广东省各市2015年中考数学试题分类汇编专题10：三角形问题DOC

广东省各市2015年中考数学试题分类解析汇编 专题10：三角形问题

选择题

1. （梅州）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心. 若∠B =20°，则∠C 的大小等于（ ）

A. 20°

B. 25°

C. 40

D. 50° 【分析】如图，连接AO ，

∵,20AO BO B =∠=? ，∴40AOC ∠=?.

∵AC 是⊙O 的切线，∴AC AO ⊥，即90OAC ∠=?. ∴50C ∠=?.故选D.

2. （佛山）下列给出5个命题：

①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ②六边形的内角和等于720°； ③相等的圆心角所对的弧相等；

④顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形； ⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等. 其中正确命题的个数是（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

【分析】根据相关知识对各选项进行分析，判作出断： ①对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，命题不正确.

②根据多边形内角和公式，得六边形的内角和等于()62180720-??=?，命题正确.

③同圆或等圆满中，相等的圆心角所对的弧才相等，命题不正确.

④根据三角形中位线定理、菱形的性质和矩形的判定可知：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，命题正确.

⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，命题不正确.其中正确命题的个数是2个.故选 A.

3. （广州）已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）

A. 33

B. 93

C. 183

D. 363

【分析】如答图，圆的内接正六边形可分割为六个全等的等边三角形，

∵023,60OA OAB =∠= ，∴3sin 2332

OH OA OAB =?∠=?=.

∴11

2333322

OAB

S

AB OH ?=??=??=. ∴6633183OAB S S ?==?=正六边形.故选C.

4. （广州）已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【分析】∵2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个

根，∴4430m m -+=，解得4m =.

∴方程为28120x x -+=，解得122,6x x == .

∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，

∴根据三角形三边关系，只能是6，6，2. ∴三角形ABC 的周长为14.故选B.

5. （深圳）如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，将正方形边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论：①ADG FDG ??≌；②2GB AG =；③GDE BEF ??∽；④

725

BEF

S ?=

.在以上4个结论中，正确的有（ ）

A. 1

B. 2

C.3

D. 4

【分析】由折叠和正方形的性质可知，

0,90DF DC DA DFC C ==∠=∠= ，∴0

90DFG A ∠=∠=.又∵DG DG =，∴()ADG FDG HL ??≌. 故结论①正确. ∵正方形ABCD 的边长为12，BE =EC ，∴6BE EC EF ===. 设AG FG x ==，则6,12EG x BG x =+=- ， 在Rt BEG ?中，由勾股定理，得222EG BE BG =+，即

()()22

2662x x +=+-，解得，4x =.

∴4,8AG GF BG === .∴2GB AG =. 故结论②正确. ∵6BE EF ==，∴BEF ?是等腰三角形.

易知GDE ?不是等腰三角形，∴GDE ?和BEF ?不相似. 故结论③错误.

∵11682422BEG S BE BG ?=??=??=， ∴67224105

BEF BEG EF S S EG ??=?=?=.故结论④正确. 综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个.故选C.

6. （广东）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）

A. 75°

B. 55°

C. 40°

D. 35°

【分析】如答图，∵a ∥b ，∴∠1=∠4. ∵∠1=75°，∴∠4=75°.

根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”得∠4＝∠2＋∠3，

∵∠2=35°，∴∠3=40°.故选C.

7. （广东）如图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）

A.

B. C. D.

【分析】根据题意，有AE =BF =CG ，且正三角形ABC 的边长为2，∴2===-BE CF AG x . ∴△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等．

在△AEG 中，2==-，AE x AG x ，

∴()13224

=

???=-V AEG

S

AE AG sinA x x . ∴()2333333323442

=-=

-?-=-+V V ABC AEG y S S x x x x ． ∴其图象为开口向上的二次函数.故选D.

填空题

1. （梅州）已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 ▲ .（写出一个即可）

【答案】F 是AC 的中点（答案不唯一）.

【分析】△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则根据三角形中位线定理和相似三角形的判定需要增加的一个条件可以是：F 是AC 的中点或EF ∥BC 或∠AEF =∠B 或∠AEF =∠C 或∠AFE =∠B 或∠AFE =∠C ，等，答案不唯一.

2. （佛山）如图，在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，AC =102，四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D 、E 、F 在三角形的边上）.则此正方形的面积是 .

【分析】∵在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，AC =102，∴AB =BC =10，45A ∠=?.

∵四边形BDEF 是正方形，∴AEF ?是等腰直角三角形. ∴5BF EF AF ===.∴此正方形的面积25.

3. （广州）如图，ABC ?中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE =9，BC =12，则cosC = .

【分析】∵DE 是BC 的垂直平分线，∴0,,90BD CD BE CE EDC ==∠= . ∵BE =9，BC =12，∴6,9CD CE == .∴

6293

CD cosC CE =

==. 4. （广州）如图，四边形ABCD 中，∠A =90°，33AB =，AD =3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ▲ .

【分析】如答图，连接DN ，

∵点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，∴

12

EF DN =

. ∴要使EF 最大，只要DN 最大即可.

根据题意，知当点N 到达点B 与B 重合时，DN 最大. ∵∠A =90°，33AB =，AD =3，

∴()

223336DN DB ==+=，此时，132

EF DN ==.

5. （深圳）如图，已知点A 在反比例函数(0)

k y x x

=<上，作Rt ABC ?，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若BCE ?的面积为8，则k = .

【分析】由题意，

1

8

2

BCE S BC OE ?=??=，∴16BC OE ?=.

∵点D 为斜边AC 的中点，∴BD DC =. ∴DBC DCB EBO ∠=∠=∠.

又∵ABC EOB ∠=∠，∴ABC EOB ??∽. ∴BC

AB OB

OE

=

. ∴16k OB AB BC OE =?=?=.

6. （广东）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，则对角线AC 的长是 ▲ .

【分析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =B C =6.

∵∠ABC =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC =AB =B C =6.

7. （广东）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .

【分析】∵两个相似三角形的周长比为2：3， ∴这两个相似三角形的相似比2：3.

又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个相似三角形的它们的面积比是4：9.

8. （广东）如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是 .

【分析】如答图，各三角形面积分别记为①②③④⑤⑥， ∵△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，∴AG =2GD . ∴①=②，③=⑥，④=⑤，①+②=2③，④+⑤=2⑥. ∵12=△ABC S ，∴12=①+②+③+④+⑤+⑥.

∴122

2

=①+②④+⑤①+②++④+⑤+，

∴()1231242

2

=?+=?+=2②2⑤2②++2⑤+②⑤②⑤，即

图中阴影部分面积是4.

10. （汕尾）如图，在□ABCD 中，BE 平分∠ABC ，BC = 6，DE = 2，则□ABCD 周长等于 .

【分析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴,//AD BC AD BC = .∴AEB EBC ∠=∠. ∵BC = 6，DE = 2，∴6,4AD AE == .

∵BE 平分∠ABC ，即ABE EBC ∠=∠.∴AEB ABE ∠=∠.∴4AB AE ==.∴□ABCD 周长等于()220AB BC +=.

11. （2015年广东珠海4分）如图，在11

1

A B C D 中，

已知,,111111745A B B C A C === ，依次连接111A B C D 的三边中点，得2

2

2

A B C D ，再依次连接2

2

2

A B C D 的三边中

点得3

3

3

A B C D ，…，则555A B C D 的周长为 ．

【分析】∵A B C D 222的三顶点在A B C D 111的三边中点， ∴A B C D 222的周长是A B C D 111周长的12

；

∵A B C D 333的三顶点在A B C D 222的三边中点，

∴A B C D 333的周长是A B C D 2

2

2

周长的12，是A B C D 111周长的2

12；

∵A B C D 444的三顶点在A B C D 333的三边中点，∴A B C D 444的周长是A B C D 333周长的12

，是A B C D 111周长的3

12；

∵A B C D 555的三顶点在A B C D 444的三边中点，∴A B C D 555的周长是A B C D 444周长的12

，是A B C D 111周长的4

12.

又∵,,A B B C A C === 111111745， ∴A B C D 555的周长为

()()A B B C AC ++=++=11111411

7451216

.

解答题

1. （梅州）如图，已知△ABC.按如下步骤作图： ①以A 为圆心，AB 长为半径画弧；

②以C 为圆心，CB 长为半径画弧,两弧相交于点D ；

③连结BD ，与AC 交于点E ，连结AD ，CD . （1）求证：△ABC ≌△ADC ；

（2）若∠BAC = 30°，∠BCA = 45°，AC = 4，求BE 的长.

【答案】解：（1）证明：由作法可知：AB AD CB CD ==，， 又∵AC AC =，∴ABC ADC SSS V V ≌（）

. （2）由（1）可得，AB AD BAC DAC =∠=∠，， ∴AE ⊥BD ，即AC ⊥BE .

在Rt △ABE 中，∠BAC =30°，∴AE =3BE . 在Rt △BEC 中，∠BCE =45°，∴EC = BE .

又AE + EC = AC = 4，∴3BE + BE = 4. ∴BE =232-.∴BE 的长为232-. 【分析】（1）由作法，根据SSS 即可证明ABC ADC V V ≌. （2）根据等腰三角形三线合一的性质，得到两直角三角形，得到AE =3BE 和EC = BE ，从而根据AE + EC = AC = 4列式求解.

2. （梅州）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC = AB

= 4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点.若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P .

（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ▲ ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果） （2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 ；

（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）

【答案】解：（1）25，25.

（2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D 1AB = E 1AC = 135°.

又∵AB =AC ，AD 1=AE 1，∴△D 1AB ≌△△E 1AC （SAS ）. ∴BD 1=CE 1 且 ∠D 1BA = ∠E 1CA .

设直线BD 1与AC 交于点F ，有∠BFA =∠CFP . ∴∠CPF =∠FAB =90°，∴BD 1⊥CE 1. （3）13+. 【分析】（1）图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于22224225AB AE +=+=；线段CE 1的长等于

2

2

2

2

1

4225

AC AE +=+=. （2）由SAS 证明△D 1AB ≌△△E 1AC 即可证明BD 1 = CE 1 ，且BD 1⊥CE 1 .

（3）如答图2，当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB

所在直线的距离距离最大，此时112223AD PD PB ===+，， ∵1ABD PBH ??∽，∴1

AD AB PH

PB

=. ∴24223

PH =

+.∴13PH =+. ∴当四边形AD 1PE 1为正方形时，点P 到AB 所在直线的距离距离的最大值为13+.

3. （佛山）如图，△ABC 是等腰三角形，AB =AC .

请你用尺规作图将△ABC 分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】解：如答图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则根据等腰三角形三线合一的性质，由AAS 可得

ABD ACD ??≌.

【分析】作△ABC 底边上的高，则ABD ACD ??≌.

4. （佛山）如图，在水平底面上树立着一面墙

AB ，墙外有一盏路灯D .光线DC 恰好通过墙的最高点B ，且与地面形成37°角.墙在灯光下的影子为线段AC ，并测得AC =5.5米

（1）求墙AB 的高度（结果精确到0.1米）（参考数据：tan37°≈0.75, sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） （2）如果要缩短影子AC 的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法.

【答案】解：（1）∵tan AB ACB AC

∠=，

∴tan 5.5tan37 5.50.75 4.125 4.1AB AC ACB =?∠=??≈?=≈ 答：墙AB 的高度为4.1米.

（2）如果要缩短影子AC 的长度，同时不改变墙的高度和位置，可以将路灯的电线杆加长或将路灯的电线杆向墙边靠近. 【分析】（1）直接根据正切函数定义求解.

（2）要缩短影子AC 的长度，就要加大仰角ACB ∠，由于不能改变墙的高度和位置，那就得将路灯的电线杆加长或将路灯的电线杆向墙边靠近.

5. （佛山）如图，在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 是AD 上的点，且AE EF FD ==. 连结BE 、BF ，使它们分别与AO 相交于点G 、H . （1）求 : EG BG 的值； （2）求证：AG OG =；

（3）设 ,AG a GH b HO c ===，，求 : : a b c 的值.

解：（1）∵AE EF FD ==，∴13

AE AD

=.

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AD BC .∴AEG CBG ??∽. ∴13

EG AE BG

AD

==，即1 : 3

EG BG =.

（2）证明：由（1）AEG CBG ??∽，∴13

AG CG

=.

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC =. ∴2CG AO AG =-.

∴123

AG AO AG

=-，即12

AG AO =.∴AG OG =.

（3）如答图，过点F 作//FM AC 交BD 于点M ， ∵AE EF FD ==，

∴13

DM

DF DO DA =

=

.∴16DM BD =，56BM BD =. ∵12

BO BD =.∴35BO BM =. ∵//FM AC ，∴BOH BMF ??∽. ∴35

HO BO FM

BM

==，即3

5

HO FM

=. ∵//FM AC ，∴DFM DAO ??∽. ∴13

FM DF AO

DA

==，即13

FM AO =.

∴33115535

HO FM AO AO ==?=.

由（2）得12

AG AO =，

∴1132

5

10

GH AO AG HO AO AO AO AO =--=--=.

∵ ,AG a GH b HO c ===，，

∴1315

32

: : :

: : : 5 : 3 : 22105101010

a b c AO AO AO =

==. 【分析】（1）由平行四边形对边平行的性质可得

AEG CBG ??∽，从而得出结果.

（2）由（1）AEG CBG ??∽得到13

AG CG

=，从而根据平行

四边形对角线互相平分的性质得出结论.

（3）作辅助线“过点F 作//FM AC 交BD 于点M ”，构造两组相似三角形BOH BMF ??∽和BOH BMF ??∽，通过相似三角形对应边成比例的性质，求出AG GH HO 、、与

AO 的关系即可求得 : : a b c 的值.

6. （广州）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD ，CD 上，且AE DF =，连接BE ，AF . 求证：BE AF =.

【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴0,90AD AB D EAB =∠=∠= .

又∵AE DF =，∴()EAB FDA SAS ??≌.

∴BE AF =. 【分析】要证BE AF =，只要证它们是全等三角形的对应边即可，而要证EAB FDA ??≌，一方面，已知AE DF =，另一方面，由四边形ABCD 是正方形可得

0,90AD AB D EAB =∠=∠= ，从而构成全等三角形的SAS 而得证.

7. （广州）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB =30°. （1）利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD （保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求ABE ?与CDE ?的面积之比.

【答案】解：（1）作图如下：

（2）如答图2，过点B 作BM AC ⊥于点M ，过点C 作AN BD ⊥于点N ， 设AB a =，

∵AC 是⊙O 的直径，∴90ABC ∠=?. ∵∠ACB =30°，∴33,2

BC a BM a == .

∵BD 是∠ABC 的平分线，∴45ABD CBD ∠=∠=?. ∴62

CN a =.∴

3

1262

2

a

BM CN a ==.

又∵,BAE CDE ABE DCE ∠=∠∠=∠ ， ∴ABE CDE ??∽.∴2

2

112

2ABE

CDE

S BM S CN ??????=== ? ?????. 【分析】（1）按角平分线的基本作法作图即可.

（2）要求ABE ?与CDE ?的面积之比，考虑到两三角形相似，只要求出其相似比即可，结合已知条件作辅助线“过点B 作BM AC ⊥于点M ，过点C 作AN BD ⊥于点N ”得到两三角形对应边上的高BM 和CN ，设AB a =，通过解直角三角形，把BM 和CN 用a 的代数式表示，求比，问题即可得到解决.

8. （深圳）小丽为了测旗杆AB 的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C 点，测出旗杆A

的仰角为30o

，小丽向前走了10米到达点E ，此

时的仰角为60o

，求旗杆的高度.

【答案】解：由题意，

0030,60,10ADG AFG DF ∠=∠== ， ∴030DAF AFG ADG ∠=∠-∠=. ∴FAD FDA ∠=∠.∴10DF AF ==. ∴3sin 10532

AG AF AFG =?∠=?=.

∵ 1.5BG CD ==，∴3532

AB AG BG =+=+.

【分析】把旗杆的高度AB 分成两段,AG BG ，AG 通过解直角三角形得到，BG 由矩形的性质得到.

9. （广东）如图，已知锐角△AB C. （1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =34

，求DC 的长.

【答案】解：（1）作图如答图所示，AD 为所作. （2）在Rt △ABD 中，AD =4，tan ∠BAD =34

=BD AD

，

∴34

4

=BD ，解得BD =3.

∵BC =5，∴DC =AD ﹣BD =5﹣3=2. 【分析】（1）①以点A 为圆心画弧交BC 于点E 、F ； ②分别以点E 、F 为圆心，大于12

EF 长为半径画弧，两

交于点G ；

③连接AG ，即为BC 边的垂线MN ，交BC 于点D .

（2）在Rt △ABD 中，根据正切函数定义求出BD 的长，从而由BC 的长，根据等量减等量差相等求出DC 的长.

12. （珠海）如图，某塔观光层的最外沿点E 为蹦极项目的起跳点．已知点E 离塔的中轴线AB 的距离OE 为10米，塔高AB 为123米（AB 垂直地面BC ），在地面C 处测得点E 的仰角

45α=°从C 沿CB 方向前行40米到达D 点，

在D 处测得塔尖A 的仰角为60β=°，求点E 离地面的高度EF ．（结果精确到1米，参考数据2 1.4,3 1.7换 ）

【答案】解：在Rt ADB D 中，0tan tan 60AB DB

β==，

即

1233DB =

，∴1234133

DB ==. ∴413104030413CF DB FB CD =-+=-+=+. 在中，∵45α=?，

∴30413100EF CF ==+?.

答：点E 离地面的高度EF 为100米.

【分析】在Rt ADB D 和Rt ECF D 中，应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求解即可. 13. （珠海）已知,ABC AB AC D = ，将ABC D 沿BC 方向平移得到DEF D ． （1）如图1，连接,BD AF ，则BD ▲ AF （填“>”，“<”或“=”号）；

（2）如图2，M 为AB 边上一点，过M 作BC 的平行线MN 分别交边,,AC DE DF 于点,,G H N ，连接,BH GF ．

求证：BH GF =．

【答案】解：（1）=.

（2）证明： ∵将ABC D 沿BC 方向平移得到DEF D ，MN ∥AB ， ∴根据平移的性质，得

,,MG HN GC NF MGC HNF ==?? . ∵AB AC =，∴ABC ACB ??.

又∵MN ∥AB ，∴四边形BCGM 是等腰梯形.∴,MB GC GMB MGC =?? . ∴,MB MF GMB HNF =?? . 又∵MG HN =，∴MH GN =. 在BMH D 和FNG D 中，∵

,,MB MF HMB GNF MH NG =?? ， ∴BMH D ≌()FNG SAS D .∴BH GF =． 【分析】（1）根据平移的性质，应用SAS 证明ABF D ≌DFB D 即可得出BD AF =的结论.

（2）根据平移的性质，结合等腰梯形的判定和性质，应用SAS 证明BMH D ≌FNG D 即可得出BH GF =的结论.

14. （珠海）五边形ABCDE 中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC ，且满足以点B 为圆心，AB 长为半径的圆弧AC 与边DE 相切于点F ，连接BE ，BD ．

（1）如图1，求∠EBD 的度数；

（2）如图2，连接AC ，分别与BE ，BD 相交于点G ，H ，若AB=1，∠DBC=15°，求AG ?HC 的值．

解：（1）如答图1，连接BF ，

∵圆弧AC 与边DE 相切与点F ，∴BF DE ^.

在Rt BAE D 和Rt BEF D 中，∵,BA BF BE BE == ， ∴Rt BAE D ≌()

Rt BEF HL D .∴12??.

同理，34??.

∵90ABC ??，∴2345???，即45EBD ??. （2）如答图2，连接BF 并延长交CD 的延长线于点P ， ∵415??，∴由（1）知，3415???，

即30PBC ??. ∵90ABC ??，12??，∴1230???. 在Rt ABE D 中，∵1,130AB =?? ， ∴323,3

3

AE BE == .

在ABE D 和CBP D 中，13090PBC AB CB BAE BCP ì???

??

=í????

??，∴ABE D ≌()CBP ASA D .

∴233

BP BE ==.∴2313

PF =-.

∵60P ??，∴23DF =-.∴23CD DF ==-.

∵45,75EAG DCH AGE BDC ??靶=?? ，∴AEG D ∽CHD D .

∴AG AE CD

CH

=.∴AG CH CD AE ??.

∴()3

233233

3

AG CH

-?-? 【分析】（1）作辅助线“连接BF ”，构成两组全等三角形得到12??，34??，从而根据直角求解. （2）作辅助线“连接BF 并延长交CD 的延长线于点

P ”

，构成全等三角形ABE D ≌CBP D ，得到233

BP BE ==

，求出231

3PF =-，通过证明AEG D ∽CHD D ，列比例式即可求得结果.