湖南省长沙市一中高三数学第五次月考试卷

湖南省长沙市一中2008届高三第五次月考试卷

理 科 数 学

命题：长沙市一中高三数学备课组 时量：120分钟 满分：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．设b a ,是非零向量，则“||||b a b a -=+”是“b a ⊥”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

2．函数122)(log 1)(+-=+=x x g x x f 与在同一直角坐标系下的图象大致是 （ ）

3．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分I 、II 、III 、Ⅳ（不包含边界）。设21OP n OP m OP +=，且点P 落在第III 部分，则实数m ，n 满足 （ ）

A ．00n ＞m ＞，

B ．00n ＜m ＞，

C ．00n ＞m ＜，

D ．00n ＜m ＜，

4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是 （ ） A ．]2

,

0(π

B ． )2

,

0(π

C ． ]3

,

0(π

D ． ]4

,

0(π

5．若动圆的圆心在的抛物线y x 122

=上，且与直线t+3=0相切，则此圆恒过定点 （ ）

A ．（0，－3）

B ．（0，3）

C ．（0，2）

D ．（0，6）

6．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若14,23==n n S S ，则n S 4等于 （ ）

A ．16

B ．26

C ．30

D ．80

7．已知函数x x f ωsin )(=在[0，

4π]上单调递增，且在这个区间上的最大值为2

3，则实数ω 的一个值可以是 （ ） A ．

3

2

B ．

3

4 C ．

3

8 D ．

3

10 8．能够使圆014222=++-+y x y x 恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的 一个值为 （ ） A ．5

B ．53

C ．2

D ．3

9．已知函数??

?>-≤-=-)

0()

1()

0(1

2)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实

数根，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．]0,(-∞ B ．]1,(-∞ C ．]1,0[

D ．[)+∞,0

10．设M 是ABC ?内一点，且32=?，BAC ∠=30°.定义),,()(p n m M f =，其中p n m 、、分别是ABC ?，MCA ?，MAB ?的面积.若),,21

()(y x P f =，则y

x 4

1+的最小值是 （ ）

A ．18

B ．16

D ．9

D ．8

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卷中对应题号的横线上） 11．已知3(,),sin()2

5a π

αππ∈-=

，则tan()4

a π

+的值是 . 12．不等式

01

||2

<--x x 的解集是 .

13．已知2)21(,1

0530

2-+??

?

??≥≥+-≤-y x y y x y x 则的最大值是 。

14．如图，设平面ααβα⊥⊥=CD AB EF ,, ，垂足分别为B 、D.现有：

①β⊥AC ；

②AC 与α、β所成的角相等；

③AC 与CD 在β内的身影在同一条直线上； ④AC ∥EF.

若增加一个条件 ，就能推出EF ⊥BD ； 若增加一个条件 ，就能推出EF ∥BD. （注意：填上你认为正确的所有答案序号）. 15．对于任意正整数n ，定义n 的双阶乘n ！！如下：

当n 为偶数时，n!!=246)4)(2(??-- n n n ；当n 为奇数时，n ！！=135)4)(2(??-- n n n

则2007！！!2008!!2

008?（填“＞”“=”“＜！”）；2007！！的个位数字是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，

n m C B A n B A m c a //),cos 2),cos(3(),1),(sin(,13,4且-+=+===，求b 及ABC S ?.

17．（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=a ，∠ABC=60°.平面ACEF ⊥平面ABCD ，且四边形ACEF 是矩形，AF=a ，点M 在EF 上，FM ：ME=1:2.

（I ）求证：AM//平面BDE ； （II ）求二面角B―EF―D 的大小.

18．（本小题满分12分）

设数列}{n a 是公差0≠d 的等差数列，n S 是其前n 项的和)(*N n ∈. （I ）若43,4431S S a 和且

=的等比中项是5

5S

，求数列}{n a 的通项公式； （II ）是否存在*,N q p ∈，且q p ≠，使得q p S +是p S 2和q S 2的等差中项，证明你的结论.

19．（本小题满分13分）

我军海、空某部在某海域进行联合军事演习.为了确保信息畅通，地面指挥中心在该海域安排了三个雷达测控站（记为A 、B 、C ），A 在B 的正东方向，相距6千米；C 在B 的北偏西30°方向，相距4千米，学习开始后，我海军某舰队迅速到达指定海域P （设P 、A 、B 、C 位于同一平面内）后，发现了“敌情”，并立即发出联络信号。由于B 、C 两地比A 地距离P 地远，因此4秒后，B 、C 两个雷达测控站才同时接收到该信号。由于B 、C 两地比A 地距离P 地过错，因此4秒后，B 、C 两个雷达测控站才同时接收到该信号，已知该信号的传播速度为1千米/秒。

（I ）求P 相对于A 的方位角；

（II ）在演习过程中，为了确保该舰队的安全，某航空大队一直在该区域上空担任警戒，若舰队发现“敌情”时，某预警机Q 刚好在P 的正上方，同时也发现了该“敌情”，并立即发出联络信号，则A 、B 两雷达测控站谁选接收到预警机发出的信号，它们收到了预警机信号的时间差比收到舰队信号的时间差是变大了还是变小了，请说明理由。

20．（本小题满分13分）

已知椭圆14

:22

=+y x C 的右焦点为F ，右准线为l ，过F 作直线交椭圆C 于点P 、Q 两点。

（I ）设)(2

1

OQ OP OM +=

（O 为坐标原点），求M 的轨迹方程； （II ）设N 是l 上的任一点，求证：?∠90PNQ ＜.

21．（本小题满分13分）

已知函数.,2

161)(2

3R x x x x x f ∈++-

=求： （I ）求证：函数)(x f 的图象关于点)3

4

,1(A 中心对称，并求

)2009()1()0()2006()2007(f f f f f ++++-+-的值；

（II ）设*1),(),()(N n a g a x f x g n n ∈='=+，且

1＜a 1＜2，求证

|2||2|21-+-a a +…+|2|-n a ＜2.

参考答案

1.【解析】由||||b a b a -=+，得b a b a ⊥∴=?,0，反之也成立，故选C 。

2. 【解析】x x f 2log 1)(+=的图象是由x y 2log =的图象向上平移一个单位长度得到的；

11)21(2)(-+-==x x x g 的图象可由x y )2

1

(=的图象向右平移一个单位长度得到.

3. 【解析】由向量加法运算及平行四边形法则知00n ＜m ＞，.

4. 【解析】连CD 1，则CD 1∥BA 1，∠D 1CP 为异面直线CP 与BA 所成的角，所以0＜θ≤

3

π

5. 【解析】抛物线y x 122=的焦点为（0，3），准线方程为3-=y ，由抛物线的定义知，该圆必过抛物线的焦点.

6. 【解析】.3011,711.1,344333=--?==--=≠∴≠n

n n n n n n n n n q

q S S q q S S q S S 所以由于

7. 【解析】由x x f ωsin )(=在]4

,

0[ω

上递增且最大值为

2

3，23

4sin )4(==∴ωππf ，

将ω的值代入验证可排除，、D A 又4T ＞4

π

，所以ω＜2，故ω=34.

8. 【解析】圆方程可化为4)2()1(2

2=++-y x ，则圆心到直线的距离

5

|

|5|22|c c d =+-=

，当1＜d ＜3时，则圆上恰有两个点到直线的距离等于1，∴5＜|c|＜53，故选D.

9. 【解析】在同一坐标系内画出函数)(x f 和a x y +=的图象如右，从而1

10. 【解析】由?=?||,32得=4，

y x AC AB S ABC +=?=

∴?,130sin ||||2

1

= x y y

x

x y y x y x y x 2,18)45(2)41)((241,21=≥++=++=+∴等号当时取得，故选A. 11. 【解析】由得,5

3

)sin(=

-a π .7

1

tan 11tan )4tan(,43tan ),,2(,53sin =-+=+∴-=∴∈=ααπααππαα又

12. 【解析】原不等式等价于

?

?

?-???-???--???--12

.112.01||02.01||02x ＜x ＜＜x＜x ＞＞x ＜x ＜x ＞x 或即或或1x ＞.即.21

1＜x＜x ＜或-

13. 【解析】据题意作出可行域如图，令y x z +=，作出直线0:0=+y x l ，将其平移至点

)1,2(-A 处时，取最小值z 从而，1-3)2(min -=-+y x ，.8)2

1

(2取最大值--∴y x

14. 【解析】当AC ⊥β时，EF AC ⊥，又AB α⊥，∴AB EF ⊥，所以⊥EF 平面ABCD ，于是得BD EF ⊥；

当AC 与α、β所成角相等时，可以取0度角，此时可以有EF//BD ，若不取0度角，则EF ，BD 可以异面；当AC 与CD 在β内的射影在同一直线上时，EF ⊥平面ABCD ，于是得EF BD ⊥；若AC EF //，则必有EF//BD. 综上可得，增加①或③条件可推出BD ⊥EF ，增加④就可以推出BD//EF.

15. 【解析】2007！！×2008！！=（2007×2005×…×5×3×1）·（2008×2006×…×6×4×2）=2008！，2007！！=2007×2005×…5×3×1，由于任何一个奇数与5相乘，个位数字总是5，所以2007！！的个位数字是5.

16. 解：由n m //及A+B+C=π，得0)c o s (32s i n =++B A C ，……………………（2分）

即.2

3

sin cos ,0cos 3cos sin 2=

=∴=-?C C C C C 或………………………（4分）

134==＞c a ，

3

,23sin π

=∴=∴C C .………………………………………

（6分） 由余弦定理，得034,cos 22222=+--+=b b C ab b a c 即，解得.31==b b 或（9分）

当.332

3

3421sin 213=???===?C ab ，S

b ABC

时 当.32

3

3421sin 211=???===?C ab ，S b ABC

时…………………………（12分）

17. 解：（I ）证明：∴===，

a CB DC AD CD AB ,// 四边形ABCD 是等腰梯形，设AC

交

BD

于

N

，

连

EN.

?

=∠60ABC ，?

=∠=∠?=∠=∠30,120ACD DAC ADC DCB ，

.2,3a AB a AC ==∴……………………………………………………………………（2分）

.//2

1

,21ME ，AN ME FM AB CD NA CN ===∴

又 ∴四边形ANEM 是平行四边形，AN//NE.…………………………………………………（4分） 又?AM 平面BDE ，NE ?平面BDE ，∴AM//平面BDE………………………………（5分） （II ）解法一：由（I ）知，BC AC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，且其交线为AC ，

∴BC ⊥平面ACEF ，∴BC ⊥EF ，又FE ⊥EC ，∴FE ⊥平面BCE ，∴FE ⊥BE.

取EF 之中点G ，BF 之中点H ，连DG ，GH ，DH.

则GH//BE ，∴EF ⊥GH. ………………………………………………（8分） 又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形， ∴AF ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ，

又AD=DC=AF=CE=a ，∴DF=DE=2a ，∴DG ⊥EF.

∴∠DGH 是二面角B―EF―D 的平面角.………………………………………………（10分）

在BDF ?中，DF=a 2，BD=a 2，BF=

a AF AB 522=+，

?=∠∴+=∴90,222FDB BD FD BF ，又H 是BF 之中点，∴DH=

.2

5a 在△DHG 中， GH=

a a a FG DF DG a BE 2

5)23()2(,22212222=-=-== 10102cos 222=

?-+=∠∴GH DG DH GH DG DGH ，故所求的二面角的平面角为10

10

arccos …………………………………………………………………（12分）

解法二：同解法一得BC ⊥平面ACEF.……………………………………………………（6分） 以C 为原点，CA ，CB ，CE 所在直细为坐标轴，建立如图所示直角坐标系. 则C （0,0,0），B （0,a,0），A （0,0,3a ），D （

0,2

1

,23a a -）

，E （0，0，a ），F （a a ,0,3）. 设平面BEF 的法向量为m=则),,,(z y x .0,0=?=?EF m BE m

即)1,1,0(1.0,0)0,0,3(),,(0),,0(),,(==?

??==∴??

?=?=-?m ，z x z

y a z y x a a z y x 得令…（9分） 同理可求得平面DEF 的法向量)1,2,0(-=n ………………………………………………（10分）

1010

5

21||||,cos -=

?-=?=

??∴n m n m n m .……………………………………………（11分） 由图知，二面角B －EF －D 为锐角，故所求的二面角为.10

10

arccos ………………（12分）

18. 解：（I ）由题设得，.2

)1(4,2)1(4,)1(4d

n n S d n n n S d n a n n n ?-+=∴-+=-+=…（2分）

又,0)512(),2

34)(4()24(,4)5(2325=+∴++=+=

d d d

d d S S 即 又.5

12

,0-

=∴≠d d …………………………………………………………………………（

5

分）

所以数列}{n a 的通项公式为.5

32

512)512()1(4+--=-?-+=n n a n …………………（6分）

（II ）不存在，)(,*q p N q p ≠∈，使q p S +是p S 2和q S 2的等差中项，证明如下：

,

)()2(]2

)

1)(()[(2])12(2[])12(2[2,2

)

1(222111221q p d pq q p d d q p q p a q p d q q qa d p p pa S S S d n n na S p

q q p n -=-+=-++++--++-+=-+∴-+

=+

q p d ≠≠且0 ，q p q p p p S S S q S S +≠+≠+-∴2,02222……………………………（11分） 故不存在*,N q p ∈且q p ≠，使得q p S +是S q 2的等差中项. …………………………（12分）

19. 解：（I ）如图1，|PC|=|PB|，所以P 在线段BC 的垂直平分线上，又|PB|-|PA|=4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上。……………………………………………………（2分）

以AB 中点为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，则A （3，0），B （－3，0），

C （－5，23），所以双曲线方程为)0(15

42

2x ＞y x =-.……（5分） BC 的垂直平分线方程为.073=+-y x ……………………（6分）

联立两方程解得3tan ),35,8(,3

58

=∠=∴??

?==PAx k P y x PA ， .60?=∠PAx 所以P 点在A 点的北偏东30°处.……………………………………（8分）

（II ）如图2，设|,|||,||,||,||PA ＞PB y PA x PB h PQ 显然===即x ＞y.

22222222)

(1||1||h

y h x y

x y x h y h x QA QB ++++-=+-+=-

， 又

1

|

|1||1||1||12

222PA PB ＜QA QB ＜h

y h x y x -

-∴

++++，，

故A 比B 先收到预警机发出的信号，且它们收到信号的时间差是变小了。……（13分）

20. 解：（1）解法一：设),(),,(),,(2211y x Q y x P y x M ，由题设知)0,3(F .……（1分）

由)(21+=，知M 为PQ 之中点，???

????

+=+=∴22

2

121y y y x x x ……………（2分）

又P 、Q 在椭圆C 上，则142121=+y x ，14

2

22

2=+y x . 当21x x ≠时，两式相减，得

)

(421212121y y x

x x x y y ++-=--.………………………………（3分）

即

,4y x k PQ -

=又3-=x y

k MF ，所以

3

4-=

-x y

y x ，化简得

03422=-+x y x .………………………………………………………………………（5分）

当21x x =时，即PQ 垂直于x 轴时，此时M 的坐标为（0,3），也是满足上式。 故所求的轨迹方程为03422=-+x y x .…………………………………………（6分） 解法二：由题设知)0,3(F ，………………………………………………………（1分） 所以可设直线PQ 的方程为：).,(),,(),,(,32211y x M y x Q y x P ty x +=将它代入椭圆C 的方程并整理，

得0132)4(22=-++ty y t ，显然＞?0，且.4

1

,43222

1221+-=+-=+t y y t t y y 由)(2

1

OM +=

知，M 为PQ 之中点， 2,22121y y y x x x +=+=

∴. 4

32221+-=+=∴t t

y y y ……………………① 又4

3

432

+=

+=t ty x ………………②……………………………………………（4分） 当0≠x 时，①÷②得，x

y

t 4-=

…③，将③代入②并化简03422=-+x y x ……（5分） 当0=x 时，P ，Q 两点为长轴两端点，此时M 的坐标为（0,0），它适合上式，

故所求的轨迹方程为03422=-+x y x .………………………………………………（6分） （II ）解法一：∵l 的方程为334=

x ，设),3

3

4(0y N （R y ∈0）， ),,33

4(),,334(022011y y x y y x --=--

=∴………………………………

（7分） ),3

3

4(),,334(022011y y x y y x --=--

=? 分）

（1031))(33()1()(316)32(334)3)(3()(3

16)(3342

02102122

021********

021*******??????????????++++-+=++-++++-++=++-+++-

=y y y y t y y t y y y y y y ty ty ty ty y y y y y y x x x x

由（I ）知，4

1

,4322

21221+-=+-=

+t y y t t y y .

03

14)3(3

14)322()1(3

1432)33(4)1(22

022020202

0222

2022＞t y t y y t y t t y t t y t t y t t t NQ NP +++++=++++++-=+++-+-++-=?∴ ?∠∴?=

∠∴900|

|||cos PNQ ＜＞NQ P N PNQ ，.………………………（12分）

当PQ y ⊥轴时，PNQ ∠=0，它也满足PNQ ∠＜90°. …………………（13分）

解法二：过P 、Q 及PQ 之中点R ，分别作右准线l 的垂线PP 1，QQ 1，RR 1，垂足为P 1，Q ，R 1，由椭圆的定义，知

).23

(||||,||||,|||||

|||1

111===∴==e e QF QQ e PF PP e QQ QF PP PF （8分） 又，2||3

22||||21||||212||||||111PQ ＞PQ e PQ e QF PF QQ PP RR ?=?=+?=+=

…（11分） 所以以PQ 为直径的圆与l 相离，所以N 在以PQ 为直径的圆外，所以

?∠90PNQ ＜. ……………………………………………………………………………（13分）

21. 解：（I ）设P （111,y x -）是函数)(x f 的图象上的任一点，则)1(11x f y -=，又

)

,1(11y x P -关于

)

3

4

,1(A 的对称点是

)3

8

,1(11y x Q -+，………………………………………………（1分）

而)1(()1(11x f x f -++

分）（即3,3

8

)1(38)1(,3821312

])1()1[(21

])1(21)1[(61)]

1()1(21

)1(61[)1()1(21)1(611112121212131311213112131????????-=--=+=+++-=+-+++-++-=-+-+--++++++-=y x f x f x x x x x x x x x x x x 点)38,

1(11y x Q -+也在函数)(x f 的图象上，故)(x f 的图象关于点)3

4

,1(中心对称. …(4分) .

3

4

)1(,38)2()0()

2008()2006()2009()2007(.,3

8

)1()1(111==+=?=+-=+-∴∈=-++f f f f f f f R x x f x f 又由于

.

5356,2535640173

8

2),2007()1()2()2008()2009(),

2009()1()0()2006()2007(=∴?=?=∴-++++++=∴+++++-+-=S S f f f f f S f f f f f S .5356)2009()2006()2007(=++-+-f f f 故…………………………………（6分） （II ）由于2

3

)1(21121)(,121)(2212+--=++==∴++-

=+n n n n n a a a a g a x x x g . ………………………………………………………………………………………（7分）

1 ＜1a ＜2，∴1＜2a ＜

23，同理可得，1＜3a ＜23，猜想1＜n a ＜2

3

（2*

≥∈n N n 且）. ………………………………………………………………………（8分）

下面用数学归纳法证明：（1）当n=2时，前面已证：

（2）假设当，k k n 时)2(≥=1＜k a ＜23则23)1(21)(2

1+--==+k k k a a g a ，又)(x g 在[)+∞,1上单调递减，)2(1g =∴＜)2

3(g ＜1+k a =)1(g =23

，这说明1+=k n 时，命题也

成立.

综上（1）（2）可知1＜n a ＜2

3

)2(*≥∈n N n ，.…………………………………（10分）

又|,22||2|21

|2121||2|21+-?-=-++-=-+n n n n n a a a a a

由于1＜n a ＜23，∴|22|+-n a ＜1，∴|2|1-+n a ＜|2|2

1

-n a ，

于是|2|-n a ＜|2|211--n a ＜…＜|2|2122--a n ＜12

1

-n （*,2N n n ∈≥）（12

分）

所以，|2|1-a +|2|2-a +…+|2|-n a ＜1+

n

n )21(222

121211

21?-=+++- ＜2……………………………………………………………………………………………（13分）