北师大版八年级下册数学第六章 平行四边形--讲义

平行四边形的性质

重难点易错点辨析

题一：如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且A B≠AD，则下列式子不正确的是()

A．BO=OD B．AB=CD

C．AC⊥BD D．∠BAD=∠BCD

B

金题精讲

题一：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，CE=CD，若∠B=72°，则∠AEC的度数是()

A．144°B．108°C．102°D．78°

B

题二：如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为．

B

N

题三：如图，EF是过平行四边形ABCD的对角线交点O的线段，分别交AB，CD于点E、F，如果平行四边形ABCD的周长为16cm，且OF=1.5cm，那么四边形BCFE的周长为cm．

B

题四：如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．

(1)求∠APB的度数；

(2)如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长．

C

A

考点：平行四边形的性质

思维拓展

题一：如图所示，一个平行四边形被分成面积为S1、S2、S3、S4的四个小平行四边形，当CD沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S1?S4与S2?S3的大小关系为()

A．S1?S4＞S2?S3 B．S1?S4＜S2?S3

C．S1?S4=S2?S3D．不能确定

E

D

考点：平行四边形的面积

平行四边形的性质

讲义参考答案

重难点易错点辨析

题一：C．

金题精讲

题一：B．题二：6．题三：11．题四：(1)90°；(2)24．

思维拓展

题一：C．

平行四边形的性质课后练习（一）

题一：如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是()

A．若AO=OC，则四边形ABCD是平行四边形

B．若AC=BD，则四边形ABCD是平行四边形

C．若AO=BO，CO=DO，则四边形ABCD是平行四边形

D．若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形

B

题二：如图，E为平行四边形ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E=65°，则∠A的度数为()

135°

A．65°B．100°C．115°D．

题三：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且它们的长度分别为6cm和8cm，过

．

点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分面积的和为

题四：如图，平行四边形ABCD中，O是对角线交点，AB=13cm，BC=5cm，那么△AOB周长比△BOC的周长多

cm．

题五：如图，平行四边形ABCD中，P是CD上的一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠C BA，过点P作PQ∥AD，交AB于点Q．下列结论不一定成立的是()

A．AP⊥BP B．AD=PD

C．△PBC是等边三角形D．点Q是AB的中点

题六：国家级历史文化名城--金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是()

A．红花，绿花种植面积一定相等

B．紫花，橙花种植面积一定相等

C．红花，蓝花种植面积一定相等

D．蓝花，黄花种植面积一定相等

课后练习参考答案

题一：D．

详解：∵AO=OC，BO=OD，

∴四边形的对角线互相平分

所以D能判定四边形ABCD是平行四边形．

故选D．

题二：C．

详解：∵EB⊥BC，ED⊥CD，

∴∠EBC=90°，∠EDC=90°，

∵在四边形EBCD中，∠E=65°，

∴∠C=360°-∠E-∠EBC-∠EDC=115°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A=∠C=115°．

故选C．

题三：12cm2．

详解：∵AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，

∴OA=OC，

∵AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，OA=OC，∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴△A OE的面积=△COF的面积，

∴阴影部分的面积=1

2

平行四边形ABCD的面积，

∵对角线AC、BD的长度分别为6cm和8cm，

∴平行四边形ABCD的面积=1

2

×6×8=24cm2，

∴阴影部分面积的和=1

2

×24=12cm2．

题四：8．

详解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD

△AOB的周长为OA+OB+AB；

△BOC的周长为OB+OC+BC

∴两周长之差为OA+OB+AB-(OB+OC+BC)=AB-BC=13-5=8cm．

题五：C．

详解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠P AB+∠PBA=1

2

(∠DAB+∠CBA)=90°，

∴∠APB=90°，即AP⊥BP；故A正确；

B．∵AB∥CD，∴∠DP A=∠P AQ，

∵∠DAP=∠P AQ，∴∠DAP=∠DP A，∴AD=PD，故B正确；C．同理：PC=BC，但不能证得△PBC是等边三角形．故C错误；D．∵PQ∥AD，∴∠APQ=∠DAP，

∵∠DAP=∠P A Q，∴∠P AQ=∠APQ，∴AQ=PQ，

同理：PQ=BQ，∴AQ=BQ，即Q是AB的中点，故D正确．

故选C．

题六：C．

详解：∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD

∴GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，

∴一条对角线可以把一个平行四变形的面积一分为二，

据此可从图中获得S黄=S蓝，S绿=S红，S(紫+黄+绿)=S(橙+红+蓝)，

根据等量相减原理知S紫=S橙，∴A、B、D说法正确，

再考查S红与S蓝显然不相等．

故选C．

平行四边形的性质课后练习（二）

题一：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：

①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD．

从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()

A．3种B．4种C．5种D．6种

题二：如图，E为平行四边形ABCD内一点，且EA=EB=EC，若∠D=50°，则∠AEC的度数是() A．90°B．95°C．100°D．110°

题三：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BC=6，BC边上的高为4，其中EF、MN、GH交于点O，则阴影部分的面积为．

题四：如图，在平行四边形ABCD 中，EF经过对角线的交点O，交AB于点E，交CD于点F．若AB=5，AD=4，OF=1.8，那么四边形BCFE的周长为．

题五：如图，已知四边形ABCD是平行四边形．

(1)若AF，BE分别是∠DAB、∠CBA的平分线，求证：DE=FC；

(2)已知AD=3，AB=5，求EF的长．

题六：为了增加游人观赏花园风景的路程，将平行四边形花园中形如图1的恒宽为a米的直路改为形如图2恒宽为a米的曲路，道路改造前后各余下的面积（即图中阴影部分面积）分别记为S1和S2，则S1S2（填＞、=或＜）．

课后练习参考答案

题一：B．

详解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；

故选：B．

题二：C．

详解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D=50°，

∵EA=EB=EC，

∴∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，

∴∠EAB+∠ECB=∠EBA+∠EBC=∠ABC=50°，

∴∠AEB+∠BEC=(180°-∠EAB-∠EBA)+(180°-∠EBC-∠ECB)

=360°-(∠EAB+∠ECB+∠EBA+∠EBC)=360°-100°=260°，

∴∠AEC=360°-∠AEB-∠BEC=100°．

故选C．

题三：12．

详解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠OAN=∠OCM，

在△AON和△COM中，∠OAN=∠OCM，∠AON=∠COM，OA=OC，

∴△AO N≌△COM(AAS)，

同理：△AOE≌△COF，△BOE≌△DOF，△BOG≌△DOH，

∴OG=OH，OM=ON，

在△GOM和△HON中，OG=OH，∠GPM=∠HON，OM=ON，

∴△GOM≌△HON(SAS)，

∴S阴影=1

2

S平行四边形ABCD=

1

2

×6×4=12．

题四：12.6．

详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=4，OA=OC，AB∥CD，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中，∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴CF=AE，OE=OF =1.8，

∴EF=OE+OF=3.6，

∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF=EF+BC+BE+AE=EF+BC+AB=3.6+4+5=12.6．

题五：见详解．

详解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠DF A=∠F AB，

∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，

∴∠DAF=∠F AB，∴∠DAF=∠DF A，∴DA=DF，

同理得出CE=CB，

∴DF=EC，∴DF-EF=CE-EF，∴DE=CF；

(2)由(1)得：AD=DF，

∵AD=3，∴DF=3，

同理：C E=3，

∵AB=DC=5，∴EF=DF+EC-DC=2BC-DC=3+3-5=1．

题六：S1=S2．

详解：根据道路计算面积的方法，道路面积=高×宽，因为两个图形道路长度有变化，高、宽都相等，所以道路的面积相等，故阴影部分面积也相等，即S1=S2．