1-2-2-2分段函数与映射
1.2.2.2
一、选择题
1．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 B ．6 C ．8
D ．9
[答案] C
[解析] 用树状图写出所有的映射为：
a →d ???
b →d ???
?? c →d c →e
b →e ?
????
c →
d c →
e a →e ???
b →d ???
?? c →d c →e
b →e ?
????
c →d
c →e 共8个．
2．已知f (x )＝????
?
x 2
＋3 (x ＞0)，1 (x ＝0)，
x ＋4 (x ＜0).
则f (f (f (－4)))＝( ) A ．－4 B ．4 C ．3
D ．－3
[答案] B
[解析] f (－4)＝(－4)＋4＝0， ∴f (f (－4))＝f (0)＝1，
f (f (f (－4)))＝f (1)＝12＋3＝4.故选B.
3．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点，则实数m 的范围是( ) A ．m ＞－1 B ．m ＞1 C ．m ≥－1 D ．m ≥1
[答案] C
[解析] f (x )＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点，即方程－x 2＋2x ＋m ＝0有实根，∴Δ≥0即4＋4m ≥0，
∴m ≥－1，故选C.
4．下列从P 到Q 的各对应关系f 中，不是映射的是( ) A ．P ＝N ，Q ＝N *，f ：x →|x －8|
B ．P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5,12}，f ：x →x (x －
4)
C ．P ＝N *，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1)x
D ．P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 2 [答案] A
[解析] 对于选项A ，当x ＝8时，|x －8|＝0?N *， ∴不是映射，故选A. 5．给出下列四个命题：
(1)若A ＝{整数}，B ＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (2)若A 是无限集，B 是有限集，则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (3)若A ＝{a }，B ＝{1,2}，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射； (4)若A ＝{1,2}，B ＝{a }，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射． 其中正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
[答案] B
[解析] 对于(1)f ：A →B 对应法则f ：x →2|x |＋1故(1)错；(2)f ：R →{1}，对应法则f ：x →1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.
6．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)已知函数f (x )＝?
????
2 x ∈[－1，1]x x ?[－1，1]，若f [f (x )]
＝2，则x 的取值范围是( )
A ．?
B ．[－1,1]
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．{2}∪[－1,1] [答案] D
[解析] 首先当x ＝2时，f (2)＝2， ∴f [f (2)]＝2，
其次当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2， ∴f [f (x )]＝2.
7．已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (0)＝0，则f (4)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．12 D ．20
[答案] C
[解析] 由f (1)＝f (0)＝0得到：1＋p ＋q ＝0①，q ＝0②，由①和②联立解得p ＝－1，q ＝0.于是f (x )＝x 2－x ，则f (4)＝42－4＝12.
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )
[答案] D
[解析] t ＝0时，该学生到学校的距离为d 0，排除A 、C ，随着跑步开始，此学生到学校距离迅速缩短，而转入步行后，此学生到学校距离继续缩短，但较跑步时缩的慢了，∴选D
9．某产品的总成本y (万元)与产量x 之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为( )
A ．25台
B ．75台
C ．150台
D ．200台
[答案] C
[解析] 由题意得：y ≤25x 得3000＋20x －0.1x 2≤25x ∴x 2＋50x －30000≥0解得：x ≥150或x ≤－200 又0＜x ＜240，∴150≤x ＜240，最低产量为150台．
10．定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1
3
C ．2x －1
D ．－2x ＋1
3
[答案] D
[解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝2x ＋1 (x ∈R ) ∴f (－x )＋2f (x )＝－2x ＋1， 消去f (－x )得，f (x )＝－2x ＋13.
二、填空题
11．(2010·陕西文，13)已知函数f (x )＝?
????
3x ＋2，x <1，
x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝
________.
[答案] 2
[解析] 由题意得，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，a ＝2.
12．已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且φ(1
3
)＝16，φ(1)＝8，则φ(x )的表达式为________． [答案] 3x ＋5
x
[解析] 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m
x (m ≠0)
则φ(x )＝kx ＋m
x
，由题设?????
k 3＋3m ＝16k ＋m ＝8
解之得：?????
k ＝3m ＝5
，∴φ(x )＝3x ＋5
x .
三、解答题
13．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x (0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y (分)与x (克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．
[解析] y ＝????
?
0 (x ＝0)80 (0＜x ≤20)，
160 (20＜x ≤40)
定义域为[0,40]，图象如下
14．作出下列函数的图象．
(1)f (x )＝2x ，x ∈Z ，且|x |≤2；
[解析] (1)这个函数的定义域是集合{－2，－1,0,1,2}，对应法则是“乘以2”，故它的图象由5个孤立的点(－2，－4)，(－1，－2)，(0,0)，(1,2)，(2,4)组成，函数图象如图(1)所示．
(2)这个函数分为两部分， 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝1， 当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝－1， 函数图象如图(2)所示．
15．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
[解析] (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图知过(－1,0)和(0,2)点， ∴????? －k ＋b ＝0b ＝2，∴?????
k ＝2b ＝2， ∴y ＝2x ＋2.
(2)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由图知过A (－3,0)、B (1，0)、C (0，－2)三点，
∴????
?
9a －3b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝0c ＝－2
，∴?????
a ＝23
b ＝4
3c ＝－2
，
∴y ＝23x 2＋4
3
x －2.
[点评] 设y ＝ax 2＋bx ＋c ，由图知y ＝0时，x ＝－3或1，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋3)(x －1)．由过(0，－2)求出a ，进而求出b 、c .
16．设A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )．是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素(6,2)在映射f 下对应A 中元素(3,1)，求k ，b 的值．
[解析] (3,1)对应元素为(3k,1＋b )， ∴????? 3k ＝6，b ＋1＝2，解得?
????
k ＝2b ＝1. 17．作出函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|的图象，并由图象求函数f (x )的值域．
[解析] f (x )＝????
?
－3 (x ≥2)1－2x (－1＜x ＜2)3 (x ≤－1)
如图：由图象知函数f (x )值域为{y |－3≤y ≤3}．