化简为最简形式（*） （*）部分经常见到的为四种形式 【形式一】∴a 【形式二A】∴a 【形式三】∴a n= A a n-1 +B或者--譬如a n= 2a n-1+3 B ∴（a n+常数）= A（a n-1 +常数）常数为 A - 1 【形式四A】∴a n= a n-1 + f（n）【形式四B】∴a n= f（n）a n-1 譬如a n= a n-1+n（方法：累和法）譬如a n= na n-1 （方法：累积法） ）…

证明等差（比）数列模板 必备理论：（整体代换） 数列{a n }中，a n ＝3n 2－2n ，则a 1=3－2=1，a n-1＝3（n －1）2－2（n －1）=3n 2－8n+5 【题头1】数列{a n }中， 条件A, 条件B ，条件C ，求证：数列{b n }是等差（比）数列 【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明1≥n ，b n+1－b n =常数 或 证明2≥n ，b n －b n-1=常数，通过逆推：条件C,条件B,条件A, 得到常数，即证明等差（比）数列 【模板】自身替换是指，将n 换成n+1，或n 换成n-1 （1）等差数列b n+1－b n = 自身代换 － 代入题头 = 不动 － 代入题头 =常数，结论（抄题） 如果化简困难：代入n=1，求解常数 （2）等差数列b n －b n-1= 代入题头 － 自身代换 = 代入题头 － 不动 =常数，结论（抄题） 如果化简困难：代入n=2，求解常数 （3）等比数列n n b b 1+=常数代入题头 不动代入题头自身代换==，结论（抄题） （4）等比数列1-n n b b =常数不动代入题头自身代换 代入题头==，结论（抄题） 【样题】．数列{}n a 满足11a =，()13232n n a a n n -=+-≥，n a b n n +=，求证：数列{b n }是等比数列 【分析】由于出现的为n 和n-1，所以采用（4）完成模版证明 证明：1-n n b b =31-3231-1-11-=++-+=++-） （）（n a n n a n a n a n n n n ，∴数列{b n }是等比数列 温馨提示：如果常数你化不出来，可以代入n=2，利用a1进行求解常数 【练习1】数列{}n a 满足15a =，() *123n n n a a n N +=+∈，n n n a b 3-=求证：数列{b n }是等比数列 【练习2】数列{}n a 满足11a =，()122 2n n n a a n -=+≥，求证：数列2n n a ?????? 是等差数列； 【题头2】数列{a n }中，S n 与a n （或S n 与n ）的关系式形式，求证：数列{a n }是等差数列 【模板】万能公式法（也叫作S n 法） 当n=1时，a 1=S 1= ∴a 1= 当n ≥2时，a n =S n －S n -1 ∴a n = － （代题头，自身变换成S n -1），∴ 化简 （会出现两种情况） 【形式A 】∴a n = a n-1 + ∴数列{a n }为等差数列， 【形式二B 】∴a n+1=常数∴数列{a n }为等比数列，

【数学】找规律(数列

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 找规律（数列） 学习内容：二年级下册第116页例2 学习目标： 1、通过一系列的活动，使学生发现数的排列规律，认识新的数列即等差数列。 2、培养学生的观察、归纳及推理能力，激发学习兴趣和探索欲望。 学习重点、难点：认识并发现等差数列的规律，能初步运用规律。 教具准备：课件 预设流程： 1 / 9

一、课前轻松，请同学们互相猜谜语 师：大家情绪这么活跃，能不能课堂上也这样。我发现同学们，特别喜欢猜，这节课就让同学们玩一玩，猜一猜，好不好？ 二、谈话导入 师：今天我们班还来了一位数学王国的小朋友，猜，他是谁？（课件出示明明）明明觉的大家很聪明，想和大家来猜谜，你们愿意吗？（愿意） 明明带来了一堆小气球，第一组他挂出了一格。（课件出示）第二组他会挂出几个小旗子呢？你能猜出来吗？ 三、初步探索 1、小组讨论，猜测明明第2组会挂出几个小气球子。 2、汇报：可能有以下几种情况： 第二组挂出2个小气球

---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 第二组挂出3个小气球 第二组挂出10个小气球 3、揭示谜底 师：我们来看看明明是怎样想的吧。（课件出示）是几个小气球？（2面） 谁猜中了举一下手。其他同学虽然你们和明明的想法不一样，但是都很好，很有想法。 仔细看图，你还能发现什么？（第2组比第1组多出1个小气球。） 大家愿不愿意继续来猜猜明明是怎样想的？我们来听听明明是怎样说的吧。课件出示。（画外音：我想让小旗子有规律的摆放） 四、深入探讨 1、师明确要求：老师来提一个要求，请同学这次继续想出下面3组气球的摆放，如果同学们想和明明想的一样的几率大一些，可以 3 / 9

(完整word版)四年级奥数找规律数列数表专题

数列与数表 一、知识与方法归纳 1、等差数列的有关知识. （1）通项公式:末项=首项+(项数-1) ×公差 （2）项数=(末项-首项)÷公差+1 （3）求和公式:和=(首项+末项) ×项数÷2 2、本讲主要包括两部分内容：规律较复杂的数列以及简单的数表 二、经典例题 例1.1，100，2，98，3，96，2 ，94，1，92，2 ，90，3 ，88，2，86，1， 84，…，0。请观察数列的规律并回答一下问题： （1）这个数列中有多少项是2？ （2）这个数列所有项的总和是多少？ 解： 例2. 1，2，3，4, 4, 5, 6, 7，7, 8，9 ，10，…，97, 98, 99, 100.请观察数列的规律并回答一下问题： （1）这个数列一共有多少个数？ （2）50在数列中是第几个数？ 解： 体验训练1 1, 2, 2， 4， 3， 6， 1， 8， 2， 10， 3， 12，…，100.观察数列的规律，请问：（1）数列中有多少个2？ （2）数列中所有数的总和是多少？ 解：

例3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。从这列数中取出连续的50个数，它们的和最大是多少？ 解： 例4. 如图所示，将从5开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中，请问： （1）123应该排在第几列？ 第1列 第2列 第3列 … （2）第2行、第20列的数是多少？ 5 10 15 … 6 11 16 … 7 12 17 … 8 13 18 … 9 14 19 … 解： 体验训练2 将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问： （1）66在第几行、第几列？ （2）第33行、第4列的数是多少？ 解： *例5.如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：

初中数学 数列的找规律

初中数学数列的找规律： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b. 例：4、10、16、22、28……,求第n位数. 分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n 位的数也有一种通用求法. 基本思路是： 1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数. 举例说明：2、5、10、17……,求第n位数. 分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为： ［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了. （三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）. 此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧. 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘. 例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是. 解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0,3,8,15,24,……. 序列号：1,2,3, 4, 5,……. 容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1. （二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关. 例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2 （三）看例题： A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且. 即：n3+1 B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n （四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第

初一上找规律专题(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑 初一数学找规律 找规律：数列中每一个数，或者图形所关联的数，用它们的序列号(n)的式子表示 1、一些基本数字数列 (1)自然数列：1、2、3、4……n (2)奇数列：1、3、5、7……2n-1 (3)偶数列：2、4、6、8……2n (4)平方数列：1、4、9、16……n2 (5)2的乘方数列：2、4、8、16……2 n (6)符号性质数列： -1、1、-1、1……(-1) n 1、-1、1、-1……(-1) n+1 1、-1、1、-1……(-1) n-1 2、数字数列的变形 (1)数列的平移：有些数列里，每个数并不直接与它们的序列号形成基本的数字数列关系；比如下面的数列，是2的乘方数列变形而成的1、2、4、8、16……2 n-1数列中的每个数往右平移了一位，n就变成了n-1 (2)考虑符号性质的数列：有些数列本身就是基本数字数列，但必须考虑符号性质，如： 1、-4、9、-16……(-1) n-1n2很明显，是自然数的平方数列和符号性质数列的综合 (3)基本数字数列的拓展：有些数列只是改变了基本数字数列的某个部份，

如： 5、25、125、625……5 n这个数列，只是2的乘方数列的拓展； (4)综合数列：有些数列看起来很复杂，其实只是多个基本数列的综合，如： 3/2、-5/4、7/8、-9/16……(-1) n-1 (2n+1)/2n 上面的数列是三个基本数列及其变型数列的综合。数列中的每一个数都可以看成三个部分组成：符号部份是符号性质数列；分子部分是奇数列的平移数列；分母部分是2的乘方数列 练习：按以下的数排列：8，9，11，15，23，39……，则第11个数是1031 ，第n个数是2 n-1+7 3、特殊数列 (1)等差数列：数列中的每一个数减去它前面的数的差相等的数列叫等差数列。 如：2、5、8、11……2+(n-1)d其中数列中的第一个数叫首项，记作a1；相等的差叫公差，记作d；第n项的数记作an，称为通项an=a1+(n-1)d 练习：凸多边形的所有内角的角度之和称为多边形的内角和。已知三角形的内角和等于180o，四边形的内角和等于360o，五边形的内角和等于540o，六边形的内角和等于720o，则十边形的内角和等于1440o ，n边形的内角和等于(n-2)180o 。 (2)等比数列：数列中的每一个数除以它前面的数的商相等的数列叫等比数列。

数列规律

公务员考试行政能力测验解题心得 数列篇 第一步：整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。 注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联（别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉） 第二步思路A：分析趋势 1，增幅（包括减幅）一般做加减。 基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。 例1：-8，15，39，65，94，128，170，（） A．180 B.210 C. 225 D 256 解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。 总结：做差不会超过三级；一些典型的数列要熟记在心 2，增幅较大做乘除 例2：0.25，0.25，0.5，2，16，（） A．32 B. 64 C.128 D.256 解：观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等比数列，二级数列下一项是8*2=16，因此原数列下一项是16*16=256 总结：做商也不会超过三级 3，增幅很大考虑幂次数列 例3：2，5，28，257，（） A．2006 B。1342 C。3503 D。3126 解：观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到257附近有幂次数256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。而数列的每一项必与其项数有关，所以与原数列相关的幂次数列应是1，4，27，256（原数列各项加1所得）即1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是5^5，即3125，所以选D 总结：对幂次数要熟悉 第二步思路B：寻找视觉冲击点 注：视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引 视觉冲击点1：长数列，项数在6项以上。基本解题思路是分组或隔项。 例4：1，2，7，13，49，24，343，（）

小学三年级奥数找规律(数列规律)

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第4讲找规律（数列规律） 数学故事 通过观察特殊的现象、结论从而总结出普遍适用的规律的方法叫做归纳法.归纳法在学习、 ．．． 生活和科学研究中均具有重要的作用.下面刘老师就给大家举几个归纳法的例子. 1. 古时候人们发现每天太阳总是东升西落，于是总结归纳得出不管过去还是将来都会是这样. 2. 一天，刘老师去买葡萄，挑了一串颜色很深的葡萄，尝了一颗发现很甜，就决定买了. 3. 公元前216年，迦太基着名军事统帅汉拔尼在坎尼战役中与罗马军队交锋，兵处劣势.但他知 道当地每天午后便东南风骤起，于是调兵遣将，指挥部队紧急转移到上风方向，将午后东南风起时，乘风猛攻.罗马军逆风对阵，风沙迷目，箭矢无力；汉拔尼军风助人势，越战越勇，到天黑歼敌七万余人. 例题 1.找规律，填空： (1)8，15，22，29，36，______，_______，57； (2)97，88，79，70，61，______，_______，34； (3)3，4，6，9，13，18，________，31. 2.找规律，填空： (1)1，2，4，8，________，32，64； (2)______，_______，15，24，35，48，63，80，99； (4)3，5，9，17，33，________，129. 3.找规律，填空： (1)1，2，4，4，7，8，10，16，13，32，______，_______，19，128； (2)1，2，3，3，6，5，10，8，15，13，______，_______，28，34； 4.找规律，请在下列空格中填入适当的数. （1）（2） 1 3 17 19 ？ 18 3 15 18 27 39 45 7 5 15 21 … 36 15 21 35 44 56 27 15 9 11 13 23 … 31 29 27 25 … ？………… 5.将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和，如果第7个数和第8个 数分别是81，131，那么第一个数是多少？【思考题】找规律，填空： (1)1，1，2，3，5，8，13，21，______，_______，89； (2)1，2，2，4，8，32，________； (3)1，3，5，11，21，43，______，171. 课堂练习 练习1.找规律，填空： (1)10，13，16，19，______，_______，28； (2)______，_______，76，70，64，58，52，46； (3)1，3，9，________，81，243； (4)1，4，9，16，25，______，49，______. 练习2.找规律，填空： (1)1，2，2，4，4，6，8，8，16，10，32，______，_______，14，128； (2)______，3，16，5，15，7，14，9，13，11，12，________； 练习3.找出数表的规律，把空白的数表填出. 1 2 2 4 3 6 5 10 4 3 13 6 28 9 76 15 练习4.找出图中数表的规律，请根据规律填上“？”处的数 1 2 6 7 … 3 5 8 …… 4 9 ？…… 10 ………… ……………

图形找规律

从图形到数列(找规律) 一、数线段条数找规律 已知点数,求以这些点为端点的线段数 2个点可以连1条线段（图1），增加1个点增加2条线段（图2）,增加的线段条数等于原点数2，3个点可以连1+2=3条线段； 如图3，再增加1个点，增加3条线段，增加的线段条数等于原点数3，4个点可以连3+3=6条线段； 根据这个规律，不必画图就可得下表，请继续把表填完整。

二、数直线交点找规律 已知直线条数，无直线平行，且无三条直线或更多条直线共点情况下,求以这些直线相交的点数： 2条直线相交1个交点（图1），增加1条直线增加2个交点(图2)，增加的交点数等于原直线条数2, 所以3条直线有3个交点; 如图3，再增加1条直线，增加3个交点，增加的交点数等于原直线数3，所以4条直线有6个交点； 根据这个规律,不必画图就可得下表,请继续把表填完整.

三、数平行四边形个数找规律 已知平行线条数,求以这些平行线中的任2条为一对边的平行四边形个数: 四、数长方形个数找规律 如图，已知小长方形的个数,求长方形的总个数： 由图可以看出，每增加一个小长方形，增加的长方形个数等于小长方形的个数。 例如，由图2增加1个小长方形后变成图3，长方形个数就等于原来的长方形个数3加上小长方形的个数3，等于6个；由图3增加1个小长方形后变成图

4，长方形个数就等于原来的长方形个数6加上小长方形的个数4,等于10个……据此规律可列表如上。 以上四个问题形式上不同，但规律是相同的。内中道理,学了排列组合后就会更加明白。 从以上四例可以看出线段数随点数、交点数随直线数、平行四边形个数随平行线条数以及长方形个数随小长方形数的增多而增多的变化规律是相同的。它们的总数都可以用同样的一列数表示：(这列数叫数列,数列就是按一定次序排列的一列数) 五、数若干个圆相交，无３个或３个以上的圆相交于同１点，求交点个数,并找规律． 规律与直线相交相似，不同的是2条直线相交只有1个交点，而2个圆相交有4个交点。其规律可以用下表来说明。 "不同的是2条直线相交只有1个交点，而2个圆相交有4个交点。" 应改为: 不同的是2条直线相交只有1个交点，而2个圆相交有2个交点.

初中、小学数列找规律方法与题解

初中、小学 数列找规律方法与题解江苏省泗阳县李口中学沈正中拟编解答在初中、小学数学的一些赛题中，经常会出现数列找规律的问题，数列的题型多种多样，遵循的规律也各不相同，寻找规律的方法也非常灵活，下面举几例常见的题型探索一下，方法和解题思路。 1、等差数列 （1）、等差数列：相邻两数的后一个数与前一个数差相等的数列叫等差数列。在等差数列中，第n个数可以表示为：a n＝a1＋(n －1) d，其中a1为数列的第一个数，d为后一个数与前一个数的差。 【例1】在括号内填上所缺的数： 4、10、16、22、28、34、（）、……。 【解析】：因相邻两数的后一个数与前一个数差为6，所以第n 个数是：a n＝a1＋(n－1) d，故a7＝4＋(7－1)×6＝40，即括号内应为40。 （2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等差数列”的数列。 这种数列第n个数也有一种通用求法。基本思路是：求出数列的第n－1个到第n个的增加（或减少）值(a2－a1)＋(n－2) d，则第 ＋(a2－a1)＋(n－2) d。 n个数是a n＝a n －1 【例2】在括号内填上所缺的数：3、7、15、27、（）、……。 【解析】：因数列的增加值分别为：4、8、12、16、……，增加 ＋(a2－a1)＋(n－2) d，值为等差数列。所以第n个数是：a n＝a n －1 故a5＝27＋(7－3)＋(5－2)×4＝43，即括号内应为43。 这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。 2、等比数列

（1）、等比数列：相邻两数的后一个数与前一个数的比值相等的数列叫等比数列。在等比数列中，第n个数可以表示为： a n＝a1q n－1，其中a1为数列的第一个数，q为后一个数与前一个数的比值。 【例3】在括号内填上所缺的数： 2、6、18、54、162、（）、……。 【解析】：因邻两数的后一个数与前一个数的比值为3，所以第n个数是：a n＝a1q n－1，故a5＝2×36－1＝486，即括号内应为486。 （2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等比数列”的数列。 这种数列第n个数也有一种通用求法。基本思路是：求出数列的第n－1个到第n个的增加（或减少）值(a2－a1) q n－2，则第n个＋(a2－a1) q n－2。 数是a n＝a n －1 【例4】在括号内填上所缺的数： 3、5、9、17、33、（）、……。 【解析】：因数列的增加值分别为：2、4、8、16、32、……， ＋(a2－a1) q n－2，增加值为等比数列。所以第n个数是：a n＝a n －1 故a6＝33＋(5－3)×26－2＝65，即括号内应为65。 这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。 3、其它的数列（非等差、等比数列） 只有用分析、观察和一些技巧的方法。 【例5】在括号内填上所缺的数： 2、2、4、4、6、8、8、16、（）、……。 【解析】：这个数列由等差数列2、4、6、8、……在前，等比数列2、4、8、16、……在后组成的交错数列，所以括号内应为10。 【例6】在括号内填上所缺的数： 1、3、 2、5、 3、7、 4、9、（）、……。

数列规律

数列规律-练习题

时间______ 家长签字______ 一、仔细观察找出规律，再填数。 （1）2，5，8，（）； （2）20，（），12，8，4； （3）1，6，7，12，13，（），（）。 二、小高班上的同学排队做操，第一个同学身高120厘米，第 二个同学身高121厘米，第三个同学身高123厘米，第四个同学身高126厘米，那么第五个同学的身高是多少？第七个同学就是他的好朋友小斯，小斯的身高是多少呢？ 三、智力大比拼，在空格中填上合适的数。

时间_______ 家长签字______ 一、按规律填数： （1）1，3，6，（），（）； （2）4、3、8、3、12、3、（）、（）、（）； （3）1、3、7、13、21、（）、（）、（） 二、一个工厂1991年生产10万件产品，1992年生产20万件 产品，1993年生产40万件产品，请问2000年这个工厂生产多少万件产品？ 三、在最后的两个圆圈内填入合适的数。

时间_____ 家长签字______ 一、训练营地。 二、下面四张卡片中，哪一张和其它三张的规律不一样？把它 圈起来。 三、请问：鱼身上应填哪个数字？ 6 4 18 8 735 3 9 6 4 30 3 7 5 9 8 12 10 14 12 16 14

时间______ 家长签字______ 一、下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律， 第16行的实心圆点的个数是_____（迎春杯赛题） 二、爸爸给阿呆100块糖，又给他10个盒子，要求阿呆往第 一个盒子里放2块糖，第二个盒子里放4块糖，第三个盒子里放8块糖，第四个……….照这样下去，要放满这10个盒子，你说这100块糖够不够？ 三、智力大比拼，在空格中填上合适的数。

图形数列找规律

图形数列找规律 (★★★) 根据已有数字，找规律填空。 ⑴21，18，15，12，( )，( ) ⑵3，5，8，12，17，( )，( ) ⑶2，1，3，3，4，5，5，7，( )，( ) ⑷1，3，4，7，11，( )，( )。 ⑸1，3，9，27，( )，( )。 (★★★) 请根据已有图案的规律，将剩余3个图形放到合适的位置上。

(★★★) 前三块石头是外星人E.T留下的记号，同学们你能通过前面的图形找到规律，画出第四图案吗？ 【趣味大挑战】(★★★★★★★) 请问下面3组数字间有什么关系？ 1 3 8 7 2 4 6 5 9 (★★★) 山洞的墙上是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，____，____，____为了我们神秘的礼物我们需要找到这个数列完成。 【拓展】1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，____，____，____。 请问：这个数列的第100项是奇数还是偶数？

在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．找规律填空 ⑴102、98、94、90、( )、82 … ⑵1、3、4、7、1、8、9、7、( )、3、9、… A．(86)，(6) B．(84)，(5) C．(82)，(6) D．(86)，(5) 2．小朋友们，下面的图形是按一定规律排列的，请你仔细观察，并在第4组的“”处填上适当的图形。 A．B．C．D． 3．观察下列各组图的变化规律，并在空白处画出相关的图形。 A．B．C．D． 4．有这样一列数：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,，你知道这个数列第5086项是奇数还是偶数？ A．无法确定B．非奇非偶C．偶数D．奇数

三四年级.数列找规律

一、知识要点 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。 按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。 二、精讲精练 【例题1】在括号内填上合适的数。 （1）3，6，9，12，（），（） （2）1，2，4，7，11，（），（） （3）2，6，18，54，（），（） 练习1：在括号内填上合适的数。 （1）2，4，6，8，10，（），（） （2）1，2，5，10，17，（），（） （3）2，8，32，128，（），（） （4）1，5，25，125，（），（） （5）12，1，10，1，8，1，（），（） 【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）15，2，12，2，9，2，（），（） （2）21，4，18，5，15，6，（），（） 练习2：按规律填数。 （1）2，1，4，1，6，1，（），（） （2）3，2，9，2，27，2，（），（） （3）18，3，15，4，12，5，（），（） （4）1，15，3，13，5，11，（），（） （5）1，2，5，14，（），（）

【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（） （3）1，2，5，13，34，（）（4）1，4，9，16，25，36，（） 练习3：按规律填数。 （1）2，3，5，9，17，（），（）（2）2，4，10，28，82，（），（）（3）94，46，22，10，（），（）（4）2，3，7，18，47，（），（） 课堂巩固练习 1 找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数。 （1）3，6，9，12，（），18，21 （2）28，26，24，22，（），18，16 （3）60，63，68，75，（），（） （4）180，155，131，108，（），（） （5）196，148，108，76，52，（） （6）6，1，8，3，10，5，12，7，（），（） （7）0，1，1，2，3，5，8，（），（） （8）10，98，15，94，20，90，（），（） 2 在下面数列中填出合适的数。 （1）1，3，9，27，（），243 （2）1，2，6，24，120，（），5040 （3）1，1，3，7，13，（），31 （4）0，3，8，15，24，（），48，63 课后家庭作业 1．找规律，填空： (1)2，6，10，14，18，22，__________，__________，34； (2)1，3，9，27，81，__________，729；

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 （3）累乘法

数列、数表找规律

第1章数字迷 01找规律 1.根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（（1）13；（2）21；（3）32；（4）30．） （1）1，4，7，10，（），16，????? （2）2，3，5，8，13，（），34，?????? （3）1，2，4，8，16，（），?????? （4）2，6，12，20，（），42，?????? 2.观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：（（1）17；（2）256；（3）95；（4）4．） （1）2，3，5，7，11，13，（），19，?????? （2）1，2，2，4，8，32，（），?????? （3）2，5，11，23，47，（），?????? （4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），?????? 3.观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数：（（1）5，36；（2）9，28．（） （1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），?????? （2）15，16，13，19，11，22，（），25，7，（），?????? 4.按规律填上第五个数组中的数：（{5，25，50}） {1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ } 5.下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式： （1）1 + 1，2 + 3，3 + 5，1 + 7，2 + 9，3 + 11，1 + 13，2 + 15，?????? （2）1 ? 3，2 ? 2，1 ? 1，2 ? 3，1 ? 2，2 ? 1，1 ? 3，??????（（1）1+79；（2）2×3．） 6.下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上 吗？（（1）3；（2）7．） （1）2 6 7 11 （2）2 3 1 4 4 （）1 3 5 2 3 5 5 6 4 （）3 7.下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来：（（1）15不是质数；（2）10不是3 的倍数；（3）5不是偶数；（4）16应为17．） （1）3，5，7，11，15，19，23，?????? （2）6，12，3，27，21，10，15，30，?????? （3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，?????? （4）2，3，5，8，12，16，23，30，?????? 8.下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：（（1）36； （2）40．） （1）

图形找规律(教师版)

图形找规律班级___________ 姓名___________ 成绩______________ 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。 例1 求99边形的内角和。 分析与解：三角形的内角和等于180°，可是99边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形……的内角和，找一找其中的规律。 如上图所示，将四边形ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于180°×2= 360°；同理，将五边形ABCDE分成三个三角形，得到五边形的内角和等于180°×3＝540°；将六边形ABCDEF分成四个三角形，得到六边形的内角和等于180°×4＝720°。 通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式： n边形的内角和=180°×（n-2）（n≥3）。 有了这个公式，再求99边形的内角和就太容易了。 99边形的内角和=180°×（99-2）＝17460°。 例2四边形内有10个点，以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？ 分析与解：在10个点中任取一点A，连结A与四边形的四个顶点，构成4个三角形。再在剩下的9个点中任取一点B。如果B在某个三角形中，那么连结B与B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2个（见左下图）。如果B在某两个三角形的公共边上，那么连结B与B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加2个（见右下图）。 类似地，每增加一个点增加2个三角形。 所以，共可剪出三角形 4＋ 2× 9= 22（个）。 如果将例2的“10个点”改为n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形4＋2×（n-1）=2n＋2=2×（n＋1）（个）。 同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。 如果底面是正三角形、正四边形、正五边形……那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱…… 例3 n棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么n棱柱共有多少对不相交的棱？

求数列通项公式的十种方法

1． 观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律） 即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。 例1.设11=a ，)(222 1*+∈++-= N n b a a a n n n ，若1=b ，求32,a a 及数列}{n a 的通项公式． 解：由题意可知：11111+-==a ， 112212212 12+-==++-=a a a ， 113121222223+-=+=++-=a a a . 因此猜想11+-=n a n . 下面用数学归纳法证明上式． （1）当n ＝1时，结论显然成立． （2）假设当n ＝k 时结论成立，即11+-=k a k . (3)则11)1(11)1(11)1(12222 1+-+=++-=++-=++-=+k k a a a a k k k k ， 即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由（1）、（2）可知，对于一切正整数n ，都有)(11* ∈+-=N n n a n ．（最后一句总结很重要） 2．定义法（已知数列为等差或者等比） 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，求{}n a 的通项公式。 解：设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n = .

3．公式法 若已知数列的前n 项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。（一定要讨论n=1，n≥2） 例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式。 解：（Ⅰ）由 233n n S =+ 可得：当1=n 时， 111(33)32 a S == +=， 当2≥n 时，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥ 而 11133a -=≠， 所以 13,1,3, 1.n n n a n -=?=?>? 4．累加法 当递推公式为)(1n f a a n n +=+时，通常解法是把原递推公式转化为。 例4.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列{a n }的前10项和为 解：由题意得： 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 12)1(+++-+= n n 2 )1(+=n n 5．累乘法 当递推公式为)(1n f a a n n =+时，通常解法是把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 n s n a {}n a n a 1()n n a a f n +-=

数列题型找规律

数列题型分类 图表类 10.(湖北省孝感市2009届高三3月统考理) 如图，以()0,0O 、()1,0A 为顶点作正1OAP ?， 再以1P 和1P A 的中点B 为顶点作正12PBP ，再 以2P 和2P B 的中点C 为顶点作正23P CP ，…， 如此继续下去。有如下结论： ①所作的正三角形的边长构成公比为 1 2 的等比数列； ②每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP （1x =）上； ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P 的坐标是6364? ?? ； ④第n 个正三角形的不在第1n -个正三角形边上的顶点n P 的横坐标是n x ，则1n n lim x →∞ =. 其中正确结论的序号是_____________.（把你认为正确结论的序号都．填上） 答案 ①②③④ 5.（2009金华一中2月月考）将正奇数排列如下表其中第i 行第j 个数表示ij a ),(**N j N i ∈∈，例如 932=a ，若2009ij a =，则=+j i ． 答案 60 11.(2008广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…… 试用 n 表示出第n 个图形的边数 ____________n a =. 答案：3×4 n －1 . 12.(2008江苏省启东中学高三综合测试三)如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1,2,3,…)，则第n －2个图形中共有 个顶点。 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ……

数字找规律的方法

数字找规律的方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-

数字规律 第一种----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。 １、等差数列的常规公式。设等差数列的首项为a1，公差为d ，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为自然数)。 [例1]1，3，5，7，9，（） .8 C [解析] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。故选C。 ２、二级等差数列。是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列. [例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 .33 C [解析] 相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9, 是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。 ３、分子分母的等差数列。是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。

[例3] 2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（） A、8/9 B、 9/10 C、9/11 D、7/8 [解析] 数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，5，6，故括号应为7/8。故选D。 ４、混合等差数列。是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。 [例4] 1，3，3，5，7，9，13，15，，（），（）。 A、19 21 B、19 23 C、21 23 D、27 30 [解析] 相邻奇数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差 数列，相邻偶数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列。 第二种--等比数列：是指相邻数列之间的比值相等，整个数字序列 依次递增或递减的一组数。 5、等比数列的常规公式。设等比数列的首项为a1，公比为q(q不等于0)，则等比数列的通项公式为an=a1q n-1(n为自然数)。 [例5] 12，4，4/3，4/9，（） A、2/9 B、1/9 C、1/27 D、4/27