第2章 随机变量及其分布 (作业1)(随机变量、分布律)
一 填空题
1. 设随机变量X 的分布律为0),,2,1,0(!
}{>===λλ
k k a
k X P k
为常数,则a = λ
-e
2. 一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率)3,2,1(1
1=+=i i p i ,以X 表示3个中
零件合格品的个数,则}2{=X
P =
24
11
3. 设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19/27,则事件A 在一次试验中出现的概率是 3
1
二 选择题
1. 设离散型随机变量X 的分布律为为则且λλλ,0,0),,2,1(}{>>===b k b k X P k [ C ] (A )的任意常数
0>λ
(B )1+=b λ
(C ) 1
1+=
b λ
(D )1
1-=
b λ
2. 设离散型随机变量X 的分布律为),,2,1(2
1}{ ==
=k k X P k
的概率是为偶数则}{X P [ B ]
(A ) 1/2 (B ) 1/3 (C ) 1/4 (D )1/5 三 计算题
1. 某射手的命中率为P ,现对某一目标连续不断的射击,直到第一次命中目标为止,设各次射击是相互独立的,求他射击
次数不超过5次就把目标击中的概率。
解: 设X 表示停止射击时所射击的次数 ,1)1()(--==k p p k X P ,...3,2,1=k
所以所求概率为 ∑
=--=
≤5
1
1
)
1()5(k k p p X P
2. 一大批产品,其次品率为P ,采取下列方法抽样检查:抽样直至抽到一个次品为止,或一直抽到10个产品就停止检查,设X 为停止检查时抽样的个数,求X 的分布律。
解: X 1 2 ……… 9 10
k p p )1(p p - ……… p p 8)1(- 109)1()1(p p p -+- 3.已知离散型随机变量X 只取2,1,0,1-,相应的概率为
c
c c c 167
,
85
,
43
,
21
,求c 的值并计算概率}0{}1{≥≤X P X P 及
解: 由分布律的性质知 : 1167854321=+++c c c c 则得16
37
=
c 所以 3730}2{1}11{}1|{|==-=≤≤-=≤X P X P X P 37
29
}1{1}0{=-=-=≥X P X P
4. 已知甲、乙两箱装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱中,求乙箱中次品数X 的分布律。
解: X 0 1 2 3
p 3633C C 361323C C C 3
62313C C C 36
3
3
C C 5. 某一公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时间间隔的起点无关
(时间以小时计)(1)求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率;(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。
解: 在长度为t 的时间间隔内,由题意知 t
k e k t k X P 21!
)2
(}{-=
=
(1) 当3=t , 0=k 时 , 2
32
30!
0)23(}0{-
-===e
e X P
(2)
当5=t 时 , 2
52
501!
0)25(1}0{1}1{-
--=-==-=≥e
e X P X P
第2章 随机变量及其分布 (作业2)
(分布函数、概率密度)
一填空题
1. 设随机变量X 的分布律为 X 0 1 ,则X 的分布函数为
p 1/3 2/3
???????≥<≤<=1
,110,31
0,0)(x x x x F
2. 已知X 的概率密度是??
?<<=其它
010 2)(x x x f , 则=≥}21
{X P 43 3. 设随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布,则方程012=++Xt t 有实根的概率是 5
4
4. 设随机变量X 的概率密度为)()(8
)
1(2
+∞<<-∞=--x ke
x f x ,则k =
π
221
5.设离散型随机变量X 的分布函数为?????
??≥<≤<≤<=2
,
121,5.010,
1.00
,
0)(x x x x x F ,则X 的分布律为
X 0 1 2
k p 0.1 0.4 0.5 二 选择题
1. 当随机变量X 的可能值充满区间( A )时,
x x f cos )(=可以是随机变量X 的概率密度.
(A )]2
,
0[π
(B )],2[
ππ
(C ) ],0[π (D )]4
7
,23[ππ 2. 设随机变量X 的概率密度为???<<=其他,,
01
04)(3x x x f ,则使}{}{a X P a X P <=>成立的常数a =( A )
(A )421 (B )4
2 (C ) 21 (D )42
11-
3. 设随机变量X 的概率密度和分布函数分别是)(x f 和)(x F ,则( B )
(A ))(x f 可以是奇函数 (B ))(x f 可以是偶函数 (C ))(x F 可以是奇函数 (D ))(x F 可以是偶函数 三计算题
1. 已知X 的概率密度为
???
???
?
>
≤=2 , 02
,c o s )(ππx x x A x f 求(1)系数A ; (2)X 的分布函数F (x ); (3)X 落入)4
,0(π内的概率;(4)
求}1{=X P . 解: (1) 由?
∞+∞
-=1)(dx x f 则
1cos 22
=?
-
dx x A π
π
得 2
1=
A
(2) ?
∞
-=
x dt t f x F )()(?
?
????
?
??
>≤≤--
<=?-
2,122,
cos 21
2,02π
πππ
πx x tdt x x ?
?????
???
>≤
≤-+-<=2,122,)1(s i n 2
1
2
,0ππππx x x x (3) ?
=
=
<
<40
4
2cos 2
1}4
0{π
π
xdx X P (解二: 4
2)0()4
(
}4
0{=
-=<
π ) (4) 0}1{==X P 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为?? ???<≤<-≤=x x x A x x F 3 ,131 ,)1(, 1 ,0)(3求 (1) 常数A ; (2) X 的概率密度)(x f ; (3) }21{< 解: (1) 由)(x F 的连续性, )(lim )(lim 3 3 x F x F x x + - →→= 所以 1)13(3=-A 解得 8 1= A (2) ?? ???<<-==其他 , 031,)1(8 3)()(2' x x x F x f (3) 8 1 )1(83 )(}21{2 1 21 2 = -= = < ? dx x dx x f X P (或 8 10)12(8 1)1()2(}21{3 = --=-=< 3.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布,其概率密度为 ?? ???>=-其它,00, 5 1)(5x e x f x ,某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开,他一个月要到银行5次。以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y 的分布律,并求}1{≥Y P 解: 设}{窗口顾客未等到服务而离开=A 所以? ? ∞+∞+-- == = >=10 10 2 5 5 1)(}10{)(e dx e dx x f X P A P x 显然Y ~),5(2-e b 所以k k k e e C k Y P ----==5225)1()(}{ (5,4,3,2,1,0=k ) 则5 2 )1(1}0{1}1{---==-=≥e Y P Y P 第2章 随机变量及其分布 (作业3) 一填空题 1. 设)4,5.1(~N X ,则其概率密度为 )(221 8 ) 5.1(2 +∞<<-∞-- x e x π , =>}5.3{X P 0.1587 (已知8413.0)1(=Φ)。 2. 若X ~N (1,0.25), 且Φ(0.25)=0.5987, 则}8 7{≤X P = 0.4013 . 3. 已知)4,1(~N X , 则~12-=X Y )16,1(N . 4. 设随机变量X 服从)1,0(内的均匀分布,则随机变量2X Y =在)1,0(内的概率密度是 )10(,2 1)(<<=y y y f Y 二选择题 1. 随机变量X 服从正态分布),(2 σμN ,则随着σ的增大,概率}{σμ<-X P 的变化情况为[ C ] (A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D)增减不定 2. 随机变量X 的概率密度为)(21)(4 ) 3(2 +∞<<-∞=+- x e x f x π 则)1,0(~][N B Y = (A ) 2 3+= X Y (B )2 3+= X Y (C )2 3-= X Y (D )2 3-= X Y 3. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X +=π,则X Y 2=的概率密度为[ A ] (A ) ) 4(2 )(2 y y f Y += π (B ) ) 41(1 )(2 y y f Y += π (C ) ) 1(1 )(2 y y f Y += π (D )y y f Y arctan 1)(π = 三 计算题 1. 设随机变量)3,60(~2N X ,求分点21,x x ,使X 分别落在),(),,(211x x x -∞, ),(2+∞x 的概率之比为3:4:5。 解: 由题意知,25.012 3)360(}{11== -= 60(1 =-x Φ查表 675.03 201=-x 则975.571≈x 125 )360 ( 1}{22=--=>x x X P Φ 所以 12 7 )360 (2= -x Φ 查表 21.0203 2≈-x 则 63.602≈x 2.设随机变量X 的分布律为 X -2 -1 0 1 3 P k 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求2X Y = 解: Y 的分布律为 2X Y = 0 1 4 9 k p 5 1 30 7 5 1 30 11 则Y 的分布函数为 ?????? ?????≥<≤<≤<≤<=9,1 9 4,30194 1,301310,510,0 )(y y y y y y F Y 3.设随机变量X 的概率密度函数为) 1(1 )(2 x x f X +=π,求随机变量3 1X Y - =的概率密度函数。 解: })1({}1{}{)(3 3 y X P y X P y Y P y F Y -≥=≤- =≤=? +∞ -+= 3 ) 1(2 ) 1(1 y dx x π )()(' y F y f Y Y =] )1(1[) 1(3] )1(1[) 1()1(36 2 6 2 y y y y -+-= -+-?--= ππ )(+∞<<-∞y 4. 设随机变量)1,0(~N X ,(1)求X e Y =的概率密度;(2)X Y = 解: 由题意知+∞<<∞-= -x e x f x X , 21)(2 2 π (1) }{}{)(y e P y Y P y F X Y ≤=≤= 当0≤y 时 , 0)(=y F Y 当0>y 时 , }ln {)(y X P y F Y ≤=dx e y x ? ∞ -- = ln 2 2 21π 所以 ? ? ? ??≤>=- , 00,21 )(2 )(ln 2 y y e y y f y Y π (2) }{}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= 当0≤y 时 , 0)(=y F Y 当0>y 时 , }{)(y X y P y F Y ≤≤-=dx e y y x ? +-- = 2 2 21π 所以?? ? ? ?≤>=- , 0,22)(2 2 y y e y f y Y π 第2章 随机变量及其分布 (检测题) 一填空题 1. 设随机变量X 的分布律为),,2,1(}{N k N a k X P == =,则常数a = 1