ISSN1000-9825,CODENRUXUEW
Journal02"Software,V01.19,No.3,March2008,PP.594-604DOI:10.3724/SP.J.I001.2008.00594
02008byJournal∥Software.Allrightsreserved.
一般术语公理下的模糊描述逻辑FALCN推理李言辉1t徐宝文1’2+,陆建江3,康达周1’2
1(东南大学计算机科学与工程系,江苏南京210096)
2(江苏省软件质量研究所,江苏南京210096)
3(解放军理工大学指挥自动化学院,江苏南京210007)●
E—mail:jOS@iscas.∽.on
hUp://www.jos.org.elgt
Tcl,F缸:+86.IO-62562563
ReasoningwithGeneralTerminologicalAxiomsinFuzzyDescriptionLogicFALCN
LIYah.HuiL2,XUBao.Wenl?2+,LUJian.Jian93,KANGDa-Zhoul.2
1(DepartmentofComputerScienceandEngineering,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)
2(JiangsuInstituteofSoftwareQuality,Naajing210096,China)
3(InstituteofCommandAutomation.PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210007,China)
+Corresponding
author:Plan:+86-25-83793977。Fax:+86-25—83689779,E-mail:bwxu@唧.edu,cn
LiYH,XuBW,LuJJ,KangDZ.ReasoningwithgeneralterminologicalaxiomsinfuzzydescriptionlogicFALCN.JournalofSoftware,2008,19(3):594—604.http://www.jos.org.cn/1000—9825/19/594.htm
Abstract:Thispaperanalyzesthatthemaindifficultyinreasoningwithgeneralterminologicalaxiomsisthatthemembershipdegreesoffuzzyinterpretationsarenotdiscrete,butcontinousin[0,l】.Toremovethisobstacledifficulty,thispaperproposesadiscretizationmethodoffuzzyinterpretationtotranslatemembershipdegreesintodiscretevaluesinafiniteset.Basedonthisdiscretization,itgivesadiscreteTableaureasoningtechniqueforFALCNreasoningproblemswithgeneralterminologicalaxioms,whichconsistsofthedefinitionofdiscreteTableaus,aconstructionalgorithmfordiscreteTableausandtheproofofsoundness,completenessandcomplexityofthisalgorithm.
Keywords:fuzzy;descriptionlogic;semanticWeb;generalterminologicalaxiom;knowledgerepresentation
摘要:分析了一般术语公理下推理的主要难点:在模糊解释中的隶属度不是离散值,而是区间IO,1】上的连续值.为解决该难点,提出了模糊描述逻辑FALCN下的模糊解释离散化方法,从而使解释中的隶属度都属于一个特殊的有限离散集合.基于该离散化方法,给出一般术语公理下FALCN推理f*-I题的离散Tableau推理技术,包括离散Tableau的定义以及离散Tableau的构造算法,并证明了算法的正确性.完备性和复杂度.
关键词:模糊;描述逻辑;语义w曲;一般术语公理步识表示
中图法分类号:TPl8文献标识码:A
语义Web代表下一代Web的构想,它赋予Web信息良构的语义,使其机器可理解,从而更好地实现web资?SupportedbytheNationalNatural
ScienceFoundationofChinaunderGrantNos.60373066,60425206,90412003(国家自然科学基金).theNationalBasicResearchProgramofChinaunderG-rantNo.2002CB312000(国家重点基础研究发展计划(973));theJiangsuHigh—TechResearchProjectofChinaunderGrantNo.20020286004(高等学校博士学科点专项科研基金)
Received2006—05?08;Accepted2006?09-30
李言辉等:一般术语公理下的模糊描述逻辑FALCN推理595
源信息的智能化处理.语义Web采用本体作为通用的共享知识模型.描述逻辑被视为主要的本体语言,它为本体附加清晰的模型论语义【l】.当前,语义Web的本体语言推荐规范如OWLLite和OWLDL都以描述逻辑作为逻辑基础,它们分别等价于描述逻辑SHIF(D)和SHOIN(D)t21.
随着语义Web的发展,越来越多的日常知识进入语义Web,其中也包含了一些模糊信息,因而,语义Web需要具有模糊知识表示能力的本体语言。而经典描述逻辑仅支持精确知识的描述和推理,不适于处理模糊知识.为解决该问题,研究者提出了模糊描述逻辑,它扩展描述逻辑使其具有处理模糊知识的能力.Straceia引入模糊解释,提出一种基础的模糊描述逻辑FALC,它是描述逻辑ALC的模糊扩展,并提出在非循环术语公理下的约束传播算法口】.在FALC的基础上,H611dobler等人提出了一种隶属度操作构造子以定义新的模糊概念[4】.复杂描述逻辑如ALCQ和SHOIN(D)的模糊扩展也被提了出来【5,6】,但没有相应的推理算法.Stoilos等人将Straeeia的模糊框架引入OWL,定义模糊本体语言:FuzzyOWL[7】.
尽管研究者在描述逻辑的模糊化方面做了大量的工作,但是当前的模糊描述逻辑推理技术也只能处理空术语公理或非循环术语公理下的推理问题[8】.一般术语公理下的推理问题仍然没有解决,其主要难点在于,模糊解释瑞模糊概念映射为领域4。上的复杂隶属度函数4。?【O,1】,因而,隶属度函数的值域是连续区间[0,1】,而不是一个有限的离散值集合.
在本文中,我们将研究模糊描述逻辑FALCN中一般术语公理下的推理算法.为了克服隶属度函数的值域是连续域这一难点,我们提出一种离散化方法,将模糊解释蔗化为离散解释,该离散解释中任意隶属度函数的值域都是某一特殊有限离散值集合.我们将证明该离散化方法的有效性:对于FALCN的知识库厄如果存在满足肜
的模糊解释彳那么埽散化后的离散解释也满足尤基于该离散化方法,我们将设计离散Tableau算法以处理一
般术语公理下FALCN的推理问题,这包括离散Tableau(它与离散解释对应)的定义和离散Tableau构造算法.
1模糊描述逻辑FALCN
本节将简单介绍FALCN的语法、语义、知识库和推理问题.模糊描述逻辑FALCN是描述逻辑ALCNtll的模糊扩展,它采用模糊解释赋予ALCN语法以模糊语义,并扩展ALCN知识库形式以定义FALCN知识库.为便于表示,以下令彳表示原子概念皿表示原子关系,a和6表示个体.
定义1.FALCN概念由以下概念构造子递归定义:
(1)原子概念一是概念;
.(2)底概念上是概念;’
(3)如果C,D是概念护是自然数,则表达式-,C,Ct_tD,CnD,Ⅷ.C,3R.c’乏肚和印尺是概念.
定义2.由于概念和关系在FALCN中被视为模糊集合,这里采用模糊解释爿∥,.z)定义它们的语义.其中,∥是代表领域的非空集合;.z是解释函数,.z映射:
个体aa2":a工∈∥
原子概念彳A1:A7一【O,1】
原子关系月R工:4工×彳一【O,l】
由以上定义可知,原子概念A被解释为领域∥上的隶属度函数Az().对于任意的领域元素ZA7(力表示d隶属于A的程度.原子关系R的解释尺2具有类似的含义.对于由概念构造子定义的复杂函数,r将它们解释为
r(d)=O,
(cry)2(d)--min(Cz(力,Dz(回),
(020)1(力--max(C工(力,Dz∽),
一C2(d)=l—Cz(们,
(vR.c)7(d)=inf{max(1一R工(吐矿),C7(d))Ide4工),
(|R.c)2(d)=sup{rain(Rz(谚矿),C2(矿))J矿∈4z},
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(乏础)2(力=sup{min二。(∥(吐彳))l矿,...,扩∈∥},
(与睥)‘(d)=f,矾max畚1(1-R7(吐曲)I一,…,arl∈4z).
上式中,re.in£=i(Rz@曲)是rain{Rz(西∥),...,Rz(西雨}的简写,max岔(1一Rz(西曲)的含义类似.
定义3.一个FALCNTBox是一般术语公理CED的有限集合,这里,C和D是FALCN概念.CED表示D包含c'即对于任意个体d,d属于C的隶属度小于等于D.解释蹒足CED,当且仅当Vd∈A2,C2(力≤Dz(刃.Z满足一个TBox,当且仅当蹒足TBox中所有公理.这样的磁称为TBox的模型.
定义4.一个FALCNABox包含模糊声明口》.日以和个体声明a*b,这里,a=a:C或(口,6):R,睁司∈{<,>,≥,s).模糊声明a:Ct',an表示口属于C的隶属度》q糟;(口,6):R》司疗具有类似的含义.解释瞒足一个模糊声明口:C2一(或(口,6>:R劲),当且仅当Cz(,)≥n(或尺7(口Z,b工)≥肝).对于其他3种算符的情况类似定义.蹦足a*b,当且仅当a2≠b工.2满足一个ABox。当且仅当2满足ABox中所有声明.这样的磁称为ABox的模型.定义S.一个FALCN知识库_IC由Tbox?和ABox一4组成:足=(Z椰.蹒足|IC,当且仅当蹒足研口4.这样的馓称为知识库K的模型,也称瓦为被2所满足.本文将重点讨论知识库(的可满足性问题的推理算法,而实现推理
算法的关键就是模糊解释的离散化.
2模糊解释的离散化
在讨论模糊解释的离散化之前,先介绍经典描述逻辑中一般术语公理下的知识库可满足问题的推理技术,这将有利于理解模糊解释的离散化对于推理的作用.在经典描述逻辑中,所有的概念(关系)被视为经典集合,即
个体(个体对)完全属于或完全不属于概念(关系).因而概念(关系)被解释为二值隶属度函数∥一{O,1).对于任意一般术语公理CED和个体口,经典描述逻辑的Tableau算法在构建Tableau的过程中“猜测”a属于C和D的隶属度万和用:由隶属度的二值性,n,me{O,1);且根据CED,ngn.显然,满足上述条件的(m,万>共有3组:(0,0),(O,1),(1,1),这等价于n--O或m=1.因此,Tableau算法加入声明d:一CuD,即d:、c(n=0)或a:D(m=1)191.从经典描述逻辑采用的推理方法上看,如果模糊解释中的所有隶属度函数也具有有限离散值,而不是现在的连续区间【0,1】上的连续值,那么这样的“猜测”技术可以推广到模糊描述逻辑中以处理一般术语公理.本节将采用以下的顺序介绍模糊解释的离散化:首先定义离散化的目标,即满足知识库X的离散解释(称为离散模型),其中,任意隶属度函数值C2(回或R7(吐矿)都属于一个离散隶属度集合墨且该集合的势撑s是知识库ABox的势样彳的线性函数;然后,给出由模糊解释转化为离散模型的离散化过程,并证明该过程的正确性.
2.1知识库的离散模型
为定义知识库肜=(互4)的离散模型,首先是要确定模型中所有隶属度函数的离散值域墨令心为在一4中出现的隶属度集合吼={口》司nlneA},由收定义知识库£的隶属度闭包DS,c={o,0。5,1}u收V{l-nlne氓}.将D&中的元素按升序排列D.&={玎o,疗l’...,%),对于任意O<i<s,nl<ni+1.以下假定砜元素按升序排列.
定理1.对于任意知识库(的隶属度闭包D&----{n0)nl'...,%),以下性质成立:
(1)no=O,驴1;
(2)如果玎∈D&,则l-heD.%;
(3)声是偶数;
(4)对于任意O≤f螽,nl+ns—F1.
证明:由DSpc的构造定义,性质(1)一性质(3)显然成立,以下证明性质(4):
令D贬={l-nineD&).将D殴元素按升序排列{l-nm,l一,k1,...,l吲o).由性质(2)he呱,l-heD.%.显然,哦=DSic且同样按升序排列,则对应元素相等:1-n,_Fnj,所以,对于任意o≤f鱼,ni+ns-F1.口令向量胙【cl,C2,.,.,c,a]e(0,l,2,定义操作9:^磁=DSr.9收={掰I,m2,...,%),当i.≤s/2,mi=cixni_l+(1--c1)lxni;否则,mr-(1-c—lDxni—l+Cs+14xni.
李言辉等:一般术语公理下的模糊描述逻辑FALCN推理
定理2.对于任意胆【c1,c2,...,Cs/2]E(0,1)s/2,Ⅳ叉=DI&@诈{ml,m2.…,%)以下性质成立:
(1)对于任意l<i≤s,丹f-1<聊f<刀i;
(2)对于任意l≤f盘,mf+%+1一FI.
证明:由任意cie(O,1)和nl-I<疗j,显然,一j'l<脚j<嘶成立.以下证明性质(2):不失一般性,假设i≤s/2,则s+l-i>s/2.m;一-ms+1一t=cl×ni—lHl-ct)xni+(1-Ca+1.-(s+l一0)xn,+l—i_l+白+l_(什1一o×,l—l一
=ctxni_1+(1-ci)xn』+(1--ct)xn,_:t-cjXnj+l—i
=ci×(ni-1+.,l一1一i)+(1-ct)x(nt+n,一j)
=cj+(1—q)
=1.口定义知识库.IC的离散隶属度集合的集合&={D&UⅣ&lⅣ&_D&@M,Me(O,1)以且踟&).任意s∈&,S被称为知识库|IC的离散隶属度集合.将S中的元素按升序排列为肛{伽,ml,九1,...,ms-1,m,,n,).显然,}fS=2什1=D(撑Ⅳk)且撑Ⅳ乏=D(群一4),则舻D(彤4).对于知识库JIC的模型p,如果其中的隶属度C工(回或R2@才)属于集合S,则p被称为S约束下的知识库尼的离散模型.下一节将证明,对于知识库JlC,存在|IC的模糊模型等价于存在S约束下咒的离散模型.
2.2模糊模型向离散模型的转化
对于知识库.IC和它的离散隶属度集合墨假定存在咒的模型Z,下面给出厢s约束下的离散模型历的转化:令S={no,ml,行l,...,%-1’ma,%),定义转化函数仍[O,l】寸最
9(x):{吩J2nt.
【mi,嚏一l<石<啊
认)是[O,l】上的离散化函数:它保持端点疗o,...,%处的值不变;将两端点疗扣1和拧i之间的xVf司(n扣1,丹一)映射为区间上的代表点m。.
定理3.对于任意知识库脯离散隶属度集合墨函数仁[O,l】埘满足以下性质:
(1)对于任意0立≤届1,页功≤欢力;
(2)对于任意0鱼郇1,如果沪m或y邗b则矾石)<狄y);
(3)对于任意O曼店l,以l-x)=l-似x);
(4)对于任意0立J压1,须maxO∥))=m弧(砸),双y))且须minO∥))=min(砸),双y)).
由函数础定义,性质(1)和性质(2)显然成立.
证明:性质(3).
当工=拧f时,砍功=玎j,则双1叫)=双1--nI)=以%-f)=%一r=1-nr--1一氟x);当hi-1<x<嘶时,贴)=历j,再由,kl=1—刀,<1—石<l—竹卜l=%一f+l,砍l--x)=ms-I+l=l—州i=1一氟x).口证明:性质(4).
不失一般性,不妨设工9.由性质(1),贴浯祆’,),则够(maxO∥))=max(贴),双),))和’钗min(x∥))=min(烈石),砍y))成立.口基于转化函数氟),将爿Az,.7)离散化为新的解释≯=(A扣,.扣):.
(1)解释领域4扣定义为4如=A工;
(2)解释函数.扣定义为:对于肿任意个体a,a小=,;对于任意原子概念A、原子关系R和领域4扣上元素吐矿,A2‘(回=丽A2(回),R扣(吐矿)=须R7(吐矿));对于复杂概念c,基于A扣()和Rn0,C扣O可递归定义得到.记以上构建的解释为Z?=页刀.
定理4.对于任意概念C和领域4扣上元素d歹?满足C2。(力=双C7(力).
证明:根据概念C的构成,递归证明该结论:
(1)c_叫:根据定义显然成立;
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(2)C==上:由解释的定义,上扣(力=o=双0)=饭上扣(回);
(3)c警DnE:由归纳DD(回=“Dz(回)和E扣(回=以E7(力)成立,则
(Dn司扣(d)=min(D扣(力卫2‘(d))--min(q《D。(力),双Ez(回))
=砍min(D1(力,E1(力))=须(Dn司1(d)).口
定理5.7?=(4扣,.扣)是S约束下知识库足的离散模型.
证明:注意Z--(4D,?扣)是知识库脯模型.对于朋拘TBox丁中的一般术语公理CC__D埘蔫足CED,贝rJVde∥,C工(力≤Dz(力.由定理3和定理4,C如(力=双C工(力)≤反Dz(回)=D扣(力.Z?仍然满足所有公理,则Z?满足r同
理可证歹?满足Abox.口定理6.对于知识库例Z乃、其离散隶属度集的集合&和任意&中.£元具有模糊模型当且仅当它具有S约束下的离散模型.’
3可满足性问题的离散Tableau算法
在介绍Tableau算法之前,这里给出一些符号定义.
概念C的子概念集sub(0定义为:
(1)C=A[>-pR[.≤pR时,”6(c户{c};
(2)C=14时,sub(c)={C)L肛"6似);
(3)C=DUEI.DFIE时,sub(C)={C}usub(D)usub(E);
(4)CfVR.D13R.D时,sub(:C)={C}usub(D)usub(LO.
对于知识库后定义sub(局为肼所有概念C的子概念集sub(0的并集.为表示得简洁,定义》和司分别代表≥。>和s,<.定义≥和≤以及>和<互为相反符号.》司一,》一和司一分别表示争司,争和司一的相反符号.
3.1知识库的离散Tableau
与经典的Tableau算法【9I类似,FALCN的Tableau算法通过构建知识库的离散Tableau以证明该知识库形的离散模型的存在性.离散Tableau具有森林状结构,它是一组与知识库ABox中个体对应的个体树的集合.个体树由代表个体的节点和代表节点(个体)间关系的边组成.任意节点d被标记为隶属度三元组(C1>4,疗)的集合以(d).当(c,》司,玎)在以(田中时,它表示d所代表的个体属于概念C的隶属度》q拧.
令砭和%为f中出现的原子关系和个体集合,乒{‰,ml,一1,...,‰_I'ms,%}.定义s上的标号函数.II:舢{1,2,...,2s+1).对于任意Bi,mf∈墨Jll(丹i)=2f+1,h(mf)=2f,显然,任意xES,x是S中的第|Il∞小元素.令g为h的反函数g=.Il一.以下给出s约束下知识库尤的离散Tableau的四元组定义:(谚‘石",这里:
∥:非空节点集,节点代表个体;
么:0-->2肼,^知ub(,O×{≥,>,s,<}×S标记函数将每一节点标记为隶属度三元组的集合;
∥:砭--+29,Q=(级功×{≥,>,≤,<}×墨关系映射将每一关系映射为个体对、算符和隶属度的三元组集合,当((吐矿),争司,珂)在反R)中表示(吐矿)属于R的隶属度》司刀;.∥:舷j阶体映射将ABox中个体映射为绅节点.
定义隶属度二元对◇,刀)和(司,所)互为共轭,当且仅当它们满足以下条件,见表1.
TablelConjugatedpairs
表1共轭隶属度二元对的定义
i三:生2i三:塑2
(≥,疗)^(玎)≥晴(埘)^(玎)>^(,玎)
i三:坐i蛐塑【竺匕!!蛐兰也2
共轭对实际上表明不存在S中的元素工满足x》力和工.日m.注意(>,玎)和(<,历)的情况,当m>x>n且
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h(n)--h(m)一1,即m和疗是s中的两相邻元素时,不存在xeS且满足m>x>n,因此,与其他3种情况相比,增加^(玎)=|Il(所)一1的情况变为.I,(")劭(朋)一1.一对隶属度三元组(C》司,刀)和<c't>W刀)是共轭的,当且仅当◇q,行)和◇√,研)是共轭的.在离散Tableau中,对于任意d,dea,a,be%,C,Desub(/O和Re磊,满足以下性质:(1)4叻中不存在两共轭隶属度三元组;
(2)4回中不存在以下的错误三元组:(上,≥,胛>(珂>o),<一上,≤,刀)(聒1),(上,>,疗),C--.上,<,开>,(c'<,O)和(c’>,1),且
点职)中不含有((吐矿),>,1)和((Z矿>,<,O>;
(3)若CEDe刁列必有he&以力中存在三元组(C§,一)和(D,≥,刀);
(4)若(一,争司,甩)∈4刃,则即,》q一,1叫)∈以刃;
(5)若(trim,》,刀)∈4回,则(C》,刀)和CO,》,疗)∈4d);
(6)若CCnD,司,斤)∈叙力,则(c’司,行>或Co,司,疗)∈4力;
(7)若CCUD,》,丹)∈以印,则(c,》,疗>或(D,争,刀)∈4力;
(8)若CCUD,司,胛)∈以力,则(C.日,刀>和cm,.寸,疗>∈以回;
(9)若(VR.C》,力)∈4力,((Z矿),》’,小)∈鼠尺)且◇’,所)与◇一,l叫)共轭,则(c,》,行)∈4矿);
(10)若(VR.C,司,n)e以力,则必存在绅节点才,满足((Z矿)’.日一,1-n)e最n)ISl(c,.q,刀)∈4矿);
(11)若C3R.C》,孵)∈4力,则必存在绅节点矿,满足CCa,a'),争,撑)∈卵)且(C》,刀)∈4矿);
02)若C3R.c'q,n)e以力,((吐矿),D.’,m)eaR)且p’,所>与(司,刀)共轭,则(C.寸,疗)∈以矿);
(13)若(印R,》,一)∈4力,itJO{dlCCd,a'),争,刀)∈am}净;
(14)若(印足,司,刀)∈4力,则撑{矿l((吐才),》j,nj)∈aR),◇f,hi)与(司,疗)共轭}与旷1;
(15)若(印足争,刀)∈4力,则撑{矿|((吐才),》。,一f)∈鼠尺),p,,hi)与◇一,1-n)共轭}伞;
(16)若(SpR,司,行)∈反回,贝0#{d'ICCd,d),司一,l-n)∈aR)}犷l;
(17)若口:C1>4力∈4则(C》q,疗)∈4∥(力);
(18)若Ca,6):R争q刀∈—《贝Ⅱ((∥(口),∥(6)),》司,疗>∈?』【R);
(19)若a.be,《贝U以口)≠以6).
性质(1)和性质(2)保证离散Tableau中不含有冲突:显然,由共轭对的定义,不存在S约束下的离散解释满足两共轭隶属度三元组;而性质(2)中的错误三元组则是任何解释都不能满足的.性质(3)处理一般术语公理CED,这里扩展“猜测”技术:由于离散解释中所有隶属度都属于S对于节点吐猜测d属于C和D的隶属度分别为玎和m,显然,行,meS且刀锄.由猜测结果,应在4力中增加《c,≤,行),CC,≤,甩),(D,≥,小),CO,≤,m).这里只在4回中增加<c,≤,刀)和CO,≥,刀),该简化的正确性将由定理7保证.性质(4)一性质(16)是离散Tableau完备性和正确性的保证,如性质(4):(—4,》司,n)e4力,则似,争司一,1-n)∈以d),该性质保证可用共轭对的方法发现冲突.在性质(13)-性质(16)中,对于集合Q,采用牟Q表示Q的势.性质(17)-性质(19)保证个体映射以)的正确性.
定理7.对于知识库K=C剐),其离散隶属度集合的集合&和任意&中墨尤具有s约束下的离散模型,当且仅当存在S约束下脯离散Tableau.
证明:(充分性)假设存在S约束下彤的离散Tableau弘(口‘舌",S约束下肋勺离散模型于=<An,.扣>可如下构造:
(1)解释的领域∥‘定义为An=刃
(2)彳中的个体解释定义为口2’=∥(口).
(3)任意原子概念A和原子关系R的解释A扣和Rn定义为:对于领域4扣上元素a,d,
A”(d)--max{max{nlCA,≥,n)e4回},g(h(max{mlq,>,m)e4a5))+1),0),
R2‘(d,d)--max{max{nlC(d,d'),≥,n)ean)},g(h(max{mlCCd,d),>,m)e氓尺)))+1),O).
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当印,》q,一)∈叙田时,它表示d所代表的个体属于概念一的隶属度》司li.显然,A厶(力即d属于彳的隶属度应大于等于{玎肛,≥,疗)∈4印)中的最大值nmax和大于{圳似,>,m)∈4回}中的最大值朋。。,由An(力取值属于离散集合墨A2’(力>朋。,等价于大于等于S中标号比%。大l的元素g(h(mmx)+1).这里,取A扣(印为满足大于等于linunt和g(矗(小。0+1)的最小元素,当万一和mmax都不存在时,取A2’(d)=O.R扣(正方)取值的方法相似.以下证明该定义的可行性:只需证明m一<1,这样,g(矗(%。)+1)的取值才有意义.由Tableau性质(2),1芒{聊似,>,所)∈4回},显然,mmx--max{ml<A,>,研)∈以力}<1.
(4)对于复杂概念c,基于4扣O和R扣O,C扣0.-7递归定义得到.
由定义可知以下性质成立:
(1)任意即,》.寸,一>∈反回AD(回》司丹.由AD(句的定义,只有3种取值:‰。,g(矗(掰。。)+1)和O.对于任何似,》,n)e4力,显然A和(d)》li成立;而对于任何似,司,一)∈4力,这里仅讨论≤的情况,若A扣(回≤疗不成立,即
A弘(力>玎.若A扣(回是一。。或反^(脚一)+1),则4口D存在共轭三元组似,≥,行。x)与似,≤,厅)或似,>,肌。x)与似,≤,疗>,这与Tableau性质(I)矛盾;如4D(回_o,由0>n与he[0,l】矛盾.所以,当≤时结论仍然成立,<的情况类似.类似可证:对于复杂概念C(c,》.日,n)e4aD,Cn(回》司玎.
(2)证明Z’满足£
对于丁中一般术语公理COD,由Tableau性质(3),任意葫14扣,存在n6S满足(c’≤,磅和(D,≥,行)∈以回,则C2‘(曲如和Dn(回≥玎成立,所以Z+满足CUD.
对于彳中声明口:C》.日刀,(口,6):Rp司疗和口≠6.由性质(17),(C争.a,n)∈4以口))成立,则C厶(口n)》.日胛,即Z‘满足
口:C》.司li.其他证明类似.
(3)任意原子概念彳和原子关系尺的解释A扣0和RDO的值域为墨显然歹?中任意隶属度C加(回和Rn(吐矿)属于S.
综上所述—‘?是S约束下石的离散模型.口
3.2离散Tableau的构建算法
由定理6和定理7。s约束下脯离散Tableau的构造算法可被视为知识库厕满足性问题的推理算法.该算法采用S约束下的森林表示离散Tableau,S约束下的森林由根节点为ABox中个体对应节点的树构成.与离散Tableau相同,节点工被标记为ZIx)_cM=sub(局×{≥,>,≤,<)×g此外,边讧∽也被标记为以(工∥))刍P=Rf×{≥,>,≤,<}x墨并增加特殊边集∥来表示森林一定不相同的节点对.
Tableau算法初始化为一组根节点:扛。|口∈a1)而是a的对应节点,么阢)-{《C》司,磅}口:c》.习疗∈,番.此外,标记边(xo,x6)为4(k鳓))={(月,睁司,蚓(口,6):Rp.司”∈,田.矿={<如声6)I口≠6∈,田.算法通过扩展规则来增加节点标签m)或增加新的叶节点.在树的生长过程中,新的节点和边被乎,V4,≥P’和≥P’规则加入.一个节点),被称为另一节点工的后继或工是y的前驱,当且仅当殷伍力)≠彩;进一步地∥是X的足后继,当且仅当(足,》司,力∈4伍功).定义“祖先”关系是“前驱”关系的传递闭包J被其祖先y阻塞,当且仅当工不是根节点且毋)∈』瓤).在规则的应用上,规定可增加节点的j。,v4,≥P’和≥P’规则应用优先级最低,当其他规则都不起作用时,才可应用以上规则.该应用规则顺序保证在增加新叶节点前完成森林的预完各过程.在该过程以后,所有的初始边以纯冉>)都可以忽略,因为在预完备过程中,边殷纯鳓))的相关信息都已被处理.以下只需关注森林中每棵树由根节点毛出发独立生长.
Tableau扩展规则.
KB规则:
条件:CEDe殂没有lieS满足(C≤,疗)和(D,≥,珂)∈m).
操作:取某一疗∈S』舡)一J舡)U{(c'≤,打>,(D,≥,刀)).
当工非阻塞时,应用以下扩展规则:
李言辉等:一般术语公理下的模糊描述逻辑FALCN推理60l
-1规则:
条件:(—“,》q,”)∈』£扛)且印,》司一,1叫>薯ax).
操作:毋)一4x)U{<4,D.司一,l吲)).
n’规则:
条件:<CnD,》,一)∈饰)且(c,争,押)或(D,》,n)舞ax).
操作:』鼬)斗毋)U{(c,》,一),《D,》,开)).
几4规则:
条件:(CTlD,司,行>∈伽)且<c'.寸,疗)和(D,q,疗)t毋).
操作:取某一DTe{<c,q,一>,(D,司,力)),ZIx)--*Z≈x)U{D乃.
u’规则:
条件:(cLjD,争,刀>E幻∞,(c’p,拧)和(D,》,玎)叠』缸).
操作:取某一Dr∈{(C》刃),(D,》,九)),毋)一ZT(x)U{DT}.
u4规则:
条件:(QJD,司,n>E』鼠x),(C司,疗)或(D,司,拧)叠ax).
操作:毋)一4功U{<e司,玎),(D,q,疗)}.
V’规则:
条件:<VR.c,p,疗)∈毋).存在x的胄后继Y满足俾,睁’,朋)∈4讧∽),且(》’,m)与(》‘,1叫>共轭,<c'p,甩)芒础).
操作:毋)一妇∽U“C》,疗)).
V1规P/'J:
条件:(V尺.Cq,n>e毋).不存在J的R后继Y满足俾,司一,1--疗>以伍∥))且(c,q,行)∈旬).
操作:增加一个新节点z:俾,q一,l叫>∈C(缸声))且C(z)一{(C司,刀)}.
j’规则:
条件:(jR.Cp,疗)∈毋).不存在工的尺后继Y满足(R,争,一)∈4讧∥))且(C》,一)∈局”.
操作:增加一个新节点z:(R,争,一)∈4伍,z))且』缸)_((C》,即)}.
r规则:
条件:(j尺.C,司,玎)∈m).存在x的R后继Y满足(R,》’,所)∈4伍∽),p’,珊)与(司,甩)共轭,(c,.日,刀)叠毋).操作:毋)一句)U{(c,司,刀)).
劫’规则:
条件:(乏础,》,n>e毋).不存在工的P个R后继Yl,Y2,...帕满足(R,》,n>e以红∥I))且对于任意O≤f勺印,(yf∞)∈,.
操作:增加p个新节点zl,z2,...而:加入俾,》,刀)∈4讧而))且o≤,可印,(zj力∈,.
劫‘规则:
条件:(净尺,司,疗>∈/10).存在石的p个R后继J,l,Y2,...此满足俾,》’,肼i)∈以伍加)),p’,mt)与<司,玎)共轭,且存在O≤f呵印,满足◇f拂)仨,.
操作:合并两节点Yi和乃,ZD,t)寸Ztyt)U铴),4讧t),j))=4(x,yb)U以往劫);对于任意(z蝴∈∥,增加(z浙)∈奠
4瓴助)_a.
匀’规则:
602JournalofSoftware软件学报V01.19,No.3,March'2008
条件:(印尺,》,甩)∈/虹),存在X的矿1个R后继J,l∥2,...帅+I满足(尺,》’,mi)EC(臼∞)),p’,朋D与◇一,l-n)共轭,
且存在0s蚂啕升l,满足劬J,『)叠旷.
操作:合并两节点Yi和”,—鼽)一毋JUZb,j),4伍抛))=40抛))U4(x蛳);任意(z蝴∈∥,增加(z功)∈奠4扛辨))一囝.
印‘规则:.
条件:(印R,司,刀)∈√舡),不存在工的p+1个R后继Yl,Y2,...J钾l满足俾,司一,1—捍)∈以(伍加))且对于任意0<i<j≤p+l,◇fJ,,)Es".
操作:增加p+1个新节点Zl,z2,...而+1:hUA(R,司一,1一n)s饭缸力)且0≤f≮陶时1,亿劫∈,.
一个森林五包含一个冲突,当且仅当有以下两种情况:
(1)存在巧:中节点工,它的标签中含有共轭三元组对或错误三元组:(上,≥,玎)0>0),(-1上,≤,刀)∽<1),(J-,>,捍),<.1上,<,刀>,(c’<,O)和(c,>,1);或存在磊中节点对(工∥),肿<工∥)含有错误三元组:(R,>,1)和俾,<,o).(2)(埠墟,司,n)eZ趸x),且存在工的p个后继YlO"2,...奶满足但,》j,mf)∈4缸溯)),pl,m』)与(司,一)共轭,且对于任
意怄f勺9,◇f册)∈∥.
一个森林五被称为是无冲突的,当且仅当它不包含冲突.一个森林磊是完备的,当且仅当任何扩展规则都不起作用.当算法可构建一个完备和无冲突的森林时,返回知识库厕满足;否则,返回尤不可满足.定理8.对于任意知识库尤气互匆,Tableau算法终止,且算法的最坏复杂度为非确定2阶指数时间(2NEXPTIME).
证明:为便于表示,引入以下记号:^,-I卅+lsub(局I,击。--maxpI印R或与oResub(,c-")}.
由算法中存在不确定规则(rd3,几4,13’,印’和净4规则).这里采用非确定性图灵机来模拟不确定规则的实现,如KB规则执行时,CEDe殂没有neS满足(c,≥,以)和(D,≤,刀)∈饰).KB规则将当前的森林复制至OlSl个并行计算带上,在第f个计算带上猜测nffig(i),操作以工)一』舡)U{(c,≥,g(f)),(D,s叔f))}.由非确定性图灵机的可计算性与确定性图灵机等价,以下只需证明单计算带上森林应用规则的有限性:
(1)森林中任意节点工的标签毋)巨^仁sub(目×{≥,>,≤,<)xs由Is/=o(1卅).1ax)l=lMI=O(N5.因为在节点上应用一次规则会增加节点标签,所以节点上应用规则数为D(Ⅳ2).
(2)森林中树的数目等于原始ABox中的个体数引%I.显然,l%l=D(I卅)=D(Ⅳ).
(3)由阻塞定义:当发现叶节点工被其祖先y阻塞时,树不再生长,所以,任意树中从根到叶节点的路径上,节点中最多有两个标签相同,所以路径上的节点数不超过0(2M).
(4)令SlO)={(jR.C争,n)l<3s.c’》,疗)∈毋)),&(力={(掀.C司,一)I(V尺.c,司,以)∈毋)).由扩展规则,树中当前节点X的后继节点数最多为
慨G)H&∽卜∑P+∑P=O(Pm。xxN).
位胂。p,月)E工(J)隹硝,日,^)E上(1)
由步骤(3)、步骤(4),森林中树深度为D(2M),树节点出度为0妒。。×Ⅳ).因此,树的节点数为D(俨一×肋2lu~1).再由步骤(2),森林中仅含有0㈣棵树,因而节点数为O(Nx‰×加2…+1).由步骤(1),节点上规则应用的次数是伙舻),则算法中任意并行计算带上应用D妒×(P。,×加2…+1)次规则.即算法具有2NEXPTIME的执行上限.口定理9.对于知识库胆(石面,其离散隶属度集合的集合.%和任意&中s,z-存在s约束下尼的离散Tableau,当且仅当Tableau算法可构成一个完备和无冲突S约束下的森林.
证明:(必要性)假设存在S约束下尤的离散Tableau乒<留Z?,石”.以下要递归证明算法构建的森林群(当不确定规则应用时,单个森林会被复制多份并行计算,称所有计算带上的森林组成森林群)中总存在一个森林尸和厂中节点向丁中节点的映射函数厦),满足:
(1)对于任意磊中节点毛毋)CC?(础)),即森林中节点的标记属于对应Tableau节点的标记;
(2)对于任意巧i中节点x,y,以伍∥))C{(R,》司,n)I((刀(砷,刀(),)),争司,n)e反R)).
李言辉等:一般术语公理下的模糊描述逻辑FALCN推理603
(3)对于任意往∥)∈矿,刀O)≠刀(),).
称满足以上条件的森林屏口映射函数瓜)为可满足森林和其可满足映射.森林初始化时加入根节点{%}且尸‰)={(e》司,酬口:c》司甩∈柳.标记边<Xo,Xe)为厂(纯J6)):{(R,》司,甩)№6):月》.日BE棚.矿={‰≯6)悟6硅研.记初始化后的森林为石,并定义根节点映射,刀(砘)=以口),显然,石和须)为可满足森林及其可满足映射.KB规贝JI:CE_D∈殂没有n∈S满足(c,≥,刀>和(D,≤,栉)∈毋).由离散Tableau的性质(3),在Z’(刀O))中存在三元组对(Cs,矗o)和(D,≥,no).由并行计算,总有某一计算带上的后继森林厂?在Zlx)中增加的恰好是三元组对(C≤,刀o)和(D,≥,以o),显然,增加后的毋)C∥?(力0)),则应用KB规则必产生一个新的该森林厂?和节点映射n*0满足以上3条件,为可满足森林及其可满足映射.其他规则的证明类似.
由以上证明,每次规则执行后总存在可满足森林和对应可满足映射函数.由定理8算法可终止,则算法终止时总存在一个完备的森林石和可满足映射x,0.容易证明,晓是无冲突的.口
4相关工作
随着国内语义Web研究的兴起,国内学者近年来也开展了对描述逻辑的研究.文献[101提出了一种动态描述逻辑,弥补了经典描述逻辑作为语义Web逻辑基础的不足.文献[11】在动态描述逻辑的基础上提出了一种智能主体的心智状态模型.文献[12】以描述逻辑为主要框架,对单调逻辑和非单调逻辑进行了整合,提出了一种新的带缺省推理的描述逻辑.文献U3]在多主体系统中应用描述逻辑,利用描述逻辑清晰的模型语义和有效的概念分层推理实现高效的服务匹配.文献[14】提出语义Web规则标记语言OWLRule+,在语义上扩展描述逻辑的表示能力.文献Ds]提出对描述逻辑ALNUI的模糊化推广,提出模糊描述逻辑FALNUI,并用FALNUI来表示模
糊ER模型.文献【16]iJI入模糊概念和模糊关系的截集表示模糊特性,提出了扩展模糊描述逻辑语言族,它们比模糊描述逻辑具有更强的表达能力,但文中没有给出具体的推理算法.文献【17】研究了支持数量约束的扩展模糊描述逻辑EFALCN,证明EFALCN推理问题的复杂性为多项式空间完全,并提出EFALCN推理问题算法,证明该算法是正确且完备的,复杂性为多项式空间.文献【18】在FALC的基础上通过定义模糊关系层次和逆关系提出了模糊描述逻辑FSHI,并设计实现FSHI知识库推理的离散Tableau算法.
5结束语
随着语义Web研究的深入。作为语义Web逻辑基础的描述逻辑受到越来越多的研究者的关注.模糊描述逻辑是描述逻辑的模糊扩展。模糊描述逻辑的相关研究对语义Web上模糊知识表示具有重要意义.一般术语公理下的推理问题是模糊描述逻辑中亟需解决的热点问题.本文提出一种在一般术语公理下实现推理的离散Tableau算法。该方法基于模糊解释的离散化过程.文中证明了该离散化过程的模型不变性:如原模糊解释是知识库的模型,转化后的解释仍是知识库的模型.未来的工作将把模糊解释的离散化扩展到更复杂的模糊描述逻辑中,并判断模型不变性是否成立,若成立则扩展当前离散Tableau算法,以实现更复杂的模糊描述逻辑推理.
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主要研究领域为语义wcb.徐宝文(1961一),男,博士,教授,博士生导
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程。知识与信息获取技术.陆建3"工(1968一),男,博士,副教授,主要研究领域为语义Web,数据挖掘.
康达周(1980一),男,博士生,主要研究领域为语义Web.
卿町玎
刁
钉
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习
叼●UUn口Un
n
一般术语公理下的模糊描述逻辑FALCN推理
作者:李言辉, 徐宝文, 陆建江, 康达周, LI Yan-Hui, XU Bao-Wen, LU Jian-Jiang,KANG Da-Zhou
作者单位:李言辉,徐宝文,康达周,LI Yan-Hui,XU Bao-Wen,KANG Da-Zhou(东南大学,计算机科学与工程系,江苏南京,210096;江苏省软件质量研究所,江苏南京,210096), 陆建江,LU Jian-
Jiang(解放军理工大学,指挥自动化学院,江苏南京,210007)
刊名:
软件学报
英文刊名:JOURNAL OF SOFTWARE
年,卷(期):2008,19(3)
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