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11版-概率作业2 详解

第2章随机变量及其分布 (作业1)（随机变量、分布律）

一填空题

1. 设随机变量X 的分布律为0),,2,1,0(!

}{>===λλ

k k a

k X P k

为常数，则a = λ

-e

2. 一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率)3,2,1(1

1=+=i i p i ，以X 表示3个中

零件合格品的个数，则}2{=X

P =

3. 设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率是 3

二选择题

1. 设离散型随机变量X 的分布律为为则且λλλ,0,0),,2,1(}{>>===b k b k X P k [ C ] （A ）的任意常数

0>λ

（B ）1+=b λ

（C ） 1

1+=

b λ

（D ）1

1-=

b λ

2. 设离散型随机变量X 的分布律为),,2,1(2

1}{ ==

=k k X P k

的概率是为偶数则}{X P [ B ]

（A ） 1/2 （B ） 1/3 （C ） 1/4 （D ）1/5 三计算题

1. 某射手的命中率为P ，现对某一目标连续不断的射击，直到第一次命中目标为止，设各次射击是相互独立的，求他射击

次数不超过5次就把目标击中的概率。

解：设X 表示停止射击时所射击的次数，1)1()(--==k p p k X P ,...3,2,1=k

所以所求概率为 ∑

=--=

≤5

)

1()5(k k p p X P

2. 一大批产品，其次品率为P ，采取下列方法抽样检查：抽样直至抽到一个次品为止，或一直抽到10个产品就停止检查，设X 为停止检查时抽样的个数，求X 的分布律。

解： X 1 2 ……… 9 10

k p p )1(p p - ……… p p 8)1(- 109)1()1(p p p -+- 3．已知离散型随机变量X 只取2,1,0,1-，相应的概率为

c c c 167

，求c 的值并计算概率}0{}1{≥≤X P X P 及

解：由分布律的性质知： 1167854321=+++c c c c 则得16

c 所以 3730}2{1}11{}1|{|==-=≤≤-=≤X P X P X P 37

}1{1}0{=-=-=≥X P X P

4. 已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱中，求乙箱中次品数X 的分布律。

解： X 0 1 2 3

p 3633C C 361323C C C 3

62313C C C 36

C C 5. 某一公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关

（时间以小时计）（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。

解: 在长度为t 的时间间隔内,由题意知 t

k e k t k X P 21!

(}{-=

(1) 当3=t , 0=k 时 , 2

30!

0)23(}0{-

-===e

e X P

(2)

当5=t 时 , 2

501!

0)25(1}0{1}1{-

--=-==-=≥e

e X P X P

第2章随机变量及其分布 (作业2)

（分布函数、概率密度）

一填空题

1. 设随机变量X 的分布律为 X 0 1 ，则X 的分布函数为

p 1/3 2/3

???????≥<≤<=1

,110,31

0,0)(x x x x F

2. 已知X 的概率密度是??

?<<=其它

010 2)(x x x f , 则=≥}21

{X P 43 3. 设随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布，则方程012=++Xt t 有实根的概率是 5

4. 设随机变量X 的概率密度为)()(8

)

1(2

+∞<<-∞=--x ke

x f x ，则k =

221

5．设离散型随机变量X 的分布函数为?????

??≥<≤<≤<=2

121,5.010,

1.00

0)(x x x x x F ，则X 的分布律为

X 0 1 2

k p 0.1 0.4 0.5 二选择题

1. 当随机变量X 的可能值充满区间( A )时，

x x f cos )(=可以是随机变量X 的概率密度.

（A ）]2

0[π

（B ）],2[

ππ

（C ） ],0[π （D ）]4

,23[ππ 2. 设随机变量X 的概率密度为???<<=其他，,

04)(3x x x f ，则使}{}{a X P a X P <=>成立的常数a =（ A ）

（A ）421 （B ）4

2 （C ） 21 （D ）42

11-

3. 设随机变量X 的概率密度和分布函数分别是)(x f 和)(x F ，则（ B ）

（A ）)(x f 可以是奇函数（B ）)(x f 可以是偶函数（C ）)(x F 可以是奇函数（D ）)(x F 可以是偶函数三计算题

1. 已知X 的概率密度为

???

≤=2 , 02

,c o s )(ππx x x A x f 求(1)系数A ; (2)X 的分布函数F (x ); (3)X 落入)4

,0(π内的概率；（4）

求}1{=X P . 解: (1) 由?

∞+∞

-=1)(dx x f 则

1cos 22

dx x A π

得 2

(2) ?

∞

x dt t f x F )()(?

????

>≤≤--

<=?-

2,122,

cos 21

2,02π

πππ

πx x tdt x x ?

?????

???

>≤

≤-+-<=2,122,)1(s i n 2

,0ππππx x x x (3) ?

<40

2cos 2

1}4

0{π

xdx X P (解二: 4

2)0()4

(

0{=

-=<

)

(4) 0}1{==X P

2. 设连续型随机变量X 的分布函数为??

???<≤<-≤=x x x A x x F 3 ,131 ,)1(,

1 ,0)(3求 (1) 常数A ; (2) X 的概率密度)(x f ; (3)

}21{<

解: (1) 由)(x F 的连续性, )(lim )(lim 3

x F x F x x +

→→= 所以 1)13(3=-A 解得 8

(2) ??

???<<-==其他

031,)1(8

3)()(2'

x x x F x f

(3) 8

)1(83

)(}21{2

dx x dx x f X P (或 8

10)12(8

1)1()2(}21{3

--=-=<

3．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为

???>=-其它,00,

1)(5x e x f x

，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次。以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求}1{≥Y P

解: 设}{窗口顾客未等到服务而离开=A 所以?

∞+∞+--

>=10

1)(}10{)(e

dx e

dx x f X P A P x

显然Y ~),5(2-e b 所以k

k k e e C k Y P ----==5225)1()(}{ (5,4,3,2,1,0=k )

则5

)1(1}0{1}1{---==-=≥e

Y P Y P

第2章随机变量及其分布 (作业3)

一填空题

1. 设)4,5.1(~N X ，则其概率密度为

)(221

)

5.1(2

+∞<<-∞--

x e

x π

，

=>}5.3{X P 0.1587 (已知8413.0)1(=Φ)。

2. 若X ~N (1,0.25), 且Φ(0.25)=0.5987, 则}8

7{≤X P = 0.4013 .

3. 已知)4,1(~N X , 则~12-=X Y )16,1(N .

4. 设随机变量X 服从)1,0(内的均匀分布，则随机变量2X Y =在)1,0(内的概率密度是 )10(,2

1)(<<=y y

y f Y

二选择题

1. 随机变量X 服从正态分布),(2

σμN ，则随着σ的增大，概率}{σμ<-X P 的变化情况为[

C ]

(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D)增减不定 2. 随机变量X 的概率密度为)(21)(4

)

3(2

+∞<<-∞=+-

x e

x f x π

则)1,0(~][N B Y =

（A ）

3+=

X Y （B ）2

3+=

X Y

（C ）2

3-=

X Y

（D ）2

3-=

X Y

3. 设随机变量X 的概率密度为)

1(1

)(2

x x f X +=π，则X Y 2=的概率密度为[ A ]

（A ）

)

4(2

)(2

y y f Y +=

π （B ）

)

41(1

)(2

y y f Y +=

π （C ）

)

1(1

)(2

y y f Y +=

π （D ）y y f Y arctan 1)(π

三计算题

1. 设随机变量)3,60(~2N X ，求分点21,x x ，使X 分别落在),(),,(211x x x -∞， ),(2+∞x 的概率之比为3：4：5。

解: 由题意知,25.012

3)360(}{11==

60(1

=-x Φ查表 675.03

201=-x 则975.571≈x

125

)360

(

1}{22=--=>x x X P Φ 所以 12

)360

(2=

-x Φ 查表

21.0203

2≈-x 则 63.602≈x

2．设随机变量X 的分布律为 X -2 -1 0 1 3 P k 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30

求2X Y =

解: Y 的分布律为 2X Y = 0 1 4 9

k p 5

1 30

则Y 的分布函数为

??????

?????≥<≤<≤<≤<=9,1

4,30194

1,301310,510,0

)(y y y y y y F Y

3．设随机变量X 的概率密度函数为)

1(1

)(2

x x f X +=π，求随机变量3

1X Y -

=的概率密度函数。

解: })1({}1{}{)(3

y X P y X P y Y P y F Y -≥=≤-

=≤=?

+∞

-+=

)

1(2

)

1(1

y dx x π

)()('

y F y f Y

Y =]

)1(1[)

1(3]

)1(1[)

1()1(36

y y y y -+-=

-+-?--=

ππ )(+∞<<-∞y

4. 设随机变量)1,0(~N X ，（1）求X e Y =的概率密度；（2）X Y = 解: 由题意知+∞<<∞-=

-x e

x f x X ,

21)(2

(1) }{}{)(y e P y Y P y F X

Y ≤=≤= 当0≤y 时 , 0)(=y F Y

当0>y 时 , }ln {)(y X P y F Y ≤=dx e

y x

∞

ln 2

21π

所以 ?

??≤>=-

00,21

)(2

)(ln 2

y y e y y f y Y π

(2) }{}{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= 当0≤y 时 , 0)(=y F Y 当0>y 时 , }{)(y X y P y F Y ≤≤-=dx e

y y

+--

21π

所以??

?≤>=-

0,22)(2

y y e y f y

Y π

第2章随机变量及其分布 (检测题)

一填空题

1. 设随机变量X 的分布律为),,2,1(}{N k N

a k X P ==

=，则常数a =

2.若随机变量X 服从均值为2，方差为σ2的正态分布，且P {2

3.设随机变量),2(~p b X ，),3(~p b Y ，若9

5}1{=

≥X

P ，则=≥}1{Y P

4. 求随机变量X 的概率密度为

????

?????∈∈=，其它，，0]6,3[9

]1,0[31

)(x x x f

，若K 使得P {X ≥K }=3

，则K 的取值范围是 3

1≤≤

5. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为81

80，则该射手的命中率为

二选择题

1. 假设随机变量X 的分布函数为)(x F ，概率密度为)(x f ，若X 与X -有相同的分布函数则（ C ）

（A ）)(x F =)(x F - （B ）)(x F -=)(x F - （C ）()x f x f -=)( （D ）()x f x f -=-)( 2．设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一设随机变量的分布函数，在下列

给定的各组数值中应取（

A ）

2,53)

b a A 3

2,3

b a B 2

3,2

=b a C 2

3,2

b a D

3. 设),,2(~2σN X 其分布函数为)(x F ，则对于任意实数a ，有（ B ）

（A ）()()1=-+a F a F （B ）()()122=-++a F a F （C ）()()1>-+a F a F （D ）()()122>-++a F a F 4．假设随机变量)9,(~),4,(~b N Y a N X ；记}3{},2{21+≥=+≥=b Y P p a X P p ，则成立的关系式是（

A ）

（A ）对于任意a 和b ，21p p =（B ）对于任意≠a b ，21p p ≠（C ）对于任意a 和b ，21p p <（D ）对于任意

21p p < 三计算题 1. 设随机变量

X 的分布函数为?

????

>≤

≤<=2 ,120 ,sin 0 ,0)(ππx x x A x x F ，则}6

{π

解: 由于)(x F 是右连续的,所以)2

(

)(lim 2

ππ